Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag

Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag Übung

• Gib die Formeln zur Berechnung des Verkaufspreises an.

  Tipps

  Ein Rabatt reduziert den Ursprungspreis. Ein Aufschlag erhöht den Ursprungspreis.

  Der Startpunkt der Rechnung ist der Ursprungspreis.

  Lösung

  Richtige Aussagen:

  $ \bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

  Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Die Reduzierung des Ursprungspreises erfolgt durch die Subtraktion.

  $ \bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} $

  Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Der Aufschlag des Ursprungspreises erfolgt durch die Addition.

  Falsche Aussagen:

  $\bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% - \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

  Begründung: Der Aufschlag wird subtrahiert statt addiert.

  $\bullet \text{Ursprungspreis} = (100\,\% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Verkaufspreis}$

  Begründung: Der Ursprungspreis und der Verkaufspreis sind hier vertauscht. Ermittelt werden soll der Verkaufspreis.

  $\bullet \text{Ursprungspreis} = (100\,\% - \text{Aufschlag}) \cdot \text{Verkaufspreis}$

  Begründung: Der Ursprungspreis und der Verkaufspreis sind hier vertauscht. Zudem wird der Aufschlag hier subtrahiert statt addiert.

  $\bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% + \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

  Begründung: Der Rabatt wird hier addiert statt subtrahiert. Ein Rabatt hat die Reduzierung des Ursprungspreises zur Folge, weshalb subtrahiert werden muss.

• Berechne die Verkaufspreise der Gitarre und des Saxophons.

  Tipps

  Beispiel: Ein Rabatt von $40\,\%$ wird gegeben. Der Prozentsatz ist demnach: $(100\,\% - 40\,\% = 60\,\%)$

  oder

  $(1 - 0,\!4) = 0,\!6$.

  Der Aufschlag wird entweder als Dezimalzahl zu $1$ addiert oder als Prozentzahl zu $100\,\%$.

  Lösung

  $\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& (100\,\% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& (100\,\% - 25\,\%) \cdot 200 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 75\,\% \cdot 200 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 0,\!75 \cdot 200 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 150 \,€ \\ \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& (100\,\% + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& (100\,\% + 35\,\%) \cdot 500 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 135\,\% \cdot 500 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 1,\!35 \cdot 500 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 675 \,€ \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 120\,\% \cdot 675 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 1,\!20 \cdot 675 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 810 \,€ \\ \end{array}$

• Berechne die Verkaufspreise.

  Tipps

  Beispielrechnung:

  $\text{Ursprungspreis:} ~10\,€$
  $\text{Rabatt:} ~20\,\% $

  $\begin{array}{lcr} \text{Verkaufspreis} &=& (100\,\% - 20\,\%) \cdot 10\,€ \\ &=& 80\,\% \cdot 10\,€ \\ &=& 0,\!8 \cdot 10\,€ \\ &=& 8\,€ \end{array}$

  Der Rabatt wird von $100\,\%$ subtrahiert, der Aufschlag wir zu $100\,\%$ addiert.

  Lösung

  Rabatt:
  $\text{Ursprungspreis:}~ 35\,€$
  $\text{Rabatt:} ~10\,\%$:

  $\begin{array}{lcr} \text{Verkaufspreis}_{Rabatt} &=& (1 - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ &=& (100\,\% - 10\,\%) \cdot 35\,€ \\ &=& (1 - 0,\!1) \cdot 35\,€ \\ &=& 0,\!9 \cdot 35\,€ \\ &=& 31,\!50\,€ \end{array}$

  Aufschlag:
  $\text{Ursprungspreis:}~ 24\,€$
  $\text{Aufschlag:} ~55\,\%$:

  $\begin{array}{lcr} \text{Verkaufspreis}_{Aufschlag} &=& (1 + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ &=& (100\,\% + 55\,\%) \cdot 24\,€ \\ &=& (1 + 0,\!55) \cdot 24\,€ \\ &=& 1,\!55 \cdot 24\,€ \\ &=& 37,\!20\,€ \end{array} $

• Ermittle die Verkaufspreise des Fitnessstudios.

  Tipps

  Beispielrechnung: Es wird ein Rabatt von $40\,\%$ gegeben. Der Prozentsatz ist demnach

  $(100\,\% - 40\,\%) = 60\,\%$.

  Der Prozentsatz kann auch in Dezimalzahlen geschrieben werden:

  $(1 - 0,\!4) = 0,\!6$.

  Lösung

  $1.$
  $\text{Ursprungspreis} = 20\,€$
  $\text{Aufschlag} = 30\,\% $,

  $\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 + 0,\!3) \cdot 20\,€ \\ &=& 1,\!3 \cdot 20\,€ \\ &=& 26\,€ \end{array}$

  $2.$
  $\text{Ursprungspreis} = 5\,€$
  $\text{Aufschlag} = 15\,\% $,

  $\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 + 0,\!15) \cdot 5\,€ \\ &=& 1,\!15 \cdot 5\,€ \\ &=& 5,\!75\,€ \end{array}$

  $3.$
  Kunden:
  $\text{Ursprungspreis} = 3,\!50\,€$
  $\text{Rabatt} = 40\,\%$,

  $\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 - 0,\!4) \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 0,\!6 \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 2,\!10\,€ \end{array}$

  Mitarbeiter:
  $\text{Ursprungspreis} = 3,\!50\,€$
  $\text{Rabatt} = 70\,\%$,

  $\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 - 0,\!7) \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 0,\!3 \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 1,\!05\,€ \end{array}$

• Benenne die Bezeichnungen der Formeln.

  Tipps

  Der Verkaufspreis ist der Preis, zu dem ein Produkt verkauft werden soll.

  Aufschläge steigern die Preise.

  Lösung

  Richtige Aussagen:

  $\bullet$ „Der Wert der Erhöhung wird Aufschlag genannt.“

  $\bullet$ „Der Wert der Reduktion eines Preises wird Rabatt genannt. Er kann als Geldbetrag oder als Prozentsatz angegeben werden.“

  $ \bullet$ „Der Verkaufspreis wird durch den Ursprungspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet.“

  Falsche Aussagen:

  $\bullet$ „Der Ursprungspreis ist der Preis, der durch die Erhöhung oder die Reduzierung des Startpunktes ermittelt wird.“

  Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Der Ursprungspreis ist der Startpunkt.

  $\bullet$ „Der Aufschlag kann nur als Prozentsatz angegeben werden.“

  Begründung: Der Aufschlag kann auch als Geldwert angegeben werden.

  $\bullet$ „Der Wert einer Reduktion eines Preises wird Aufschlag genannt.“

  Begründung: Der Wert einer Reduktion ist der Rabatt. Der Aufschlag gibt eine Erhöhung des Preises an.

  $\bullet$ „Der Ursprungspreis wird durch den Verkaufspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet.“

  Begründung: Der Ursprungspreis ist der Startpunkt der Berechnung. Der Verkaufspreis wird durch den Ursprungspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet.

• Bestimme die jeweiligen Rabatte und Aufschläge.

  Tipps

  Gesucht werden hier der Aufschlag bzw. der Rabatt. Die bekannten Formeln müssen daher umgestellt werden.

  Beispiel $1$:
  $\text{Verkaufspreis} = 150\,€$
  $\text{Ursprungspreis} = 200\,€$

  $\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{150\,€}{200\,€} \\ &=& 0,\!75 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{Rabatt} &=& 1 - \text{Prozentsatz} \\ &=& 1 - 0,\!75 \\ &=& 0,\!25 \\ &=& 25\,\% \end{array}$

  Beispiel $2$:
  $\text{Verkaufspreis} = 300\,€$
  $\text{Ursprungspreis} = 200\,€$

  $\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{300\,€}{200\,€} \\ &=& 1,\!5 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{Aufschlag} &=& \text{Prozentsatz} - 1 \\ &=& 1,\!5 - 1 \\ &=& 0,\!5 \\ &=& 50\,\% \end{array}$

  Lösung

  $1.$

  $\text{Verkaufspreis} = 121,\!50 \,€$
  $\text{Ursprungspreis} = 90 \,€$

  $\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{121,50 \,€}{90 \,€} \\ &=& 1,\!35 \end{array}$

  Da der Prozentsatz größer als $1$ ist, handelt es sich um einen Aufschlag:

  $\begin{array}{rcl} \text{Aufschlag} &=& (\text{Prozentsatz} - 1) \\ &=& 1,\!35 - 1 \\ &=& 0,\!35 \\ &=& 35\,\% \end{array}$

  $2.$

  $\text{Verkaufspreis} = 248 \,€$
  $\text{Ursprungspreis} = 310 \,€$

  $\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{248 \,€}{310 \,€} \\ &=& 0,\!8 \end{array}$

  Da der Prozentsatz kleiner als $1$ ist, handelt es sich um einen Rabatt:

  $\begin{array}{rcl} \text{Rabatt} &=& (1 - \text{Prozentsatz}) \\ &=& 1 - 0,\!8 \\ &=& 0,\!2 \\ &=& 20\,\% \end{array}$

  $3.$

  $\text{Verkaufspreis} = 3,\!50 \,€$
  $\text{Ursprungspreis} = 5,\!00 \,€$

  $\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{3,50 \,€}{5 \,€} \\ &=& 0,\!7 \end{array}$

  Da der Prozentsatz kleiner als $1$ ist, handelt es sich um einen Rabatt:

  $\begin{array}{rcl} \text{Rabatt} &=& (1 - \text{Prozentsatz}) \\ &=& 1 - 0,\!7 \\ &=& 0,\!3 \\ &=& 30\,\% \end{array}$