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Prozentrechnung mit dem Dreisatz

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Team Digital
Prozentrechnung mit dem Dreisatz
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Inhalt

Prozentrechnung mit dem Dreisatz – Mathematik

Im folgenden Text lernst du, wie man den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert mithilfe des Dreisatzes berechnen kann.

Wichtige Begriffe der Prozentrechnung – Definitionen

In der Prozentrechnung muss man einige Begriffe kennen, deren Definitionen wir uns im folgenden genauer ansehen:

Der Grundwert ist die Gesamtzahl der betrachteten Menge oder Größe, also das Ganze. Der Grundwert wird mit $G$ bezeichnet.

Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil des Grundwerts, als Zahl angegeben. Der Prozentwert wird mit $W$ angegeben.

Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts und wird mit $p \%$ angegeben.

Wie diese drei Begriffe zusammenhängen und mit welchen Formeln du diese Werte jeweils ausrechnen kannst, ist in dem folgenden Bild zusammengefasst.

Wichtige Formeln Prozentrechnung

Man muss diese Formeln der Prozentrechnung aber gar nicht auswendig lernen, weil man auch immer den Dreisatz verwenden kann.

Prozentrechnung mittels Dreisatz

Um besser zu verstehen, wie man Aufgaben der Prozentrechnung mit dem Dreisatz löst, betrachten wir nun drei Beispiele, in denen jeweils einer der Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz die gesuchte Größe ist.

Prozentwert mit dem Dreisatz berechnen – Beispiel

Die Monster Bugly und Ugly erschrecken gerne Menschen. Ugly hat in einer Nacht 30 Menschen erschreckt, also ist der Grundwert $G=30$. Bugly hat jedoch nur $80 \%$ davon erschreckt, also ist der Prozentsatz $p \%=80 \%$. Um herauszufinden, wie viele Menschen Bugly erschreckt hat, müssen wir den Prozentwert bestimmen. Der Grundwert entspricht $100 \%$, das heißt, wir können in diesem Beispiel den Grundwert $G=30$ mit $100 \%$ identifizieren. Unser Ausgangspunkt für den Dreisatz ist also:

$100\% \hat{ \ = \ } 30 \text{ Menschen}$

Wir rechnen im ersten Schritt auf $1 \%$ herunter, indem wir durch $100$ teilen. Wir erhalten:

$1\% \hat{ \ = \ } 0,3 \text{ Menschen}$

Danach möchten wir den Prozentwert zum Prozentsatz $80 \%$ bestimmen. Dafür multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $80$. Insgesamt sieht unsere Rechnung folgendermaßen aus:

Dreisatz Prozentrechnung Prozentwert

So konnten wir mit dem Dreisatz den Prozentwert $W=24$ berechnen, Bugly hat also nur 24 Menschen in der Nacht erschreckt.

Grundwert mit dem Dreisatz berechnen – Beispiel

In einer anderen Nacht hat Ugly $60$ Menschen erschreckt. Dies sollen $20%$ mehr als am Tag zuvor sein. In diesem Fall ist der Prozentwert $W=60$, der Prozentsatz $p\% = 20\%$ und gesucht ist der Grundwert $G$. Auch hier können wir wieder mit dem Dreisatz vorgehen. Unsere Ausgangsgrößen für den Dreisatz sind also

$120\% \hat{ \ = \ } 60 \text{ Menschen}$.

Um auf den Wert von $1 \%$ zu kommen, teilen wir beide Seiten durch $120$ und rechnen danach hoch auf $100 \%$:

Dreisatz Prozentrechnung Grundwert

Ugly hat am Vortag also $50$ Menschen erschreckt.

Prozentsatz mit dem Dreisatz berechnen – Beispiel

Wieder in einer anderen Nacht hat Ugly $70$ Menschen erschreckt und Bugly $90$ Menschen. Den Unterschied zwischen diesen beiden Werten können wir in Prozent angeben. Dafür gegeben ist der Grundwert $G=70$ und der Prozentwert $W=90$. Wir suchen den Prozentsatz $p \%$. Die Ausgangsgrößen sind in diesem Fall:

$70 \text{ Menschen }\hat{ \ = \ } 100\% $.

Wir teilen erst beide Seiten durch $70$ und rechnen danach hoch auf $90$ Menschen, indem wir mit $90$ multiplizieren:

Dreisatz Prozentrechnung Prozentsatz

Bugly hat also ungefähr $28,57 \%$ mehr Menschen erschreckt als Ugly.

Prozentrechnung mit dem Dreisatz – Zusammenfassung

Nach diesen drei Übungen zur Prozentrechnung mit dem Dreisatz können wir nun zusammenfassen: Beim Dreisatz gehen wir in drei Schritten vor, die genauso gelten, wenn wir Werte aus der Prozentrechnung bestimmen möchten.

  1. Ausgangsgrößen herausfinden
  2. Herunterrechnen auf $1$
  3. Hochrechnen auf den gesuchten Wert

Hier auf der Seite findest du noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Prozentrechnung mit dem Dreisatz.

Transkript Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Jeden Morgen vergleichen die 2 Monster Ugly und Bugly ihre Schreckzahlen der Nacht. So hat Bugly in der letzten Nacht nur 80% von dem erschreckt, was Ugly erschreckt hat. Um diesen Vergleich deuten zu können, verwenden sie den Dreisatz bei der Prozentrechnung. Wiederholen wir die wichtigsten Begriffe. Der Grundwert ist die Gesamtzahl und gleichbedeutend mit dem Ganzen. Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil als Zahl angegeben. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts. Wie du die verschiedenen Werte berechnest, kannst du dir mit diesem Dreieck merken. Wir können die verschiedenen Werte mithilfe dieser Formeln berechnen, wir können aber auch immer den Dreisatz verwenden. Ugly hat 30 Menschen in einer Nacht erschreckt. Bugly hat nur 80% davon erschreckt. 30 ist der Grundwert und 80% ist der Prozentsatz. Wollen wir herausfinden, wie viele Menschen Bugly erschreckt hat, so müssen wir den Prozentwert bestimmen. Da 30 der Grundwert ist, können wir ihn mit 100 % identifizieren. Als ersten Schritt des Dreisatzes schreiben wir dies als Ausgangsgrößen auf. Wir teilen beide Seiten durch 100 um auf den Wert für 1 Prozent zu kommen. Mithilfe dieser Werte können wir nun einfach auf den gewollten Prozentsatz hochrechnen. Wir multiplizieren also auf beiden Seiten mit 80 und kommen so auf 24 erschreckte Menschen. Bugly hat also nur 24 Menschen erschreckt. Stellen wir uns einmal vor, das Ugly an einem Tag 60 Menschen erschreckt hat. Das ist der Prozentwert. Dies sollen dann 20% mehr als am Tag zuvor sein. Man kann auch den Grundwert mithilfe des Dreisatzes bestimmen. 60 Menschen entsprechen 120 Prozent, weil es 20 Prozent mehr sind. Das sind unsere Ausgangsgrößen. Wir teilen nun beide Werte durch 120, um auf den Wert für 1% zu gelangen. Dann multiplizieren wir diesen Wert mit 100, um auf die gewollten 100% für den Grundwert zu kommen. Damit hätte Ugly am Vortag 50 Menschen erschreckt. In einer anderen Nacht hat Ugly 70 Menschen erschreckt und Bugly 90. Wir können den Unterschied zwischen diesen beiden Werten in Prozent angeben. 70 ist der Grundwert und entspricht 100%. 90 ist der Prozentwert. Mit demselben Vorgehen kann man nun den Prozentsatz bestimmen. Wir schreiben die Ausgangsgrößen auf und teilen auf beiden Seiten durch 70. Um dann herauszufinden, wie viel Prozent den 90 Personen entsprechen, multiplizieren wir nun beide Seiten mit 90. Wir erhalten also ca. 128,57%. Bugly hat ca. 28,57% mehr Menschen erschreckt. Bevor die Monster in die nächste Nacht ziehen, fassen wir zusammen. Beim Dreisatz gehen wir in drei Schritten vor. Zunächst müssen wir die Ausgangsgrößen erkennen. Dann rechnen wir auf 1 herunter und zu dem gesuchten Wert hoch. Und die Monster erschrecken anscheinend immer noch sich selber..

23 Kommentare

23 Kommentare
  1. Ugly heisst der eine

    Von Jason, vor 13 Tagen
  2. Danke ich komme jetzt viel besser mit den Hausaufgaben zurecht

    Von Luca, vor 5 Monaten
  3. Kleiner Tipp: wenn du 100% ==> 250 hast, dann kannst du auch durch 10 teilen. das macht es einfacher...

    Von Aristotelis, vor 7 Monaten
  4. cooles Video

    Von Mirja, vor 7 Monaten
  5. der schluss ist nett

    Von Fanø liebe, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Prozentrechnung mit dem Dreisatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung mit dem Dreisatz kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den Grundwert.

    Tipps

    Bei dem Dreisatz im Bild musst du auf beiden Seiten der Zuordnung jeweils dieselbe Rechenoperation ausführen.

    Den Wert zum Prozentsatz $1\%$ erhältst du, indem du den Wert zum Prozentsatz $120\%$ durch $120$ dividierst.

    Entspricht dem Prozentsatz $150\%$ der Prozentwert $90$, so entspricht dem Prozentsatz $1\%$ der Prozentwert $90:150=0,6$ und der Grundwert ist $0,6\cdot 100=60$.

    Lösung

    Den Dreisatz kannst du verwenden, um zu einem gegebenen Prozentwert $W = 60$ den Grundwert $G$ zu bestimmen. Der Prozentwert ist um $20\%$ größer als der Grundwert, der Prozentsatz beträgt also $120\%$.

    Bei einem Dreisatz rechnest du zuerst auf den Referenzwert $1$ herunter, in diesem Fall auf $1\%$. Da $W=60$ dem Prozentsatz $120\%$ entsprechen, musst du durch $120$ dividieren, um den Prozentwert $60:120 = 0,5$ zu dem Prozentsatz $1\%$ zu erhalten. Nun kannst du diesen Prozentwert wieder mit $100$ multiplizieren und erhältst so den Prozentwert zu dem Prozentsatz $100\%$, also den Grundwert $G = 0,5 \cdot 100 = 50$.

    Bei dem Dreisatz für eine proportionale Zuordnung musst du links und rechts jeweils die gleiche Rechenoperation ausführen, also im ersten Schritt die Division durch $120$, im zweiten Schritt die Multiplikation mit $100$.

  • Berechne den Prozentwert.

    Tipps

    Den Prozentwert zum Prozentsatz $1\%$ findest du, indem du den Grundwert durch $100$ dividierst.

    Der Prozentsatz $80\%$ entspricht dem Bruch $\frac{80}{100} = \frac{4}{5}$, daher ist $80\%$ von $30$ dasselbe wie $\frac{4}{5} \cdot 30$.

    Um mit dem Dreisatz aus dem Prozentwert zu dem Prozentsatz $80\%$ den Grundwert zu bestimmen, musst du zuerst durch $80$ dividieren und dann mit $100$ multiplizieren.

    Lösung

    Mit dem Dreisatz kannst du beliebige Werte einer proportionalen Zuordnung übersichtlich ausrechnen. Du rechnest von einem gegebenen Zuordnungspaar immer zuerst auf den Referenzwert $1$ herunter. Dann kannst du im zweiten Schritt den gesuchten Wert in die Zuordnung einsetzen.

    In der Prozentrechnung bestimmt der Grundwert eine proportionale Zuordnung zwischen dem Prozentsatz und dem Prozentwert (oder umgekehrt). In der Aufgabe ist der Grundwert $G=30$ vorgegeben. Zu dem Prozentsatz $80\%$ soll der Prozentwert berechnet werden.

    Du berechnest zuerst den Prozentwert zu dem Prozentsatz $1\%$, indem du den Grundwert durch $100$ dividierst: Der Prozentwert zum Prozentsatz $1\%$ ist also $30:100=0,3$. Den Prozentwert zu dem Prozentsatz $80\%$ findest du nun, indem du das Ergebnis mit $80$ multiplizierst:

    $W = 0,3 \cdot 80 = 24$

    Du kannst den Dreisatz auch verwenden, um bei vorgegebenem Prozentwert $W = 24$ den Grundwert $G$ zu berechnen. Die Zuordnung ist wieder die zwischen Prozentwert und Prozentsatz, vorgegeben ist diesmal der Prozentsatz $80\%$. Du rechnest wieder zuerst auf den Prozentsatz $1\%$ herunter, dividierst also den Prozentwert $W=24$ durch die Prozentzahl $80$ und erhältst den Prozentwert zum Prozentsatz $1\%$:

    $24:80 = 0,3$

    Um den Grundwert zu erhalten, multiplizierst du mit $100$, denn der Grundwert ist dasselbe wie der Prozentwert zum Prozentsatz $100\%$:

    $G = 0,3 \cdot 100 = 30$

  • Bestimme den Prozentwert mit Hilfe des Dreisatzes.

    Tipps

    Der Grundwert $G$ entspricht dem Ganzen, also $p\%=100\%$.

    Rechne zunächst den Prozentwert $W$ zu $p\%=1\%$. Rechne dann auf den jeweiligen Prozentsatz hoch, um den zugehörigen Prozentwert zu erhalten.

    Du kannst den Prozentsatz als Dezimalbruch oder Prozentzahl mit Prozentzeichen schreiben. Es gilt:

    • $p\%=0,15=15\%$
    Lösung

    Der Grundwert $G$ entspricht dem Ganzen, also $p\%=100\%$. Wir bestimmen die gesuchten Prozentwerte mit Hilfe des Dreisatzes. Hierzu rechnen wir zunächst den Prozentwert $W$ zu $p\%=1\%$. Dann rechnen wir auf den jeweiligen Prozentsatz hoch, um den zugehörigen Prozentwert zu erhalten.

    So finden wir folgende Zuordnungen

    • Den Grundwert $G=80$ teilen wir zunächst durch $100$ und erhalten den Prozentwert $0,8$ zu dem Prozentsatz $p\%=1\%$. Diesen Prozentwert multiplizieren wir mit $15$, um den Prozentwert zu dem Prozentsatz $p\% = 0,15=15\%$ zu berechnen. Wir erhalten so den gesuchten Prozentwert $W=0,8 \cdot 15 = 12$.
    • Den Prozentwert $W$ zu dem Prozentsatz $p\% = 51\%$ finden wir, indem wir den Grundwert $G = 65$ zunächst durch $100$ teilen. Dann erhalten wir den Prozentwert $0,65$ zu dem Prozentsatz $1\%$. Durch Multiplikation mit $51$ erhalten wir den gesuchten Prozentwert $W=33,15$.
    • Wir teilen den Grundwert $G = 33$ durch $100$ und multiplizieren den Quotienten mit $\frac{100}{3}$, denn $p\%=\frac 13=\frac {100}3\%$. Damit erhalten wir den gesuchten Prozentwert $W = 11$.
    • Bei dem Grundwert $G= 180$ und dem Prozentsatz $p\%=11\%$ findest du den Prozentwert, indem du zuerst durch $100$ teilst und den Quotienten mit $11$ multiplizierst: $W = 1,8\cdot 11 = 19,8$.
  • Ermittle mit Hilfe des Dreisatzes jeweils die fehlende Größe.

    Tipps

    Ist der Grundwert gesucht, so musst du den gegebenen Prozentwert auf den Grundwert hochrechnen, indem du den Prozentwert zunächst durch die Prozentzahl des zugehörigen Prozentsatzes teilst und dann mit $100$ multiplizierst.

    Lösung

    Jede vollständige Beschreibung besteht aus einem Grundwert $G$, einem Prozentwert $W$ und einem Prozentsatz $p\%$. Mit dem Dreisatz können wir für zwei bekannte Werte die fehlende dritte Größe ermitteln. Hierzu rechnen wir zunächst auf $1$ herunter und dann auf das gesuchte Wertepaar hoch.

    Wir rechnen also wie folgt:

    • Der Grundwert $G = 120$ liefert zum Prozentsatz $45\%$ den Prozentwert $W=120:100\cdot 45=54$.
    • Der Prozentwert $W = 11,25$ zum Prozentsatz $p\% = 15\%$ liefert den Grundwert $G=11,25:15\cdot 100 = 75$.
    • $180$ von $200$ entsprechen dem Prozentsatz $p\% =100\%:200\cdot 180= 90\%$.
  • Definiere die Begriffe.

    Tipps

    Der Prozentsatz entspricht dem Verhältnis des Anteils zum Ganzen.

    Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Verhältnis der Prozentzahl $p$ zu $100$.

    Lösung

    In der Prozentrechnung geht es um den Anteil, bezogen auf ein Ganzes. Das Verhältnis des Anteils zum Ganzen ist meistens die relevante Größe. Sie trägt den Namen Prozentsatz. Das Ganze nennt man den Grundwert, der Anteil heißt Prozentwert. Oft rechnet man den Prozentwert zu einem gegebenen Prozentsatz und Grundwert aus. Da der Prozentsatz das Verhältnis aus Prozentwert und Prozentsatz ist, gilt für den Prozentwert die Formel:

    Prozentwert $=$ Prozentsatz $\cdot$ Grundwert

    Das Zeichen $\%$ steht für $\cdot \frac{1}{100}$. Dem Prozentsatz $p\%$ entspricht daher der Bruch $\frac{p}{100}$. Ist $p$ einstellig, so entspricht dem Bruch $\frac{p}{100}$ der Dezimalbruch $0,0p$. Ist $p$ mehrstellig oder selbst ein Dezimalbruch, so entspricht der Prozentsatz $p\%$ der Verschiebung des Kommas um zwei Stellen nach links.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Prozentwert ist das Produkt aus dem Grundwert und dem Prozentsatz.“ Dies ist genau der Inhalt der Formel, die du oben siehst.
    • „Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Bruch $\frac{p}{100}$.“ Das Zeichen $\%$ steht genau für die Multiplikation mit dem Bruch $\frac{1}{100}$, daher ist $p\% = p \cdot \frac{1}{100} = \frac{p}{100}$
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Es gilt: $p\%=\frac{G}{W}$“ Stattdessen ist der Prozentsatz das Verhältnis $\frac{W}{G}$ des Prozentwertes $W$ zum Grundwert $G$.
    • „Der Grundwert ist die Summe aus dem Prozentwert und dem Prozentsatz.“ Vielmehr ist der Prozentwert das Produkt aus dem Prozentsatz und dem Grundwert. Der Grundwert andererseits ist der Quotient aus dem Prozentwert und dem Prozentsatz.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    $10\%$ von $10\%$ eines Grundwertes sind nicht $100\%$ des Grundwertes.

    $10\%$ weniger als $220$ sind $100\% - 10\% = 90\%$ von $220$, also $220 \cdot 0,9 = 198$.

    Lösung

    Die Aussage „$X$ sind $20\%$ mehr als $Y$“ bedeutet, dass $Y$ als Grundwert zu verstehen ist. Die Prozentzahl liegt um $20$ über der Prozentzahl $100$ des Grundwertes, der Prozentsatz ist also $120\%$ und der Prozentwert ist $X$. Du kannst in dieser Aussage entweder $X$ oder $Y$ als bekannt voraussetzen und die jeweils andere Größe mittels eines Dreisatzes ausrechnen. Analoges gilt, wenn du „mehr“ durch „weniger“ ersetzt: Wieder ist $Y$ der Grundwert, auf den sich die Aussage bezieht.

    Dem Prozentsatz $p\%$ entspricht der Bruch $\frac{p}{100}$. Den Prozentwert aus einem Grundwert zum Prozentsatz $p\%$ auszurechnen, ist dasselbe, wie den Grundwert mit dem Bruch $\frac{p}{100}$ zu multiplizieren. Multiplizierst du zweimal mit $\frac{p}{100}$, so musst du die Regeln der Bruchrechnung beachten und Zähler und Nenner miteinander multiplizieren: $\frac{10}{100} \cdot \frac{10}{100} = \frac{100}{10.000} = \frac{1}{100}$. Daher sind $10\%$ von $10\%$ eines Ganzen nicht das Ganze selbst, sondern nur $1\%$ dieses Ganzen.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „$180$ sind $20\%$ mehr als $150$.“ Hier ist $150$ der Grundwert. $20\%$ mehr als der Grundwert bedeutet, dass der Prozentsatz $120\% = 1,2$ beträgt. Und tatsächlich ist $150 \cdot 1,2 = 180$.
    • „$15\%$ mehr als der Grundwert sind das $1,15$-fache des Grundwertes.“ Die Aussage $15\%$ mehr bedeutet, dass mit dem Prozentsatz $115\%=1,15$ zu rechnen ist.
    • „$11\%$ von $900$ sind dasselbe wie $99\%$ von $100$.“ Zur Berechnung des Prozentwertes ist es nützlich, den Prozentsatz als Dezimalbruch zu schreiben: $11\%$ von $900$ sind $900 \cdot 0,11 = 99$ und $99\%$ von $100$ sind $100 \cdot 0,99 = 99$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „$90$ sind $10\%$ weniger als $100$, und $100$ sind $10\%$ mehr als $90$.“ Der erste Halbsatz ist richtig, der zweite falsch. Im ersten Halbsatz ist $100$ der Grundwert und $100\% - 10\% = 90\%$ der Prozentsatz. $90\%$ von $100$ sind $100 \cdot 0,9 = 90$, also ist $90$ genau $10\%$ weniger als $100$. Im zweiten Halbsatz ist aber $90$ der Grundwert, auf den sich das „$10\%$ mehr“ bezieht. Mit dem Grundwert $90$ und dem Prozentsatz $100\% + 10\% = 110\%$ findest du den Prozentwert $90 \cdot 1,1 = 99$. Daher ist $99$ genau $10\%$ mehr als $90$. Da der Prozentwert eindeutig ist, kann diese Aussage nicht gleichzeitig für den Wert $100$ richtig sein.
    • „$15\%$ von $20$ sind mehr als $20\%$ von $15$.“ Hier kannst du wieder die Prozentsätze als Dezimalbrüche schreiben und nachrechnen: $15\%$ von $20$ sind $20 \cdot 0,15 = 3$ und $20\%$ von $15$ sind $15 \cdot 0,2 = 3$. Die beiden Prozentwerte sind also gleich.
    • „$9\%$ von $9\%$ eines Ganzen sind $81\%$ dieses Ganzen.“ Die Berechnung des Prozentwertes aus einem Grundwert ist dasselbe wie die Multiplikation des Grundwertes mit dem Prozentsatz $p\% = \frac{p}{100}$. Berechnest du von diesem Ergebnis wieder den Prozentsatz $p\%$, so multiplizierst du ein weiteres Mal mit dem Bruch $\frac{p}{100}$. Du kannst die beiden Rechnungen zusammenfassen, indem du mit dem Bruch $\frac{p}{100} \cdot \frac{p}{100}$ multiplizierst. Im Fall des Prozentsatzes $9\% = \frac{9}{100}$ erhältst du $\frac{9}{100} \cdot \frac{9}{100} = \frac{81}{10.000} = \frac{0,81}{100}$. Daher sind $9\%$ von $9\%$ eines Ganzen nicht $81\%$, sondern $0,81\%$ dieses Ganzen.
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