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Prozentrechnung: Grundwert

Entdecke die Macht der Prozentrechnung! Im Fokus steht der Grundwert. Erfahre, wie dieser zur Basis deiner Wirtschaftsplanung wird und lerne, wie man ihn korrekt berechnet. Anschauliche Beispiele, direkt von der Erdnussfarm, werden dabei helfen! Neugierig geworden? Lies weiter und beherrsche bald, was auch Wilbur weiß.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Prozentrechnung: Grundwert
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Team Digital
Prozentrechnung: Grundwert
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Prozentrechnung: Grundwert Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Grundwert kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man den Grundwert bestimmt.

    Tipps

    Die Formel für den Grundwert $G$ kannst du aus dem Dreieck ablesen.

    Den Prozentsatz kannst du als Dezimalzahl schreiben.

    Beispiel:
    $42\% = 0{,}42$

    Lösung

    Wilbur berechnet die Gesamtmenge seiner Erdnussernte im Vorjahr. Dies ist der Grundwert. Der Prozentwert $W$ ist ein Anteil des Grundwertes $G$, der als Zahl angegeben wird. Der Prozentsatz $p\%$ ist der zugehörige prozentuale Anteil. Er wird meistens als Dezimalbruch angegeben. Manchmal wird er aber auch als Prozentzahl mit darauffolgenden Prozentzeichen angegeben.

    Wilbur hat in diesem Jahr $17\%$ weniger geerntet als im Vorjahr. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G$, also $100\%$ und die aktuelle Ernte der Prozentwert $W$. Um nun den prozentualen Anteil der diesjährigen Ernte zu erhalten, müssen wir die $17\%$ subtrahieren:

    $100\% - 17\% = 83\%$

    Den Prozentsatz $p\%$ schreiben wir üblicherweise als Dezimalbruch:

    $83\%=0,83$

    In diesem Jahr hat Wilbur $520~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Dies ist der Prozentwert. Den Grundwert $G$ berechnet er, indem er den Prozentwert durch den Prozentsatz dividiert. Um dir diese Formel zu merken, kann dir das Dreieck oben helfen.

    $G = \frac{W}{p\%} = \frac{520}{0,83} \approx 626,5$

    Er hat im Vorjahr also $626,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

    Zwei Jahre später hat Wilbur $1 315~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Das sind diesmal $30\%$ mehr als im Vorjahr. Bezogen auf die Vorjahresernte ist der aktuelle Ertrag der Prozentwert. Wie zuvor berechnet Wilbur die Vorjahresernte, d. h. den Grundwert:

    $G = \frac{W}{p\%}= \frac{1315~\text{kg}}{1,3} = 1 011,5~\text{kg}$

    Er hat im Jahr davor also $1 011,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

  • Bestimme den Grundwert.

    Tipps

    Den Prozentsatz setzt du in der Rechnung am besten als Dezimalbruch ein, d. h. $57~\% = \frac{57}{100} = 0,57$.

    Bei einem Prozentwert $W = 118$ und einem Prozentsatz $p\% = 71~\%$ beträgt der Grundwert:

    $ G = \frac{W}{p\%} = \frac{118}{0,71} \approx 166,2$

    Lösung

    Zur Berechnung des Grundwertes $ G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p\%$ verwendest du die Formel:

    $G = \frac{ W}{p\%}$

    Hier sind die Rechnungen:

    • Für $W = 520$ und $p\% = 83\%$ erhältst du: $G = \frac{520}{0,83} = 626,5$.
    • Bei $W = 1315$ und $p\% = 130\%$ ist $G = \frac{1315}{1,3} = 1011,5$.
    • Ist $W = 1214$ und $p\% = 120\%$, so erhältst du den Grundwert $ G = \frac{1214}{1,2} = 1011,\overline{6}$.
    • Für $W = 1214$ und $p\% = 100\%$ kommst du auf $ G = \frac{1214}{1,0} = 1214$.
  • Ordne dem Prozentwert und Prozentsatz den Grundwert zu.

    Tipps

    Berechne den Grundwert, indem du den Prozentwert durch den Prozentsatz dividierst.

    Bei einem Prozentwert $W = 957$ und einem Prozentsatz $p\% =87\%$ beträgt der Grundwert:

    $G = \frac{957}{0,87} = 1100$

    Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

    Lösung

    Zur Berechnung des Grundwertes $G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p \%$ verwendest du die Formel:

    $G = \frac{W}{p \%}$

    Damit erhältst du folgende Rechnungen:

    • Der Ertrag an Spinat ist um $20\%$ auf $W = 150$ gestiegen. Damit ist $p \% = 100\% + 20\% = 120\%$. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G = \frac{150}{1,2} = 125$.
    • Der Blaubeerertrag ist um $20\%$ zurückgegangen, daher ist $p\% = 80\%$. Mit dem Prozentwert $W = 120$ kommst du auf den Grundwert $G = \frac{120}{0,8} = 150$.
    • Der Ertrag an Auberginen liegt bei $W = 1100$, dies entspricht dem Prozentwert $W = 97\%$. Der zugehörige Grundwert ist $G = \frac{1100}{0,97} \approx 1134$.
    • Die Mirabellenernte ist um $3\%$ gegenüber dem Vorjahr gestiegen, d. h. der Prozentsatz beträgt $103\%$. Der Prozentwert ist $ W = 1133$ und der zugehörige Grundwert ist $G = 1100$.
  • Erschließe den Grundwert.

    Tipps

    Berechne den Grundwert z. B. mit dem Dreisatz: Den Grundwert zu $ W = 81$ und $ p\% = 90$ findest du, indem du zuerst die $81$ durch $90$ dividierst: $1\%$ entsprechen nämlich $81:90 = 0,9$. Diesen Zwischenwert multiplizierst du mit $100$ und erhältst den Grundwert: $G = 0,9 \cdot 100 = 90$.

    Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

    Lösung

    Den Grundwert zu einem Prozentwert $\text W$ und Prozentsatz $\text p \%$ berechnest du jeweils mit der Formel:

    $G = \frac{W}{p\%} = \frac{ W}{p \%}$

    Oder mit dem Dreisatz:

    $G = \frac{W}{p} \cdot 100$

    Wir rechnen exemplarisch zu jedem Grundwert ein Beispiel.

    Zu dem Grundwert $ G = 125$ gehören folgende Paare:

    • ${W} = 25$ und $p\% = 20\%$, denn $ W : 20 = 1,25$ und $ G = 1,25 \cdot 100 = 125$ oder $G=\frac{25}{0,2}=125$.
    • ${W} = 50$ und $p\%= 40\%$
    • ${W} = 60$ und $p\% = 48\%$
    Zu dem Grundwert $ G = 64$ gehören dann die folgenden Paare:

    • ${W} = 80$ und $p\%= 125\%$, denn $ W : 125 = 0,64$ und $G = 0,64 \cdot 100 = 64$ oder $G=\frac{80}{1,25}=64$.
    • ${ W} = 48$ und $p\% = 75\%$
    • ${ W} = 56$ und $p\% = 87,5\%$
    • ${W} = 128$ und $p\% = 200\%$
    Die Paare zu dem Grundwert $G = 128$ sind:

    • ${W} = 64$ und $p\% = 50\%$, denn $ G = \frac{64}{50\%} = \frac{64}{0,5} = 128$.
    • ${W} = 96$ und $p\% = 75\%$
    • ${W} = 112$ und $p\%= 87,5\%$
    • ${ W} = 144$ und $p\% = 112,5\%$
    Schließlich gehören zu dem Grundwert $G = 512$ die folgenden Paare:

    • ${W} = 288$ und $p\% = 56,25\%$, denn $ G = \frac{288}{56,25} \cdot 100 = 512$.
    • ${W} = 192$ und $p\% = 37,5\%$
    • ${W} = 32$ und $p\% = 6,25\%$
  • Berechne den Grundwert mit dem Dreisatz.

    Tipps

    Der Prozentwert ist immer ein Anteil des Grundwertes.

    Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert.

    Hier ist ein Beispiel für den Dreisatz:

    $\begin{array}{rcl} 520 &\widehat{=}& 83\% \\ 520 : 83 = 6,265 &\widehat{=}& 1\% \\ 100 \cdot 6,265 = 626,5 &\widehat{=}& 100\% \end{array}$

    Lösung

    Der Prozentwert ist ein Anteil der Erdnussernte bezogen auf einen Grundwert. Der Prozentsatz gibt denselben Anteil an, bezogen auf den Grundwert $100$. Aus dem Prozentsatz und dem Prozentwert kannst du den Grundwert mithilfe des Dreisatzes ausrechnen.

    Dazu dividierst du den angegebenen Prozentwert durch die zugehörige Prozentzahl. Das Ergebnis ist der Prozentwert für $1\%$. Du multiplizierst diesen mit $100$ und erhältst so den Grundwert.

    Wilburs Ernte in $\text{kg}$ beträgt $W=1214$. Dies sind $20\%$ mehr als die Vorjahresernte, also $120\%$ des Grundwertes.

    Der Prozentwert in $\text{kg}$ zu dem Prozentsatz $1\%$ beträgt dann:

    $1214 : 120 = 10,12$

    Wilbur rechnet daraus den Grundwert in $\text{kg}$ aus:

    $G= 10,12 \cdot 100= 1012$

    Du kannst den Dreisatz auch so aufschreiben:

    $\begin{array}{rcl} 1214 & \widehat{=} & 120\% \\ 101,2 & \widehat{=} & 1\% \\ 1012 & \widehat{=} & 100\% \end{array}$

  • Analysiere die Beschreibungen.

    Tipps

    Bei einem Zuwachs um $5\%$ ist der Prozentwert das $1,05$-fache des Grundwertes. Überlege, wie sich der Wert verändert, wenn du den Prozentwert als neuen Grundwert nimmst und der Zuwachs wieder $5\%$ beträgt.

    Wir rechnen mit einem Grundwert von $G_1=100$. Bei einem Zuwachs von $5\%$, also einem Prozentsatz von $p\%=105\%=1,05$ beträgt der Prozentwert $W_1=105$.

    Betrachten wir nun das folgende Jahr, ist der Prozentwert $W_1$ unser neuer Grundwert $W_1=G_2=105$ und wir erhalten $W_2=110,25$.

    Das entspricht einem Zuwachs von $10,25\%$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Wenn die Ernte in diesem Jahr um $25\%$ größer ausfällt als im Vorjahr, so macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus.“ Der Prozentsatz beträgt $125\%$, das sind $\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Daher macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus.
    • „Ist der Ertrag im zweiten Jahr um $25\%$ größer als im ersten Jahr und im dritten Jahr um $20\%$ kleiner als im zweiten Jahr, so sind die Erträge des ersten und dritten Jahres gleich.“ Der Prozentsatz des Ertrags des zweiten Jahres gegenüber dem ersten Jahr beträgt $125\% = 1,25 = \frac{5}{4}$. Der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem zweiten beträgt $80\% = 0,8 = \frac{4}{5}$. Daher beträgt der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem ersten $\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1 = 100\%$. Wichtig ist hierbei, dass der Ernteertrag des zweiten Jahres sowohl der Prozentwert der ersten Berechnung, als auch der Grundwert der zweiten Berechnung ist.
    • „Wachsen der Prozentsatz und der Prozentwert um denselben Faktor, so bleibt der Grundwert gleich.“ Für den Grundwert gilt die Formel $G = \frac{W}{p \%}$. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit demselben Faktor ändert den Grundwert nicht.
    • „Ist der Prozentsatz kleiner als $1$, so ist der Grundwert größer als der Prozentwert.“ Der Prozentwert ist das Produkt aus Prozentsatz und Grundwert. Ist der Prozentsatz kleiner als $1 = 100\%$, so ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Wächst die Ernte in zwei aufeinander folgenden Jahren jeweils um $10\%$, so ist die Ernte im dritten Jahr genau um $20\%$ gegenüber dem ersten Jahr angewachsen.“ Ein Zuwachs um $10\%$ entspricht der Multiplikation mit dem Faktor $1,1$. Ein weiterer Zuwachs um $10\%$ entspricht wieder der Multiplikation mit $1,1$. Damit entspricht der Ertrag des dritten Jahres im Vergleich zum ersten der Multiplikation mit $1,1 \cdot 1,1 = 1,21$. Dies ist ein Zuwachs von $21\%$ statt nur $20\%$, wie behauptet. Eine andere Erklärung ist, dass im ersten Jahr der Ertrag bei $100\%$ liegt. Im zweiten Jahr kommen $10\%$ hinzu, weshalb der Ertrag bei $110\%$ liegt. Im dritten Jahr gibt es wieder eine Steigerung um $10\%$, wobei diese sich nun auf den Grundwert vom zweiten Jahr beziehen. $10\%$ von $110\%$ sind $11\%$. Diese sind den zu den $110\%$ aus dem zweiten Jahr hinzuzurechnen. Somit ergibt sich für das dritte Jahr: $100 \% + 10\% + 11\% = 121\%$.
    • „Ist die Prozentzahl größer als $1$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert.“ Die Prozentzahl ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz ist ein Dezimalbruch: Der Zähler ist die Prozentzahl, der Nenner ist $100$. Der Prozentwert ergibt sich aus der Multiplikation des Grundwertes mit dem Prozentsatz, nicht mit der Prozentzahl. Ist z. B. der Prozentsatz $p\% = 5\%$, so ist die Prozentzahl größer als $1$ (nämlich $5$). Der Prozentwert ist aber kleiner als der Grundwert, da der Prozentwert nur $5\%$ des Grundwertes ausmacht. Nur wenn die Prozentzahl größer als $100$ ist, dann ist der Prozentwert größer als der Grundwert.