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Prozentrechnung: Grundwert 04:15 min

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Transkript Prozentrechnung: Grundwert

Wilbur ist Erdnussfarmer und vergleicht die Ernten der letzten Jahre, um für die Zukunft zu planen. Um die Veränderung seiner Ernte über die Jahre hinweg gut verfolgen zu können, muss Wilbur den Grundwert in der Prozentrechnung berechnen können. Schauen wir uns doch noch einmal kurz die wichtigsten Begriffe der Prozentrechnung an. Der Grundwert ist die Gesamtzahl und gleichbedeutend mit dem Ganzen. Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil, der als konkreter Wert angegeben ist. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts. Diesen geben wir üblicherweise als Dezimalzahl an. Wie du die verschiedenen Werte berechnest, kannst du dir mit diesem Dreieck merken. Wilbur muss sich vor allem mit der Berechnung des Grundwerts auskennen. Diesen kann er mit dem Prozentwert, also W, geteilt durch den Prozentsatz, also p% berechnen. Wilbur möchte nun seine Ernte von diesem Jahr mit der Ernte vom letzten Jahr vergleichen. Er weiß, dass er in diesem Jahr 17% weniger als im letzten Jahr geerntet hat. Der konkrete Wert für die diesjährige Ernte sind 520kg Erdnüsse. Dies ist der Prozentwert. Um herauszufinden, wie viel er letztes Jahr geerntet hat, müssen wir den Grundwert berechnen. Dazu müssen wir aber zunächst herausfinden, was wir als Prozentsatz verwenden. Lass uns diesen anhand eines Schaubildes ermitteln. Die Ernte vom letzten Jahr, also der Grundwert, entspricht 100%. Da Wilbur dieses Jahr 17% weniger geerntet hat, entspricht diese Ernte 100%-17%. Das sind 83% und das ist das gleiche wie 0,83. Wir verwenden für p% also 0,83. Setzen wir dies nun in die Gleichung zur Berechnung des Grundwerts ein und rechnen das aus so sehen wir, dass Wilbur letztes Jahr ungefähr 626,5kg Erdnüsse geerntet hat. Zwei Jahre später möchte Wilbur die Entwicklung erneut überprüfen. In diesem Jahr hat er 1315kg geerntet, das ist unser Prozentwert. Das waren 30% mehr als in dem Jahr zuvor. Wir können durch die Berechnung des Grundwerts wieder herausfinden, wie viel er im Vorjahr geerntet hat. Da wir dieses Mal 30% mehr haben, berechnen wir p% durch 100%+30%. Das sind 130% und das ist das gleiche wie 1,3. Berechnen wir den Grundwert wieder mit W geteilt durch p% so sehen wir, dass dies ungefähr 1011,5 kg entspricht. Wilbur hat es tatsächlich geschafft seinen Ernteertrag zu steigern! Man kann den Grundwert auch immer mit der Methode des Dreisatzes berechnen. Stellen wir uns dazu einmal vor, dass Wilbur in einem Jahr 1214kg geerntet hat. Das ist der Prozentwert. Dies sollen 20% mehr sein als im Vorjahr. 1214kg entsprechen also 120%. Wir teilen nun beide Werte durch 120, um auf den Wert für 1% zu gelangen. Dann multiplizieren wir diesen gerundeten Wert mit 100, um auf die gewollten 100% zu kommen. Damit hätte Wilbur im Vorjahr ungefähr 1012kg Erdnüsse geerntet. Fassen wir das doch noch einmal zusammen. Um den Grundwert zu berechnen, solltest du zunächst herausfinden, welchen Wert du als Prozentsatz verwendet kannst. Dazu kann dir ein Schaubild wie dieses helfen. Der Grundwert berechnet sich durch Prozentwert geteilt durch Prozentsatz. Du kannst die Formel auch aus diesem Dreieck ablesen. Außerdem kannst du zur Berechnung des Grundwerts den Dreisatz verwenden. Und wie hat Wilbur sich eigentlich entwickelt in den Jahren? Der ist nun 3% größer, 15% breiter und 100% schlauer.

3 Kommentare
  1. Bei Aufgabe 4 gibt es einen Fehler. W=140, p%=110% sollten nicht zu G=125 sondern zu G=128.

    Von Ophélie W., vor etwa 6 Stunden
  2. Sehr gute Erklärung 👍👍👍

    Von Danielle A., vor 19 Tagen
  3. Ihr seid die besten

    Von Deinem Vater, vor 3 Monaten

Prozentrechnung: Grundwert Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Grundwert kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne den Grundwert mit dem Dreisatz.

    Tipps

    Der Prozentwert ist immer ein Anteil des Grundwertes.

    Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert.

    Hier ist ein Beispiel für den Dreisatz:

    \begin{alignat}{2} 520 \qquad &\widehat{=}& &\qquad 87\% \\ 520 : 83 = 6,265 \qquad &\widehat{=}& &\qquad 1\% \\ 100 \cdot 6,265 = 626,5 \qquad &\widehat{=}& & \qquad 100\% \end{alignat}

    Lösung

    Der Prozentwert ist ein Anteil der Erdnussernte bezogen auf einen Grundwert. Der Prozentsatz gibt denselben Anteil an bezogen auf den Grundwert $100$. Aus dem Prozentsatz und dem Prozentwert kannst du den Grundwert mit Hilfe des Dreisatzes ausrechnen.

    Dazu dividierst du den angegebenen Prozentwert durch die zugehörige Prozentzahl. Das Ergebnis ist der Prozentwert für $1\%$. Du multiplizierst diesen mit $100$ und erhältst so den Grundwert.

    Wilburs Ernte in $\text{kg}$ beträgt $W=1214$. Dies sind $20\%$ mehr als die Vorjahresernte, also $120\%$ des Grundwertes.

    Der Prozentwert in $\text{kg}$ zu dem Prozentsatz $1\%$ beträgt dann:

    $1214 : 120 = 10,12$

    Wilbur rechnet daraus den Grundwert in $\text{kg}$ aus:

    $G= 10,12 \cdot 100= 1012$

    Du kannst den Dreisatz auch so aufschreiben:

    \begin{alignat}{2} 1214 \qquad &\widehat{=}&& \qquad 120\% \\ 101,2 \qquad &\widehat{=}&& \qquad 1\% \\ 1012 \qquad &\widehat{=}&& \qquad 100\% \end{alignat}

  • Beschreibe, wie man den Grundwert bestimmt.

    Tipps

    Die Prozentzahl ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz ist die Zahl mit Prozentzeichen.

    Den Prozentsatz kannst du als $42\%$ oder als $0,42$ schreiben.

    Bei dem Prozentsatz kleiner als $100\%$ bzw. $1,0$ in der Dezimalbruchschreibweise ist der Grundwert größer als der Prozentwert.

    Lösung

    Wilbur berechnet die Gesamtmenge seiner Erdnussernte im Vorjahr. Dies ist der Grundwert. Der Prozentwert $W$ ist ein Anteil des Grundwertes $G$, der als Zahl angegeben wird. Der Prozentsatz $p\%$ ist der zugehörige prozentuale Anteil. Er wird meistens als Dezimalbruch angegeben. Manchmal wird er aber auch als Prozentzahl mit darauffolgenden Prozentzeichen angegeben.

    Wilbur hat in diesem Jahr $17\%$ weniger geerntet als im Vorjahr. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G$, also $100\%$ und die aktuelle Ernte der Prozentwert $W$. Um nun den prozentualen Anteil der diesjährigen Ernte zu erhalten, müssen wir die $17\%$ subtrahieren:

    $100\% - 17\% = 83\%$

    Den Prozentsatz $p\%$ schreiben wir üblicherweise als Dezimalbruch:

    $83\%=0,83$

    In diesem Jahr hat Wilbur $520~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Dies ist der Prozentwert. Den Grundwert $G$ berechnet er, indem er den Prozentwert durch den Prozentsatz dividiert. Um dir diese Formel zu merken, kann dir das Dreieck oben helfen.

    $G = \frac{W}{p\%} = \frac{520}{0,83} \approx 626,5$

    Er hat im Vorjahr also $626,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

    Zwei Jahre später hat Wilbur $1315~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Das sind diesmal $30\%$ mehr als im Vorjahr. Bezogen auf die Vorjahresernte ist der aktuelle Ertrag der Prozentwert. Wie zuvor berechnet Wilbur die Vorjahresernte, d.h. den Grundwert:

    $G = \frac{W}{p\%}= \frac{1315~\text{kg}}{1,3} = 1011,5~\text{kg}$

    Er hat im Jahr davor also $1011,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

  • Bestimme den Grundwert.

    Tipps

    Den Prozentsatz setzt du in der Rechnung am besten als Dezimalbruch ein, d.h. $57\% = \frac{57}{100} = 0,57$.

    Bei einem Prozentwert $W = 118$ und einem Prozentsatz $p\% = 71\%$ beträgt der Grundwert:

    $ G = \frac{W}{p\%} = \frac{118}{0,71} \approx 166,2$

    Lösung

    Zur Berechnung des Grundwertes $ G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p\%$ verwendest du die Formel:

    $G = \frac{ W}{p\%}$

    Hier sind die Rechnungen:

    • Für $W = 520$ und $p\% = 83\%$ erhältst du: $G = \frac{520}{0,83} = 626,5$.
    • Bei $W = 1315$ und $p\% = 130\%$ ist $G = \frac{1315}{1,3} = 1011,5$.
    • Ist $W = 1214$ und $p\% = 120\%$, so erhältst du den Grundwert $ G = \frac{1214}{1,2} = 1011,\overline{6}$
    • Für $W = 1214$ und $p\% = 100\%$ kommst du auf $ G = \frac{1214}{1,0} = 1214$.
  • Analysiere die Beschreibungen.

    Tipps

    Bei einem Zuwachs um $5\%$ ist der Prozentwert das $1,05$-fache des Grundwertes. Überlege, wie sich der Wert verändert, wenn du den Prozentwert als neuen Grundwert nimmst und der Zuwachs wieder $5\%$ beträgt.

    Wir rechnen mit einem Grundwert von $G_1=100$. Bei einem Zuwachs von $5\%$, also einem Prozentsatz von $p\%=105\%=1,05$ beträgt der Prozentwert $W_1=105$.

    Betrachten wir nun das folgende Jahr, ist der Prozentwert $W_1$ unser neuer Grundwert $W_1=G_2=105$ und wir erhalten $W_2=110,25$.

    Das entspricht einem Zuwachs von $10,25\%$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Wenn die Ernte in diesem Jahr um $25\%$ größer ausfällt als im Vorjahr, so macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus.“ Der Prozentsatz beträgt $125\%$, das sind $\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Daher macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus.
    • „Ist der Ertrag im zweiten Jahr um $25\%$ größer als im ersten Jahr und im dritten Jahr um $20\%$ kleiner als im zweiten Jahr, so sind die Erträge des ersten und dritten Jahres gleich.“ Der Prozentsatz des Ertrags des zweiten Jahres gegenüber dem ersten Jahr beträgt $125\% = 1,25 = \frac{5}{4}$. Der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem zweiten beträgt $80\% = 0,8 = \frac{4}{5}$. Daher beträgt der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem ersten $\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1 = 100\%$. Wichtig ist hierbei, dass der Ernteertrag des zweiten Jahres sowohl der Prozentwert der ersten Berechnung, als auch der Grundwert der zweiten Berechnung ist.
    • „Wachsen der Prozentsatz und der Prozentwert um denselben Faktor, so bleibt der Grundwert gleich.“ Für den Grundwert gilt die Formel $G = \frac{W}{p \%}$. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit demselben Faktor ändert den Grundwert nicht.
    • „Ist der Prozentsatz kleiner als $1$, so ist der Grundwert größer als der Prozentwert.“ Der Prozentwert ist das Produkt aus Prozentsatz und Grundwert. Ist der Prozentsatz kleiner als $1 = 100\%$, so ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Wächst die Ernte in zwei aufeinander folgenden Jahren jeweils um $10\%$, so ist die Ernte im dritten Jahr genau um $20\%$ gegenüber dem ersten Jahr angewachsen.“ Ein Zuwachs um $10\%$ entspricht der Multiplikation mit dem Faktor $1,1$. Ein weiterer Zuwachs um $10\%$ entspricht wieder der Multiplikation mit $1,1$. Damit entspricht der Ertrag des dritten Jahres im Vergleich zum ersten der Multiplikation mit $1,1 \cdot 1,1 = 1,21$. Dies ist ein Zuwachs von $21\%$ statt nur $20\%$, wie behauptet. Eine andere Erklärung ist, dass im ersten Jahr der Ertrag bei $100\%$ liegt. Im zweiten Jahr kommen $10\%$ hinzu, weshalb der Ertrag bei $110\%$ liegt. Im dritten Jahr gibt es wieder eine Steigerung um $10\%$, wobei diese sich nun auf den Grundwert vom zweiten Jahr beziehen. $10\%$ von $110\%$ sind $11\%$. Diese sind den zu den $110\%$ aus dem zweiten Jahr hinzuzurechnen. Somit ergibt sich für das dritte Jahr: $100 \% + 10\% + 11\% = 121\%$.
    • „Ist die Prozentzahl größer als $1$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert.“ Die Prozentzahl ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz ist ein Dezimalbruch: Der Zähler ist die Prozentzahl, der Nenner ist $100$. Der Prozentwert ergibt sich aus der Multiplikation des Grundwertes mit dem Prozentsatz, nicht mit der Prozentzahl. Ist z.B. der Prozentsatz $p\% = 5\%$, so ist die Prozentzahl größer als $1$ (nämlich $5$). Der Prozentwert ist aber kleiner als der Grundwert, da der Prozentwert nur $5\%$ des Grundwertes ausmacht. Nur wenn die Prozentzahl größer als $100$ ist, dann ist der Prozentwert größer als der Grundwert.
  • Ordne dem Prozentwert und Prozentsatz den Grundwert zu.

    Tipps

    Berechne den Grundwert, indem du den Prozentwert durch den Prozentsatz dividierst.

    Bei einem Prozentwert $W = 957$ und einem Prozentsatz $p\% =87\%$ beträgt der Grundwert:

    $G = \frac{957}{0,87} = 1.100$

    Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

    Lösung

    Zur Berechnung des Grundwertes $G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p \%$ verwendest du die Formel:

    $G = \frac{W}{p \%}$

    Damit erhältst du folgende Rechnungen:

    • Der Ertrag an Spinat ist um $20\%$ auf $W = 150$ gestiegen. Damit ist $p \% = 100\% + 20\% = 120\%$. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G = \frac{150}{1,2} = 125$.
    • Der Blaubeerertrag ist um $20\%$ zurückgegangen, daher ist $p\% = 80\%$. Mit dem Prozentwert $W = 120$ kommst du auf den Grundwert $G = \frac{120}{0,8} = 150$.
    • Der Ertrag an Auberginen liegt bei $W = 1.100$, dies entspricht dem Prozentwert $W = 97\%$. Der zugehörige Grundwert ist $G = \frac{1.100}{0,97} \approx 1.134$.
    • Die Mirabellenernte ist um $3\%$ gegenüber dem Vorjahr gestiegen, d.h. der Prozentsatz beträgt $103\%$. Der Prozentwert ist $ W = 1.133$ und der zugehörige Grundwert ist $G = 1.100$.
  • Erschließe den Grundwert.

    Tipps

    Berechne den Grundwert z.B. mit dem Dreisatz: Der Grundwert zu $ W = 81$ und $ p\% = 90$ findest du, indem du zuerst die $81$ durch $90$ dividierst: $1\%$ entsprechen nämlich $81:90 = 0,9$. Diesen Zwischenwert multiplizierst du mit $100$ und erhältst den Grundwert: $G = 0,9 \cdot 100 = 90$.

    Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

    Lösung

    Den Grundwert zu einem Prozentwert $\text W$ und Prozentsatz $\text p \%$ berechnest du jeweils mit der Formel:

    $G = \frac{W}{p\%} = \frac{ W}{p \%}$

    Oder mit dem Dreisatz:

    $G = \frac{W}{p} \cdot 100$

    Wir rechnen exemplarisch zu jedem Grundwert ein Beispiel.

    Zu dem Grundwert $ G = 125$ gehören folgende Paare:

    • ${W} = 25$ und $p\% = 20\%$, denn $ W : 20 = 1,25$ und $ G = 1,25 \cdot 100 = 125$ oder $G=\frac{25}{0,2}=125$.
    • ${W} = 50$ und $p\%= 40\%$
    • ${W} = 60$ und $p\% = 48\%$
    • ${ W} = 140$ und $p\%= 110\%$
    Zu dem Grundwert $ G = 64$ gehören dann die folgenden Paare:

    • ${W} = 80$ und $p\%= 125\%$, denn $ W : 125 = 0,64$ und $G = 0,64 \cdot 100 = 64$ oder $G=\frac{80}{1,25}=64$.
    • ${ W} = 48$ und $p\% = 75\%$
    • ${ W} = 56$ und $p\% = 87,5\%$
    • ${W} = 128$ und $p\% = 200\%$
    Die Paare zu dem Grundwert $G = 128$ sind:

    • ${W} = 64$ und $p\% = 50\%$, denn $ G = \frac{64}{50\%} = \frac{64}{0,5} = 128$.
    • ${W} = 96$ und $p\% = 75\%$
    • ${W} = 112$ und $p\%= 87,5\%$
    • ${ W} = 144$ und $p\% = 112,5\%$
    Schließlich gehören zu dem Grundwert $G = 512$ die folgenden Paare:

    • ${W} = 288$ und $p\% = 56,25\%$, denn $ G = \frac{288}{56,25} \cdot 100 = 512$.
    • ${W} = 192$ und $p\% = 37,5\%$
    • ${W} = 32$ und $p\% = 6,25\%$