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Mit Prozentsätzen rechnen

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Team Digital
Mit Prozentsätzen rechnen
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Beschreibung Mit Prozentsätzen rechnen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, wie du mit der Prozentformel den Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz berechnen kannst.

Zunächst lernst du, wie die Prozentformel definiert ist. Anschließend lernst du, dass du mit zwei bekannten Größen die fehlende dritte Größe bestimmen kannst. Abschließend lernst du, wie du die Prozentformel nach der gesuchten Größe umstellen kannst.

Lerne etwas über die Prozentrechnung, indem du Antonio bei seiner nächsten Mahlzeit Gesellschaft leistest.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Prozentformel, Prozentrechnung, Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz, Prozent und prozentualer Anteil.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was du unter einer Prozentangabe verstehst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, dein Wissen zu der Prozentrechnung zu vertiefen.

Transkript Mit Prozentsätzen rechnen

Bienvenidos im wunderschönen Venezuela, wo Antonio der Ameisenbär sich schon auf seine nächste Mahlzeit freut. Mmhh, was für ein lecker-schmecker Ameisenhügel. Antonio hat Ameisen zum Fressen gern, aber er ist ein wählerischer Typ. Er meidet die Soldatinnen, denn die haben scharfe Kauwerkzeuge. Um herauszufinden, ob dieser Ameisenhügel den richtigen Prozentsatz an Ameisen für Antonio hat, müssen wir Populationen mithilfe von Prozentsätzen berechnen. Um Antonio zu helfen, müssen wir erst mal schauen, wie Ameisenkolonien organisiert sind. In Ameisenkolonien findet man männliche und weibliche Ameisen, aber nur Weibchen können Soldaten sein. Das bedeutet, dass Antonio alle Männchen in der Kolonie fressen kann! Nullo Problemo! In dieser Kolonie sind 30 % der Ameisen Männchen und 70 % sind Weibchen. Aber Antonio kennt die Gesamtgröße der Population in diesem Ameisenhügel nicht. Lass uns doch versuchen diese Unbekannte herauszufinden. Für die unbekannte Größe der Ameisenpopulation nehmen wir die Variable 'a'. Erinnerst du dich an die Formel Prozentwert gleich Prozentsatz mal Grundwert? Der Prozentwert, den wir suchen, ist die Anzahl der Männchen in der Kolonie. Was ist in diesem Fall der Grundwert? Der GRUNDWERT ist die Gesamtgröße der Ameisenpopulation 'a'. Und der Prozentsatz ist 30 Prozent. Den Prozentsatz schreiben wir als 0,3. So können wir die Anzahl an männlichen Ameisen als 0,3 'a' ausdrücken. Was ist nun mit den weiblichen Ameisen? Auch hier können wir in unsere Formel Prozentwert gleich Prozentsatz mal Grundwert einsetzen, was wir wissen. Die Anzahl der Weibchen wird so als 0,7 'a' ausgedrückt. Die Weibchen machen ohne Frage den Großteil der Population aus, aber wie viel Prozent mehr Weibchen als Männchen finden sich in der Kolonie? Aus dem Bauch heraus meinst du vielleicht, 40 Prozent mehr, denn das kommt bei 70 Prozent minus 30 Prozent heraus. Aber Vorsicht. Wir sollten das tatsächliche Verhältnis herausfinden, indem wir den Multiplikator von Männchen zu Weibchen herausfinden. Wir können den Prozentsatz herausfinden, indem wir unsere Gleichung danach auflösen. Dann setzen wir den bekannten Wert für die Weibchen und für die Männchen ein. Wir vereinfachen und erhalten ein Verhältnis von sieben Dritteln, also ungefähr 2,33. Mal 100 ergibt das 233 Prozent. Das bedeutet, da leben 233 Prozent MEHR Weibchen als Männchen in der Kolonie. Schauen wir mal, wie viele dieser weiblichen Ameisen Antonio fressen kann. Dazu müssen wir die weibliche Ameisenpopulation aufschlüsseln. Neben der Königin können weibliche Ameisen Arbeiterinnen oder Soldatinnen sein. Arbeiterinnen machen 60 % der weiblichen Population des Ameisenhügels aus, die restlichen 40 % sind Soldatinnen. Du weißt ja noch, dass Antonio um die Soldatinnen einen Bogen machen will. Wie viele weibliche Ameisen aus der Kolonie kann er also fressen? Nun, wir nutzen dieselbe Formel und sehen, dass wir die Anzahl der Arbeiterinnen als Teilmenge der gesamten Weibchen ausrechnen können. Weibchen haben ja einen Anteil von 0,7 an der Gesamtpopulation. Das können wir einsetzen. Außerdem auch den Prozentsatz an Arbeiterinnen. Die Anzahl der Arbeiterinnen ist dann gleich 0,6 mal 0,7 mal 'a'. Wir berechnen also den Prozentsatz eines Prozentsatzes, denn die Arbeiterinnen sind eine Teilmenge aller weiblichen Ameisen. Wir multiplizieren und erhalten 0,42 'a'. Das bedeutet, die Arbeiterinnen machen 42 % der gesamten Ameisenpopulation aus. Antonio kann alle Männchen in der Kolonie fressen, also 0,3 'a', und die Arbeiterinnen, also 0,42 'a'. In Summe ergibt das 0,72 'a'. Also 72 % aller Ameisen im Ameisenhügel. Großartig! Das ist mehr als die Gesamtzahl an weiblichen Ameisen. Davon sollte Antonio ja wohl satt werden. Wiederholen wir noch einmal: Wir stellen die Gleichung Prozentwert gleich Prozentsatz mal Grundwert auf. Wenn wir zwei der Variablen kennen, können wir die Gleichung immer so umstellen, dass wir die dritte Variable berechnen können. Und hilft Antonio das jetzt, seine Mahlzeit weise zu wählen? Er ist sich ziemlich sicher, den mickrigen Soldatinnen aus dem Weg gehen zu können! Zeit für einen Happen! Oh, oh, ein Hinterhalt!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. es hat mir sehr geholfen

    Von Herzognicole82, vor 8 Monaten
  2. sehr gut

    Von Severinas, vor 8 Monaten

Mit Prozentsätzen rechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit Prozentsätzen rechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige auf, wie du mit Prozentsätzen rechnen kannst.

    Tipps

    Den Grundwert kannst du wie folgt bestimmen:

    $\text{Grundwert}=\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz}}$

    Diese Gleichung kannst du nach dem Prozentwert umstellen.

    Sind in einer Kolonie $20\%$ der $a$ Ameisen rot und der Rest schwarz, gilt für die Anzahl der roten Ameisen:

    $\text{rot}=0,2a$

    Lösung

    Zum Rechnen mit Prozentsätzen brauchst du grundsätzlich die folgende Formel:

    • $\text{Prozentwert}=\text{Prozentsatz}\cdot \text{Grundwert}$
    Das heißt zur Berechnung des Prozentwertes multiplizierst du den Grundwert mit dem Prozentsatz.

    In dem Ameisenhaufen lebt eine unbekannte Anzahl $a$ an Ameisen. Wir wissen, dass $30\%$ davon Männchen und $70\%$ Weibchen sind. Für die Prozentwerte gilt also:

    • $\text{Weibchen}=70\%\cdot a=0,7a$
    • $\text{Männchen}=30\% \cdot a = 0,3a$
    Wie viel Prozent mehr Weibchen als Männchen leben denn nun in der Ameisenkolonie?

    Wir bestimmen das Verhältnis, indem wir den Multiplikator von Männchen zu Weibchen bestimmen. Es gilt

    $\text{Weibchen}=\text{Prozentsatz} \cdot \text{Männchen}$

    Dies stellen wir nach dem Prozentsatz um und setzen die Werte von oben ein:

    $\text{Prozentsatz}=\frac{\text{Weibchen}}{\text{Männchen}}=\frac{0,7a}{0,3a}=\frac{7}{3}\approx 233\%$

  • Beschreibe, wie du Prozentwerte von gegebenen Prozentwerten bestimmst.

    Tipps

    Du berechnest hier den Prozentwert eines Prozentwerts, dazu musst du mit den Prozentsätzen multiplizieren.

    Wären $10\%$ der $30\%$ männlichen Ameisen Arbeiter, müssten wir folgendermaßen rechnen:

    $\text{Arbeiter}=0,1\cdot 0,3a$

    Lösung

    In einer Ameisenkolonie leben $a$ Ameisen, von denen $70\%$ weiblich sind. Das heißt der Grundwert ist $a$ und der Prozentsatz beträgt $70\%$. Wir nutzen die Formel für den Prozentwert:

    $\text{Prozentwert}=\text{Prozentsatz}\cdot \text{Grundwert}$

    Die Anzahl an weiblichen Ameisen beträgt also:

    $\text{Weibchen}=70\%\cdot a=0,7a$.

    $60\%$ der weiblichen Ameisen sind Arbeiterinnen. Für diese Anzahl nutzen wir erneut die Formel für den Prozentwert, jedoch ist der Grundwert nun der zuvor berechnete Prozentwert:

    • $\text{Arbeiter}=\text{Prozentsatz}\cdot\text{Weibchen}$.
    Die Anzahl der Arbeiterinnen beträgt also:

    $\text{Arbeiter}=60\%\cdot 0,7a = 0,6\cdot 0,7a=0,42a$.

    Das entspricht einem Prozentsatz von $42\%$ weiblichen Arbeiterinnen in der ganzen Ameisenkolonie.

  • Bestimme die Prozentwerte und Prozentsätze.

    Tipps

    Um zu bestimmen, wie viel mehr gelbe als rote Gummibärchen es gibt, bestimmen wir das Verhältnis, indem wir den Multiplikator von roten zu gelben bestimmen.

    Es gilt: $\text{gelb}=\text{Prozentsatz} \cdot \text{rot}$.

    Lösung

    Wir brauchen für diese Aufgabe die Formel für den Prozentwert:

    $\text{Prozentwert}=\text{Grundwert}\cdot \text{Prozentsatz}$,

    wobei der Grundwert immer $a$ beträgt.

    Tüte 1: $40\%$ rote, $60\%$ gelbe

    • $\text{rote}=a\cdot 40\%=0,4a$
    • $\text{gelbe}=a\cdot 60\%=0,6a$
    Um zu bestimmen, wie viel mehr gelbe als rote Gummibärchen es gibt, bestimmen wir das Verhältnis, indem wir den Multiplikator von roten zu gelben bestimmen. Es gilt:

    $\text{gelb}=\text{Prozentsatz} \cdot \text{rot}$

    Dies stellen wir nach dem Prozentsatz um und setzen die Werte von oben ein:

    $\text{Prozentsatz}=\frac{\text{gelb}}{\text{rot}}=\frac{0,6a}{0,4a}=\frac{3}{2}=150\%$

    In der Tüte sind also $150\%$ mal so viele gelbe wie rote Gummibärchen.

    Tüte 2: $50\%$ rote, $50\%$ gelbe

    • $\text{rote}=a\cdot 50\%=0,5a$
    • $\text{gelbe}=a\cdot 50\%=0,5a$
    Um zu bestimmen, wie viel mehr gelbe als rote Gummibärchen es gibt, bestimmen wir das Verhältnis, indem wir den Multiplikator von roten zu gelben bestimmen. Es gilt:

    $\text{gelb}=\text{Prozentsatz} \cdot \text{rot}$

    Dies stellen wir nach dem Prozentsatz um und setzen die Werte von oben ein:

    $\text{Prozentsatz}=\frac{\text{gelb}}{\text{rot}}=\frac{0,5a}{0,5a}=1$

    In der Tüte sind also gleich viele gelbe und rote Gummibärchen.

    Tüte 3: $20\%$ rote, $80\%$ gelbe

    • $\text{rote}=a\cdot 20\%=0,2a$
    • $\text{gelbe}=a\cdot 80\%=0,8a$
    Um zu bestimmen, wie viel mehr gelbe als rote Gummibärchen es gibt, bestimmen wir das Verhältnis, indem wir den Multiplikator von roten zu gelben bestimmen. Es gilt:

    $\text{gelb}=\text{Prozentsatz} \cdot \text{rot}$

    Dies stellen wir nach dem Prozentsatz um und setzen die Werte von oben ein:

    $\text{Prozentsatz}=\frac{\text{gelb}}{\text{rot}}=\frac{0,8a}{0,2a}=\frac{8}{2}=4=400\%$

    In der Tüte sind $400\%$ mal so viele gelbe wie rote Gummibärchen.

  • Ermittle die Prozentsätze.

    Tipps

    Wenn du berechnen möchtest, wie viele in der Gruppe Jungen sind und schlecht Ski fahren können, berechnest du den Prozentsatz der schlechten Skifahrer von dem Prozentsatz der Jungen.

    Zur Berechnung des Prozentsatzes eines Prozentsatzes multiplizierst du die beiden Prozentsätze:

    Also gilt für die schlechten Skifahrer $0,5\cdot 0,4\cdot s$.

    Willst du die Anzahl der schlecht Ski fahrenden Mitglieder berechnen, addierst du die beiden Prozentsätze, die du für Jungen und Mädchen bestimmt hast.

    Lösung

    Wie viele aus der Gruppe sind Mädchen und sehr gut im Skifahren?

    $\text{Skifahrerinnen}=0,6\cdot s$

    $\text{sehr gute Skifahrerinnen}=0,75\cdot 0,6\cdot s=0,45s$

    Das entspricht also einem Prozentsatz von $45\%$.

    Wie viele aus der Gruppe sind Jungen und sehr gut im Skifahren?

    $\text{Skifahrer}=0,4\cdot s$

    $\text{sehr gute Skifahrer}=0,5\cdot 0,4\cdot s=0,2s$

    Das entspricht also einem Prozentsatz von $20\%$.

    Wie viele aus der Gruppe sind Mädchen und schlecht im Skifahren?

    $\text{Skifahrerinnen}=0,6\cdot s$

    $\text{schlechte Skifahrerinnen}=0,25\cdot 0,6\cdot s=0,15s$

    Das entspricht also einem Prozentsatz von $15\%$.

    Wie viele Mitglieder der Skigruppe können sehr gut Ski fahren?

    Betrachte zunächst die Mädchen, die gut Ski fahren können:

    $\text{sehr gute Skifahrerinnen}=0,75\cdot 0,6\cdot s=0,45s$

    Also $45\%$.

    $\text{sehr gute Skifahrer}=0,5\cdot 0,4\cdot s=0,2s$

    Also $20\%$.

    Zuletzt müssen wir die Prozentsätze addieren. Es können also $45\%+20\%=65\%$ sehr gut Ski fahren.

  • Gib die richtigen Formeln an.

    Tipps

    Für den Prozentwert multiplizierst du Grundwert und Prozentsatz.

    Teilt man den Prozentwert durch den Grundwert, erhält man den Prozentsatz.

    Lösung

    Zur Berechnung des Prozentwertes nutzen wir die folgende Formel:

    • $\text{Prozentwert}=\text{Prozentsatz}\cdot \text{Grundwert}$
    Mit $G$ als Grundwert, $W$ als Prozentwert und $p\%$ als Prozentsatz gilt:

    • $W=p\%\cdot G$
    Diese Formel kannst du auch nach dem Grundwert oder Prozentsatz umstellen:

    • $\text{Grundwert}=\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz}}$
    • $G=\frac{W}{p\%}=W:p\%$
    • $\text{Prozentsatz}=\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$
    • $p\%=\frac{W}{G}=W:G$
  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Berechne zum Beispiel $120\%$ von $100$ und $20\%$ von $100$ und vergleiche die Werte mit dem Grundwert.

    Lösung

    Korrekt sind die folgenden Aussagen:

    $1.$ $10 \%$ von $70\%$ einer Menge sind genauso viel wie $70\%$ von $10\%$ derselben Menge.

    Da die Multiplikation kommutativ (vertauschbar) ist, ist es egal, ob man

    • $0,1\cdot 0,7 \cdot a=0,07a$
    rechnet oder

    • $0,7\cdot 0,1\cdot a=0,07a$.
    $2.$ Es gilt $\frac{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}}{\text{Prozentwert}}=1$.

    Wir kennen die Formel

    • $\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}=\text{Prozentwert}$.
    Teilen wir auf beiden Seiten durch den Prozentwert, erhalten wir die angegebene Gleichung.

    $3.$ Der Prozentwert kann kleiner oder größer als der Grundwert sein.

    Betrachtet man $120\%$ vom Grundwert $100$, beträgt der Prozentwert $120$, betrachtet man $80\%$ vom Grundwert $100$, beträgt der Prozentwert $80$.

    Falsch sind diese Aussagen:

    $1.$ Möchte man den Prozentwert eines Prozentwerts berechnen, addiert man die beiden Werte.

    Die beiden Prozentsätze werden mit dem Grundwert multipliziert. Dies passiert analog zu der Formel

    • $\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}=\text{Prozentwert}$.
    $2.$ Es gilt $\frac{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}}{\text{Prozentwert}}=0$.

    Wir kennen die Formel

    • $\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}=\text{Prozentwert}$.
    Teilen wir auf beiden Seiten durch den Prozentwert, erhalten wir:

    • $\frac{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}}{\text{Prozentwert}}=1$
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