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Exponentielles Wachstum 06:46 min

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Transkript Exponentielles Wachstum

Thema dieses Films ist das exponentielle Wachstum. Was das ist, lässt sich sehr anschaulich mit der Legende um den altindischen Mathelehrer Budi Ram illustrieren. Angeblich der Erfinder des Schachspiels. Sein König Sher Kahn war so begeistert von dem neuen Spiel, dass er Budi Ram jede beliebige Belohnung versprach. Budi Ram wollte nur etwas ganz Bescheidenes. Ein Reiskorn auf dem ersten Feld des Schachbretts, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten und so weiter. Also auf jedem folgenden Feld doppelt so viele Reiskörner wie auf dem vorherigen. Sher Khan war ziemlich wütend über diesen simplen Wunsch. Schließlich hätte Budi Ram sich auch Gold und Edelsteine wünschen können. Als es aber an die Auszahlung geht, stellt sich heraus, dass alle Reisspeicher des Reiches zusammen nicht genügend Reis enthalten, um Budi Ram zu bezahlen. Der König ist verblüfft und macht Budi Ram zu seinem Berater. Rechnen wir nach: Die Rechenregel ist ja ganz überschaubar. Auf dem ersten Feld ein Korn, auf dem jeweils nächsten doppelt so viele. Damit haben wir bereits die rekursive Funktionsgleichung. Wir sehen, die Anzahl der Reiskörner wächst immer schneller. Spätestens ab dem elften oder zwölften Feld brauchen wir schon ein ziemlich großes Schachbrett, um die Reiskörner noch darauf unterbringen zu können. Doch das Wachstum geht ja noch ein ganzes Stück weiter bis zum 64. Feld. Dann addieren wir. Budi Ram müsste 18.446.744.073.709.551.615 Reiskörner bekommen. Ein Reiskorn wiegt ungefähr 0,03 Gramm. Budi Ram bekäme demzufolge 553.500.000.000.000 Tonnen Reis. Zum Vergleich: Die Weltjahresproduktion betrug 2009 678,7 Millionen Tonnen Reis. Budi Ram bekäme das 815fache davon. Um diese Menge innerhalb eines Jahres zu erzeugen, müsste man zwei komplette Erdoberflächen nur zum Reisanbau verwenden. Statt uns weiter beeindrucken zu lassen, sehen wir uns nun aber lieber die Tabelle noch einmal an. Und dabei entdecken wir etwas. Bei den Zahlen, die die Anzahl der Reiskörner beschreiben, handelt es sich offenbar um Zweierpotenzen: eins, zwei, vier, acht, sechzehn und so weiter. Damit können wir die explizite Funktionsgleichung bestimmen. Es ist eine Exponentialfunktion mit der Basis a. Ein Wachstum, das von einer solchen Exponentialfunktion beschrieben wird, nennt man exponentielles Wachstum. Exponentielles Wachstum ist in der ganzen Natur verbreitet. Wenn ein Biologe etwa eine Bakterienkultur anlegt und die Keime sich ungehindert teilen dürfen, dann folgt das Bakterienwachstum der exponentiellen Wachstumsfunktion. Ebenso handelt es sich bei der Weltbevölkerungsentwicklung um eine exponentielle Wachstumsfunktion. Bislang haben wir exponentielle Wachstumsfunktionen mit einer Basis größer als eins betrachtet. Sehen wir uns nun den radioaktiven Zerfall an, beispielsweise den von Plutonium 239. Von 1000 Gramm Plutonium 239 sind nach 1000 Jahren noch etwa 972 Gramm vorhanden. Der Rest ist unter Abgabe hauptsächlich von Alphastrahlung in Uran 235 zerfallen. Wenn zirka 2,8 % des vorhandenen Plutonium 239 pro Jahrtausend zerfallen, dann können wir das mit einer Funktionsgleichung beschreiben. Und daraus die rekursive Funktionsgleichung bilden. Wie bei den Reiskörnern können wir auch hier aus der rekursiven die explizite Funktionsgleichung bilden. Der Graph dieser Funktion zeigt tatsächlich den radioaktiven Zerfall von Plutonium 239. Nach 24.110 Jahren ist genau die Hälfte des Plutoniums zerfallen. Das ist die sogenannte Halbwertzeit eines solchen Prozesses. Aber nicht nur der radioaktive Zerfall wird mit einer derartigen Exponentialfunktion beschrieben, sondern auch alle anderen Schrumpfungsprozesse mit konstanter negativer Wachstumsrate: sinkende Bevölkerungszahlen in Städten, der Rückgang von Waldflächen, die Abnahme der Medikamentenkonzentration im Blut, Abkling- und Abkühlungsvorgänge. Alle diese Vorgänge werden von einer Exponentialfunktion vom Typ f(x) = c * ax beschrieben, wenn a zwischen null und eins liegt. Die Zahl c, also der Wert der Funktion für das Argument x = 0, heißt Anfangswert der Funktion. Vergleichen wir nun noch drei Wachstumsmodelle. Beim linearen Wachstum nimmt der Wert pro Zeiteinheit um denselben Summanden zu. Beim quadratischen Wachstum wächst der Wert mit dem Quadrat, also der zweiten Potenz des Arguments. Dabei ist die zweite Differenzreihe, also die Zunahme der Zunahme konstant. Beim exponentiellen Wachstum schließlich ist die prozentuelle Zu- oder Abnahme pro Zeiteinheit konstant und damit auch der Wachstumsfaktor. Der Graph aller drei Wachstumsmodelle zeigt, wie exponentielles Wachstum sowohl lineares als auch quadratisches Wachstum im Laufe der Zeit übertrifft.

1 Kommentar
  1. Geiler Film.

    Von Soorya G., vor 7 Monaten