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Kredit und Tilgung 14:58 min

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Transkript Kredit und Tilgung

Hallo. Kennst Du solche Anzeigen? Hier wird ein Fernseher für 330 Euro angeboten und du kannst ihn mit 33 Monatsraten zu zehn Euro erwerben. Das Angebot sieht doch gut aus. In diesem Video erfährst du mehr über Zinsen, Kredite und Raten und wie ein Kredit wieder getilgt werden kann. Wir wollen uns also heute mit einigen Anwendungen der Zinsrechnung sowie mit den Begriffen Kredit und Tilgung beschäftigen. Du solltest dazu wissen, wie Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert ausgerechnet werden und wie Kapitalentwicklung mit Zinsen pro Jahr und Monat berechnet werden. Nun zu einigen Anwendungen der Zinsrechnung, insbesondere zu Krediten und deren Tilgung. Im Einzelnen lernen wir heute die wichtigsten Grundlagen der Zinsrechnung, die Anwendung der Begriffe Kredit, Tilgung, Raten, Kreditzins bei einer Sachaufgabe, eine Beispielrechnung für die Ermittlung einer Tilgungsdauer bei gegebener Ratenhöhe sowie die Lösung einer Sachaufgabe zur Berechnung der Ratenhöhe bei gewünschter Schuldenfreiheit zu einem bestimmten Zeitpunkt. Das ist ein ganz schönes Programm. Legen wir also los mit einer Wiederholung. Hier also eine Erinnerung an die Grundlagen der Zinsrechnung. Beachte, dass die Zinsrechnung eine Anwendung der Prozentrechnung auf das Geldwesen unter Beachtung der Zeit ist. In dieser Tabelle stehen wichtige Begriffe und Formeln. Zunächst die Grundformel, die sollte dich an die entsprechende Grundformel der Prozentrechnung erinnern. Jahreszinsen Z durch das Kapital K ist gleich p geteilt durch 100. Soll das Kapital berechnet werden, gilt K=(Z100)/p. Die Jahreszinsen für ein volles Jahr ergeben sich zu Z=(pK)/100. Es folgt der Zinssatz zu p%=p/100=Z/K und schließlich der Zinsfaktor q =1+(p/100). Sollen die Zinsen für kleinere oder größere Zeitspannen als ein Jahr berechnet werden, man spricht in diesem Fall von einer Laufzeit, so ergeben sich folgende Formeln, die hier dargestellt sind. Zinsen für t Jahre folgen zu Z=((pK)/100)t. Sollen die Zinsen für t Monate errechnet werden, so ergeben sich die Zinsen zu p mal k geteilt durch 100 und das Ergebnis wird dann mit t/12 multipliziert. Analog werden die Zinsen für t Tage ermittelt. Zinsen gleich p mal k geteilt durch 100 und das Ergebnis wird dann mit t/360 multipliziert. Beachte, dass im Bankwesen ein Jahr mit zwölf Monaten, aber 360 Tagen, und ein Monat mit 30 Tagen angesetzt wird. Nun zu den Begriffen Kredit, Zinsen und Tilgung. Frau Clever leiht sich von einer Bank Geld für den Kauf eines neuen TV-Geräts. Sie nimmt von der Bank einen Kredit oder ein Darlehen auf. Für hohe Geldbeträge wird oft der Begriff Darlehen und für kleinere der Begriff Kredit benutzt. Wir beschränken uns hier auf den Begriff Kredit. Als Ausleihgebühr muss Frau Clever der Bank Zinsen, Kreditzinsen genannt, zahlen. Natürlich muss Frau Clever auch den Kredit zurückzahlen, dies nennt man Tilgung. Die Tilgung erfolgt nicht auf einen Schlag, sondern in Form von monatlichen Beträgen, die als Raten bezeichnet werden. Um einen Überblick über den Verlauf der Tilgung zu erhalten, wird ein Tilgungsplan erstellt. Für jede Rate wird die Höhe, der Zinsanteil der Rate, kurz Zinsen, der Tilgungsanteil der Rate, kurz Tilgung, sowie die Restschuld angegeben. Die Anzahl der Raten, man sagt auch Laufzeit oder Tilgungsdauer, hängt von der Ratenhöhe ab. Bei diesem Tilgungsplan beträgt der Kredit 1000 Euro, der Zinssatz vier Prozent und bei einer Rate von 170 Euro ergibt sich eine Tilgungsdauer von sechs Monaten. Wird unter sonst gleichen Bedingungen eine Rate der Höhe von 252,50 Euro gewählt, so beträgt die Tilgungsdauer nur vier Monate. Jetzt wollen wir den Tilgungsplan, den wir gerade gesehen haben, im Einzelnen als Beispiel vorrechnen. Die gegebenen Größen sind Kredit gleich 1000 Euro, Zinssatz vier Prozent, Höhe der Rate 252,50 Euro. Nun werden die Monatszinsen für den vollen Kredit nach der bekannten Formel berechnet. Z=((pK)/100)t/12 (t für die Anzahl der Monate). Nun werden die Werte eingesetzt: Vier für p, 1000 für K und t gleich eins für einen Monat, dies ergibt gerundet 3,33. Wir finden diesen Wert in der Spalte Zinsen. Damit ergibt sich für die Tilgung, Rate minus Zinsen, also 252,50-3,33 und das ergibt 249,17 Euro. Dieser Wert steht hier. Nun wird von der alten Restschuld, 1000 Euro, der Tilgungsanteil von 249,17 Euro subtrahiert und ergibt als neue Restschuld 750,83 Euro. Dies wiederholt sich für die Monate zwei und drei. Für den Monat zwei folgt Z=((4750,83)/100)1/12 und das ergibt gerundet zwei Euro und 50 Cent. Rate minus Zinsen ist gleich Tilgung, also 252,50-2,50=250,00 Euro. Die Restschuld alt minus Tilgung ergibt die neue Restschuld. Also 750,83-250,00=500,83 Euro. Für den Monat drei folgt: Z=((4500,83)/100)•(1/12) ergibt gerundet einen Euro und 67 Cent. Beachte, dass ein Zwölftel auftritt, da die Zinsen nur für einen Monat berechnet werden müssen. Rate minus Zinsen ist gleich Tilgung, also 252,50-1,67=250,83. Die Restschuld alt minus die Tilgung ergibt wieder die neue Restschuld, also 500,83-250,83=250,00. Im letzten Monat ändert sich die Rechnung, da die neue Restschuld von 250,00 Euro bereits kleiner als die Rate von 252,50 Euro ist. Es werden zunächst die Zinsen für die neue Restschuld wie üblich berechnet, dies ergibt 0,83. Diese Zinsen müssen natürlich bezahlt werden. Damit ergibt sich als letzte Rate: Restschuld(neu) plus Zinsen, also 250,00+0,83=250,83. Und die Tilgung ergibt sich aus Rate minus Zinsen zu 250,83-0,83=250,00. Damit sind Restschuld und Tilgung gleich, also ist der Kredit abbezahlt. Nun interessiert uns der Fall, dass Frau Clever in n Monaten ihren Kredit abbezahlt haben möchte. Gefragt ist in diesem Fall nach der Höhe der monatlichen Rate. Die gegebenen Größen sind: Kredithöhe sei wieder K=1000, die Laufzeit soll drei Monate betragen und der Zinssatz sei wieder p%=4%. Der Zinsfaktor ist q=1+(4/(10012)). Es geht schließlich um Monatszinsen. Und das ergibt 1,00333 gerundet. Zur Berechnung der Rate wählen wir eine Formel, die hier dargestellt ist. Ihre Herleitung ist an dieser Stelle für uns zu kompliziert, wir entnehmen sie einer Formelsammlung: R=(Kqn)((q-1)/((qn)-1). Die Größen kennst Du nun alle und wir setzen die Werte ein und erhalten R=10001,003333(0,00333/((1,003333)-1)). Rechnet man dies aus, erhält man gerundet 336 Euro. So hoch müsste die monatliche Rate sein, damit Frau Clever nach drei Monaten den Kredit abbezahlt hätte. Diese Rechnung kann selbstverständlich auch für andere gegebene Größen durchgeführt werden. Nun werfen wir noch einen Blick auf den entsprechenden Tilgungsplan. Der Kredit beträgt also 1000 Euro, der Zinssatz vier Prozent und die Höhe der Rate 336 Euro. Die Tilgungsdauer beträgt drei Monate. So haben wir die Rate gerade berechnet. Im ersten Monat beträgt die Rate 336 Euro. Die Zinsen von 3,33 Euro folgen als Monatszinsen bezogen auf 1000 Euro. Damit ist Tilgung 336-3,33 Euro=332,67 Euro und die Restschuld 667,33 Euro. Die Zinsen betragen 2,22 Euro und die Tilgung 333,78 Euro. Die Restschuld beträgt dann 333,55 Euro. Nun ist der Betrag wieder kleiner als die Ratenhöhe. Die entsprechenden Zinsen werden zur Restschuld von 333,55 Euro addiert und ergeben 334,66 Euro. Die letzte Tilgung ist gerade gleich der Restschuld. Frau Clever hat den Kredit abbezahlt. Fassen wir zusammen, was wir heute gelernt haben: Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung auf das Geldwesen unter Beachtung der Zeit. Ein Bankhaus verleiht an Kunden gegen eine Leihgebühr Kredite oder Darlehen. Der Kunde zahlt den Kredit in Raten zurück. Jede Rate setzt sich aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil zusammen. Ein Tilgungsplan liefert einen Überblick über die Laufzeit der Kreditrückzahlung. Je nach gegebenen Größen können Ratenhöhe, Laufzeit, Zinsen und Tilgung berechnet werden. Das war’s für heute. Ich hoffe, dir hat es etwas Spaß gemacht und du hast alles verstanden. Bis zum nächsten Mal!

6 Kommentare
  1. ich finde das video ist ein bisschen zu lang.

    Von Flora R., vor mehr als 3 Jahren
  2. War echt gut

    Von Lumel, vor mehr als 4 Jahren
  3. Danke schön ! :) hat mir sehr geholfen .

    Von Fakharmalik, vor mehr als 5 Jahren
  4. @Fakharmalik:
    Deine Gleichung mit der du dieses Problem lösen kannst, lautet so:
    7500 * (1+p)^4=8723,43
    Das "Dach" (^4) steht für "hoch 4". p ist der gesuchte jährliche Zinssatz. Wir dividieren die Gleichung durch 7500 und ziehen dann die 4-te Wurzel. Das kannst du mit deinem Taschenrechner erledigen. Du erhältst:
    1+p = 1,0385 (ziemlich genau: Das ist ein Hinweis darauf, dass das Ergebnis wahrscheinlich richtig ist ;) ). Wir subtrahieren noch 1 auf beiden Seiten und erhalten:
    p=0,0385=3,85%.
    Also beträgt der jährliche Zinssatz 3,85%.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 5 Jahren
  5. Kann mir jemand bitter bei der Aufgabe helfen .. :) ? Die Aufgabe lautet : Ein Kapital von 7500.00€ wird vier Jahre lang mit gleichbleibendem Zinssatz angelegt. Nach vier Jahren erhält der Anleger ein Vermögen von 8723.43€ ausbezahlt.

    Berechnen Sie den Zinssatz , zu dem das Kapital angelegt wurde.
    Um wie viel Prozent ist das Kapital im Anlagezeitraum angewachsen?

    Von Fakharmalik, vor mehr als 5 Jahren
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Kredit und Tilgung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kredit und Tilgung kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse dein Wissen über Zinsrechnung zusammen.

    Tipps

    Zinsen werden in % angegeben und man bezahlt mehr Zinsen, je länger man den Kredit zurückbezahlen muss.

    Was ist die Grundlage der Zinsrechnung?

    Weshalb bezahlt man die Raten? Was begleicht man damit? Und was ist in den Raten alles enthalten?

    Lösung

    „Zinsrechnung ist die Anwendung der Prozentrechnung auf das Geldwesen unter Beachtung der Zeit. Wenn von einer Bank ein Geldbetrag verliehen wird, spricht man von einem Kredit oder Darlehen.“

    Wenn man sich von einer Bank Geld leiht, zahlt man darauf Zinsen. Diese sind eine Art Gebühr dafür, dass die Bank dir das Geld für eine gewisse Zeit zur Verfügung stellt. Zinsen werden in Prozent angegeben. Meist ist dies der Betrag, den man pro Jahr zusätzlich bezahlen muss. Hast du zum Beispiel einen Kredit über $100~€$ bei $4~\%$, den du $1$ Jahr nicht abbezahlst, so kommen zu den $100~€$ zusätzlich $4~€$, also $4~\%$ von $100~€$, dazu.

    „Je nach gegebenen Größen können die Ratenhöhe, die Laufzeit, die Zinsen oder die Tilgung berechnet werden.“

    Wenn du beispielsweise die Darlehenshöhe $K$ und den Zinssatz $p$ (pro Jahr) kennst und zusätzlich weißt, wie lange das Darlehen laufen soll ($n$ Monate), kannst du mithilfe $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 }$ die monatliche Rate ausrechnen – diese setzt sich aus Tilgung und monatlichen Zinsen zusammen. Dabei ist $q$ der Zinsfaktor $1 + \frac{p}{100 \cdot 12}$ .

    Beispiel: Ein Kredit über $K = 2000~€$ mit einem Jahreszinssatz von $p = 10~\%$ soll in $3$ Jahren, also in $n = 3 \cdot 12 = 36$ Monaten, abbezahlt werden. Dann berechnet sich der Zinsfaktor zu $q = 1 + \frac{p}{100 \cdot 12} = 1 + \frac{10}{100 \cdot 12} \approx 1,00833$. Dann sind die monatlichen Raten gemäß der Formel oben:

    $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 } = 2000~€ \cdot 1,00833^{36} \cdot \frac{1,00833 - 1}{1,00833^{36} -1 } \approx 64,53~€$

  • Berechne Raten, Zinsen, Tilgung und Restschuld der ersten drei Monate.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, welche Formeln du verwenden solltest.

    Wie lautet der Zusammenhang zwischen Prozentsatz, Kapital, Monatszinsen und der Laufzeit in Monaten?

    Möchtest du die Zinsen für t Monate berechnen, verwendest du die Formel:

    Z = $\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$.

    Die Rate setzt sich aus den Zinsen und der Tilgung zusammen.

    Wie hängen die Höhe der Tilgung, die alte und die neue Restschuld zusammen?

    Lösung

    Gegeben: K = 1000 €, p % = 4 %, t = 1 (1 Monat), monatliche Rate = 336 €

    Gesucht: Z in €, Tilgung in €, Restschuld in €

    Lösungsweg für den ersten Monat:

    Die Berechnung der Zinsen:

    Die Zinsen für einen Monat berechnest du mit der Formel: Z = $\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$. Setzt du die gegebenen Werte ein, so ergibt sich: \begin{align} Z &= \frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12} \\ &= \frac{4 \cdot 1000~€}{100} \cdot \frac{1}{12} \\ &= 40~€ \cdot \frac{1}{12} \\ &\approx \textbf{3,33 €} \end{align}

    Berechnung der Tilgung:

    Die monatliche Rate setzt sich aus den Zinsen und der Tilgung zusammen. Es gilt also:

    monatl. Rate = Zinsen + Tilgung.

    Umgestellt nach der Tilgung ergibt das: \begin{align} Tilgung &= monatl. Rate - Zinsen \\ &= 336~€ - 3,33~€ \\ &= \textbf{332,67 €} \end{align}

    Berechnung der Restschuld:

    Es gilt:

    neue Restschuld = alte Restschuld - Tilgung.

    Da dies die erste Monatsrate ist, entspricht die alte Restschuld der Höhe des Kredites. Es folgt also:

    \begin{align} neue ~ Restschuld &= K - Tilgung \\ &= 1000~€ - 332,67~€ \\ &= \textbf{667,33 €} \end{align}

    Antwortsatz: Die erste Monatsrate setzt sich aus 3,33 € Zinsen und 332,67 € Tilgung zusammen. Die Restschuld nach der ersten Rate beträgt 667,33 €.

    Der Lösungsweg für die beiden folgenden Monate ist analog.

    Ergebnisse für Monat 2:

    Zinsen: 2,22 €

    Tilgung: 333,78 €

    Restschuld: 333,55 €

    Ergebnisse für Monat 3:

    Zinsen: 1,11 €

    Tilgung: 333,55 €

    Restschuld: 0 €

    Hier musst du aufpassen, dass du die alte Restschuld komplett tilgen kannst und die letzte Rate geringer ausfällt: Die Tilgung beträgt die gesamte Restschuld aus dem zweiten Monat von 333,55 € und die Rate ergibt sich als Rate = Zinsen + Tilgung = 1,11 € + 333,55 € = 334,66 €.

  • Ermittle die Höhe der Kredite von Lisa und Arndt.

    Tipps

    Du kannst die Kredithöhe $K$ herausfinden, wenn du eine Formel herleitest, in der nur $K$ unbekannt ist.

    Die Höhe der Zinsen $Z$ bei einem Zinssatz $p$, einer Kredithöhe $K$ und einer Laufzeit $t$ in Jahren beträgt $Z = \frac{p\cdot K}{100}\cdot t$

    Wenn du eine Formel für Lindas bzw. Arndts Zinsen gefunden hast, kannst du diese in die gegebene Formel $\DeltaZ = Z_{Arndt} - Z_{Linda} = 30~€$ einsetzen.

    In der entstehenden Formel ist nur die Größe $K$ unbekannt. Das ist auch die gesuchte Größe. Stelle die Formel danach um.

    Lösung

    Zunächst hältst du fest, was gegeben und was gesucht ist.

    Du weißt, dass bei beiden Krediten die Kredithöhe $K$ gleich ist und diese ist gesucht. Du kennst in beiden Fällen den Jahreszinssatz $p$. Weiter ist dir bekannt, dass Arndt in einem Jahr $30~€$ mehr Zinsen bezahlen muss als Linda.

    Um $K$ herauszufinden solltest du eine Gleichung aufstellen, in der nur die Größe $K$ unbekannt ist.

    Die Gleichung $Z = \frac{p \cdot K}{100}$ alleine reicht nicht aus, da du ohne einen konkreten Wert für $K$ auch nicht die Zinsen $Z$ ausrechnen kannst.

    Da Arndt $30~€$ mehr Zinsen bezahlt als Linda, gilt also $Z_{Arndt} - Z_{Linda} = 30~€$. Du kannst nun eine Gleichung herleiten, die $Z$ nicht enthält. Es gilt ja $Z_{Arndt} = \frac{p_{Arndt} \cdot K}{100} = \frac{8 \cdot K}{100}$ für Arndts Kredit und $Z_{Linda} = \frac{p_{Linda} \cdot K}{100} = \frac{6 \cdot K}{100}$ für Lindas Kredit.

    Du erhältst:

    $\Delta Z = Z_{Arndt} - Z_{Linda} = \frac{8 \cdot K}{100} - \frac{6 \cdot K}{100} = 30~€$, also:

    $\frac{8 \cdot K}{100} - \frac{6 \cdot K}{100} = 30~€$.

    In dieser Gleichung ist nur noch die gesuchte Kredithöhe $K$ enthalten. Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir die Formel nach $K$ umstellen:

    $\begin{align*} ~~~~~~ \frac{8 \cdot K}{100} - \frac{6 \cdot K}{100} &= 30~€ \\ \Leftrightarrow ~~~~~ (8 - 6) \cdot \frac{K}{100} &= 30~€ \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~~~~~~ 2 \cdot \frac{K}{100} &= 30~€ \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ K &= 30~€ \cdot \frac{100}{2} \\ ~~~~~ &= 30~€ \cdot 50 \\ ~~~~~ &= 1500~€. \end{align*}$

    Antwort: Linda und Arndt haben je einen Kredit über $1500~€$ aufgenommen.

  • Bestimme die richtigen Aussagen zu Herrn Gründaums Kredit.

    Tipps

    Wie lautet die Formel, wenn monatliche Zinsen gezahlt werden müssen?

    Stelle die Zinsformel nach dem Zinssatz p um.

    Die monatlichen Raten enthalten die Tilgung und die Zinsen. Überlege dir, wie viel Herr Gründaum maximal an die Bank zahlen will und teile dies durch die Anzahl der Monatsraten.

    Lösung

    Die Zinsen, die Herr Gründaum für 10 Monate bezahlen muss, errechnen sich mithilfe der Formel:

    Z = $\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$.

    Um herauszufinden, wie hoch der Zinssatz (p.a.) höchstens sein darf, damit Herr Gründaum maximal 300 € Zinsen bezahlt, stellen wir die Formel nach p um:

    p = Z $\cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t}$

    Je höher der Zinssatz ist, umso mehr Zinsen muss Herr Gründaum bezahlen. Wir setzen für Z also 300 €, also den Maximalwert, den er bezahlen möchte, ein. Für K setzen wir 3600 € und für t=10 (Monate) ein:

    $\begin{align} p &= Z \cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t} \\ &= 300€ \cdot \frac{100}{3600~€} \cdot \frac{12}{10} \\ &= 10 \end{align}$

    Herr Gründaum darf also einen Zinssatz von maximal 10 % akzeptieren, damit er maximal 300 € Zinsen bezahlt.

    Zur Höhe der monatlichen Raten: Der Kredit hat eine Höhe von 3600 € und Herr Gründaum möchte höchstens 300 € Zinsen bezahlen. Insgesamt will er der Bank also höchstens 3600 € + 300 €, also 3900 €, zurückzahlen. Da er dies in 10 Monatsraten machen will, sollte also jede Monatsrate höchstens $\frac{3900~€}{10}$, also 390 €, hoch sein.

  • Definiere die Begriffe Zinsen, Tilgung, Raten und Tilgungsplan.

    Tipps

    Zinsen bezahlt man als Gegenleistung dafür, dass die Bank einem Geld leiht.

    Aus welchen Bestandteilen setzt sich eine Ratenzahlung zusammen?

    Mit den Raten bezahlt man gleichzeitig einen Teil des Kredites zurück und gibt der Bank Zinsen.

    Lösung

    Gewährt dir die Bank einen Kredit, so bezahlst du dafür eine Gebühr. Dies sind die Zinsen. Schließlich gibt dir die Bank Geld, das ihr dann erstmal nicht mehr zur Verfügung steht. Dafür möchte sie eine Gegenleistung haben.

    In einem bestimmten Intervall, meist einmal pro Monat, zahlst du der Bank einen bestimmten Geldbetrag, die sogenannte Rate. Diese enthält zum einen die Zinsen und zum anderen zahlst du einen Teil des Kredites zurück, sodass der Betrag, den du der Bank noch schuldest, immer kleiner wird. Letzteres nennt sich Tilgung.

    Der Tilgungsplan gibt dir einen Überblick über den Verlauf der Tilgung. Meist ist er in Form einer Tabelle, aus der du bei jeder Rate siehst, wie viel Zinsen und Tilgung enthalten ist und wie hoch die Restschuld dann noch ist.

  • Ermittle den Ausgangszinssatz, den Anstieg des Zinssatzes in Prozentpunkten und Höhe der monatlichen Rate.

    Tipps

    Bedenke bei a), dass die Zinsen für $3$ Monate angegeben wurden.

    Die Zinsformel für $t$ Monate lautet:

    $Z = \frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$

    Wie hoch sind in b) die monatlichen Zinsen? Beachte, dass die Anzahl der Monate in a) und b) unterschiedlich sind.

    Zu c): Bei dem Zinsfaktor musst du beachten, dass Frau Koschitzky monatliche Raten bezahlt.

    Die Formel für die monatlichen Raten lautet:

    $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 }$

    Lösung

    a) Gegeben: $K = 75~000~€$, $Z = 1218,75~€$, $t = 3$ (Monate)

    Gesucht: $p$ in $\%$ p.a.

    Lösung

    $\begin{align} Z &= \frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}\\ \Leftrightarrow p &= Z \cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t} \\ &= 1~218,75~€ \cdot \frac{100}{75~000~€} \cdot \frac{12}{3} \\ &= 6,5 \end{align}$

    Antwortsatz: Der Jahreszinssatz beträgt $6,5~\%$.

    b) Um die Aufgabe zu lösen, kannst du zunächst die monatlichen Zinsen berechnen:

    Vor der Erhöhung bezahlt Frau Koschitzky $1~218,75~€$ an Zinsen in $3$ Monaten. Das sind pro Monat $\frac{1~218,75~€}{3} = 406,25~€$. Die monatliche Belastung steigt um $156,25~€$, also zahlt sie pro Monat nun $406,25~€ + 156,25~€ = 562,50~€$.

    Gegeben: $K = 75~000~€$, $Z = 562,5~€$, $t = 1$ (Monat)

    Gesucht: $p$ in $\%$ p.a.

    Lösung

    Die Formel ist die Gleiche wie oben:

    $\begin{align} p &= Z \cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t} \\ &= 562,5~€ \cdot \frac{100}{75.000~€} \cdot \frac{12}{1} \\ &= 9 \end{align}$

    Der Zinssatz ist von $6,5~\%$ auf $9~\%$ gestiegen. Das sind $2,5$ Prozentpunkte Unterschied.

    Antwortsatz: Der jährliche Zinssatz ist um $2,5$ Prozentpunkte gestiegen.

    c) Zunächst solltest du den Zinsfaktor $q$ berechnen. Bei monatlichen Raten gilt: $q = 1 + \frac{p}{100 \cdot 12}$. Also folgt für diese Aufgabe: $q = 1 + \frac{9}{100 \cdot 12} = 1,0075$.

    Gegeben: $K = 75~000~€$, $q = 1,0075$, $n = 10\cdot 12 = 120$ (Monate)

    Gesucht: monatliche Rate $R$ in $€$

    Lösung:

    Um bei gegebenem Zinssatz und fester Laufzeit die Höhe der monatlichen Rate zu ermitteln, benutzt du die Formel $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 }$. Für unsere Aufgabe folgt:

    $\begin{align} R &= K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 } \\ &= 75.000~€ \cdot 1.0075^{120} \cdot \frac{1.0075 - 1}{1.0075^{120} -1 }\\ &\approx 950~€ \end{align}$

    Antwortsatz: Um den Kredit bei monatlichen Raten in $10$ Jahren abzuzahlen, muss Frau Koschitzky pro Monat $950~€$ bezahlen.