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Prozentrechnungen veranschaulichen 06:37 min

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Transkript Prozentrechnungen veranschaulichen

Jeden Abend gehen drei Waschbärenbrüder auf Futtersuche. Bruno, Benni und Bonsai sind dabei äußerst wählerisch. Sie haben strenge Regeln, was sie fressen und was nicht. Um ihre äh, Einkäufe zu sortieren, wollen die Brüder Prozentrechnungen mithilfe von Diagrammen veranschaulichen. Wieder zuhause beginnen sie ihre Beute zu sortieren. Bruno ist eine Naschkatze und mag nur süße Lebensmittel. Er hat insgesamt 60 Artikel eingesammelt, von denen 18 süß sind. Wieviel Prozent seiner Artikel wird er essen? Diese Aufgabe beinhaltet drei Bestandteile: den Grundwert, den Prozentwert und die Prozentzahl. Wenn du zwei dieser Bestandteile kennst, kannst du stets den dritten herausfinden. Die 60 Artikel, die Bruno gesammelt hat, sind in diesem Beispiel der Grundwert. Das ist die Gesamtzahl der Artikel. Wir interessieren uns für die süßen Artikel - das sind 18 Stück. Diese 18 Artikel sind der Prozentwert. Was ist dann aber die Prozentzahl? Eine Prozentzahl zeigt an, welchen Prozentwert man hätte, wenn der Grundwert 100 wäre. Man kann sie also als Verhältnis von Prozentzahl geteilt durch 100 ausdrücken und dieses Verhältnis ist gleich dem Verhältnis von Prozentwert geteilt durch Grundwert. In unserem Beispiel sind der Grundwert und der Prozentwert bekannt, gesucht ist die Prozentzahl. Mit einer Doppelleiste können wir das veranschaulichen und die Prozentzahl finden. Eine Doppelleiste zeigt verschiedene Wertepaare, die alle identische Verhältnisse haben. Die untere Zahlenleiste steht für den Grundwert, die obere für den Prozentwert. Wir möchten den Prozentwert für den Grundwert von 100 herausfinden. Denn der entspricht der Prozentzahl. Zunächst unterteilen wir die untere Leiste in Abschnitte, die sowohl 60 als auch 100 als Vielfaches haben. Nehmen wir also Abschnitte von 20, da sowohl 60 als auch 100 Vielfache von 20 sind. Wir könnten auch Abschnitte von 10 oder 5 wählen. Wir wissen Folgendes: Bei einem Grundwert von 60 ist der Prozentwert gleich 18. Und bei einem Grundwert von 0 ist der Prozentwert gleich 0. Die obere Leiste müssen wir also in Abschnitte teilen, von denen 18 ein Vielfaches ist. Da es bis zur 18 drei Abschnitte sind teilen wir 18 durch 3 und finden so heraus, dass jeder Abschnitt einen Wert von 6 haben muss. Wir unterteilen die obere Leiste also in Abschnitte von 6. So erhalten wir einen Prozentwert von 30 bei einem Grundwert von 100. Und das entspricht einer Prozentzahl von 30. Von Brunos Artikeln sind also 30 Prozent süß. Zuckerschock im Anmarsch! Der zweite Bruder, Benni, frisst ausschließlich rote Lebensmittel. Benni hat 40 Artikel gesammelt, von denen 30 Prozent rot sind. Wieder kennen wir zwei Bestandteile und können also den dritten herausfinden. Wir kennen den Grundwert: 40 Artikel. Wir kennen auch die Prozentzahl: 30. Was uns fehlt, ist der Prozentwert. In diesem Beispiel gibt der Prozentwert an, wie viele von Bennis Artikeln rot sind. Diese Aufgabe können wir mit einem 10-mal-10-Gitter veranschaulichen, das für den Grundwert steht. Verteilen wir unsere 40 Artikel gleichmäßig auf die 100 Felder des Gitters. Wie viele Artikel auf jedes Feld kommen, können wir bestimmen, indem wir 40 durch 100 teilen. So finden wir heraus, dass auf jedes Feld 0,4 Artikel kommen. Da das Gitter 100 Felder besitzt, stehen 30 Felder für einen Prozentwert von 30 bei einem Grundwert von 100. Das sind also 30 Prozent. Um den Prozentwert für einen Grundwert von 40 herauszufinden, müssen wir bestimmen, wie viele Artikel sich insgesamt in diesen 30 Feldern befinden. Wenn wir die Artikel in den 30 Feldern addieren oder 30 mal 0,4 rechnen, erhalten wir 12 Artikel. Wir wissen also, dass 12 von Bennis 40 Artikeln rot sind. Bonsai ist Veganer. Er weigert sich, tierische Produkte zu fressen nicht einmal Lederschuhe. 70 Prozent von Bonsais Artikeln sind vegan und er hat 14 vegane Artikel gesammelt. In diesem Fall kennen wir also die Prozentzahl, nämlich 70, und den Prozentwert, nämlich 14 vegane Artikel. Aber Bonsai hat offenbar vergessen, wie viele Artikel er insgesamt gesammelt hat. Kein Problem, Bonsai. Da wir zwei Bestandteile kennen, können wir den dritten finden, den Grundwert. Veranschaulichen wir diese Aufgabe mit einem Streifendiagramm. Wir zeichnen ein Diagramm und wollen es nun in gleich große Teile aufteilen. Grundsätzlich können wir das Diagramm aufteilen, wie wir wollen, solange wir gleich große Teile herausbekommen. Für unser Beispiel teilen wir es am besten in 10 gleich große Teile, wobei jeder Teil für 10 Prozent steht. Dann färben wir 7 dieser Teile, um 70 Prozent darzustellen. Der farbige Bereich des Diagramms repräsentiert Bonsais 14 vegane Artikel. Für wie viele Artikel steht aber jeder einzelne Teil? 14 Artikel, die gleichmäßig in 7 Teile geteilt werden, bedeuten 2 Artikel je Teil. Wenn wir alle Artikel in jedem Teil zusammenzählen, erhalten wir 10 mal 2 Artikel, also 20 Artikel insgesamt. Und das ist der Grundwert. Bonsai hat also insgesamt 20 Artikel eingesammelt. Wir haben gelernt, dass bei Prozentaufgaben drei Bestandteile wichtig sind: der Prozentwert, der Grundwert und die Prozentzahl. Und wenn wir zwei dieser Bestandteile kennen, können wir den dritten berechnen. Wir können Prozentaufgaben mit verschiedenen Hilfsmitteln veranschaulichen und lösen, zum Beispiel mit einer Doppelleiste, einem 10-mal-10-Gitternetz oder einem Streifendiagramm. Du kannst das Hilfsmittel benutzen, das für dich am anschaulichsten ist. Schau an, Bonsai hat einen roten, veganen, süßen Karamellapfel eingesammelt. Da hätte er lieber seinen Anteil rausrücken sollen.

6 Kommentare
  1. Es ist sehr kompliziert dargestellt. Für uns war das Video nix...

    Von Niewiadomski477, vor 7 Monaten
  2. Hallo Lorenzo, zu diesen Begriffen gibt es recht viel Verwirrung. Häufig gilt als Prozentsatz der Anteil, entweder als Dezimalzahl oder in Prozentschreibweise. Als Prozentzahl gilt die Zahl im Prozentsatz, also die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz wären z.B. 20% oder 0,2, die Prozentzahl dann die Zahl vor dem Prozentzeichen, also 20.
    So ist es auch in diesem Video dargestellt. Es gibt dabei aber auch andere Darstellungen. Wichtig ist der Prozentsatz, denn er gibt den Anteil wieder. Im Ernstfall kannst du auch nochmal deinen Lehrer fragen, wie er es gerne möchte. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 8 Monaten
  3. Mein lehrer zu mir gesagt das es Prozentsatz heisst und nicht prozentzahl

    Von Lorenzo P., vor 8 Monaten
  4. Hab es verstanden.

    Von Jeannettehaenisch, vor 9 Monaten
  5. Hallo B Piller,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor 10 Monaten
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Prozentrechnungen veranschaulichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnungen veranschaulichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die richtigen Aussagen zur Prozentzahl.

    Tipps

    $70\%$ von $60$ sind $\frac{70}{100} \cdot 60 = 42$.

    $65$ von $130$ sind $50\%$, aber $\frac{65}{130} \neq 50$.

    Um die Prozentzahl auszurechnen, musst du das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert auf den Grundwert $100$ beziehen.

    Lösung

    Die Prozentzahl ist dasselbe wie der Prozentwert zum Grundwert mal $100$. Um die Prozentzahl auszurechnen, kannst du das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert bestimmen. Dieses Verhältnis ist dasselbe wie das Verhältnis der Prozentzahl zu $100$. Die Prozentzahl bekommst du also heraus, indem du das Verhältnis mit $100$ multiplizierst.

    Es gilt also:

    $\dfrac{\text{Prozentzahl}}{100} = \dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Es gilt: $\dfrac{\text{Prozentzahl}}{100} = \dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$
    • $GW=40$, $PZ=30$
    $\Rightarrow PW=12$

    • $PZ=70$, $PW= 14$ $\Rightarrow GW=20$
    • Sind Prozentwert und Prozentzahl gegeben, so kann ein Streifendiagramm helfen, um den Grundwert zu ermitteln.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • $GW = 60$, $PW =18$ $\Rightarrow PZ = 20$
    Korrekt wäre hier:

    $PZ = 6$, da $PZ= \dfrac{PW}{GW} \cdot 100 = \dfrac{18}{60} \cdot 100 = 30$

    Somit sind $18$ von $60$ gleich $30\%$.

    • Kennst du nur eine Größe, so kannst du beide anderen Größen berechnen.
    Mit zwei bekannten Größen kannst du die dritte Größe berechnen. Eine bekannte Größe reicht nicht aus.

  • Bestimme die Prozentzahl.

    Tipps

    Der Grundwert ist die Anzahl der Artikel, von denen Bruno den Anteil der süßen Artikel ausrechnen will.

    Auf der Doppelleiste werden die zueinander gehörigen Grund- und Prozentwerte übereinander eingetragen.

    Zu dem Grundwert $60$ gehört der Prozentwert $18$. Der Prozentwert zu dem Grundwert $100$ ist die Prozentzahl.

    Lösung

    Brunos hat $60$ Artikel gesammelt, $18$ davon sind nach seinem Geschmack. Hier ist $60$ der Grundwert und $18$ der Prozentwert. Bruno rechnet die Prozentzahl aus, indem er das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert auf den Grundwert $100$ bezieht. Bruno veranschaulicht sich die Rechnung mit einer Doppelleiste. Die obere Leiste steht für den Prozentwert, die untere für den Grundwert.

    Bruno unterteilt die untere Leiste in Abschnitte, die sowohl $60$ als auch $100$ als Vielfache haben, z. B. in Abschnitte von $10$ oder $20$. Er weiß, dass der Grundwert von $60$ auf der unteren Leiste dem Prozentwert von $18$ auf der oberen Leiste entspricht. Die obere Leiste muss Bruno in gleich große Abschnitte aufteilen. Bis zur $18$ sind es drei Abschnitte, daher hat jeder Abschnitt den Wert $6$. Die gesuchte Prozentzahl kann Bruno nun auf der oberen Leiste an der Stelle ablesen, an der auf der unteren Leiste der Grundwert $100$ steht: Sie beträgt $30$.

  • Ordne die zueinander passenden Werte zu.

    Tipps

    Verwende z. B. ein $10\times 10$-Gitter, um zu gegebenem Grundwert und Prozentzahl den Prozentwert auszurechnen.

    Zu dem Grundwert $120$ und dem Prozentwert $90$ bestimmst du die Prozentzahl mit einer Doppelleiste: Du teilst die untere Leiste in $6$ Abschnitte von $20$, da sowohl $100$ als auch $120$ ein Vielfaches von $20$ ist. An der Stelle des Grundwertes $120$ unten steht oben der Prozentwert $90$. Dem Grundwert $100$ entspricht dann $\frac{5}{6}$ von $90$, also $75$.

    Wenn die Prozentzahl kleiner ist als $100$, dann ist der Prozenzwert kleiner als der Grundwert.

    Lösung

    Für die drei Größen Grundwert, Prozentwert und Prozentzahl gilt immer die Gleichung:

    $\frac{\text{Prozentzahl}}{100} = \frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$

    Du kannst die Gleichung nach jeder der drei Größen auflösen. Dann erhältst du eine Formel, mit der du die dritte Größe aus den beiden anderen ausrechnen kannst.

    Veranschaulichen kannst du die Rechnung auch mittels einer Doppelleiste wie in dem 2. Tipp bzw. mit einem $10\times 10$-Gitter wie hier.

    Zu dem Grundwert $150$ und der Prozentzahl $60$ ist der Prozentwert gesucht. Du bestimmst in dem $10\times 10$-Gitter den Wert eines Kästchens: $150 : 100 = 1,5$. Nun bestimmst du den Wert von $60$ Kästchen: $60 \cdot 1,5 = 90$. Der gesuchte Prozentwert ist also $90$.

    Wenn du alle Veranschaulichungen und Rechnungen richtig durchführst, kommst du auf folgende Zuordnung:

    • Zu dem Grundwert $150$ und der Prozentzahl $60$ gehört der Prozentwert $90$, denn $150 \cdot \frac{60}{90} = 90$.
    • Für den Prozentwert $56$ und den Grundwert $200$ finden wir die Prozentzahl $28$, denn $\frac{56}{200} = \frac{28}{100}$.
    • Die Prozentzahl $56$ liefert bei dem Grundwert $200$ den Prozentwert $112$, denn $\frac{56}{100} \cdot 200 =112$.
    • Bei einem Prozentwert von $90$ und dem Grundwert $200$ kommen wir auf die Prozentzahl $45$, denn $\frac{90}{200} \cdot 100 = 45$.
  • Erschließe zu jedem Grundwert die passenden Prozentwerte und Prozentzahlen.

    Tipps

    Den Grundwert kannst Du ausrechnen, indem Du das Verhältnis aus Prozentwert und Prozentzahl mit $100$ multipizierst.

    Zu dem Prozentwert $52,5$ und der Prozentzahl $75$ gehört der Grundwert $\frac{52,5}{75} \cdot 100 = 70$.

    Lösung

    Du kannst die Aufgabe auf verschiedene Weisen lösen. Am einfachsten ist es, zu den gegebenen Paaren von Prozentwert und Prozentzahl jeweils den Grundwert auszurechnen. Die Rechnung kannst du mit Hilfe eines Streifendiagramms veranschaulichen.

    Das hier abgebildete Streifendiagramm passt zu dem Paar:

    $~\text{PZ} = 12~\\~\text{PW} = 18~$

    Der größte gemeinsame Teiler der Prozentzahl $12$ mit $100$ ist $4$, daher haben wir ein Streifendiagramm mit $25$ Streifen gewählt, die jeweils $100\% : 25 = 4\%$ entsprechen.

    Die Prozentzahl $12$ entspricht dann drei Streifen, denn $12\% = 3 \cdot 4\%$. Der Prozentwert zu der Prozentzahl $12$ ist $18$. Jedem einzelnen Streifen entspricht also der Wert $18:3 = 6$. Den Grundwert erhältst du, indem du den Wert eines Streifens mit der Anzahl der Streifen multiplizierst:

    $\text{GW} = 25 \cdot 6 = 150$.

    Wenn du auf diese Weise die Grundwerte bestimmst, findest du folgende Zuordnung:

    Grundwert 120:

    • $\text{PZ} = 12$, $\text{PW} = 14,4$
    • $\text{PZ} = 15$, $\text{PW} = 18$
    • $\text{PW} = 114$, $\text{PZ} = 95$
    Grundwert 150:

    • $\text{PW} = 8,4$, $\text{PZ} = 5,6$
    • $\text{PZ} = 12$, $\text{PW} = 18$
    • $\text{PZ} = 75$, $\text{PW} =112,5$
    Grundwert 24:

    • $\text{PW} =12$, $\text{PZ} = 50$
    • $\text{PZ} = 75$, $\text{PW} = 18$
    • $\text{PZ} = 20$, $\text{PW} = 4,8$
    Grundwert 560:

    • $\text{PW} = 8,4$, $\text{PZ} = 1,5$
    • $\text{PW} = 28$, $\text{PZ} = 5$
    • $\text{PW} = 112$, $\text{PZ} = 20$
  • Gib an, wie man den Prozentwert bestimmt.

    Tipps

    Jedes Kästchen im Gitter steht für einen eigenen Prozentpunkt.

    Die Prozentzahl ist ein Maß für den Anteil, sie bezieht sich immer auf den Grundwert $100$.

    $40\%$ von $700$ Kirschen:

    $\text{Prozentzahl} = 40$

    $\text{Grundwert} = 700$

    $\dfrac{700 ~\text{Kirschen}}{100~\text{Felder}} = 7~\text{Kirschen pro Feld}$

    $40$ Felder werden ausgefüllt: $40 ~ \text{Felder} \cdot 7~\text{Kirschen pro Feld} = 280 ~\text{Kirschen}$

    $40\%$ von $700$ Kirschen sind somit $280$ Kirschen.

    Lösung

    Der wählerische Benni frisst nur Rotes. Insgesamt $40$ Artikel hat er erbeutet, d.h. der Grundwert seiner Ausbeute ist $40$. Den Anteil der roten Artikel kann Benni durch die Prozentzahl oder den Prozentwert ausdrücken. Benni weiß, dass die roten Artikel $30\%$ seiner Ausbeute ausmachen, d.h. die Prozentzahl ist hier $30$ (und nicht etwa $30\%$). Um dazu den Prozentwert auszurechnen, muss Benni die Zahl finden, die zu $40$ im selben Verhältnis steht wie $30$ zu $100$.

    Benni veranschaulicht sich die Aufgabe mit einem Gitter aus $10 \times 10$ Kästchen. Der Wert jedes Kästchens ist $\frac{1}{100}$ des Grundwertes also $40:100 = 0,4$. Den Prozentwert bestimmt Benni nun, indem er die Prozentzahl $30$ mit dem Wert eines Kästchens multipliziert:

    $0,4 \cdot 30 = 12$

    Die $30\%$ roten Artikel von Bennis $40$ Beutestücken sind also $12$ Artikel.

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Die Hälfte von der Hälfte ist viel weniger als die Hälfte vom Ganzen.

    Lösung

    Der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe ist die Berechnung der jeweils fehlenden Größe. Du kannst dazu z. B. die Gleichung:

    $\frac{\text{Prozentzahl}}{100} = \frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$

    verwenden oder die Prozentrechnung mittels einer Doppelleiste, eines $10 \times 10$-Gitters oder eines Streifendiagramms veranschaulichen. Damit kommst du auf Folgendes:

    Falsch sind diese Beschreibungen:

    • „Benno hat in $75\%$ der Klausuren dieses Halbjahrs mehr als die Hälfte der möglichen Punkte bekommen. Das sind in der Summe mehr als die Hälfte aller möglichen Punkte dieses Halbjahres.“ Ob Benno wirklich die Hälfte aller möglichen Punkte erlangt hat, hängt u.a. davon ab, wieviel mehr als die Hälfte der Punkte er in den einzelnen Klausuren bekommen hat. Sicher wissen wir nur, dass er $75\%$ von (mindestens) der Hälfte der möglichen Punkte hat. Das ist aber nicht notwendig mehr als die Hälfte aller möglichen Punkte. Ein Beispiel: Benno hat in $3$ von $4$ Klausuren jeweils $6$ von $10$ Punkten bekommen. Das sind mindestens $3 \cdot 6 = 18$ Punkte, also weniger als die Hälfte von $4 \cdot 10 = 40$ insgesamt möglichen Punkten.
    • „Die siebte Klasse sät Blumen im Schulgarten. Aus $55\%$ der Samen wachsen Frühblüher, aus weiteren $30\%$ winterfeste Blumen. Wenn alle Samen aufgehen, wachsen daraus $750$ Blumen. Davon sind mehr als $120$ weder Frühblüher noch winterfest.“ Der Anteil der Blumen, die weder Frühblüher noch winterfest sind, beträgt $100\% - 55\% - 30\% = 15\%$. Aber $15\%$ von $750$ sind $750 \cdot 0,15 = 112,5$. Der Anteil liegt also bei weniger als $113$ Pflanzen.
    Richtig sind folgende Beschreibungen:

    • „Maria und Gustav sammeln mit ihren Großeltern zusammen Ostereier; Greta sammelt allein. $70\%$ der $128$ gemeinsam gesammelten Ostereier stehen Maria und Gustav zu. Das sind mehr als die $84$ Eier, die Greta allein gefunden hat.“ Der Anteil von Maria und Gustav beträgt $70\%$ von $128$ Ostereiern, das sind $128 \cdot 0,7 = 89,6$. Auch wenn die Nachkommastelle bei der Ostereier-Aufteilung Schwierigkeiten bereitet, bekommen Maria und Gustav mehr als die $84$ Eier, die Greta gefunden hat.
    • „Simon will die Anzahl der Tauben in einem Taubenschlag bestimmen. Er weiß nur: Sieben Tauben sind mehr als die Hälfte und $90\%$ der Gesamtzahl sind nicht weniger als elf Tauben. Nach kurzer Überlegung kommt Simon darauf: Es müssen $13$ Tauben sein.“ Simon hat folgendes überlegt: Damit sieben Tauben mehr als die Hälfte sind, können höchstens $13$ Tauben in dem Taubenschlag sein. Denn bei $14$ Tauben wären sieben Tauben genau die Hälfte und bei mehr als $14$ Tauben wären sieben Tauben weniger als die Hälfte. Außerdem sollen $90\%$ nicht weniger als $11$ Tauben sein. Prüfen wir also die Taubenzahlen von $13$ abwärts: $90\%$ von $13$ sind $11,7$. Da wir nur in ganzen Tauben rechnen, sind das mehr als $11$. Rechnen wir $90\%$ von $12$ aus, so kommen wir auf $12 \cdot 0,9 = 11,8$, also weniger als $11$. Mit anderen Worten: Um die $90\%$-Bedingung zu erfüllen, müssen mindestens $13$ Tauben in dem Taubenschlag sein. Höchstens $13$ und mindestens $13$ Tauben führt auf genau $13$.