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Prozentrechnung: Prozentsatz

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Team Digital
Prozentrechnung: Prozentsatz
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Prozentrechnung: Prozentsatz

Prozentrechnung: Der Prozentsatz

Buuuhgo der Geist möchte endlich seine Spukprüfung ablegen. Dazu muss er mindestens $90~\%$ der Lebewesen erschrecken, die ihm während seiner Prüfung begegnen. Damit er beim Üben abschätzen kann, ob ihm die Prüfung gelingen wird, muss er sich mit dem Prozentsatz auskennen. Schauen wir uns an, was er genau wissen muss!

Der Prozentsatz – Erklärung

Prozentsatz – Definition

Der Prozentsatz $p\%$ gibt in Mathe den Anteil des Prozentwerts $W$ am Grundwert $G$ in Prozent an. Wenn der Grundwert beispielsweise $10$ und der Prozentwert $5$ Personen sind, dann ist das ein Anteil von $50~\%$ am Grundwert. Statt $50~\%$ können wir auch schreiben $0,5$.

Wie berechnet man den Prozentsatz?

Um herauszufinden, wie man den Prozentsatz berechnen kann, erinnern wir uns an das Dreieck der Prozentrechnung:

Prozentsatz berechnen

Wir können den Prozentsatz berechnen, indem wir den Prozentwert durch den Grundwert teilen. Als Formel geschrieben sieht das folgendermaßen aus:

$p\% = \frac{W}{G}$

Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.

Prozentsatz berechnen – Beispiele

Beispiel 1

Bei seinem ersten Versuch hat Buuuhgo versucht, $50$ Lebewesen zu erschrecken. Also ist $50$ der Grundwert $W$. Bei $27$ Lebewesen hatte er Erfolg. Das ist also der Prozentwert $G$. Wie viel Prozent sind nun $27$ von $50$? Um das herauszufinden, benutzen wir die Formel für den Prozentsatz:

$p\% = \frac{W}{G} = \frac{27}{50} = 0,54$

Hier steht der Prozentsatz als Dezimalbruch. Um den Prozentsatz in Prozent umzurechnen, multiplizieren wir mit $100$ und ergänzen das $\%$-Zeichen:

$p\% = 54~\% $

Buuuhgo hat also $54~\%$ der Lebewesen erfolgreich erschreckt. Zum Bestehen ist das noch zu wenig.

Beispiel 2

In seiner zweiten Übungsrunde versucht Buuuhgo, $26$ Lebewesen zu erschrecken. Bei $18$ Lebewesen hat er Erfolg. Wir setzen die Werte in die Formel für den Prozentsatz ein:

$p\% = \frac{W}{G} = \frac{18}{26} \approx 0,69$

Wir multiplizieren wieder mit $100$ und ergänzen das $\%$-Zeichen, um den Prozentsatz in Prozent zu erhalten:

$p\% = 69~\%$

Buuuhgo konnte also $69~\%$ der Lebewesen erschrecken. Das ist schon besser, aber reicht immer noch nicht.

Beispiel 3

In seiner Prüfung muss Buuuhgo versuchen, $736$ Lebewesen zu erschrecken. Er schafft es bei $720$ Lebewesen. Ist das ausreichend? Um das herauszufinden, müssen wir den Prozentsatz ermitteln. Dieses Mal nutzen wir zur Berechnung des Prozentsatzes eine alternative Methode.

Wir bestimmen zunächst, wie viel Prozent ein Lebewesen von insgesamt $736$ Lebewesen ist. Um von $736$ auf $1$ Lebewesen zu kommen, müssen wir $736$ durch $736$ teilen. Daher müssen wir auch $100~\%$ durch $736$ teilen, um den Prozentsatz für $1$ Lebewesen zu bestimmen:

$736 \hat{=} 100~\%$

$\downarrow ~ ~ ~ :736$

$1 \hat{=} 0,136~\%$

Ein Lebewesen entspricht also $0,136~\%$ von $736$ Lebewesen. Um jetzt zu bestimmen, wie viel Prozent $720$ Lebewesen sind, müssen wir mit $720$ multiplizieren.

$1 \hat{=} 0,136~\%$

$\downarrow ~ ~ ~ \cdot 720$

$720 \hat{=} 97,92~\%$
Das ist der gesuchte Prozentsatz zu $720$ von $736$ Lebewesen:

$p\% = 97,92~\%$

Buuuhgo hat es also geschafft, ungefähr $98~\%$ der Lebewesen zu erschrecken. Damit hat er die Prüfung bestanden!

Dieses Video

In diesem Video lernst du, was ein Prozentsatz ist und wie du ihn ausrechnen kannst. Neben Text und Video findest du zum Thema Prozentsatz auch Aufgaben, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst!

Transkript Prozentrechnung: Prozentsatz

Buuuhgo der Geist möchte endlich die Spukprüfung ablegen. Dazu muss er einen bestimmten Anteil an Lebewesen erschrecken, die ihm während der Prüfung begegnen. Oh, das läuft ja super. Um zu wissen, ob er die Prüfung auch wirklich besteht, muss Buuuhgo sich mit der Berechnung des Prozentsatzes auskennen. In diesem Video lernst du, wie du den Prozentsatz berechnen kannst, wenn du Prozentwert und Grundwert gegeben hast. In der Prozentrechnung ist der Grundwert die Gesamtzahl und gleichbedeutend mit dem Ganzen. Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil als konkreter Wert angegeben. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts. Diesen geben wir üblicherweise als Dezimalzahl an. Wie du die verschiedenen Werte berechnest, kannst du dir mit diesem Dreieck merken. Buuhgo muss zum Bestehen der Prüfung mindestens 80% der Lebewesen erschrecken. Er muss sich also vor allem mit der Berechnung des Prozentsatzes auskennen. Der Prozentsatz ist das Verhältnis zwischen dem Prozentwert und dem Grundwert. Man kann ihn also mit W, geteilt durch G, berechnen. Bei seinen ersten Erschreckversuchen, hat Buuuhgo insgesamt versucht 50 Lebewesen zu erschrecken. Da dies die Gesamtzahl seiner Testobjekte ist, ist 50 also der Wert für den Grundwert G. Er hat es geschafft 27 dieser zu erschrecken. Dies ist also der Prozentwert W. Um den Prozentsatz herauszufinden, können wir diese Werte nun einfach in unsere Formel für den Prozentsatz einsetzen. Wir rechnen also 27 geteilt durch 50 und erhalten genau 0,54. Wandeln wir diesen Wert in Prozent um, so multiplizieren wir mit 100% und erhalten 54 Prozent. Da muss Buuuhgo wohl noch ein bisschen üben, um die Prüfung zu bestehen. Bei seinem nächsten Versuch wollte Buuuhgo 26 Lebewesen erschrecken. 18 von Ihnen hatten tatsächlich Angst. Der Grundwert hier ist also 26 und der Prozentwert ist 18. Setzen wir dies nun wieder in die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes ein, und berechnen 18 geteilt durch 26 so erhalten wir gerundet 0,69 und in Prozent umgerechnet 69 Prozent. Puh, das wird aber knapp mit der Prüfung da muss Buuuhgo sich aber noch eine bessere Taktik ausdenken. Am Tag der Prüfung sollte er 736 Lebewesen Angst einjagen. Dies ist unser Grundwert. 720 davon haben sich erschreckt. Dies ist also unser Prozentwert. Wir können den Prozentsatz nun auch mithilfe des Dreisatzes berechnen. 736 entspricht 100%. Um die Prozentzahl für eine Person herauszufinden, teilen wir diese beiden Werte durch 736. 1 Person entspricht also gerundet 0,136 %. Um dann herauszufinden, wie viel Prozent den 720 Personen entsprechen, multiplizieren wir nun beide Seiten mit 720. Rechnen wir mit dem gerundeten Wert weiter, so entsprechen 720 Personen also 97,92%. Der Prozentsatz entspricht dann 97,92% geteilt durch 100%, also gerundet 0,98. Buuuhgo hat es tatsächlich geschafft! Und während er weiter Angst und Schrecken verbreitet, fassen wir zusammen. Den Prozentsatz berechnen wir durch Prozentwert geteilt durch Grundwert. Du kannst dir die Formel auch aus diesem Dreieck ablesen. Außerdem kannst du den Prozentsatz immer mithilfe des Dreisatzes berechnen. Aber wie hat Buuuhgo es denn eigentlich geschafft, so viele Lebewesen zu erschrecken? Achso!

28 Kommentare

28 Kommentare
  1. nette Storie und hilfreich

    Von Katharina 43, vor etwa einem Monat
  2. Ich liebe die Videos und finde sie auch informativ aber wenn ich eine Sache auszusetzen hätte wäre es das manchmal normale Hände Sachen zeigen, es sieht dann ein bisschen fehl am Platz aus

    Von Thea, vor 3 Monaten
  3. Ich finde das ist sehr gut erklärt und ich habs dann verstanden.

    Von malu , vor 3 Monaten
  4. Ich habe es jetzt endlich verstanden 😊
    Danke für diese tollen Videos hier auf Sofatutor!!!

    Von Romika 1, vor 6 Monaten
  5. Hallo Mathiaswilhelm,
    an der Stelle wird mit einem gerundeten Wert gerechnet. Mit diesem wird dann auch weitergerechnet, deswegen ergibt sich dort als Ergebnis 97,92%. Wenn du mit dem Taschenrechner rechnest und nicht rundest, kommt ein genaueres Ergebnis heraus, da hast du recht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen konnten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 8 Monaten
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Prozentrechnung: Prozentsatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Prozentsatz kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne mithilfe des Dreisatzes die jeweiligen Prozentsätze.

    Tipps

    Die Gesamtzahl der zu erschreckenden Lebewesen entspricht dem Grundwert $G$. Der Grundwert entspricht $100\%$.

    Hier siehst du ein Beispiel für einen Dreisatz.

    Lösung

    Gehen wir die Rechnung mal gemeinsam durch.

    Wir betrachten in dieser Aufgabe insgesamt $736$ Lebewesen, die Buuuhgo erschrecken soll. Die Gesamtzahl der Lebewesen entspricht $100\ \%$ und damit dem Grundwert $G$. Wir wissen, dass Buuuhgo $720$ der Lebewesen erschreckt hat. Damit kennen wir den Prozentwert $W$ für die erschreckten Lebewesen. Nun können wir mit dem Dreisatz den Prozentsatz zu $W=720$ ermitteln. Hierzu gehen wir wie folgt vor:

    • $100\ \%\ \hat{=}\ 736\ $ Lebewesen
    Nun möchten wir den Prozentsatz von einem Lebewesen bestimmen. Wir teilen hierzu beide Seiten durch $736$:

    • $\dfrac{100\ \%}{736}\ \hat{=}\ \dfrac{736}{736}\ $ Lebewesen $\quad\Rightarrow\quad 0,136\ \%\ \hat{=}\ 1\ $ Lebewesen
    Jetzt können wir den Prozentsatz für $720$ Lebewesen bestimmen, indem wir beide Seiten mit $720$ multiplizieren:

    • $0,136\ \%\ \cdot 720\ \hat{=}\ 1\cdot 720\ $ Lebewesen $\quad\Rightarrow\quad 97,92\ \%\ \hat{=}\ 720\ $ Lebewesen
    Also entsprechen $720$ Lebewesen einem Prozentsatz von gerundet $0,98$, da $97,97\ \% : 100\ \% \approx 0,98$ ist.

  • Vervollständige die Tabelle, indem du die Prozentsätze bestimmst.

    Tipps

    Den Prozentsatz $p\%$ erhältst du, indem du den Prozentwert $W$ durch den Grundwert $G$ teilst. Der Prozentsatz $p\%$ entspricht einer Dezimalzahl:

    • $p\%=\dfrac WG$
    Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Lebewesen in einem Test.

    Beim Runden betrachtest du die nächstkleinere Stelle zu der Stelle, auf die du runden möchtest. Möchtest du also auf die zweite Stelle nach dem Komma runden, so betrachtest du die dritte Stelle hinter dem Komma. Ist diese eine $1$, $2$, $3$ oder $4$, so rundest du ab. Andernfalls rundest du auf.

    Lösung

    Für die Spuktests benötigt Buuuhgo die Anteile der erschreckten Lebewesen an der jeweiligen Gesamtzahl der Lebewesen als Prozentsatz. Den Prozentsatz erhalten wir mit folgender Formel:

    • $p\%=\dfrac{W}{G}$
    Somit erhalten wir folgende Tabelle:

    $\begin{array}{c|c|c} \\ \text{Grundwert} \ G & \text{Prozentwert} \ W & \text{Prozentsatz} \ p\% \\ \hline 50 & 27 & 0,54 \\ 26 & 18 & 0,69 \\ 736 & 720 & 0,98 \end{array}$

  • Ermittle die jeweiligen Prozentsätze.

    Tipps

    Verwende die Prozentformel. Diese lautet:

    $p\%=\dfrac WG$

    Dabei ist $G$ der Grundwert und $W$ der Prozentwert.

    Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Gummibärchen in einer Packung. Für den Prozentwert $W$ setzt du immer die Anzahl der Gummibärchen ein, deren Prozentsatz du berechnen möchtest.

    Beachte, dass die Angaben auf den Packungen auch die prozentualen Anteile für weiße und orange Gummibärchen enthalten. Es bleiben also pro Packung zwei Angaben übrig - diese sollst du nicht markieren.

    Lösung

    Wir betrachten hier drei Packungen mit je $28$ Gummibärchen. Diese enthalten pinke, grüne, blaue, gelbe, weiße und orange Gummibärchen. Uns interessieren hier nur die Prozentsätze der pinken, grünen, blauen und gelben Gummibärchen. Die Prozentwerte $W$ erhalten wir, indem wir die Anzahl der jeweiligen Farbe für jede Packung bestimmen. Das hat Suse bereits gemacht und sich Folgendes notiert:

    • Packung 1: $2$ pinke, $7$ grüne, $6$ blaue, $3$ gelbe
    • Packung 2: $4$ pinke, $3$ grüne, $1$ blaue, $13$ gelbe
    • Packung 3: $1$ pinke, $9$ grüne, $5$ blaue, $8$ gelbe
    Mit der Prozentformel können wir nun die Prozentsätze bestimmen. Diese lautet wie folgt:
    • $p\%=\dfrac WG$
    Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Gummibärchen in einer Packung, also $28$. Wir rechnen das nun gemeinsam:

    Packung 1

    • pink: $~p\%=\dfrac 2{28}\approx 0,07$
    • grün: $~p\%=\dfrac 7{28}\approx 0,25$
    • blau: $~p\%=\dfrac 6{28}\approx 0,21$
    • gelb: $~p\%=\dfrac 3{28}\approx 0,11$
    Packung 2

    • pink: $~p\%=\dfrac 4{28}\approx 0,14$
    • grün: $~p\%=\dfrac 3{28}\approx 0,11$
    • blau: $~p\%=\dfrac 1{28}\approx 0,04$
    • gelb: $~p\%=\dfrac {13}{28}\approx 0,46$
    Packung 3

    • pink: $~p\%=\dfrac 1{28}\approx 0,04$
    • grün: $~p\%=\dfrac 9{28}\approx 0,32$
    • blau: $~p\%=\dfrac 5{28}\approx 0,18$
    • gelb: $~p\%=\dfrac 8{28}\approx 0,29$
  • Bestimme ausgehend vom Grund- und Prozentwert den Prozentsatz.

    Tipps

    Verwende die Prozentformel. Beachte, dass du nur Zahlen mit derselben Einheit in die Prozentformel einsetzen darfst.

    Willst du von $\text{km}$ in $\text{m}$ umrechnen, musst du den Wert mit $1000$ multiplizieren. Willst du von $\text{m}$ in $\text{dm}$ umrechnen, so musst du den Wert mit $10$ multiplizieren.

    Die Prozentformel lautet:

    • $p\%=\dfrac WG$
    Dabei ist $p\%$ der Prozentsatz. Dieser kann als Dezimalzahl angegeben werden oder mit einem Prozentzeichen, daher gilt für $W=13$ und $G=20$:

    $p\%=\dfrac {13}{20}=0,65=65%$

    Lösung

    Um den prozentualen Anteil der gerannten Strecken von Roberto zu bestimmen, verwenden wir die Prozentformel. Dabei müssen wir beachten, dass nur Zahlen mit derselben Einheit in die Prozentformel eingesetzt werden dürfen. Also müssen wir die Zahlen für den Grund- und Prozentwert zunächst auf eine gemeinsame Einheit bringen. Dann setzen wir diese in folgende Formel ein und berechnen zunächst den Prozentsatz:

    • $p\%=\dfrac WG$
    Route 1

    Wir betrachten hier $2350\ \text{m}$ von $3,5\ \text{km}$. Es spielt keine Rolle, in welche Längeneinheit wir nun umrechnen. Also wählen wir hier einfach mal Meter und rechnen mit dem Umrechnungsfaktor $1000$ wie folgt um:

    • $3,5\ \text{km}=3,5\cdot 1000 \ \text{m}=3500\ \text{m}$
    Nun setzen wir in die obige Formel ein und erhalten:
    • $p\%=\dfrac {2350\ \text{m}}{3500\ \text{m}}=0,6714$
    Wir erhalten also den Prozentsatz $67,14\%$.

    Route 2

    Nun rechnen wir den prozentualen Anteil für $2,95\ \text{km}$ von $41.000\ \text{dm}$. Wir wählen diesmal Kilometer und rechnen wie folgt um:

    • $41.000\ \text{dm}=41.000: 10.000 \ \text{km}=4,1\ \text{km}$
    Mit obiger Formel erhalten wir:
    • $p\%=\dfrac {2,95\ \text{km}}{4,1\ \text{km}}=0,7195$
    Der Prozentsatz lautet $71,95\%$.

    Route 3

    Wir betrachten $3012\ \text{m}$ von $3,15\ \text{km}$ und rechnen wieder in Kilometer um:

    • $3012\ \text{m}=3012: 1000 \ \text{km}=3,012\ \text{km}$
    Mit obiger Formel erhalten wir:
    • $p\%=\dfrac {3,012\ \text{km}}{3,15\ \text{km}}=0,9562$
    Der Prozentsatz ist also $95,62\%$.

    Route 4

    Nun rechnen wir den prozentualen Anteil für $39.500\ \text{dm}$ von $5460\ \text{m}$. Hierzu rechnen wir in Meter um:

    • $39.500\ \text{dm}=39.500:10\ \text{m}=3950\ \text{m}$
    Mit obiger Formel erhalten wir:
    • $p\%=\dfrac {3950\ \text{m}}{5460\ \text{m}}=0,7234$
    Der Prozentsatz ist also $72,34\%$.

  • Gib die Formeln für Prozentrechnung an.

    Tipps

    Dieses Dreieck kann man als Merkhilfe nutzen.

    Lösung

    Die Prozentformel erlaubt die Berechnung von

    • dem Prozentwert $W$, falls $G$ und $p\%$ bekannt sind.
    • dem Grundwert $G$, falls $W$ und $p\%$ bekannt sind.
    • dem Prozentsatz $p\%$, falls $G$ und $W$ bekannt sind.
    Die jeweilige Formel lautet:
    • $p\%=\dfrac{W}{G}$
    Durch Äquivalenzumformung kannst du diese nach den anderen beiden Größen wie folgt umstellen:

    $\begin{array}{llll} \\ p\% &=& \dfrac{W}{G} & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \vert :p\% \\ G &=& \dfrac{W}{p\%} & \end{array}$

  • Ermittle den Prozentwert.

    Tipps

    Ermittle zunächst, wie viele Punkte man in der Englischarbeit insgesamt erzielen konnte.

    Lege dann fest, welche der Größen Grundwert $G$, Prozentsatz $p\%$ und Prozentwert $W$ gegeben sind. Stelle anschließend die Prozentformel nach der gesuchten Größe um und bestimme diese.

    Lösung

    Beispiel 1

    Da sich die Englischarbeit aus fünf Aufgaben mit je $7$ Punkten zusammensetzt, kann man insgesamt $35$ Punkte erreichen. Die Gesamtzahl der Punkte entspricht hier dem Grundwert $G$. Da Lukas $80\%$ aller Punkte erreicht hat, gilt für den Prozentsatz $p\%=0,8$. Als Nächstes stellen wir die Prozentformel nach dem Prozentwert $W$ um:

    $\begin{array}{llll} p\% &=& \dfrac WG & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Anzahl für die Punkte, die Lukas erzielt hat:

    • $W=G\cdot p\%=35\cdot 0,8=28$
    Beispiel 2

    Lukas hat $52$ Punkte in der Mathearbeit erreicht und weiß, dass er damit $80\%$ der Gesamtpunkte erzielt hat. Die Anzahl erreichter Punkte entspricht hier dem Prozentwert $W$. Da Lukas $80\%$ aller Punkte erreicht hat, gilt für den Prozentsatz $p\%=0,8$. Als Nächstes stellen wir die Prozentformel nach dem Grundwert $G$ um:

    $\begin{array}{llll} p\% &=& \dfrac WG & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \vert : p\% \\ G &=& \dfrac W{p\%} & \\ \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Anzahl für die Punkte, die Lukas erzielt hat:

    • $G = \dfrac W{p\%}= \dfrac {52}{0,8}=65$
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