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Graphisches Aufleiten 07:43 min

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Transkript Graphisches Aufleiten

Hallo, schön, dass du mal wieder hier bist. Heute wirst du lernen, wie du aus dem Graphen der Ableitungsfunktion die Funktionsgleichung der Ursprungsfunktion bestimmen kannst. Dies ist praktisch die Umkehrung vom graphischen Differenzieren und wird graphisches Aufleiten oder auch graphisches Integrieren genannt.

Funktionsgleichung bestimmen Beispiel 1

Ich möchte dir das an zwei verschiedenen Beispielen erklären. Fangen wir mit einem einfachen Beispiel an. Dazu betrachten wir einfach mal dieses Schaubild:

Das ist der Graph der Ableitungsfunktion f'. Die Ausgangsfunktion f kennen wir nicht. F' ist - wie du siehst - eine Gerade, die parallel zur x-Achse durch den y-Achsenabschnitt 3 verläuft. Ableitungsfunktionen geben immer die Steigung der Ursprungsfunktion an. Also hat die Funktionsgleichung der Ursprungsfunktion an jeder Stelle die Steigung 3.

Nur, welche Art einer Funktion hat immer dieselbe Steigung? Ja, genau, es ist die Gerade oder auch lineare Funktion. Die Funktionsgleichung lautet bei unserem Beispiel also f(x) = 3x + … Hmmm, wie geht’s denn jetzt weiter?

Den y-Achsenabschnitt, durch den die Gerade verläuft, können wir leider nicht bestimmen, es kann jede beliebige reelle Zahl sein. Das kannst du dir auch an den folgenden drei Graphen klarmachen.

  • Der schwarze Graph hat die Funktionsgleichung f(x) = 3x.
  • Der rote Graph hat die Funktionsgleichung f(x) = 3x+ 1.
  • Der blaue Graph hat die Funktionsgleichung f(x) = 3x - 1.

Die drei Graphen laufen parallel zueinander, haben also dieselbe Steigung und auch dieselbe Ableitungsfunktion f strich von x = 3. Also muss die Funktionsgleichung f(x) = 3x + c heißen. c ist dabei eine beliebige reelle Zahl. Zum Beispiel die 1 oder minus 1.

Funktionsgleichung bestimmen Beispiel 2

Kommen wir nun zum zweiten Beispiel. Hier siehst du den Graph einer Ableitungsfunktion f'. Die Ausgangsfunktion f wollen wir im Folgenden bestimmen.

Wiederholen wir dazu doch noch einmal die Regeln, wie man eine Ableitungsfunktion aus dem Graphen der Ursprungsfunktion zeichnen kann.

  • Die Stellen der Extremwerte - also: Hochpunkte und Tiefpunkte - der Ursprungsfunktion sind bei der Ableitungsfunktion die Nullstellen.
  • Ist die Steigung der Ursprungsfunktion positiv, so verläuft der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse.
  • Ist die Steigung der Ursprungsfunktion negativ, so verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse.

Nun müssen wir zunächst einmal die Funktionsgleichung von f' bestimmen. Der Graph ist eine Gerade, die durch den y-Achsenabschnitt minus 2 verläuft.

Nun müssen wir noch die Steigung der Geraden bestimmen. Wenn man vom y.Abschnitt einen Schritt nach rechts geht, dann geht man gleichzeitg zwei Schritte nach oben. Also beträgt die Steigung der Geraden 2. Die Funktionsgleichung von f' lautet deshalb 2 x - 2.

Die Nullstelle dieser Ableitungsfunktion liegt bei x = 1. Also hat die Ursprungsfunktion bei x = 1 eine Extremstelle.

Links von der Extremstelle verläuft die Gerade der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse und rechts von der Extremstelle verläuft sie oberhalb der x-Achse. Deshalb ist links von der Extremstelle die Steigung der Ursprungsfunktion negativ und rechts von der Extremstelle positiv. Bei der Extremstelle handelt es sich also um einen Tiefpunkt. Deshalb ist der Graphen der Ursprungsfunktion vermutlich eine Parabel.

Allerdings kann es sich nicht um die Normalparabel x Quadrat handeln, denn der Tiefpunkt ist nicht am Koordinatenursprung. Es muss daher um eine Parabel der Form f von x = a · x quadrat plus b · x + c sein.

Wie erhalten wir nun aber die Werte für a, b und c? Ganz einfach – wir bilden als erstes die Ableitung unserer Parabel. Die sieht dann so aus: f'(x) = 2 · a · x + b. Wenn wir nun diese Ableitung mit der vorhin ermittelten Funktionsgleichung f'(x) = 2 · x - 2 vergleichen, können wir a und b ganz einfach ablesen.

b ist dann nämlich -2. Wenn man für a nun die 1 einsetzt, dann erhält man die Steigung von f'(x), nämlich 2. Also ist a = 1. Wir erhalten damit folgende Funktionsgleichung für die Parabel: f(x) = x² - 2x + c.

Auch hier können wir - wie beim Beispiel zuvor - das c nicht ermitteln. Es gibt also unendlich viele Funktionsgleichungen, die sich alle um den reellen Summanden c unterscheiden. Die Ursprungsfunktion kann also nach oben beziehungsweise unten verschoben sein.

Diesen Sachverhalt kannst du dir noch einmal an den 3 Graphen klar machen.

  • Der schwarze Graph gehört zur Funktion f mit der Gleichung f von x = x² - 2x .
  • Der rote Graph gehört zur Funktion f mit der Gleichung f von x = x² - 2x + 1
  • Der blaue Graph gehört zur Funktion f mit der Gleichung f von x = x² - 2x - 1.

Alle drei Funktionsgleichungen unterscheiden sich, haben aber dennoch dieselbe Ableitungsfunktion f'(x) = 2 · -2.

Zusammenfassung

Wir haben heute viel gelernt. Du kennst jetzt das Verfahren zur Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen der Ableitungsfunktion, was auch als graphisches Integrieren bezeichnet wird. Ich hoffe, dass du alles verstanden hast und wünsche dir noch einen angenehmen und erlebnisreichen Tag! Tschüss!!!

2 Kommentare
  1. Vielen Dank! Besser kann man es nicht erklären ;)

    Von T.Imo, vor etwa 5 Jahren
  2. Das hat mir wirklich geholfen, vielen Dank!!

    Von Narasalia, vor etwa 5 Jahren

Graphisches Aufleiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphisches Aufleiten kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Aussage zur Ableitungsfunktion.

    Tipps

    Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

    Die Steigung an Extremstellen ist immer $0$.

    Lösung

    Da uns der Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion immer Auskunft darüber gibt, welche Steigung die Ausgangsfunktion an dieser Stelle besitzt, können wir mit seiner Hilfe auch die Extremstellen der Ausgangsfunktion bestimmen.

    Immer, wenn der Ableitungsgraph die $x$-Achse schneidet, also eine Nullstelle aufweist, hat der Ausgangsgraph an dieser Stelle eine Extremstelle mit der Steigung $0$.

  • Bestimme die Funktionsgleichung von $f$.

    Tipps

    Der Graph der Ableitung gibt die Steigung von $f$ an.

    $f$ muss an jeder Stelle die Steigung $m=3$ besitzen.

    Lösung

    Wie wir wissen, beschreibt der Verlauf der Ableitungsfunktion die Steigung der Ausgangsfunktion.

    Wenn der Ableitungsgraph im negativen Bereich verläuft, ist die Steigung von $f$ negativ.

    Wenn der Ableitungsgraph im positiven Bereich verläuft, ist die Steigung von $f$ positiv.

    Unser Ableitungsgraph ist konstant bei $3$, was bedeutet, dass unsere Ausgangsfunktion an jeder beliebigen Stelle die Steigung $m=3$ besitzen muss.

    Also muss es sich bei der Ausgangsfunktion um eine lineare Funktion handeln.

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion sieht so aus:

    $f(x)=m\cdot x + n$

    Den $y$-Achsenabschnitt können wir nicht eindeutig bestimmen. Aber wir kennen bereits die Steigung $m=3$.

    $f(x)=3x + c$ mit $c\in \mathbb{R}$

    Beim graphischen Integrieren bzw. graphischen Aufleiten schreibt man in der Regel ein $c$, statt einem $n$, für die Konstante. Aber egal welchen $y$-Achsenabschnitt, also welches $c$ unsere Ausgangsfunktion besitzt, ihre Ableitung wäre immer $f'(x)=3$.

  • Bestimme die Funktionsgleichung von $f$.

    Tipps

    Die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion (Bild) lautet:

    $f'(x)=2x-2$

    Leite die allgemeine Ausgangsfunktion aus der Aufgabe ab, um die fehlenden Parameter zu ermitteln.

    Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Ausgangsfunktion eine Extremstelle.

    In diesem Beispiel ist dort der Tiefpunkt der Parabel.

    Lösung

    Zuerst bilden wir die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion.

    Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form:

    $f(x)=m\cdot x + n$ mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $n$.

    Wir sehen, dass der Graph die $y$-Achse bei $-2$ schneidet, also muss $n=-2$ sein. Man kann auch die Steigung ablesen, diese ist $2$. Wir erhalten als Ableitungsfunktion:

    $f'(x)=2x-2$

    Wir wissen, dass es sich bei $f$ um eine Parabel handeln muss, da wir eine Nullstelle des Ableitungsgraphen bei $x=1$ sehen. Also hat $f$ nur eine Extremstelle.

    Leiten wir die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Parabel) einmal ab:

    $f(x)=a\cdot x^2 + b\cdot x + c$ mit $a,b,c\in\mathbb{R}$

    $f'(x)= 2 \cdot a \cdot x + b$

    Das $b$ kennen wir schon, es muss $-2$ sein. Wenn wir $a=1$ wählen, erhalten wir auch die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion. Nur das $c$, also die Verschiebung nach oben oder unten, können wir nicht eindeutig festlegen.

    Wir erhalten also als Funktionsgleichung für $f$

    $f(x)=x^2-2x+c$ mit $c\in\mathbb{R}$.

  • Ermittle die Gleichung der Ausgangsfunktion.

    Tipps

    Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Ausgangsfunktion eine Extremstelle.

    Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

    Die Ausgangsfunktion ist eine sogenannten kubische Funktion mit der allgemeinen Funktionsgleichung:

    $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

    Leite die allgemeine kubische Funktion ab und vergleiche die Vorzeichen mit der Ableitungsfunktion (Koeffizientenvergleich).

    Lösung

    Sehen wir uns den Graphen der Ableitungsfunktion genau an. Bei $x=0$ und $x=1,5$ muss die Ausgangsfunktion Extremstellen besitzen. Da die Ausgangsfunktion zwischen den beiden Extremstellen steigt (weil $f'$ dort positiv verläuft) muss es sich um einen Tiefpunkt bei $x=0$ und einen Hochpunkt bei $x=1,5$ handeln (Bild).

    Da es sich bei der Ableitungsfunktion um eine quadratische Funktion handelt, muss die Ausgangsfunktion eine Funktion dritten Grades sein (da beim Ableiten der Exponent ja immer um $1$ verringert wird). Man nennt diese Gruppe von Funktionen auch kubische Funktionen.

    Allgemein sähe die Funktionsgleichung so aus:

    $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

    Das leiten wir einmal ab:

    $f'(x)= 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c$

    Wir kennen die Ableitungsfunktion bereits, sie lautet:

    $f'(x)=-2x^2+3x$

    Dort haben wir keinen Parameter $c$ mehr, er existiert also auch nicht bei$f(x)$. Also gilt $c=0$.

    $3\cdot a = -2$ also $a=-\frac{2}{3}$

    $2\cdot b=3$ also $b=\frac{3}{2}$

    Damit haben wir die Parameter $a$ und $b$ bestimmt. Parameter $d$ kann nicht eindeutig bestimmt werden, da jede Zahl für $d$ beim Ableiten gleich $0$ wird.

    Der Graph im Bild kann also beliebig entlang nach oben oder unten verschoben werden, aber nicht nach rechst oder links. Es gibt daher unendlich viele mögliche Ausgangsfunktionen und -graphen.

    Die Ausgangsfunktion lautet somit:

    $f(x)=-\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 +d$ mit $d\in\mathbb{R}$

  • Ermittle den Term der Ausgangsfunktion.

    Tipps

    Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $f(x)=m\cdot x+n$. Was sind $m$ und $n$?

    Lösung

    Da der Graph der Ableitung die Steigung der Ausgangsfunktion an jeder Stelle angibt, können wir sagen, dass die Funktion $f$ an jeder Stelle die Steigung $m=-2$ besitzt.

    Da es auch keine Nullstellen gibt, also keine Extremstellen, muss $f$ eine lineare Funktion sein.

    Die allgemeine Form sieht so aus:

    $f(x)=m\cdot x + n$

    Wir ersetzen das $n$ durch die Konstante $c \in \mathbb{R}$. Die Steigung können wir übernehmen und erhalten als Ausgangsfunktion:

    $f(x)=-2x+c$

  • Bestimme $a$ und $b$ der Ausgangsfunktion $f$.

    Tipps

    Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Ausgangsfunktion eine Extremstelle.

    In diesem Beispiel ist dort der Hochpunkt der Parabel.

    Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

    Leite die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ab und vergleiche die Vorfaktoren (Koeffizientenvergleich).

    Lösung

    Betrachten wir den Graphen der Ableitungsfunktion.

    Bei $x=1$ sehen wir eine Nullstelle, links davon befindet sich die Gerade im positiven, rechts davon im negativen Bereich.

    Das bedeutet, dass der Graph der Ausgangsfunktion erst steigt, dann eine Extremstelle hat und danach wieder fällt. Es muss also eine nach unten geöffnete Parabel sein.

    Zunächst benötigen wir den Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion.

    Die Steigung kannst du an dem Bild oben gut erkennen. Man geht von dem $y$-Achsenabschnitt $S_y(0|1)$ um $1$ Einheit nach unten und $1$ Einheit nach rechts, um zu der Nullstelle $N(1|0)$ zu gelangen. Die lineare Funktion hat also die Steigung $m=-1$ und den $y$-Achsenabschnitt $n=1$. Die Ableitungsgleichung muss also lauten:

    $f'(x)=-x+1$

    Wir leiten nun die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Graph: Parabel) ab.

    $f(x)=a\cdot x^2 + b\cdot x + c$ mit $a,b,c\in\mathbb{R}$

    $f'(x)= 2 \cdot a \cdot x + b$

    Um ihn in die Form $-x+1$ zu bekommen, benötigen wir als Parameter $b=1$.

    Parameter $a$ ergibt sich so:

    $2\cdot a \cdot x=-x$ Dazu muss $a=-0,5$ sein.

    Unsere Funktionsgleichung lautet also:

    $f(x)=-0,5x^2 +x +c=-\frac12+x+c$

    Noch einmal abgeleitet wäre das:

    $f'(x)=-x+1$ - die Gleichung unserer Ableitungsfunktion.