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Zerfall und Halbwertszeit in der Lebenswelt

Egal ob der Milchschaum in einem Latte Macchiato, der Bierschaum auf einem Bier oder die radioaktiven Nuklide eines Stoffes, sie alle haben eine Sache gemein. - Sie alle zerfallen, und dies nach ganz bestimmten mathematischen Regeln.

Sowohl der Milch- wie auch der Bierschaum verlieren jeweils in der gleichen Zeitspanne, genau die Hälfte des vorhandenen Volumens.

Die radioaktiven Nuklide zerfallen ebenso in einer genau definierten Zeitspanne. Genau die Hälfte der Kerne zerfällt in dieser Zeit.

Alphazerfall eines Nuklids

Diese Zeitspanne bezeichnet man daher als Halbwertszeit $t_{1/2}$, diese ist eine stoffspezifische physikalische Größe. Sie kann Werte zwischen:

  • $600 \text{ Picoskunden (ps)} = 6 \cdot 10^{-10}s$, für Radium-216, und
  • $7,2 \cdot 10^{24} \text{ Jahre (a)}$, für Tellur-128, annehmen.

Da man natürlich nicht so lange abwarten kann bis Tellur-128 zerfallen ist, um dessen Halbwertszeit zu bestimmen, berechnet man diese mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Exponentialfunktionen

In Exponentialfunktionen steht die unabhängige Größe, die Variable im Exponenten. Eine Exponentialfunktion hat die Form

$f(t)=a\cdot e^{kt}$

Dabei sind

  • $t$ die Variable, zum Beispiel für die Zeit,
  • $a\in \mathbb{R}$, $a\neq 0$, der Anfangswert, der Wert zu Beginn der Beobachtung,
  • $e\approx2,71828$ die Euler'sche Zahl und
  • $k=\ln( c )\in\mathbb{R}^+$ mit dem Wachstums- oder Zerfallsfaktor $c$.

In Abhängigkeit von $k$ spricht man von einem

  • Zerfallsprozess für $k<0$. Das bedeutet, dass $0<c<1$ ist.
  • Wachstumsprozess für $k>0$, also $c>1$.

Defintion der Halbwertzeit

Die Halbwertzeit ist die Zeitspanne, nach welcher eine abnehmende Größe die Hälfte des Anfangswertes angenommen hat. (Im Falle einer zunehmenden Größe spricht man von einer Verdoppelungszeit als der Zeit, in welcher sich ein Anfangsbestand verdoppelt hat.)

Im Fall des exponentiellen Zerfalls ist die Halbwertzeit eine Konstante, welche nicht von dem Anfangswert abhängt.

Herleitung einer Formel für die Halbwertzeit

Sei durch

$f(t)=a\cdot e^{kt}$

mit $k<0$ ein exponentieller Zerfallsprozess gegeben, dann lässt sich die Zeit, nach welcher der Anfangswert sich halbiert hat, wie folgt berechnen.

  • Es muss gelten

$\quad~~~\frac a2=a\cdot e^{kt}$

  • Indem durch $a\neq 0$ dividiert wird, gelangt man zu

$\quad~~~\frac 12=e^{kt}$

  • Durch Logarithmieren mit dem $\ln$, dem Logarithmus zur Basis $e$, oder auch Logarithmus Naturalist genannt, erhält man

$\quad~~~\ln\left(\frac 12\right)=kt$

  • Hier wird verwendet, dass $\ln(e^x)=x$ ist.
  • Zuletzt wird durch $k\neq 0$ dividiert. Dies führt zu einer Formel für die Halbwertzeit

$\quad~~~t=\frac{\ln\left(\frac 12\right)}{k}$

  • Oft erhält $t$ noch einen Index, um die Halbwertzeit anzuzeigen

$\quad~~~t_{\frac12}=\frac{\ln\left(\frac 12\right)}{k}$

Beispiel für Zerfallsprozesse und die Halbwertzeit

Radioaktiver Zerfall

Der Begriff der Halbwertzeit wird häufig im Zusammenhang mit radioaktivem Zerfall verwendet.

Wenn du davon ausgehst, dass die Anzahl der Kerne eines radioaktiven Nuklids nach einer Stunde um $8,3~\%$ abnimmt, kannst du mit $k=\ln(1-0,083)\approx -0,0866$ die folgende Exponentialfunktion :

$f(t)=a\cdot e^{-0,0866t}$

für die Anzahl der Kerne des radioaktiven Nuklids nach $t$ Stunden angeben. Um nun zu berechnen, nach welcher Zeitspanne die Anzahl der Kerne des radioaktiven Nuklids nur noch halb so groß ist wie am Anfang, verwendest du die obige Formel:

$\quad~~~t_{\frac12}=\frac{\ln\left(\frac 12\right)}{-0,0866}=7,99959...$

Das bedeutet, dass die Halbwertzeit des Nuklides ungefähr 8 Stunden beträgt.

Die Radio-Carbon-Methode

Eine Anwendung findet die Halbwertzeit in der Radio-Carbon-Methode oder auch C-14-Methode, zur Bestimmung des Alters organischer Materialien.

Diese Methode basiert darauf, dass in abgestorbenen Organismen die Menge an gebundenen radioaktiven C-14-Nukliden exponentiell abnimmt.

Man geht davon aus, dass es bei allen Lebewesen ein annähernd festes Verhältnis von C-14-Nukliden gibt. Mit dem Tod eines Organismus' endet die Aufnahme von Kohlenstoff. Das bedeutet, dass der Anteil an C-14-Nukliden abnimmt. Dabei beträgt die Halbwertzeit von C-14 ca. 5 730 Jahre.

Aus dem Anteil an C-14-Nukliden kann man das bestimmen wie lange der abgestorbenen Organismus' bereits abgestorben ist. Wenn zum Beispiel der Anteil an C-14-Nuklide nur noch ein Viertel, also $25~\%$, des heutigen Anteils beträgt, liegen 2 Halbwertzeiten vor. Dieser Organismus ist demzufolge bereits vor $2\cdot 5 730=11460$ Jahre gestorben.

Abnahme eines Baumbestandes

Es sei bekannt dass der Baumbestand in $ha$ in einem Wald gemäß der Funktion

$f(t)=a\cdot e^{-0,163t}$

in $t$ Jahren abnimmt. Sobald der Baumbestand unter die Hälfte des Anfangsbestandes sinkt, muss wieder aufgeforstet werden.

zerstörter Wald

Es muss also berechnet werden, nach wie vielen Jahren der Baumbestand sich halbiert hat. Gesucht ist die Halbwertzeit:

$\quad~~~t_{\frac12}=\frac{\ln\left(\frac 12\right)}{-0,163}\approx 4,25$

Das bedeutet, dass nach ungefähr 4 Jahren und 3 Monaten wieder mit der Aufforstung begonnen werden muss.