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Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag 06:36 min

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Transkript Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag

Marty ist Inhaber von Martys Musikmanege. Hier verkauft er hervorragende Instrumente zu fairen Preisen. Beim Aufräumen hat Marty einige alte Instrumente gefunden, die eingelagert und dann vergessen worden waren. Die Gitarre hat auch schon bessere Tage gesehen, aber auf dem Saxophon ist ein Autogramm von William Clinton! Marty hat schon mehr als genug Gitarren im Angebot, darum will er die hier so schnell wie möglich verkaufen. Das Saxophon aber ist einzigartig und sehr wertvoll. Da diese Produkte nicht zu seinem üblichen Angebot gehören, weiß Marty nicht genau, wie viel er dafür verlangen soll. Um vernünftige Preise zu kalkulieren, muss er sich mit Aufschlägen und Rabatten, also mit Prozentrechnung beschäftigen. Was aber sind Aufschläge und Rabatte? Schauen wir uns das genauer an. Unseren Startpunkt nennen wir Ursprungspreis. Von dort aus kann Marty den Preis entweder erhöhen oder reduzieren. Wenn er den Preis erhöht, nennt man den Wert, um den er den Preis erhöht, einen Aufschlag. Den Aufschlag kann man entweder als Geldbetrag angeben, zum Beispiel 80 Euro, oder als Prozentsatz, zum Beispiel 10 Prozent. Mit dem Ursprungspreis und dem Aufschlag können wir den Verkaufspreis berechnen. Da das Saxophon ziemlich wertvoll ist, möchte Marty den Preis erhöhen, ihm also einen Aufschlag geben. Wenn er den Preis reduziert, nennt man das einen Rabatt. Auch den Rabatt kann man als Geldbetrag oder als Prozentsatz angeben. Mit dem Ursprungspreis und dem Rabatt können wir den Verkaufspreis berechnen. Da die Gitarre auch schon bessere Tage gesehen hat, will Marty den Preis reduzieren, also einen Rabatt geben. Beginnen wir mit der alten Gitarre. Eine Gitarre dieser Art kostet normalerweise 200 Euro. Das wäre also der Ursprungspreis. Da die Gitarre nur noch drei Saiten hat, möchte Marty darauf einen Rabatt von 25 Prozent geben. Wie hoch ist also der Verkaufspreis? In der Prozentrechnung nennt man einen Anteil von einem Ganzen den Prozentwert. Man errechnet ihn, indem man einen Prozentsatz mit diesem Ganzen, dem sogenannten Grundwert, multipliziert. Der Verkaufspreis ist also gleich 'einem Prozentsatz mal dem Ursprungspreis'. Der Ursprungspreis beträgt für die Gitarre 200 Euro. Mit welchem Prozentsatz müssen wir diese 200 Euro multiplizieren, wenn Marty 25 Prozent Rabatt gibt? Man nimmt 100 Prozent minus den Rabatt, also 25 Prozent, und erhält 75 Prozent oder 0,75. Bevor wir den Verkaufspreis berechnen, notieren wir uns noch rasch die Formel. Der Verkaufspreis ist gleich 'einem Prozentsatz MAL dem Ursprungspreis'. Und dieser Prozentsatz entspricht 100 Prozent minus dem Rabatt in Prozent. Es ist einfacher, wenn man die Prozentsätze als Dezimalzahlen schreibt. 100 Prozent wäre dann 1. Und auch den Rabatt musst du dann als Dezimalzahl schreiben. Welchen Verkaufspreis hat die Gitarre also? 150 Euro - ziemlich günstig für solch ein Liebhaberstück. Zeit, einen Preis für das wundervolle Saxophon mit der Unterschrift von William Clinton festzulegen. So ein Saxophon kostet normalerweise 500 Euro. Das ist also der Ursprungspreis. Dank des Autogramms kann Marty aber 35 Prozent aufschlagen. Können wir die Rabatt-Formel von eben so anpassen, dass sich damit ein Aufschlag berechnen lässt? Da wir den Preis erhöhen wollen, müssen wir den Aufschlag zu 1 addieren, statt ihn wie zuvor zu subtrahieren. Der Ursprungspreis des Saxophons ist 500 Euro und der Aufschlag beträgt 35 Prozent oder 0,35. Der Verkaufspreis dieses fantastischen Saxophons beträgt also 675 Euro. Als Marty das Saxophon auf Hochglanz bringt, bemerkt er, dass es sich um ein sehr seltenes King Super Twenty von 1946 handelt. Für solch ungemein seltene Instrumente schlägt Marty üblicherweise 20 Prozent auf. Um den neuen Verkaufspreis zu berechnen, müssen wir 20 Prozent auf den gegenwärtigen Verkaufspreis aufschlagen. Wir müssen also den Preis von 675 Euro um 20 Prozent erhöhen. Wir benutzen wieder die Aufschlagsformel, der Grundwert ist aber nun der Verkaufspreis, nicht mehr der Ursprungspreis. Unser neuer Verkaufspreis ist also: Klammer auf '1 + 0,2' Klammer zu mal 675. Also haben wir jetzt einen Verkaufspreis von 810 Euro. Ziemlich teuer, aber das ist auch ein fantastisches Instrument! Jetzt muss Marty das Saxophon nur noch prominent in seinem Laden platzieren, sodass seine Kunden es bewundern können. Wiederholen wir noch mal die Rechnungen, die wir genutzt haben, um den Preis des Saxophons zu erhöhen und den der Gitarre zu reduzieren. Bei einem Rabatt berechnen wir eine Reduzierung eines Ursprungspreises um einen bestimmten Prozentsatz. Den Verkaufspreis nach einer Rabattierung berechnen wir mit 1 minus dem Rabatt in Dezimalform mal dem Ursprungspreis. Bei einem Aufschlag berechnen wir eine Erhöhung eines Ursprungspreises um einen bestimmten Prozentsatz. Den Verkaufspreis nach einem Aufschlag berechnen wir mit 1 plus dem Aufschlag in Dezimalform mal dem Ursprungspreis. Wir können auch einen Preis erhöhen oder reduzieren, den wir schon mal erhöht oder reduziert haben. In diesem Fall wird der zuvor errechnete Verkaufspreis in unserer Rabatt- oder in unserer Aufschlags-Formel zum neuen Ursprungspreis. Als Marty das Saxophon und die Gitarre in seiner Auslage platziert hat, betritt plötzlich die Blues-Legende Fingerbluter Felix den Laden. Er schnappt sich die alte Gitarre und legt los Mann, klingt das großartig. Wow! Jeder will die Gitarre kaufen, niemand interessiert sich für das Saxophon. Wie es aussieht, hat Marty für das falsche Instrument den Preis erhöht.

4 Kommentare
  1. @Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow GANZ DEINER MEINUNG! Ihr seit mit einem uneinholbaren Vorsprung das beste Team

    Von Deinem Vater, vor 3 Monaten
  2. Das ist das beste Video, dass ich bis jetzt hier in Sofatutor gesehen hab!!! Ich hab das mit Aufschlag und Rabatt nie richtig verstanden und jetzt merke ich erst, dass es eigentlich ganz einfach ist :-) Ein großes Lob an Team Digital! So macht lernen wirklich Spaß auch wenn das logisch gesehen gar nicht geht ;-) Danke!!!

    Von Ejumpertz Jumpertz, vor 4 Monaten
  3. Hallo Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow,
    vielen Dank für dein Feedback. Wir freuen uns, dass die Videos so gut bei dir ankommen. Weiterhin viel Spaß beim Lernen!
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 6 Monaten
  4. Ein richtig tolles Video mit gut verständlichen Beispielen. :)
    Ich finde das Team Digital is esch mir riesigen Abstand das beste Team auf ganz Sofatutor. :-)
    Mit den kleinen Geschichten, die ihr euch immer ausdenkt, macht das lernen gleich doppelt so viel Spaß! :D
    Weiter so! ;)

    Von Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow, vor 6 Monaten

Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formeln zur Berechnung des Verkaufspreises an.

    Tipps

    Ein Rabatt reduziert den Ursprungspreis. Ein Aufschlag erhöht den Ursprungspreis.

    Der Startpunkt der Rechnung ist der Ursprungspreis.

    Lösung

    Richtige Aussagen:

    $ \bullet \text{Verkaufspreis} = (100 \% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

    Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Die Reduzierung des Ursprungspreises erfolgt durch die Subtraktion.

    $ \bullet \text{Verkaufspreis} = (100 \% + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} $

    Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Der Aufschlag des Ursprungspreises erfolgt durch die Addition.

    Falsche Aussagen:

    $\bullet \text{Verkaufspreis} = (100 \% - \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

    Begründung: Der Aufschlag wird subtrahiert statt addiert.

    $\bullet \text{Ursprungspreis} = (100 \% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Verkaufspreis}$

    Begründung: Der Ursprungspreis und der Verkaufspreis sind hier vertauscht. Ermittelt werden soll der Verkaufspreis.

    $\bullet \text{Ursprungspreis} = (100 \% - \text{Aufschlag}) \cdot \text{Verkaufspreis}$

    Begründung: Der Ursprungspreis und der Verkaufspreis sind hier vertauscht. Zudem wird der Aufschlag hier subtrahiert statt addiert.

    $\bullet \text{Verkaufspreis} = (100 \% + \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

    Begründung: Der Rabatt wird hier addiert statt subtrahiert. Ein Rabatt hat die Reduzierung des Ursprungspreises zur Folge, weshalb subtrahiert werden muss.

  • Benenne die Bezeichnungen der Formeln.

    Tipps

    Der Verkaufspreis ist der Preis, zu dem ein Produkt verkauft werden soll.

    Aufschläge steigern die Preise.

    Lösung

    Richtige Aussagen:

    $\bullet$ „Der Wert der Erhöhung wird Aufschlag genannt.“

    $\bullet$ „Der Wert der Reduktion eines Preises wird Rabatt genannt. Er kann als Geldbetrag oder als Prozentsatz angegeben werden.“

    $ \bullet$ „Der Verkaufspreis wird durch den Ursprungspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet.“

    Falsche Aussagen:

    $\bullet$ „Der Ursprungspreis ist der Preis, der durch die Erhöhung oder die Reduzierung des Startpunktes ermittelt wird.“

    Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Der Ursprungspreis ist der Startpunkt.

    $\bullet$ „Der Aufschlag kann nur als Prozentsatz angegeben werden.“

    Begründung: Der Aufschlag kann auch als Geldwert angegeben werden.

    $\bullet$ „Der Wert einer Reduktion eines Preises wird Aufschlag genannt.“

    Begründung: Der Wert einer Reduktion ist der Rabatt. Der Aufschlag gibt eine Erhöhung des Preises an.

    $\bullet$ „Der Ursprungspreis wird durch den Verkaufspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet.“

    Begründung: Der Ursprungspreis ist der Startpunkt der Berechnung. Der Verkaufspreis wird durch den Ursprungspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet.

  • Berechne die Verkaufspreise der Gitarre und des Saxophons.

    Tipps

    Beispiel: Ein Rabatt von $40 \%$ wird gegeben. Der Prozentsatz ist demnach: $(100 \% - 40 \% = 60 \%)$

    oder

    $(1 - 0,4) = 0,6$.

    Der Aufschlag wird entweder als Dezimalzahl zu $1$ addiert oder als Prozentzahl zu $100 \%$.

    Lösung

    $\begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& (100 \% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis} \newline \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& (100 \% - 25 \%) \cdot 200 ~ \text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 75 \% \cdot 200 ~ \text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 0,75 \cdot 200 ~\text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 150 ~ \text{€} \newline \end{array}$

    $\begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& (100 \% + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} \newline \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& (100 \% + 35 \%) \cdot 500 ~ \text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 135 \% \cdot 500 ~\text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 1,35 \cdot 500 ~ \text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 675 ~\text{€} \end{array}$

    $\begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 120 \% \cdot 675 ~\text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 1,20 \cdot 675 ~\text{€} \newline \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 810 ~ \text{€} \newline \end{array}$

  • Bestimme die jeweiligen Rabatte und Aufschläge.

    Tipps

    Gesucht werden hier der Aufschlag bzw. der Rabatt. Die bekannten Formeln müssen daher umgestellt werden.

    Beispiel $1$: $\text{Verkaufspreis} = 150 ~\text{€,}~ \text{Ursprungspreis} = 200 ~\text{€}$

    $\begin{array}{rl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \newline ~ &=& \frac{150 ~\text{€}}{200 ~\text{€}} \newline ~ &=& 0,75 \end{array}$

    $\begin{array}{rl} \text{Rabatt} &=& 1 - \text{Prozentsatz} \newline ~ &=& 1 - 0,75 \newline ~ &=& 0,25 \newline ~ &=& 25 \% \end{array}$

    Beispiel $2$: $\text{Verkaufspreis} = 300 ~\text{€,} ~ \text{Ursprungspreis} = 200 ~\text{€}$

    $\begin{array}{rl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \newline ~ &=& \frac{300 ~\text{€}}{200 ~\text{€}} \newline ~ &=& 1,5 \end{array}$

    $\begin{array}{rl} \text{Aufschlag} &=& \text{Prozentsatz} - 1 \newline ~ &=& 1,5 - 1 \newline ~ &=& 0,5 \newline ~ &=& 50 \% \end{array}$

    Lösung

    $1.$

    $\text{Verkaufspreis} = 121,50 ~\text{€,} ~ \text{Ursprungspreis} = 90 ~\text{€}$

    $\begin{array}{rl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \newline ~ &=& \frac{121,50 ~\text{€}}{90 ~\text{€}} \newline ~ &=& 1,35 \end{array}$

    Da der Prozentsatz größer als $1$ ist, handelt es sich um einen Aufschlag:

    $\begin{array}{rl} \text{Aufschlag} &=& (\text{Prozentsatz} - 1) \newline ~ &=& 1,35 - 1 \newline ~ &=& 0,35 \newline ~ &=& 35 \% \end{array}$

    $2.$

    $\text{Verkaufspreis} = 248 ~\text{€,} ~ \text{Ursprungspreis} = 310 ~\text{€}$

    $\begin{array}{rl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \newline ~ &=& \frac{248 ~\text{€}}{310 ~\text{€}} \newline ~ &=& 0,8 \end{array}$

    Da der Prozentsatz kleiner als $1$ ist, handelt es sich um einen Rabatt:

    $\begin{array}{rl} \text{Rabatt} &=& (1 - \text{Prozentsatz}) \newline ~ &=& 1 - 0,8 \newline ~ &=& 0,2 \newline ~ &=& 20 \% \end{array}$

    $3.$

    $\text{Verkaufspreis} = 3,50 ~\text{€,} ~ \text{Ursprungspreis} = 5,00 ~\text{€}$

    $\begin{array}{rl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \newline ~ &=& \frac{3,50 ~\text{€}}{5 ~\text{€}} \newline ~ &=& 0,7 \end{array}$

    Da der Prozentsatz kleiner als $1$ ist, handelt es sich um einen Rabatt:

    $\begin{array}{rl} \text{Rabatt} &=& (1 - \text{Prozentsatz}) \newline ~ &=& 1 - 0,7 \newline ~ &=& 0,3 \newline ~ &=& 30 \% \end{array}$

  • Berechne die Verkaufspreise.

    Tipps

    Beispielrechnung:

    $\text{Ursprungspreis:} ~10~ \text{€,} ~ \text{Rabatt:} ~20\% $

    $\begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis} &=& (100 \% - 20 \%) \cdot 10 ~\text{€} \newline ~ &=& 80 \% \cdot 10 ~ \text{€} \newline ~ &=& 0,8 \cdot 10 ~\text{€} \newline ~ &=& 8 ~\text{€} \end{array}$

    Der Rabatt wird von $100 \%$ subtrahiert, der Aufschlag wir zu $100 \%$ addiert.

    Lösung

    Rabatt: $\text{Ursprungspreis:}~ 35 ~\text{€,}~ \text{Rabatt:} ~10 \%$: \begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis}_{Rabatt} &=& (1 - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis} \newline ~ &=& (100 \% - 10 \%) \cdot 35 ~\text{€} \newline ~ &=& (1 - 0,1) \cdot 35 ~\text{€} \newline ~ &=& 0,9 \cdot 35 ~\text{€} \newline ~ &=& 31,50 ~\text{€} \end{array}

    Aufschlag: $\text{Ursprungspreis:}~ 24 ~\text{€,}~ \text{Aufschlag:} ~55 \%$:

    \begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis}_{Aufschlag} &=& (1 + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} \newline ~ &=& (100 \% + 55 \%) \cdot 24 ~ \text{€} \newline ~ &=& (1 + 0,55) \cdot 24 ~ \text{€} \newline ~ &=& 1,55 \cdot 24~ \text{€} \newline ~ &=& 37,20 ~ \text{€} \end{array} $

  • Ermittle die Verkaufspreise des Fitnessstudios.

    Tipps

    Beispielrechnung: Es wird ein Rabatt von $40 \%$ wird gegeben. Der Prozentsatz ist demnach

    $(100 \% - 40 \%) = 60 \%$.

    Der Prozentsatz kann auch in Dezimalzahlen geschrieben werden:

    $(1 - 0,4) = 0,6$.

    Lösung

    $1. ~ \text{Ursprungspreis} = 20~ \text{€,} ~ \text{Aufschlag} = 30 \% $,

    $\begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 + 0,3) \cdot 20 ~\text{€}\newline ~ &=& 1,3 \cdot 20 ~ \text{€} \newline ~ &=& 26 ~\text{€} \end{array}$

    $3. ~ \text{Ursprungspreis} = 3,50 ~\text{€,} ~ \text{Rabatt} = 40 \%$,

    $\begin{array}{rl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 - 0,4) \cdot 3,50 ~\text{€} \newline ~ &=& 0,6 \cdot 3,50 ~\text{€} \newline ~ &=& 2,10 ~\text{€} \newline \end{array}$