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Halbwertszeit – C-14-Methode (Radiokarbonmethode) 06:07 min

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Transkript Halbwertszeit – C-14-Methode (Radiokarbonmethode)

Hallo und herzlich Willkommen zu meinem Video, in dem es um die C-14-Methode, welche auch Radiokarbonmethode genannt wird, gehen wird. Das Video besitzt drei Gliederungspunkte. In Punkt eins gibt es eine Wiederholung zur Exponentialfunktion. In Punkt zwei zeige ich dir, was du dir unter der C-14-Methode vorstellen kannst. Punkt drei schließt das Video mit einer Zusammenfassung ab. Zur Wiederholung: Eine Exponentialfunktion mit der Basis e besitzt die Darstellungsform f(t)=aekt, a, k und t sind beliebige reelle Zahlen. Zudem sind a und k ungleich null. A ist der Anfangswert der jeweiligen Modellierung und e steht für die Eulersche Zahl mit dem Wert von 2,718... und so weiter. Welchen Einfluss hat der Vorfaktor k? Ist k größer als null, dann handelt es sich um einen Wachstumsprozess. Ist k kleiner als null, dann handelt es sich um einen Zerfallsprozess. Wir wollen uns im Folgenden auf k kleiner als null beschränken, da bei der C-14-Methode Zerfallsprozesse eine Rolle spielen. Komme ich also zu Punkt zwei und der C-14-Methode. Mit Hilfe der C-14-Methode gelingen Altersbestimmungen abgestorbener organischer Stoffe, doch was steckt hinter dieser Methode? Sie beruht darauf, dass unter dem Einfluss kosmischer Strahlung aus dem Stickstoffisotop 14N, welches in unserer Atmosphäre vorhanden ist, radioaktiver Kohlenstoff, also C-14, gebildet wird. Dieser verbindet sich mit der Luft in der Atmosphäre zu Kohlenstoffdioxid, also CO2, welches durch Tiere oder Pflanzen aufgenommen wird. Sterben nun Lebewesen mit den enthaltenden organischen Stoffen, dann nimmt auch ihr Gehalt an CO2 ab, dabei zerfällt das C-14 radioaktiv mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Um nun das Alter einer Probe herauszufinden, benötigt man nur den Anteil der noch vorhanden C-14-Atome, denn dann kann man mit einer geeigneten Modellierung das Alter des organischen Stoffes bestimmen. Dann wollen wir doch mal versuchen, so eine Modellierung, also eine Funktionsgleichung f(t)=aekt aufzustellen. Da die Halbwertszeit 5730 Jahre beträgt, wissen wir, dass f von 5730 gleich die Hälfte des Anfangswertes a ist. Den Wert für die Halbwertszeit können wir aber auch in die Funktionsgleichung einsetzen. Es ergibt sich aek5730 . Nehmen wir uns jetzt nur den linken und rechten Teil der Gleichung und dividieren zudem noch auf beiden Seiten durch den Anfangswert a. Dann ergibt sich die äquivalente Gleichung 0,5=ek5730. Wir wenden jetzt auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an. Die rechte Seite vereinfacht sich zu k5730. Also ergibt sich nach Division durch 5730 für unser k der Wert ln(0,5)/5730, was rund -0,000121 ist. Unsere Modellierung lautet also: f(t)=ae-0,000121t , mit t in Jahren. Da wir mit a den Anteil an C-14 zum Zeitpunkt des Stoffabbaus meinen, können wir auch gleich konkreter f(t)=100%e-0,000121t schreiben. Denn am Anfang sind schließlich noch 100% an C-14-Atomen in dem organischen Stoff enthalten. Rechnen wir ein Beispiel, in dem unsere Modellierung Anwendung findet. In einer Grotte in Südfrankreich entdeckten Höhlenforscher einzigartige Höhlenmalereien. Die Bilder wurden mit organischen Farben gemalt. Man stellte fest, dass die Anzahl der C-14-Atome nur noch 2,35 Prozent betrug. Wie alt sind die Höhlenmalereien? Wir suchen den Zeitpunkt groß T, in dem der Anteil 2,35 Prozent beträgt. Diese Gleichung ist äquivalent zu 100%e-0,000121T=2,35%. Wir dividieren nun zunächst auf beiden Seiten durch 100 Prozent und erhalten e-0,000121T=0,0235. Jetzt wenden wir den natürlichen Logarithmus an. Die linke Seite vereinfacht sich zu -0,000121T. Nach Division durch -0,000121 ergibt sich für T gerundet 31000. Als Antwort formulieren wir: Die Bilder sind circa 31000 Jahre alt. Fassen wir zusammen: Mit der C-14-Methode, auch Radiokarbonmethode genannt, kann man das Alter abgestorbener organischer Stoffe bestimmen. Dazu wird der Anteil an noch vorhandenen C-14-Atomen in dem jeweiligen organischen Stoff benötigt. Mit Hilfe der Modellierung f(t)=100%*e-0,0000121t und ein paar geeigneten Umformungsschritten lässt sich dann in etwa das Alter bestimmen. Das war es von mir, ich danke dir fürs Zuhören und bis zum nächsten Mal.

4 Kommentare
  1. Wo kann man die Lehrerbox finden?
    In der Suche wird nichts gefunden.

    Von Der Ultimative Erdene, vor 7 Monaten
  2. war sehr hilfreich danke!

    Von selma k., vor 8 Monaten
  3. Hallo K Danil765,
    hast du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat? Dann könntest du dort um Hilfestellung bei konkreten Fragen oder Aufgaben bitten.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 10 Monaten
  4. nichts verstanden

    Von K Danil765, vor 10 Monaten

Halbwertszeit – C-14-Methode (Radiokarbonmethode) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Halbwertszeit – C-14-Methode (Radiokarbonmethode) kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Radiokarbonmethode.

    Tipps

    Unter dem Einfluss von kosmischer Strahlung wird $^{14}N$ zu $^{14}C$ umgebaut, welches mit Sauerstoff eine Verbindung zu Kohlendioxid $CO_2$ eingeht. Dieses wird von Tieren oder Pflanzen aufgenommen und nach deren Tod abgebaut.

    Wenn man weiß, wie schnell $^{14}C$ zerfällt, kann man damit berechnen, wie lange ein Tier bereits tot ist.

    Lösung

    Wofür benötigt man die Radiokarbonmethode?

    Mit Hilfe der Radiokarbonmethode kann das Alter abgestorbener organischer Stoffe bestimmt werden.

    Wie macht man das?

    Unter dem Einfluss von kosmischer Strahlung wird $^{14}N$ zu $^{14}C$ umgebaut, welches mit Sauerstoff eine Verbindung zu Kohlendioxid $CO_2$ eingeht. Dieses wird von Tieren oder Pflanzen aufgenommen.

    Wenn ein Lebewesen stirbt, dann nimmt der Gehalt an $CO_2$ ab. Dabei zerfällt $^{14}C$ radioaktiv mit einer Halbwertzeit von $T_{1/2}=5730$ Jahren.

    Um das Alter einer Probe herauszufinden, benötigt man nur noch den Anteil der $^{14}C$-Atome.

    Mit einer geeigneten Modellierung kann das Alter des Stoffes bestimmt werden.

  • Bestimme die Modellierungsfunktion für den $^{14}C$-Bestand.

    Tipps

    Die Halbwertzeit bedeutet, dass nach dieser Zeit der Bestand halbiert ist.

    Die Unbekannte Größe $k$ steht im Exponenten. Zu lösen ist also eine Exponentialgleichung. Das heißt, dass in der Rechnung der natürliche Logarithmus angewendet werden muss.

    Lösung

    Es soll eine Funktionsgleichung der Form

    $f(t)=a\cdot e^{kt}$

    aufgestellt werden. Da die Halbwertzeit $T_{1/2}=5730$ Jahre bekannt ist, erhält man

    $0,5\cdot a=f(5730)=a\cdot e^{k\cdot 5730}$.

    Indem man durch $a$ dividiert, gelangt man zu

    $0,5=e^{k\cdot 5730}$.

    Nun wird auf beiden Seiten logarithmiert zu

    $\ln(0,5)=\ln(e^{k\cdot 5730})=k\cdot 5730$.

    Zuletzt wird durch $5730$ dividiert. Damit erhält man

    $k=\frac{\ln(0,5)}{5730}\approx-0,000121$.

    Somit lautet die Funktion

    $f(t)=a\cdot e^{-0,000121t}$, $t$ in Jahren.

    Da $a$ der Anteil zu Beginn der Beobachtung ist, kann man also

    $f(t)=100\% \cdot e^{-0,000121t}$

    als Modellierung angeben.

  • Berechne das Alter der Höhlenmalerei.

    Tipps

    Die Funktion lautet $f(t)=100\% \cdot e^{-0,000121t}$.

    Das bedeutet, dass der Bestand zum Zeitpunkt $t>0$ weniger als $100\%$ beträgt, da $-0,000121<0$ ist.

    Gesucht ist der Zeitpunkt $T$ mit $f(T)=2,35\%$.

    Es gilt $\ln(1)=0$ und $\ln(b)<0$, wenn $0<b<1$ ist.

    Lösung

    In einer Grotte in Südfrankreich entdecken Höhlenforscher eine Höhlenmalerei, welche mit organischen Stoffen angefertigt wurde.

    Der Anteil der $^{14} C$ Atome beträgt noch $2,35\%$.

    Gesucht ist also der Zeitpunkt $T$, zu dem $f(T)=2,35\%$ gilt.

    Dies führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} 100\% \cdot e^{-0,000121\cdot T}&=2,35\%&|&:100\%\\ e^{-0,000121\cdot T}&=0,0235&|&\ln(~)\\ -0,000121\cdot T&=\ln(0,0235)&|&:0,000121\\ T&\approx 309998. \end{align*}$

    Das bedeutet, das die Höhlenmalerei ungefähr $31000$ Jahre alt ist.

  • Ermittle das maximale Alter eines Stoffes, damit die Radioklarbonmethode noch anwendbar ist.

    Tipps

    Gesucht ist das $T$, für welches

    $f(T)=0,1\%$ gilt.

    Ab diesem $T$ ist der Bestand kleiner als $0,1\%$, da ein Zerfallsprozess vorliegt.

    Lösung

    Gesucht ist das $T$, für welches

    $f(T)=0,1\%$ gilt. Ab diesem $T$ ist der Bestand kleiner als $0,1\%$, da ein Zerfallsprozess vorliegt.

    $\begin{align*} 100\% \cdot e^{-0,000121T}&=0,1\%&|&:100\%\\ e^{-0,000121T}&=0,001&|&\ln(~)\\ -0,000121T&=\ln(0,001)&|&:0,000121\\ T&\approx 57089. \end{align*}$

    Das bedeutet, dass nach ungefähr $57100$ Jahren der Bestand, ab welchem die Methode nicht mehr anwendbar ist, unterschritten ist. Anders ausgedrückt: Es können nur Stoffe untersucht werden, die maximal $57100$ Jahre alt sind. Dies entspricht ungefähr $10$ Halbwertzeiten.

  • Prüfe, wie groß der $^{14}C$ Anteil des Grabtuches ist.

    Tipps

    Die oben angegebene Funktion gibt den $^{14}C$ Anteil nach $t$ Jahren an.

    Setze den korrekten Zeitpunkt in die Funktionsgleichung $f(t)$ ein.

    Lösung

    Das Leichentuch Christi sollte sicher $1988$ älter als $728$ Jahre alt sein. Das heißt, dass bei einem messbaren Bestand des $^{14}C$ Atoms des Tuches das Alter nach der Radiokarbonmethode berechnet werden konnte. Aber wie hoch ist der Anteil nun?

    Das Alter ist bekannt, das bedeutet, dass dieses $728$ in der obigen Gleichung eingesetzt werden muss:

    $f(728)=100\%\cdot e^{-0,000121\cdot 728}\approx 91,6\%$.

  • Berechne das Alter des Buches von Jesaja.

    Tipps

    In dieser Aufgabe ist der prozentuale Anteil bekannt und die Zeit gesucht.

    Die Modellierungsfunktion lautet $ f(t) = 100\% \cdot e ^ {-0,000121}$.

    Die Unbekannte $t$ für die Zeit steht im Exponenten. Eine solche Gleichung wird durch Logarithmieren gelöst.

    Das Buch ist jünger als Jesaja.

    Lösung

    Jesaja, einer der großen Propheten des Alten Testaments, hat im 8. Jahrhundert v. Chr. gelebt.

    Am historischen Exemplar des "Buches von Jesaja" hat man noch einen $^{14} C$-Anteil von $78,4\%$ gemessen.

    Gesucht ist also der Zeitpunkt $T$, zu dem $f(T)=78,4\%$ gilt.

    Dies führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} 100\% \cdot e^{-0,000121T}&=78,4\%&|&:100\%\\ e^{-0,000121T}&=0,784&|&\ln(~)\\ -0,000121T&=\ln(0,784)&|&:0,000121\\ T&\approx 2011. \end{align*}$

    Das bedeutet, das das Buch ungefähr $2011$ Jahre alt ist. Es wird wohl doch nicht von Jesaja sein.