Zinsrechnung: Kredite vergleichen 04:43 min
Transkript Zinsrechnung: Kredite vergleichen
Otter This World ist bekannt für seine unglaublich großartigen Attraktionen und das Otter Wikinger Schiff ist da keine Ausnahme. Oh nein! Dieses Geräusch kann nur eins bedeuten diese nervigen Wiesel haben es schon wieder "regnen lassen" Oh-oh, dieses Mal sind sie aber zu weit gegangen. Sie haben die Maschine kaputt gemacht! Zum Glück hat Harriet, die Park Managerin, alles auf Video und ruft einige Banken an, um einen Kredit aufzunehmen, damit sie das Fahrgeschäft wieder zum Laufen bringen kann. Sie ruft die erste Nationale Biberbank und die zweite Nationale Biberbank an. Der Angestellte der ersten Bank erklärt Harriet, dass er ein Angebot mit einer Jahreszins von 10% für sie hat. Der Angestellte von der zweiten Bank hat ein Angebot mit attraktiven 7% Zins für 6 Monate. Damit Harriet sich aber für den richtigen Kredit entscheidet, muss sie die Berechnung von Zinsen verstanden haben. Lass uns Harriet einmal dabei helfen sich für das richtige Angebot zu entscheiden. Aber was ist denn überhaupt ein Kredit? Du kannst einen Kredit mit einer bestimmten Laufzeit bei einer Bank aufnehmen. Den von der Bank aufgenommenen Wert nennt man Kapital. Natürlich muss man diesen Wert der Bank zurückzahlen und zusätzlich noch Zinsen. Zinsen sind also eine Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen des Kapitals zurückzahlt. Diese werden üblicherweise für ein Jahr berechnet. Harriet möchte gerne 5000 Euro Kapital von der Bank aufnehmen. Die erste Bank hat ihr einen Kredit zu einem Jahreszinssatz von 10% angeboten. Die zweite Bank hat ihr einen Zinssatz von 7% für 6 Monate angeboten. Um die Zinsen zu berechnen, benötigen wir also diesen prozentualen Anteil vom Kapital. Kurz schreiben wir Z ist gleich p% mal K. Wie schon erwähnt zahlt man der Bank nicht nur das Kapital wieder zurücksondern auch die Zinsen. Egal bei welcher Bank Harriet den Kredit aufnimmt, das Kapital ist immer 5000 Euro. Um die Zinsen zu berechnen, wandeln wir beide Zinssätze zunächst in einen Dezimalbruch um. Für die erste Bank erhalten wir also 0,1 und für die zweite Bank 0,07. Die erste Bank hat den Zinssatz bereits für ein Jahr angegeben. Da Harriet eine Laufzeit von einem Jahr haben möchte, wollen wir nun das zweite Angebot auch auf ein Jahr hochrechnen. Bei dem zweiten Angebot müssen wir also zunächst die Zinsen für die ersten 6 Monate berechnen und dann die Zinsen mit dem veränderten Kapital für die zweiten 6 Monate. Setzen wir dies alles in die Formel ein und multiplizieren sehen wir, dass die Zinsen bei der ersten Bank nach einem Jahr bei 500 Euro liegen und die bei der zweiten Bank nach 6 Monaten bei 350 Euro. Addieren wir dies zum Kapital, so ist das neue Kapital 5350 Euro. Nun rechnen wir 5350 mal 0,07. Das sind 374,5. Insgesamt sind es nach einem Jahr also 724,5 Euro. Super! Lass uns das noch einmal zusammenfassen. Harriet möchte einen Kredit bei einer der zwei Banken aufnehmen. Das Kapital, welches sie aufnehmen möchte, ist 5000 Euro. Der Zinssatz der ersten Bank war 10% für ein Jahr, welches Zinsen von 500 Euro entspricht. Bei der zweiten Bank müsste sie nach einem Jahr 724,5 Euro Zinsen zahlen. Wenn Harriet also das Angebot der ersten Bank annimmt, würde sie am Ende des Jahres 5500 Euro zurückzahlen müssen. Wenn sie aber das Angebot der zweiten Bank annimmt, würde sie am Ende des Jahres 5724,5 Euro zurückzahlen müssen. Wenn du zwei Angebote vergleichen möchtest, achte immer darauf, dass du es auf die gleiche Laufzeit hochrechnest. Hierbei musst du auf die Zinseszinsen achten. Dadurch weiß Harriet nun, dass sie mithilfe des ersten Angebots 224,5 Euro sparen kann. Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Die Reparaturen sind nun fertiggestellt. Harriet möchte sich das natürlich sofort anschauen. Es ist Zeit für die große Wiedereröffnung. Das neue Otter Wikinger Schiff! Aber, was?! Diese Wiesel! Ist das ein Wiesel Schiff oder was?
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, verschiedene Kreditangebote zu vergleichen und deren Jahreszinsen zu berechnen.
Zunächst lernst du, was ein Kredit überhaupt ist. Anschließend lernst du, wie du die Zinsen verschiedener Kreditangebote berechnen kannst. Abschließend lernst du, worauf du immer achten musst, wenn du zwei verschiedene Angebote vergleichen möchtest.
Lerne etwas über das Vergleichen von Krediten.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Zinsen, Kapital, Zinssatz und Kredit.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Begriffe es bei der Zinsrechnung gibt und wie diese im Zusammenhang miteinander stehen.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Berechnen von Zinsen über mehrere Jahre hinweg zu lernen.
Die Tutoren:
Zinsrechnung: Kredite vergleichen
Zinsrechnung: Kredite vergleichen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zinsrechnung: Kredite vergleichen kannst du es wiederholen und üben.
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Gib die richtigen Aussagen über Kredite an.
Tipps
Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital.
Leihst du dir bei der Bank Blau $100~$€, bekommst du ein Angebot mit einem Zinssatz von $12 \%$ pro Jahr.
Nach einem Jahr musst du also zusätzlich zu den $100~$€ noch Zinsen in Höhe von $12~$€ zahlen.
Leihst du dir bei der Bank Rot $100~$€, bekommst du ein Angebot mit einem Zinssatz von $8 \%$ pro Halbjahr.
Nach sechs Monaten musst du also zusätzlich zu den $100~$€ noch $8~$€ Zinsen zahlen. Nach den nächsten sechs Monaten musst du nochmal $8,46~$€ Zinsen zahlen. Also zahlst du nach einem Jahr insgesamt $16,46~$€ Zinsen.
Lösung
Wenn du zwei Kreditangebote vergleichen möchtest, achte immer darauf, dass du sie auf die gleiche Laufzeit hochrechnest. Dabei spielen die Zinseszinsen eine wichtige Rolle, denn die Zinsen werden zum Kapital dazu addiert und bei der nächsten Abrechnung mit verzinst. Du zahlst also am Ende auch Zinsen für die Zinsen. Bei einem Kreditangebot ist daher NICHT immer das mit dem niedrigsten Zinssatz das günstigste, wenn man die Kredite auf dieselbe Laufzeit hochrechnet.
Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals bezahlt. Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:
- $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
- $Z=K\cdot p\%$
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Gib die zu zahlenden Zinsen an.
Tipps
Nutze für die Berechnung der Zinsen:
- $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
- $Z=K\cdot p\%$
Für die Zinseszinsen bestimmen wir erst die Zinsen nach sechs Monaten. Diese addieren wir zu unserem Ausgangskapital und berechnen mit diesem neuen Kapital die Zinsen für die weiteren sechs Monate. Am Ende addieren wir die beiden anfallenden Zinsbeträge.
Für diese Aufgabe
Kapital: $1000~$€; Angebot: $3\%$ Zinsen für sechs Monate
Zinsen nach sechs Monaten?
kannst du zum Beispiel so rechnen:
$\begin{align} Z=K\cdot p \%&=1000~€ \cdot 3\% \\ &=1000~€ \cdot 0,03 \\ &=30~€ \\ \end{align}$.
Lösung
Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals bezahlt. Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:
- $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
- $Z=K\cdot p\%$
$\begin{align} Z_1=K_1\cdot p_1\%&=5000~ € \cdot 10\% \\ &=5000~€ \cdot 0,1 \\ &=500~ € \\ \end{align}$
Zweite Rechnung
$\begin{align} Z_2=K_2\cdot p_2\%&=5000~ € \cdot 7\% \\ &=5000 ~€ \cdot 0,07 \\ &=350~ € \\ \end{align}$
Dritte Rechnung
$\begin{align} Z_3=K_3\cdot p_3\%&=5350~ € \cdot 7\% \\ &=5350~ € \cdot 0,07 \\ &=374,50~ € \\ \end{align}$
Vierte Rechnung
Hier sollen Zinseszinsen bestimmt werden. Da wir das Angebot auf eine Laufzeit von einem Jahr hochrechnen wollen, bestimmen wir erst die Zinsen nach sechs Monaten, addieren diese zu unserem Ausgangskapital und berechnen mit diesem neuen Kapital die Zinsen für die weiteren sechs Monate. Am Ende addieren wir die beiden anfallenden Zinsbeträge:
$Z_4=Z_2+Z_3=350~ € + 374,50~ €= 724,50~ €$.
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Berechne die Zinssätze der beiden Angebote.
Tipps
Stellen wir uns einmal vor, dass wir bei einer Bank Geld anlegen. Nach jedem Jahr bekommt man darauf dann Zinsen, die auf das Kapital gezahlt werden. Da sich das Kapital dadurch verändert hat, verändern sich auch die Zinsen. Diese und die Zinsen der nächsten Jahre nennen wir Zinseszinsen. Das gleiche gilt bei einem Kredit.
Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital:
- $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
Lösung
Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals bezahlt. Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:
- $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
- $Z=K\cdot p\%$
$Z=10\%\cdot 5000€= 0,10 \cdot 5000€ = 500€$.
Nach einem Jahr muss Harriet also $5000€+500€=5500 €$ zurückzahlen.
Die zweite nationale Biberbank bietet Harriet einen Zinssatz von $7\%$ für sechs Monate an. Wir rechnen die Laufzeit auch auf ein Jahr hoch, um die Angebote zu vergleichen. Hier müssen die Zinseszinsen betrachtet werden. Nach sechs Monaten betragen die Zinsen:
$Z_1=7\%\cdot 5000€ = 0,07 \cdot 5000€ = 350€$.
Nach den sechs Monaten betrachten wir den Anteil des Zinssatzes an dem neuen Kapital $5000€+350€=5350€$, das heißt, auch die Zinsen werden verzinst.
$Z_2=7\%\cdot 5350€ = 0,07 \cdot 5350€ = 374,50€$
Nach einem Jahr muss Harriet also $5000€+350€+374,50€=5724,50 €$ zurückzahlen.
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Ermittle die zu zahlenden Zinsen.
Tipps
Um die Angebote zu vergleichen, musst du alle auf dieselbe Laufzeit von einem Jahr hochrechnen.
Bei einer Laufzeit von drei Monaten musst du also viermal die Zinsen berechnen und jedes Mal das neue Kapital nutzen.
Für die Gesamtzinsen musst du alle Zinsen zu den jeweiligen Zeitpunkten des Laufzeitendes addieren.
Stelle dir vor Maries Freund bietet ihr an: $4\%$ bei einer Laufzeit von vier Monaten, dann rechnest du:
Zinsen nach $4$ Monaten (Kapital: $K_1=1000,00 €$): $Z_1=K_1 \cdot p \%= 1000,00 € \cdot 4 \%=1000,00 € \cdot 0,04=40,00€$
Zinsen nach $8$ Monaten: (Kapital: $K_2=1000,00 €+40€=1040,00 €$):
$Z_2=K_2 \cdot p \%= 1040,00 € \cdot 4 \%=1040,00 € \cdot 0,04=41,60€$
Gesamtzinsen nach $8$ Monaten: $40,00€+41,60€=81,60€$
Zinsen nach einem Jahr: (Kapital: $K_3=1000,00 €+81,60=1081,60 €$):
$Z_3=K_3 \cdot p \%= 1081,60 €\cdot 4 \%=1081,60 € \cdot 0,04=43,26€$
Gesamtzinsen nach $1$ Jahr: $81,60€+43,26€=124,86€$
Lösung
Vater
Zinssatz: $1 \%$
Zinsen nach $3$ Monaten (Kapital: $K_1=1000,00 €$): $Z_1=K_1 \cdot p \%= 1000,00 € \cdot 1 \%=1000,00 € \cdot 0,01=10,00€$
Zinsen nach $6$ Monaten: (Kapital: $K_2=1000,00 €+10€=1010,00 €$): $Z_2=K_2 \cdot p \%= 1010,00 € \cdot 1 \%=1010,00 € \cdot 0,01=10,10€$
Gesamtzinsen nach $6$ Monaten: $10,10€+10,00€=20,10€$
Zinsen nach $9$ Monaten: (Kapital: $K_3=1000,00 €+20,10€=1020,10 €$): $Z_3=K_3 \cdot p \%= 1020,10 € \cdot 1 \%=1020,10 € \cdot 0,01=10,20€$
Gesamtzinsen nach $9$ Monaten: $20,10€+10,20€=30,30€$
Zinsen nach einem Jahr: (Kapital: $K_4=1000,00 €+30,30€=1030,30 €$): $Z_4=K_4 \cdot p \%= 1030,30 € \cdot 1 \%=1030,30 € \cdot 0,01=10,30€$
Gesamtzinsen nach $9$ Monaten: $30,30€+10,30€=40,60€$
Mutter
Zinssatz: $5\%$
Zinsen nach einem Jahr: (Kapital: $K=1000,00 €$): $Z=K \cdot p \%= 1000,00 € \cdot 5 \%=1000,00 € \cdot 0,05=50,00€$
Bruder
Zinssatz: $2 \%$
Zinsen nach $6$ Monaten: (Kapital: $K_1=1000,00 €$): $Z_1=K_1 \cdot p \%= 1000,00 € \cdot 2 \%=1000,00 € \cdot 0,02=20,00€$
Zinsen nach einem Jahr: (Kapital: $K_2=1000,00 €+20€=1020,00 €$):$Z_2=K_2 \cdot p \%= 1020,00 € \cdot 2 \%=1020,00 € \cdot 0,02=20,40€$
Gesamtzinsen nach $9$ Monaten: $20,00€+20,40€=40,40€$
Das Angebot von ihrem Bruder ist das mit $40,40€$ das beste.
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Bestimme die Summe aus Kapital und Zinsen.
Tipps
Berechne zunächst die Zinsen $Z$ und addiere sie zum Kapital $K$ hinzu.
Bei einem Kapital von $2000~$€ müssen bei einem Zinssatz von $15\%$ am Ende $2000~€ + 2000~€ \cdot 0,15 = 2300~$€ zurückgezahlt werden.
Lösung
Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals bezahlt. Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:
- $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
- $Z=K\cdot p\%$
- $Z_1=K_1\cdot p_1\%=1000 \cdot 3\%=30 $
- $Z_2=K_2\cdot p_2\%=800 \cdot 2\%=16 $
- $Z_3=K_3\cdot p_3\%=800 \cdot 4\%=32 $
- $Z_4=K_4\cdot p_4\%=900 \cdot 12\%=108 $
- $K_1 + Z_1 = 1000 + 30 = 1030 $
- $K_2 + Z_2 = 800 + 16 = 816 $
- $K_3 + Z_3 = 800 + 32 = 832 $
- $K_4 + Z_4 = 900 + 108 = 1008 $
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Vergleiche Kredite mit positiven und negativen Zinssätzen.
Tipps
Mit negativen Zinsen kannst du genauso rechnen wie mit positiven Zinsen, du musst dir nur vorher überlegen, welche der beiden Möglichkeiten du anwenden möchtest.
- Rechne mit dem negativen Zinssatz und addiere den negativen Zinswert zum ursprünglichen Kapital.
- Rechne mit dem positiven Zinssatz und subtrahiere den Zinswert vom ursprünglichen Kapital.
Lösung
Mit negativen Zinsen kannst du genauso rechnen wie mit positiven Zinsen, du musst dir nur vorher überlegen, welche der beiden Möglichkeiten du anwenden möchtest.
- Rechne mit dem negativen Zinssatz und addiere den negativen Zinswert zum ursprünglichen Kapital.
- Rechne mit dem positiven Zinssatz und subtrahiere den Zinswert vom ursprünglichen Kapital.
Wir betrachten die Kredite nach einem Jahr:
Wir haben jeweils dasselbe Kapital $K=5000 €$, nur unterschiedliche Zinssätze $p_-\%=-2\%$ und $p_+\%=3\%$. Wir erhalten für die Zinsen:
$Z_-=K\cdot p_-\%=K\cdot (-2\%)= 5000 € \cdot (-0,02) = -100 €$
$Z_+=K\cdot p_+\%=K\cdot 3\%= 5000 € \cdot 0,03 = 150 €$
Damit Betragen die neuen Kapitale:
$K_-=5000 €-100 €=4900 €$
$K_+=5000 €+150 €=5150 €$
Für die weiteren Jahre ist es wichtig, dass wir immer das neue Kapital mit dem Prozentsatz multiplizieren, da die Zinsen auch verzinst werden. Dazu stellen wir eine Tabelle auf:
$\begin{array}{c|c|c} \text{Jahre} & \text{Kapital bei } p_-\%=-2\% & \text{Kapital bei } p_+\%=3\% \\ \hline 1& 4900 € & 5150€ \\ \hline 2& 4802 € & 5304,50€ \\ \hline 3& 4705,96 € & 5463,64€ \\ \hline 4& 4611,84 € & 5627,54€ \\ \hline 5& 4519,60 € & 5796,37€ \\ \hline 6& 4429,21 € & 5970,26€ \\ \end{array}$
Nach $6$ Jahren muss Marie nur noch $4429,21 €$ also weniger als $4500 € $ zurückzahlen.
2 Kommentare
我也觉得
Großartiges Video danke. Es hat gerade wegen der Optik sehr gefallen. ( :