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Exponentialfunktionen und Halbwertszeit 04:55 min

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Transkript Exponentialfunktionen und Halbwertszeit

Hallo. In dem heutigen Video geht es um die Exponentialfunktion und die Halbwertszeit. Das Video ist wie folgt aufgebaut: Zu Beginn gibt es eine Wiederholung zur Exponentialfunktion. Im Anschluss folgt der Begriff der Halbwertszeit und Zusammenfassung schließt das Video ab. Zur Wiederholung. Für eine Exponentialfunktion mit der Basis e schreibt man formal: f(t)=aekt. a, k und t sind hierbei beliebige reelle Zahlen. a bezeichnet man auch als Anfangswert und ist ungleich null. t ist die Größe, von der die Funktion abhängig ist. e ist die Eulersche Zahl, das heißt der Wert aus 2,718 und so weiter. Der Faktor k im Exponenten hat eine besondere Bedeutung und ist ebenfalls ungleich null. Wenn k>0 ist, dann spricht man von einem exponentiellen Wachstum und es lässt sich die Verdopplungszeit angeben. Wenn k<0 ist, dann spricht man vom exponentiellen Zerfall und man kann die Halbwertszeit angeben. Wir beschränken uns im Folgenden immer auf den zweiten Fall, dass k<0 ist. Im Punkt zwei geht es um die Halbwertszeit. Ich möchte zunächst eine kurze Begriffsklärung machen. Die Halbwertszeit, welche man auch als HWZ oder t mit Index ½ abkürzt, ist die Zeit in der sich eine bestimmte Menge um die Hälfte verringert hat. Doch wie lässt sich die Halbwertszeit berechnen? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Der radioaktive Zerfall vom Atomkern von Radium lässt sich durch die Funktion f(t)=200*e-0,000428t beschreiben. t entspricht der Anzahl der Jahre und f(t) entspricht der Anzahl der verbliebenen radioaktiven Atomkerne von Radium zum Jahr t. Wie groß ist die Halbwertszeit von Radium, das heißt, wann sind die Hälfte der Atomkerne nicht mehr radioaktiv? Gesucht ist ein Zeitpunkt t in Jahren, bei dem nur noch die Hälfte der Atomkerne radioaktiv ist. Wir setzen also f(t)=100. f(t) ist aber auch 200e--0,000428t. Wir nehmen uns also den linken und rechten Teil der Gleichung und dividieren noch durch 200. Es ergibt sich e-0,000428t=0,5. Nun wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den natürlich Logarithmus an. Die Gleichung vereinfacht sich mithilfe der Logarithmusgesetze weiter zu: -0,000428t=ln(0,5). Nun dividieren wir durch -0,000428 und erhalten somit t=ln(0,5)/-0,000428. Was unter Zuhilfenahme des Taschenrechners rund 1620 ist. Als Antwort können wir formulieren: Die Halbwertszeit von Radium beträgt 1620 Jahre. Da wir bei der Berechnung durch den Anfangswert von 200 geteilt haben, können wir weiterhin das Wichtige festhalten: Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert. Die Halbwertszeit ist eine stoffspezifische Größe und besonders hilfreich in der Chemie, Physik und Biologie. Es ist beispielsweise möglich mithilfe der Halbwertszeit der entsprechenden Stoffe das Alter von Gesteinen und Fossilien zu bestimmen. Fassen wir zusammen: Ist in der Exponentialfunktion f(t)=a*ekt der Vorfaktor k<0, dann spricht man von einem exponentiellen Zerfall. Außerdem lässt sich dann die Halbwertszeit berechnen. Zudem findet die Halbwertszeit ihren Nutzen in der Chemie, Physik und Biologie. Des Weiteren kannst du dir merken: Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert a. Das war es von mir. Ich danke dir fürs Zuhören und bis zum nächsten Mal.