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Prozentgleichungen in mehreren Schritten lösen 02:44 min

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Transkript Prozentgleichungen in mehreren Schritten lösen

Am Südpol findet heute ein großes Skirennen statt. Jutta die Yeti-Dame möchte ihre wahnwitzigen Skikünste demonstrieren und dafür ein paar neue Pinguin-Skier ausleihen. Aber sie kann für die Skier nicht mehr als 150 Fischis ausgeben. Ob sie wohl genug Fischis in ihrem Portemonnaie hat? Finden wir es heraus. Normalerweise kosten die Pinguinskier 225 Fischis. Aber heute gibt es 45 Prozent Rabatt, die Mehrwertsteuer beträgt acht Prozent vom Ausleihpreis nach Abzug des Rabatts. Berechnen wir also den Gesamtpreis für die Skier inklusive der 45 Prozent Rabatt und der acht Prozent Mehrwertsteuer. Zuerst ermitteln wir den neuen Ausleihpreis nach Abzug des Rabatts. 225×45%=101,25. Denkt dran: Prozent bedeutet, dass du durch 100 teilen musst. Nun subtrahierst du den Rabatt vom Ursprungspreis, 225-101,25=123,75. Da das Finanzamt auch etwas haben möchte, musst du die acht Prozent Mehrwertsteuer berechnen. 123,75×8%=9,90. Steuern erhöhen den Preis, darum musst du die Steuer addieren um den Gesamtpreis zu bekommen. 123,75+9,90=133,65. Jutta muss fürs Leihen der Skier also 133,65 Fischis bezahlen. Das ist eine ganze Menge Rechnerei. Du fragst dich ob es einen schnelleren Weg gibt? Und ob! Willst du ihn sehen? Der Ursprungspreis ist 225, das entspricht 100 Prozent. Der Rabatt beträgt 45 Prozent. Um einen Rechenschritt zu sparen, rechnen wir direkt mit 55 Prozent des Ursprungspreises, um den neuen Ausleihpreis herauszufinden. 225×55%=123,75. Das sind unsere neuen 100 Prozent. Plus acht Prozent Mehrwertsteuer ergibt das 108 Prozent. Multipliziere den neuen Ausleihpreis also mit 108 Prozent. Der Gesamtpreis ist 133,65 Fischis. Das Beste ist: Jutta die Yeti-Dame hat genug Fischis, um die Pinguin-Skier auszuleihen. Sie kann es kaum erwarten, die Piste zu stürmen. Die Pinguine sehen das irgendwie ein wenig anders.

3 Kommentare
  1. na ja

    Von Finja Rettkowski, vor 10 Monaten
  2. Uiii!!! Super Video 🤩👍

    Von Xmina Xp, vor etwa einem Jahr
  3. Unglaublich gut

    Von Allafoto, vor etwa einem Jahr

Prozentgleichungen in mehreren Schritten lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentgleichungen in mehreren Schritten lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib den gesuchten Preis für ein Paar Pinguin-Skier an.

    Tipps

    Bedenke, dass der Rabatt von $45\%$ dem Anteil entspricht, den die Yetidame nicht bezahlen muss. Somit liefert der Rabatt von $45\%$ den jeweiligen Preisnachlass.

    Die Mehrwertsteuer von $8\%$ wird auf den Ausleihpreis nach Abzug des Preisnachlasses berechnet. Zudem erhöhen Steuern den Ausleihpreis.

    Lösung

    Nun betrachten wir das Problem gemeinsam. Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Preis von ein Paar Skiern: $225$ Fischis
    • Rabatt: $45\%$
    • Mehrwertsteuer: $8\%$
    Zunächst müssen wir herausfinden, wie vielen Fischis ein Rabatt von $45\%$ entspricht. Beachte, dass das Prozentzeichen bedeutet, dass du durch $100$ teilen musst. Es ergibt sich folgende Berechnung:

    $225\cdot 45\%=225\cdot \frac{45}{100}=101,25$.

    Dieser Betrag entspricht dem Preisnachlass, den man beim Ausleihen von ein Paar Skiern erhält. Also muss dieser von dem eigentlichen Preis für ein Paar Skier abgezogen werden:

    $225-101,25=123,75$.

    Die Mehrwertsteuer von $8\%$ wird auf den Ausleihpreis nach Abzug des Preisnachlasses berechnet. Also folgt:

    $123,75\cdot 8\%=123,75\cdot \frac8{100}=9,90$.

    Zudem erhöhen Steuern den Ausleihpreis. Also muss dieser Betrag auf den Preis von $123,75$ Fischis draufgerechnet werden:

    $123,75+9,90=133,65$.

    Jutta die Yetidame muss also $133,65$ Fischis für das Ausleihen von ein Paar Skiern ausgeben.

  • Gib die Prozentzahlen als Dezimalzahl an.

    Tipps

    Das Prozentzeichen $\%$ hinter einem Wert besagt, dass dieser Wert mit $\frac{1}{100}$ multipliziert wird.

    Alternativ kannst du den Wert auch durch $100$ dividieren.

    Wenn du eine Zahl durch $100$ dividierst, so verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links.

    Lösung

    Das Prozentzeichen $\%$ hinter einem Wert besagt, dass dieser Wert mit $\frac{1}{100}$ multipliziert wird. Also müssen wir die gegebenen Prozentzahlen durch $100$ teilen um auf die gesuchte Dezimalzahl zu kommen. Wenn du eine Zahl durch $100$ dividierst, so verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links. Wir erhalten folgende Dezimalzahlen:

    • $22\%=22\cdot\frac{1}{100}=0,22$
    • $215\%=215\cdot\frac{1}{100}=2,15$
    • $14\%=14\cdot\frac{1}{100}=0,14$
    • $0,2\%=0,2\cdot\frac{1}{100}=0,002$
    Die anderen beiden Dezimalzahlen können wir durch Multiplikation mit der $100\%$ in ihre Prozentzahlen umwandeln. Wenn du eine Zahl mit der $100$ multiplizierst, so verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach rechts. Wir erhalten:

    • $2,02\cdot 100\%=202\%$
    • $0,022\cdot 100\%=2,2\%$
  • Berechne auf eine geschickte Weise den Preis für ein Paar Pinguin-Skier.

    Tipps

    Das Prozentzeichen $\%$ entspricht $\frac{1}{100}$.

    Der Grundwert entspricht $100\%$. Wenn der Preisnachlass einem Rabatt von $45\%$ entspricht, so entspricht der zu zahlende Betrag einem Anteil von $100\% - 45\%$.

    Die Mehrwertsteuer erhöht den zu zahlenden Betrag. Der Preis inklusive Mehrwertsteuer entspricht also einem Anteil von $100\%+8\%$.

    Lösung

    Folgende Berechnung ist gegeben:

    $ \begin{array}{lll} 225\cdot 45\% &=& 101,25 \\ 225-101,25 &=& 123,75 \\ 123,75\cdot 8\% &=& 9,90 \\ 123,75+9,90 &=& 133,65 \end{array} $

    Betrachten wir zunächst die ersten beiden Zeilen:

    $ \begin{array}{lll} 225\cdot 45\% &=& 101,25 \\ 225-101,25 &=& 123,75 \end{array} $

    Hier wird zunächst der Preisnachlass von $101,25$ berechnet und anschließend von dem ursprünglichen Preis $225$ abgezogen. Das Resultat von $123,75$ entspricht dem Anteil von $100\%-45\%=55\%$. Wir können also auch wie folgt rechnen:

    $225\cdot 55\% =225\cdot\frac{55}{100}= 123,75$.

    Nun betrachten wir die nächsten beiden Zeilen:

    $ \begin{array}{lll} 123,75\cdot 8\% &=& 9,90 \\ 123,75+9,90 &=& 133,65 \end{array} $

    Wir erkennen, dass im ersten Schritt der Anteil von $8\%$ berechnet und anschließend auf den Betrag von $123,75$ addiert wird. Auch hier können wir eine Zeile sparen. Da die Steuern eine Erhöhung des Preises verursachen, müssen wir den Anteil $100\%+8\%=108\%$ von $123,75$ berechnen. Es folgt:

    $123,75\cdot 108\% =123,75\cdot\frac{108}{100}= 133,65$.

    Somit haben wir zwei Zeilen von Juttas Rechnung gespart.

  • Ermittle den Preis zuzüglich Mehrwertsteuer.

    Tipps

    Inklusive Mehrwertsteuer bedeutet, dass die Mehrwertsteuer bereits in dem Preis enthalten ist.

    Zuzüglich Mehrwertsteuer bedeutet, dass die Mehrwertsteuer zum angegebenen Preis noch hinzugerechnet werden muss.

    Der Preis inklusive Mehrwertsteuer entspricht $119\%$.

    Verwende die Prozentformel:

    • $\frac{W}{G}=p\%$.
    Dabei ist entspricht der Grundwert einem Anteil von $100\%$ und der Prozentwert einem Anteil von $119\%$.

    Lösung

    Gegeben ist der Verkaufspreis eines Laptops inklusive Mehrwertsteuer:

    • Preis inkl. MwSt.: $1428\ €$
    • Mehrwertsteuer: $19\%$
    Außerdem gilt die Prozentformel:

    • $\frac{W}{G}=p\%$
    Gesucht ist der Preis zuzüglich Mehrwertsteuer. Der angegebene Verkaufspreis enthält bereits die Mehrwertsteuer und entspricht somit $119\%$. Wir möchten also wissen, wie groß der Grundwert ist, welcher einem prozentualen Anteil von $100\%$ entspricht. Wir rechnen:

    $ \begin{array}{lll} G &=& \frac{W}{p\%} \\ G &=& \frac{W\cdot 100}{p} \\ G &=& \frac{1428\cdot 100}{119} \\ G &=& 1200 \end{array} $

  • Bestimme auf geschickte Weise den gesuchten Prozentwert.

    Tipps

    Die Prozentformel lautet:

    $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$.

    Wie wir wissen gilt $\% =\frac{1}{100}$. Somit kann die Formel auch wie folgt aufgestellt werden:

    $\frac{W}{G}=p\%$.

    Die Größen in der Prozentformel lauten wie folgt:

    $W$: Prozentwert
    $G$: Grundwert
    $p$: Prozentzahl

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Gesamtmenge an Tomaten: $200\ \text{kg}$
    • prozentualer Anteil verkaufter Tomaten: $75\%$
    Außerdem gilt folgende Beziehung:

    • $\frac{W}{G}=p\%$.
    Gesucht ist der prozentuale Anteil der verbliebenen Tomaten von der Gesamtmenge. Die Gesamtmenge von $200\ \text{kg}$ Tomaten entspricht $100\%$. Herr Frucht hat $75\%$ seiner Tomaten verkauft. Somit ergibt sich für die die verbliebene Menge an Tomaten $100\% -75\%=25\%$. Wir rechnen also mit folgenden Größen:

    • $G=200\ \text{kg}$
    • $p=25$
    Somit erhalten wir:

    $ \begin{array}{lll} W &=& G\cdot p\% \\ W &=& 200\cdot 25\% \\ W &=& 200\cdot \frac{25}{100} \\ W &=& 50 \end{array} $

  • Ermittle durch geschicktes Rechnen den gesuchten Prozentwert.

    Tipps

    Der prozentuale Anteil des verbleibenden Gewichts an Kaffee wird wie folgt bestimmt:

    • $100\% -$ prozentualer Anteil des abgenommenen Gewichts.

    Rechne mit der Prozentformel:

    • $\frac{W}{G}=p\%$.
    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • ursprüngliches Gewicht an Kaffee: $50\ \text{kg}$,
    • prozentualer Anteil des abnehmenden Gewichts an Kaffee: $18\%$.
    Außerdem rechnen wir mit den Beziehung:

    • $\frac{W}{G}=p\%$.
    Das ursprüngliche Gewicht von $50\ \text{kg}$ entspricht $100\%$. Davon geht beim Rösten $18\%$ verloren. Der prozentuale Anteil, der nach dem Rösten erhalten bleibt, entspricht somit $100\% -18\%=82\%$.

    Somit erhalten wir folgende Rechnung:

    $ \begin{array}{lll} W &=& G\cdot p\% \\ W &=& 50\cdot 82\% \\ W &=& 50\cdot 82\cdot \frac{1}{100} \\ W &=& 41 \end{array} $