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Exponentielles Wachstum 06:46 min

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Transkript Exponentielles Wachstum

Thema dieses Films ist das exponentielle Wachstum. Was das ist, lässt sich sehr anschaulich mit der Legende um den altindischen Mathelehrer Budi Ram illustrieren. Angeblich der Erfinder des Schachspiels. Sein König Sher Kahn war so begeistert von dem neuen Spiel, dass er Budi Ram jede beliebige Belohnung versprach. Budi Ram wollte nur etwas ganz Bescheidenes. Ein Reiskorn auf dem ersten Feld des Schachbretts, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten und so weiter. Also auf jedem folgenden Feld doppelt so viele Reiskörner wie auf dem vorherigen. Sher Khan war ziemlich wütend über diesen simplen Wunsch. Schließlich hätte Budi Ram sich auch Gold und Edelsteine wünschen können. Als es aber an die Auszahlung geht, stellt sich heraus, dass alle Reisspeicher des Reiches zusammen nicht genügend Reis enthalten, um Budi Ram zu bezahlen. Der König ist verblüfft und macht Budi Ram zu seinem Berater. Rechnen wir nach: Die Rechenregel ist ja ganz überschaubar. Auf dem ersten Feld ein Korn, auf dem jeweils nächsten doppelt so viele. Damit haben wir bereits die rekursive Funktionsgleichung. Wir sehen, die Anzahl der Reiskörner wächst immer schneller. Spätestens ab dem elften oder zwölften Feld brauchen wir schon ein ziemlich großes Schachbrett, um die Reiskörner noch darauf unterbringen zu können. Doch das Wachstum geht ja noch ein ganzes Stück weiter bis zum 64. Feld. Dann addieren wir. Budi Ram müsste 18.446.744.073.709.551.615 Reiskörner bekommen. Ein Reiskorn wiegt ungefähr 0,03 Gramm. Budi Ram bekäme demzufolge 553.500.000.000.000 Tonnen Reis. Zum Vergleich: Die Weltjahresproduktion betrug 2009 678,7 Millionen Tonnen Reis. Budi Ram bekäme das 815fache davon. Um diese Menge innerhalb eines Jahres zu erzeugen, müsste man zwei komplette Erdoberflächen nur zum Reisanbau verwenden. Statt uns weiter beeindrucken zu lassen, sehen wir uns nun aber lieber die Tabelle noch einmal an. Und dabei entdecken wir etwas. Bei den Zahlen, die die Anzahl der Reiskörner beschreiben, handelt es sich offenbar um Zweierpotenzen: eins, zwei, vier, acht, sechzehn und so weiter. Damit können wir die explizite Funktionsgleichung bestimmen. Es ist eine Exponentialfunktion mit der Basis a. Ein Wachstum, das von einer solchen Exponentialfunktion beschrieben wird, nennt man exponentielles Wachstum. Exponentielles Wachstum ist in der ganzen Natur verbreitet. Wenn ein Biologe etwa eine Bakterienkultur anlegt und die Keime sich ungehindert teilen dürfen, dann folgt das Bakterienwachstum der exponentiellen Wachstumsfunktion. Ebenso handelt es sich bei der Weltbevölkerungsentwicklung um eine exponentielle Wachstumsfunktion. Bislang haben wir exponentielle Wachstumsfunktionen mit einer Basis größer als eins betrachtet. Sehen wir uns nun den radioaktiven Zerfall an, beispielsweise den von Plutonium 239. Von 1000 Gramm Plutonium 239 sind nach 1000 Jahren noch etwa 972 Gramm vorhanden. Der Rest ist unter Abgabe hauptsächlich von Alphastrahlung in Uran 235 zerfallen. Wenn zirka 2,8 % des vorhandenen Plutonium 239 pro Jahrtausend zerfallen, dann können wir das mit einer Funktionsgleichung beschreiben. Und daraus die rekursive Funktionsgleichung bilden. Wie bei den Reiskörnern können wir auch hier aus der rekursiven die explizite Funktionsgleichung bilden. Der Graph dieser Funktion zeigt tatsächlich den radioaktiven Zerfall von Plutonium 239. Nach 24.110 Jahren ist genau die Hälfte des Plutoniums zerfallen. Das ist die sogenannte Halbwertzeit eines solchen Prozesses. Aber nicht nur der radioaktive Zerfall wird mit einer derartigen Exponentialfunktion beschrieben, sondern auch alle anderen Schrumpfungsprozesse mit konstanter negativer Wachstumsrate: sinkende Bevölkerungszahlen in Städten, der Rückgang von Waldflächen, die Abnahme der Medikamentenkonzentration im Blut, Abkling- und Abkühlungsvorgänge. Alle diese Vorgänge werden von einer Exponentialfunktion vom Typ f(x) = c * ax beschrieben, wenn a zwischen null und eins liegt. Die Zahl c, also der Wert der Funktion für das Argument x = 0, heißt Anfangswert der Funktion. Vergleichen wir nun noch drei Wachstumsmodelle. Beim linearen Wachstum nimmt der Wert pro Zeiteinheit um denselben Summanden zu. Beim quadratischen Wachstum wächst der Wert mit dem Quadrat, also der zweiten Potenz des Arguments. Dabei ist die zweite Differenzreihe, also die Zunahme der Zunahme konstant. Beim exponentiellen Wachstum schließlich ist die prozentuelle Zu- oder Abnahme pro Zeiteinheit konstant und damit auch der Wachstumsfaktor. Der Graph aller drei Wachstumsmodelle zeigt, wie exponentielles Wachstum sowohl lineares als auch quadratisches Wachstum im Laufe der Zeit übertrifft.

Exponentielles Wachstum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentielles Wachstum kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, in welchen Fällen es sich um exponentielles Wachstum handelt.

    Tipps

    Ein Baum wird in den Garten gepflanzt. Zu diesem Zeitpunkt schaut er um $10 \text{ cm}$ aus dem Boden. Pro Jahr wächst er um ca. $25 \text{ cm}$. Das Wachstum des Baumes kann durch ein lineares Wachstum beschrieben werden:

    $f(x)=25 \cdot x +10$

    Bei einem exponentiellen Wachstum handelt es sich um eine konstante prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    • Legt ein Biologe eine Bakterienkolonie an, in der sich die Bakterien ungehindert teilen dürfen, handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
    Es handelt sich also um eine konstante prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit.

    • Der radioaktive Zerfall kann mit einem exponentiellen Wachstum beschrieben werden, wenn die Basis $0<a<1$ gewählt wird.
    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Bei der Weltbevölkerung handelt es sich um eine lineare Wachstumsfunktion.
    Die Weltbevölkerung steigt nicht pro Zeiteinheit um denselben Summanden an, sondern wächst exponentiell mit der Zeit. Es handelt sich also um eine konstante prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit. Das heißt bei der Weltbevölkerung handelt es sich um eine exponentielle Wachstumsfunktion.

    • Der radioaktive Zerfall kann mit einem exponentiellen Wachstum beschrieben werden, wenn die Basis $a<0$ gewählt wird.
    Die Basis $a$ darf nicht negativ sein, da sonst kein stetiges Wachstum zu verzeichnen ist. Die Funktion würde bei geraden Exponenten dann immer einen positiven Wert und bei ungeraden einen negativen Wert liefern. Betrachte: $f(x)=c\cdot (-2)^x$:

    $f(1)=c\cdot (-2)^1=-2$ $f(2)=c\cdot (-2)^2=4$ $f(3)=c\cdot (-2)^3=-8$ $f(4)=c\cdot (-2)^4=16$ usw.

    Für den radioaktiven Zerfall muss $0<a<1$ gelten.

    • Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Am Anfang sind $100$ Liter Wasser im Becken. Pro Minute laufen nun $20$ Liter Wasser in das Becken. Bei der Wasserzunahme handelt es sich um exponentielles Wachstum.
    Da die Wassermenge pro Zeiteinheit (hier eine Minute) immer um einen konstanten Summanden ($20$ Liter) zunimmt, handelt es sich nicht um exponentielles, sondern lineares Wachstum. Das könntest du durch folgendes Beispiel angeben: $f(x)=20 \cdot x +100$.

  • Stelle mit Hilfe der Wertepaare die rekursive und explizite exponentielle Funktion auf.

    Tipps

    Eine Exponentialfunktion können wir allgemein beschreiben durch:

    $f(x)=c\cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert und $a$ die Basis ist.

    Die rekursive Funktionsgleichung zeichnet sich dadurch aus, dass man vorherige Funktionswerte kennen muss. Das heißt, dass du zum Beispiel $f(n)$ anhand von $f(n-1)$ berechnest.

    Bei der expliziten Funktionsgleichung kannst du das Ergebnis direkt berechnen.

    Lösung

    Der altindische Mathelehrer Budhiram gilt als Erfinder des Schachspiels. Als er es seinem König vorstellte, war dieser so begeistert, dass sich Budhiram eine beliebige Belohnung aussuchen durfte.

    Er wollte nur etwas Bescheidenes: $1$ Reiskorn auf dem ersten Schachfeld, $2$ auf dem zweiten, $4$ auf dem dritten, $8$ auf dem vierten und so weiter bis das ganze Schachbrett fertig ist. Also auf jedem Feld doppelt so viele Reiskörner wie auf dem vorherigen.

    Erst war der König beleidigt, da sich Budhiram auch Gold oder Diamanten hätte wünschen können, aber später stellte er fest, dass alle Reisspeicher des Landes nicht ausreichten. Rechnen wir mal nach. Dazu beschreibe $f(n)$ die Reiskörner auf dem $n$ -ten Schachfeld.

    • $f(1)=1$
    • $f(2)=2\cdot 1= 2$
    • $f(3)=2\cdot 2= 4$
    • $f(4)=2\cdot 4= 8$
    • $f(5)=2\cdot 8= 16$
    Die rekursive Funktionsgleichung lautet:

    • $f(n+1)=2\cdot f(n)$
    Denn wir multiplizieren ja für das neue Feld immer die Anzahl der Reiskörner auf dem vorherigen Feld mit $2$.

    Anhand der rekursiven Funktionsgleichung können wir nun auch die explizite Funktionsgleichung bilden:

    • $f(n)=2^{n-1}$
    Alleine für das $64.$ Feld müsste Budhiram also über $9$ Trillionen Reiskörner bekommen:

    $f(64)=2^{64-1}= 9.223.372.036.854.775.808$

    Addiert man alle Felder, übersteigt es bei weitem die Menge an Reis, die in $800$ Jahren weltweit produziert wird.

    Dabei handelt es sich also um eine Exponentialfunktion und somit reden wir von einem exponentiellen Wachstum, da eine konstante prozentuale Zunahme von $100\%$ pro Feldeinheit vorliegt.

  • Entscheide, ob es sich um exponentiellen Zuwachs oder Zerfall handelt.

    Tipps

    Bei einer Exponentialfunktion muss für die Basis $a$ gelten: $0<a$ und $a \neq 1$.

    Bei $f(x)=4x^2$ liegt quadratisches Wachstum vor.

    Bei $f(x)=5\cdot (0,1)^x$ handelt es sich um exponentiellen Zerfall, da die Basis kleiner als $1$ ist.

    Lösung

    Du kannst die Funktionsterme wie folgt zuordnen:

    Exponentieller Zuwachs

    Hierbei handelt es sich um eine Exponentialfunktion mit der Gleichung: $f(x)=c\cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert ist und $a$ die Basis, die für einen Zuwachs größer als $1$ sein muss.

    • $f(x)=2^{x-1}$, da wir es auch schreiben können als $2^{x-1}=2^x\cdot 2^{-1}= 2^x\cdot \frac12=\frac12 \cdot 2^x$.
    • $f(x)=1,002\cdot (1,93)^x$
    • $f(x)=c \cdot (1,001)^x$
    Exponentieller Zerfall

    Hierbei handelt es sich um eine Exponentialfunktion mit der Gleichung: $f(x)=c\cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert ist und $a$ die Basis, die für einen Zerfall kleiner als $1$ sein muss.

    • $f(x)=25\cdot (0,95)^x$
    • $f(x)=37,2\cdot (0,37)^x$
    • $f(x)=25\cdot (0,001)^x$
    Keine Exponentialfunktion

    • $f(x)=25\cdot (-0,95)^x$: Bei einer Exponentialfunktion darf die Basis $a$ niemals negativ sein.
    • $f(x)=x^2+3$: Hier liegt quadratisches Wachstum vor.
    • $f(x)=c \cdot (1,0)^x$: Bei einer Exponentialfunktion muss die Basis $a$ immer ungleich $1$ sein, da $1$ hoch eine beliebige Zahl immer $1$ ist. Dieser Funktionsterm ist damit $c \cdot (1,0)^x=c \cdot 1 = c$ konstant.
  • Bestimme die Exponentialfunktion für das Wachstum oder den Zerfall.

    Tipps

    So kannst du vorgehen:

    Am Anfang leben $10$ Kaninchen im Park. Sie vermehren sich pro Jahr um $50\%$.

    • Der Anfangswert beträgt hier $c=10$. Für die Basis der Exponentialfunktion betrachten wir die $50\%$ als Dezimalbruch $50\%=0,5$. Da die Kaninchenpopulation wächst, müssen wir $0,5$ zu einem Ganzen addieren:
    • $a=1+0,5=1,5$

    Steigt deine Menge, muss die Basis $a$ größer als $1$ sein, sinkt sie, muss $0<a<1$ gelten.

    Lösung

    Eine Exponentialfunktion kann allgemein durch folgende Gleichung beschrieben werden:

    $f(x)=c \cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert und $a$ die Basis der Exponentialfunktion ist.

    $1.$ Am Anfang sind $100$ Bakterien vorhanden. Die Bakterienkultur wächst in $1$ Stunde um $75\%$. Wie verläuft das Wachstum?

    • Der Anfangswert beträgt hier $c=100$. Für die Basis betrachten wir die $75\%$ als Dezimalbruch $75\%=0,75$. Da die Bakterienkultur wächst, müssen wir dieses zu einem Ganzen, also zu $1$ addieren, um die Basis $a$ zu erhalten:
    $a=1+0,75=1,75$

    Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

    $f(x)=100\cdot (1,75)^x$

    $2.$ Zu Beginn lebten $75$ Aliens auf dem Planeten Pandeor. Pro Jahr wächst die Bevölkerung um $25\%$. Wie verläuft das Wachstum?

    • Der Anfangswert beträgt hier $c=75$. Für die Basis betrachten wir die $25\%$ als Dezimalbruch $25\%=0,25$. Da die Bevölkerung wächst, müssen wir dieses wieder zu einem Ganzen addieren, um die Basis $a$ zu erhalten:
    $a=1+0,25=1,25$

    Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

    $f(x)=75\cdot (1,25)^x$

    $3.$ Ein radioaktiver Stoff zerfällt so, dass die ursprüngliche Masse von $75\text{ g}$ jährlich um $25\%$ abnimmt. Wie verläuft das Wachstum?

    • Der Anfangswert beträgt hier $c=75$. Für die Basis betrachten wir die $25\%$ wieder als Dezimalbruch $25\%=0,25$. Da die Masse geringer wird, müssen wir diesen Wert diesmal von einem Ganzen abziehen, um die Basis $a$ zu erhalten:
    $a=1-0,25=0,75$

    Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

    $f(x)=75\cdot (0,75)^x$

    $4.$ Der Luftdruck der Erdatmosphäre nimmt um ungefähr $12 \%$ je $1 \text{ km}$ Höhenunterschied ab. Auf Höhe des Meeresspiegels beträgt er ungefähr $1,013\text{ bar}$. Wie entwickelt sich der Luftdruck mit zunehmender Höhe?

    • Der Anfangswert beträgt hier $c=1,013$. Für die Basis betrachten wir die $12\%$ als Dezimalbruch $12\%=0,12$ und ziehen diesen für die Basis $a$ von einem Ganzen ab, da es sich um eine Abnahme handelt:
    $a=1-0,12=0,88$

    Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

    $f(x)=1,013\cdot (0,88)^x$

  • Bestimme, bei welchen Graphen und Funktionsgleichungen es sich um lineares, quadratisches oder exponentielles Wachstum handelt.

    Tipps

    Bei einem linearen Wachstum nimmt der Wert pro Zeiteinheit um denselben Summanden zu.

    Zeichnen wir den Graphen zu einem quadratischen Wachstum, erhalten wir einen Teil einer Parabel.

    Allgemein können wir die Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum als $f(x)=c\cdot a^x$ mit $0<a$ als Wachstumsfaktor und $c$ als Anfangswert schreiben.

    Lösung

    Wir vergleichen drei Wachstumsarten:

    1. Bei einem linearen Wachstum nimmt der Wert pro Zeiteinheit um denselben Summanden zu. Zeichnen wir den Graphen, erhalten wir eine Gerade mit konstanter Steigung. Allgemein können wir die Funktionsgleichung schreiben als $f(x)=mx+b$ mit $m$ als Steigung und $b$ als $y$-Achsenabschnitt. Für unseren Fall beschreibt $g(x)=50\cdot x$ eine Gerade durch den Ursprung $O(0,0)$, also ein lineares Wachstum.
    2. Bei einem quadratischen Wachstum nimmt der Wert mit dem Quadrat zu. Das heißt, dass wir hier die zweite Potenz des Arguments (meist mit $x$ bezeichnet) nehmen. Die Zunahme der Zunahme ist konstant. Zeichnen wir den Graphen, erhalten wir einen Teil einer Parabel. Allgemein können wir die Funktionsgleichung schreiben als $f(x)=a(x-d)^2+e$ mit $a$ als Streckungsfaktor und $d$ als $x$- und $e$ als $y$-Koordinate des Scheitelpunkts. Für unseren Fall beschreibt $h(x)=5\cdot x^2$ eine Parabel durch den Ursprung $O(0,0)$, also ein quadratisches Wachstum.
    3. Man spricht von exponentiellem Wachstum, wenn die prozentuale Zu- oder Abnahme pro Zeiteinheit und damit der Wachstumsfaktor konstant ist. Zeichnen wir den Graphen, erhalten wir einen Teil einer sogenannten $e$-Funktion. Allgemein können wir die Funktionsgleichung schreiben als $f(x)=c\cdot a^x$ mit $0<a$ als Basis und $c$ als Anfangswert. Für unseren Fall beschreibt $f(x)=2^x$ ein exponentielles Wachstum.
  • Ermittle die Basis der Exponentialfunktion.

    Tipps

    Haben wir eine Formel für exponentielles Wachstum von Bakterien gegeben:

    • $f(x)=0,5 \cdot 3^x$
    Dann beträgt die Bakterienanzahl nach $7$ Stunden:

    • $f(7)=0,5 \cdot 3^7= 1093,5$
    Lösung

    Hier wollen wir so vorgehen:

    1. Die gegebenen Variablen einsetzen.
    2. Die Gleichung mit den eingesetzten Variablen nach der Basis $a$ umstellen.
    3. Mit Hilfe der Basis die Bakterienanzahl nach $2$ Stunden ausrechnen.
    Milchsäurebakterien haben eine Verdoppelungszeit von ca. $15$ Minuten. Wenn ich am Anfang eine Kultur mit $100$ Bakterien habe, wie viele Bakterien sind dann nach $2$ Stunden vorhanden?

    Wir nutzen die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum mit $x$ für die Zeit in Stunden:

    $f(x)=c \cdot a^x$

    Wir wissen, dass der Anfangswert $c=100$ ist, also setzen wir diesen ein:

    $f(x)=100 \cdot a^x$

    Außerdem verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien nach $15$ Minuten, also $\frac 14$ Stunde. Habe ich also am Anfang $100$ Bakterien, habe ich nach einer Viertelstunde zum Zeitpunkt $x=\frac14$ schon $200$ Bakterien.

    Damit gilt:

    $f(\frac14)=100 \cdot a^{\frac14}=100 \cdot 2=200$

    Dies können wir nach $a$ umstellen, indem wir auf beiden Seiten durch $100$ teilen:

    $a^{\frac14}$$=2$

    Nehmen wir nun die vierte Potenz, gilt:

    $(a^{\frac14})^4=a^{\frac{1\cdot 4}4}=a^1=a$

    Somit erhalten wir:

    $a=2^4=16$

    Unser exponentielles Wachstum kann also mit $c=100$ und $a=16$ beschrieben werden durch:

    $f(x)=c \cdot a^x=100 \cdot 16^x$

    Wir setzen nun die $2$ Stunden ein und erhalten:

    • $f(2)=100 \cdot 16^2= 100 \cdot 256= 25600$