Exponentielles Wachstum – Übungen

Die Lösungen findest du in der Tabelle unten.

Lösungsweg:
Zu Beginn sind $500$ Bakterien vorhanden, sodass der Anfangswert $a = 500$ ist.
Da sich die Population in jeder Stunde verdoppelt, beträgt der Wachstumsfaktor $b = 2$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 500$ und der Wachstumsfaktor ist $b = 2$.

Lösungsweg:
Die Startmasse beträgt $120~\text{g}$, also gilt $a = 120$.
Mit jeder Halbwertszeit wird die Masse auf die Hälfte reduziert, daher ist der Zerfallsfaktor $b = 0{,}5$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 120$ und der Zerfallsfaktor ist $b = 0{,}5$.

Lösungsweg:
Das Video hat anfänglich $2\,000$ Aufrufe, weshalb $a = 2\,000$ ist.
Ein täglicher Zuwachs von $12\,\%$ entspricht einem multiplikativen Faktor von $1 + 0{,}12 = 1{,}12$, also gilt $b = 1{,}12$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 2\,000$ und der Wachstumsfaktor ist $b = 1{,}12$.

Lösungsweg:
Der Kaufpreis beträgt $30\,000~€$, daher ist $a = 30\,000$.
Ein jährlicher Wertverlust von $18\,\%$ entspricht einem Restfaktor von $1 - 0{,}18 = 0{,}82$, somit ist $b = 0{,}82$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 30\,000$ und der Zerfallsfaktor ist $b = 0{,}82$.

Lösungsweg:
Zu Beginn leben $40$ Kaninchen in der Population, sodass $a = 40$ ist.
Die Angabe „Faktor $1{,}35$“ bedeutet unmittelbar, dass der Wachstumsfaktor $b = 1{,}35$ beträgt.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 40$ und der Wachstumsfaktor ist $b = 1{,}35$.

Lösungsweg:
Der anfängliche Ladezustand beträgt $100\,\%$, also ist $a = 100$.
Ein Verlust von $8\,\%$ pro Stunde bedeutet einen Restfaktor von $1 - 0{,}08 = 0{,}92$. Somit gilt $b = 0{,}92$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 100$ und der Zerfallsfaktor ist $b = 0{,}92$.

Lösungsweg:
Zu Beginn werden $10\,000~€$ investiert, sodass $a = 10\,000$ ist.
Ein monatlicher Zuwachs von $1{,}5\,\%$ entspricht dem Faktor $1 + 0{,}015 = 1{,}015$, daher ist $b = 1{,}015$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 10\,000$ und der Wachstumsfaktor ist $b = 1{,}015$.

Lösungsweg:
Die Anfangsmenge liegt bei $200~\text{mg}$, also gilt $a = 200$.
Ein Abbau von $30\,\%$ pro Stunde bedeutet einen Restfaktor von $1 - 0{,}30 = 0{,}70$, also erhält man $b = 0{,}70$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 200$ und der Zerfallsfaktor ist $b = 0{,}70$.

Lösungsweg:
Die Anfangszahl beträgt $10$, sodass $a = 10$ ist.
Die wöchentliche Verdreifachung entspricht einem Wachstumsfaktor von $b = 3$.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 10$ und der Wachstumsfaktor ist $b = 3$.

Lösungsweg:
Die Starttemperatur beträgt $90^\circ\text{C}$, folglich ist $a = 90$.
Ein Temperaturverlust von $5\,\%$ pro Minute ergibt einen Restfaktor von $1 - 0{,}05 = 0{,}95$, weshalb $b = 0{,}95$ ist.

Antwort:
Der Anfangswert ist $a = 90$ und der Zerfallsfaktor ist $b = 0{,}95$.

Lösungsweg:
Wir stellen eine Wertetabelle auf:

Antwort:
Nach sechs Stunden sind $6\,400$ Bakterien vorhanden.

Lösungsweg:
Wir vervollständigen die Wertetabelle:

Antwort:
Nach neun Tagen beträgt die Masse $10~\text{g}$.

Lösungsweg:
Die Wertetabelle zeigt den Zuwachs:

Antwort:
Nach vier Tagen hat das Video $10\,368$ Aufrufe.

Lösungsweg:
Wir tragen die Jahreswerte in die Tabelle ein:

Antwort:
Nach fünf Jahren beträgt der Restwert etwa $23\,620~€$.

Lösungsweg:
Die Tabelle mit stündlichem Abbau:

Antwort:
Nach drei Stunden verbleiben etwa $63{,}3~\text{mg}$ Wirkstoff.

Lösungsweg:
Wir erstellen eine Wertetabelle:

Antwort:
Nach vier Generationen leben etwa $152$ Kaninchen.

Lösungsweg:
Monatliche Verzinsung in der Tabelle:

Antwort:
Nach sechs Monaten beträgt das Guthaben etwa $2\,252~€$.

Lösungsweg:
Die Abkühlung pro Minute:

Antwort:
Nach drei Minuten beträgt die Temperatur etwa $49^\circ\text{C}$.

Lösungsweg:
Die Verdopplung alle $12$ Stunden wird tabellarisch erfasst:

Antwort:
Nach 48 Stunden sind $800$ Rechner infiziert.

Lösungsweg:
Die Flächenentwicklung:

Antwort:
Nach fünf Stunden beträgt die Schimmelfläche $2\,048~\text{cm}^2$.

Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors können wir aus der Aufgabe die beiden Informationen in die allgemeine Funktion $N(t)=a\cdot b^{t}$ einsetzen. Damit erhalten wir zwei Gleichungen, die für den Wachstumsfaktor $b$ gelten müssen.

$$\begin{array}{rl} a\cdot b^{6}&=12\,800 \\ a\cdot b^{4}&=3\,200 \end{array} $$

Wir können nun die erste Gleichung durch die zweite Gleichungen teilen. Damit kürzt sich das $a$ raus und wir erhalten: $$b^{2}=4$$

Damit liegt für $b$ die eindeutige positive Lösung $b=2$ vor, was bedeutet, dass sich die Zellzahl in jeder Stunde verdoppelt.

Mit dem Wachstumsfaktor $b=2$ aus Teilaufgabe a) können wir uns die erste Gleichung noch einmal angucken:

$$\begin{array}{rl} a\cdot b^{4}&=3\,200 \\ & \\ a\cdot 2^4 &=3\,200 \\ & \\ a&=\dfrac{3\,200}{2^{4}} \\ & \\ a&= \dfrac{3\,200}{16}=200 \end{array} $$

Der Techniker hat also mit $200$ Hefezellen begonnen.

Die vollständige Gleichung für die Anzahl der Hefezellen lautet nun $N(t)=200\cdot2^{t}$.
Setze $t=10$ ein, so erhalten wir

$$N(10)=200\cdot2^{10}=200\cdot1\,024=204\,800$$

Nach $10$ Stunden umfasst die Kultur somit $204\,800$ Hefezellen.

Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors können wir aus der Aufgabe die beiden Informationen in die allgemeine Funktion $m(t)=a\cdot b^{t}$ einsetzen. Damit erhalten wir zwei Gleichungen, die für den Wachstumsfaktor $b$ gelten müssen.

$$\begin{array}{rl} a\cdot b^{2}&=200 \\ a\cdot b^{5}&=25 \end{array} $$

Wir können nun die zweite Gleichungen durch die erste Gleichung teilen. Damit kürzt sich das $a$ raus und wir erhalten:
$$b^{3}=\dfrac{25}{200} = \dfrac{1}{8}$$

Damit liegt für $b$ die eindeutige positive Lösung $b=\dfrac{1}{2}$ vor, was bedeutet, dass sich die Masse in jedem Tag halbiert.

Um die Anfangsmasse zu finden, ersetze ich $b = \dfrac{1}{2}$ in der Gleichung $a\cdot b^{2}=200$. Das führt zu:

$$a=\dfrac{200}{(\frac{1}{2})^{2}}=\dfrac{200}{\frac{1}{4}}=800$$

Zu Beginn lagen somit $a=800\,\text{g}$ des radioaktiven Materials vor.

Setzen wir $t=7$ in die Gleichung $m(t)=800\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t}$ ein, so ergibt sich:

$$m(7)=800\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{7}=800\cdot\dfrac{1}{128}=6{,}25$$

Nach sieben Tagen sind folglich noch $6{,}25\,\text{g}$ des Präparats vorhanden.

Wir setzen die Informationen über die beiden Guthaben in die allgemeine Formel $K(t)=a\cdot b^{t}$ ein.

$$\begin{array}{rl} a\cdot b^{6}&=3\,760 \\ a\cdot b^{4}&=2\,350 \end{array} $$

Wir können nun die beiden Gleichungen miteinander teilen. Damit kürzt sich das $a$ raus und wir erhalten:
$$b^{2}=\dfrac{3\,760}{2\,350} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$$

Damit ergibt sich $b=\sqrt{1{,}6}\approx1{,}265$. Der Zinsfaktor beträgt also rund $1{,}265$, was einem Jahreszins von etwa $26{,}5\,\%$ entspricht.

Um den Anfangsbetrag zu berechnen, ersetze ich $b = \sqrt{1{,}6}$ in der Gleichung $a\cdot b^{4}=2\,350$. Damit lautet

$$a=\dfrac{2\,350}{\bigl(\sqrt{1{,}6}\bigr)^{4}}=\dfrac{2\,350}{(1{,}6)^{2}}=\dfrac{2\,350}{2{,}56}\approx918\,\text{€}$$

Das Konto wurde also mit ungefähr $a= 918\,\text{€}$ eröffnet.

Das Wachstumsmodell für die Zinsen lautet nun $K(t) = 918\cdot1{,}265^{t}$.

Für $t=10$ erhalten wir:

$$K(10) = 918\cdot1{,}265^{10} \approx 918\cdot11{,}71 \approx10\,750$$

Nach $10$ Jahren beläuft sich das Guthaben somit auf rund $10\,750\,\text{€}$.