Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Prozentrechnung mit dem Dreisatz Übung

• Berechne den Grundwert.

  Tipps

  Bei dem Dreisatz im Bild musst du auf beiden Seiten der Zuordnung jeweils dieselbe Rechenoperation ausführen.

  Den Wert zum Prozentsatz $1\%$ erhältst du, indem du den Wert zum Prozentsatz $120\%$ durch $120$ dividierst.

  Entspricht dem Prozentsatz $150\%$ der Prozentwert $90$, so entspricht dem Prozentsatz $1\%$ der Prozentwert $90:150=0,6$ und der Grundwert ist $0,6\cdot 100=60$.

  Lösung

  Den Dreisatz kannst du verwenden, um zu einem gegebenen Prozentwert $W = 60$ den Grundwert $G$ zu bestimmen. Der Prozentwert ist um $20\%$ größer als der Grundwert, der Prozentsatz beträgt also $120\%$.

  Bei einem Dreisatz rechnest du zuerst auf den Referenzwert $1$ herunter, in diesem Fall auf $1\%$. Da $W=60$ dem Prozentsatz $120\%$ entsprechen, musst du durch $120$ dividieren, um den Prozentwert $60:120 = 0,5$ zu dem Prozentsatz $1\%$ zu erhalten. Nun kannst du diesen Prozentwert wieder mit $100$ multiplizieren und erhältst so den Prozentwert zu dem Prozentsatz $100\%$, also den Grundwert $G = 0,5 \cdot 100 = 50$.

  Bei dem Dreisatz für eine proportionale Zuordnung musst du links und rechts jeweils die gleiche Rechenoperation ausführen, also im ersten Schritt die Division durch $120$, im zweiten Schritt die Multiplikation mit $100$.

• Berechne den Prozentwert.

  Tipps

  Den Prozentwert zum Prozentsatz $1\%$ findest du, indem du den Grundwert durch $100$ dividierst.

  Der Prozentsatz $80\%$ entspricht dem Bruch $\frac{80}{100} = \frac{4}{5}$, daher ist $80\%$ von $30$ dasselbe wie $\frac{4}{5} \cdot 30$.

  Um mit dem Dreisatz aus dem Prozentwert zu dem Prozentsatz $80\%$ den Grundwert zu bestimmen, musst du zuerst durch $80$ dividieren und dann mit $100$ multiplizieren.

  Lösung

  Mit dem Dreisatz kannst du beliebige Werte einer proportionalen Zuordnung übersichtlich ausrechnen. Du rechnest von einem gegebenen Zuordnungspaar immer zuerst auf den Referenzwert $1$ herunter. Dann kannst du im zweiten Schritt den gesuchten Wert in die Zuordnung einsetzen.

  In der Prozentrechnung bestimmt der Grundwert eine proportionale Zuordnung zwischen dem Prozentsatz und dem Prozentwert (oder umgekehrt). In der Aufgabe ist der Grundwert $G=30$ vorgegeben. Zu dem Prozentsatz $80\%$ soll der Prozentwert berechnet werden.

  Du berechnest zuerst den Prozentwert zu dem Prozentsatz $1\%$, indem du den Grundwert durch $100$ dividierst: Der Prozentwert zum Prozentsatz $1\%$ ist also $30:100=0,3$. Den Prozentwert zu dem Prozentsatz $80\%$ findest du nun, indem du das Ergebnis mit $80$ multiplizierst:

  $W = 0,3 \cdot 80 = 24$

  Du kannst den Dreisatz auch verwenden, um bei vorgegebenem Prozentwert $W = 24$ den Grundwert $G$ zu berechnen. Die Zuordnung ist wieder die zwischen Prozentwert und Prozentsatz, vorgegeben ist diesmal der Prozentsatz $80\%$. Du rechnest wieder zuerst auf den Prozentsatz $1\%$ herunter, dividierst also den Prozentwert $W=24$ durch die Prozentzahl $80$ und erhältst den Prozentwert zum Prozentsatz $1\%$:

  $24:80 = 0,3$

  Um den Grundwert zu erhalten, multiplizierst du mit $100$, denn der Grundwert ist dasselbe wie der Prozentwert zum Prozentsatz $100\%$:

  $G = 0,3 \cdot 100 = 30$

• Bestimme den Prozentwert mit Hilfe des Dreisatzes.

  Tipps

  Der Grundwert $G$ entspricht dem Ganzen, also $p\%=100\%$.

  Rechne zunächst den Prozentwert $W$ zu $p\%=1\%$. Rechne dann auf den jeweiligen Prozentsatz hoch, um den zugehörigen Prozentwert zu erhalten.

  Du kannst den Prozentsatz als Dezimalbruch oder Prozentzahl mit Prozentzeichen schreiben. Es gilt:

  • $p\%=0,15=15\%$

  Lösung

  Der Grundwert $G$ entspricht dem Ganzen, also $p\%=100\%$. Wir bestimmen die gesuchten Prozentwerte mit Hilfe des Dreisatzes. Hierzu rechnen wir zunächst den Prozentwert $W$ zu $p\%=1\%$. Dann rechnen wir auf den jeweiligen Prozentsatz hoch, um den zugehörigen Prozentwert zu erhalten.

  So finden wir folgende Zuordnungen

  • Den Grundwert $G=80$ teilen wir zunächst durch $100$ und erhalten den Prozentwert $0,8$ zu dem Prozentsatz $p\%=1\%$. Diesen Prozentwert multiplizieren wir mit $15$, um den Prozentwert zu dem Prozentsatz $p\% = 0,15=15\%$ zu berechnen. Wir erhalten so den gesuchten Prozentwert $W=0,8 \cdot 15 = 12$.

  • Den Prozentwert $W$ zu dem Prozentsatz $p\% = 51\%$ finden wir, indem wir den Grundwert $G = 65$ zunächst durch $100$ teilen. Dann erhalten wir den Prozentwert $0,65$ zu dem Prozentsatz $1\%$. Durch Multiplikation mit $51$ erhalten wir den gesuchten Prozentwert $W=33,15$.

  • Wir teilen den Grundwert $G = 33$ durch $100$ und multiplizieren den Quotienten mit $\frac{100}{3}$, denn $p\%=\frac 13=\frac {100}3\%$. Damit erhalten wir den gesuchten Prozentwert $W = 11$.

  • Bei dem Grundwert $G= 180$ und dem Prozentsatz $p\%=11\%$ findest du den Prozentwert, indem du zuerst durch $100$ teilst und den Quotienten mit $11$ multiplizierst: $W = 1,8\cdot 11 = 19,8$.

• Ermittle mit Hilfe des Dreisatzes jeweils die fehlende Größe.

  Tipps

  Ist der Grundwert gesucht, so musst du den gegebenen Prozentwert auf den Grundwert hochrechnen, indem du den Prozentwert zunächst durch die Prozentzahl des zugehörigen Prozentsatzes teilst und dann mit $100$ multiplizierst.

  Lösung

  Jede vollständige Beschreibung besteht aus einem Grundwert $G$, einem Prozentwert $W$ und einem Prozentsatz $p\%$. Mit dem Dreisatz können wir für zwei bekannte Werte die fehlende dritte Größe ermitteln. Hierzu rechnen wir zunächst auf $1$ herunter und dann auf das gesuchte Wertepaar hoch.

  Wir rechnen also wie folgt:

  • Der Grundwert $G = 120$ liefert zum Prozentsatz $45\%$ den Prozentwert $W=120:100\cdot 45=54$.

  • Der Prozentwert $W = 11,25$ zum Prozentsatz $p\% = 15\%$ liefert den Grundwert $G=11,25:15\cdot 100 = 75$.

  • $180$ von $200$ entsprechen dem Prozentsatz $p\% =100\%:200\cdot 180= 90\%$.

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Der Prozentsatz entspricht dem Verhältnis des Anteils zum Ganzen.

  Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Verhältnis der Prozentzahl $p$ zu $100$.

  Der Prozentsatz $1\%$ entspricht einem Hundertstel oder dem Dezimalbruch $0,01$.

  Lösung

  In der Prozentrechnung geht es um den Anteil, bezogen auf ein Ganzes. Das Verhältnis des Anteils zum Ganzen ist meistens die relevante Größe. Sie trägt den Namen Prozentsatz. Das Ganze nennt man den Grundwert, der Anteil heißt Prozentwert. Oft rechnet man den Prozentwert zu einem gegebenen Prozentsatz und Grundwert aus. Da der Prozentsatz das Verhältnis aus Prozentwert und Prozentsatz ist, gilt für den Prozentwert die Formel:

  Prozentwert $=$ Prozentsatz $\cdot$ Grundwert

  Das Zeichen $\%$ steht für $\cdot \frac{1}{100}$. Dem Prozentsatz $p\%$ entspricht daher der Bruch $\frac{p}{100}$. Ist $p$ einstellig, so entspricht dem Bruch $\frac{p}{100}$ der Dezimalbruch $0,0p$. Ist $p$ mehrstellig oder selbst ein Dezimalbruch, so entspricht der Prozentsatz $p\%$ der Verschiebung des Kommas um zwei Stellen nach links.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Prozentwert ist das Produkt aus dem Grundwert und dem Prozentsatz.“ Dies ist genau der Inhalt der Formel, die du oben siehst.

  • „Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Bruch $\frac{p}{100}$.“ Das Zeichen $\%$ steht genau für die Multiplikation mit dem Bruch $\frac{1}{100}$, daher ist $p\% = p \cdot \frac{1}{100} = \frac{p}{100}$

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Grundwertes zum Prozentwert.“ Stattdessen ist der Prozentsatz das Verhältnis $\frac{W}{G}$ des Prozentwertes $W$ zum Grundwert $G$.

  • „Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Dezimalbruch $0,p$.“ Der Ausdruck $p\%$ steht für den Bruch $\frac{p}{100}$. Dies ist nur bei einer zweistelligen ganzen Zahl $p$ dasselbe wie der Dezimalbruch $0,p$. So ist etwa $15\% = 0,15$. Ist $p$ aber nicht zweistellig oder selbst ein Dezimalbruch, so ist $p\% = \frac{p}{100}$ nicht dasselbe wie $0,p$. Zum Beispiel ist $3\% = 0,03 \neq 0,3$ und $123,4\% = 1,234 \neq 0,123,4$.

  • „Der Grundwert ist das Produkt aus dem Prozentsatz und dem Prozentwert.“ Vielmehr ist der Prozentwert das Produkt aus dem Prozentsatz und dem Grundwert. Der Grundwert andererseits ist der Quotient aus dem Prozentwert und dem Prozentsatz.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  $10\%$ von $10\%$ eines Grundwertes sind nicht $100\%$ des Grundwertes.

  $10\%$ weniger als $220$ sind $100\% - 10\% = 90\%$ von $220$, also $220 \cdot 0,9 = 198$.

  Lösung

  Die Aussage „$X$ sind $20\%$ mehr als $Y$“ bedeutet, dass $Y$ als Grundwert zu verstehen ist. Die Prozentzahl liegt um $20$ über der Prozentzahl $100$ des Grundwertes, der Prozentsatz ist also $120\%$ und der Prozentwert ist $X$. Du kannst in dieser Aussage entweder $X$ oder $Y$ als bekannt voraussetzen und die jeweils andere Größe mittels eines Dreisatzes ausrechnen. Analoges gilt, wenn du „mehr“ durch „weniger“ ersetzt: Wieder ist $Y$ der Grundwert, auf den sich die Aussage bezieht.

  Dem Prozentsatz $p\%$ entspricht der Bruch $\frac{p}{100}$. Den Prozentwert aus einem Grundwert zum Prozentsatz $p\%$ auszurechnen, ist dasselbe, wie den Grundwert mit dem Bruch $\frac{p}{100}$ zu multiplizieren. Multiplizierst du zweimal mit $\frac{p}{100}$, so musst du die Regeln der Bruchrechnung beachten und Zähler und Nenner miteinander multiplizieren: $\frac{10}{100} \cdot \frac{10}{100} = \frac{100}{10.000} = \frac{1}{100}$. Daher sind $10\%$ von $10\%$ eines Ganzen nicht das Ganze selbst, sondern nur $1\%$ dieses Ganzen.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „$180$ sind $20\%$ mehr als $150$.“ Hier ist $150$ der Grundwert. $20\%$ mehr als der Grundwert bedeutet, dass der Prozentsatz $120\% = 1,2$ beträgt. Und tatsächlich ist $150 \cdot 1,2 = 180$.

  • „$15\%$ mehr als der Grundwert sind das $1,15$-fache des Grundwertes.“ Die Aussage $15\%$ mehr bedeutet, dass mit dem Prozentsatz $115\%=1,15$ zu rechnen ist.

  • „$11\%$ von $900$ sind dasselbe wie $99\%$ von $100$.“ Zur Berechnung des Prozentwertes ist es nützlich, den Prozentsatz als Dezimalbruch zu schreiben: $11\%$ von $900$ sind $900 \cdot 0,11 = 99$ und $99\%$ von $100$ sind $100 \cdot 0,99 = 99$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „$90$ sind $10\%$ weniger als $100$, und $100$ sind $10\%$ mehr als $90$.“ Der erste Halbsatz ist richtig, der zweite falsch. Im ersten Halbsatz ist $100$ der Grundwert und $100\% - 10\% = 90\%$ der Prozentsatz. $90\%$ von $100$ sind $100 \cdot 0,9 = 90$, also ist $90$ genau $10\%$ weniger als $100$. Im zweiten Halbsatz ist aber $90$ der Grundwert, auf den sich das „$10\%$ mehr“ bezieht. Mit dem Grundwert $90$ und dem Prozentsatz $100\% + 10\% = 110\%$ findest du den Prozentwert $90 \cdot 1,1 = 99$. Daher ist $99$ genau $10\%$ mehr als $90$. Da der Prozentwert eindeutig ist, kann diese Aussage nicht gleichzeitig für den Wert $100$ richtig sein.

  • „$15\%$ von $20$ sind mehr als $20\%$ von $15$.“ Hier kannst du wieder die Prozentsätze als Dezimalbrüche schreiben und nachrechnen: $15\%$ von $20$ sind $20 \cdot 0,15 = 3$ und $20\%$ von $15$ sind $15 \cdot 0,2 = 3$. Die beiden Prozentwerte sind also gleich.

  • „$9\%$ von $9\%$ eines Ganzen sind $81\%$ dieses Ganzen.“ Die Berechnung des Prozentwertes aus einem Grundwert ist dasselbe wie die Multiplikation des Grundwertes mit dem Prozentsatz $p\% = \frac{p}{100}$. Berechnest du von diesem Ergebnis wieder den Prozentsatz $p\%$, so multiplizierst du ein weiteres Mal mit dem Bruch $\frac{p}{100}$. Du kannst die beiden Rechnungen zusammenfassen, indem du mit dem Bruch $\frac{p}{100} \cdot \frac{p}{100}$ multiplizierst. Im Fall des Prozentsatzes $9\% = \frac{9}{100}$ erhältst du $\frac{9}{100} \cdot \frac{9}{100} = \frac{81}{10.000} = \frac{0,81}{100}$. Daher sind $9\%$ von $9\%$ eines Ganzen nicht $81\%$, sondern $0,81\%$ dieses Ganzen.