Stammfunktionen berechnen

Stammfunktion – Definition

In Mathe hast du bestimmt schon die Ableitung einer Funktion kennengelernt. Nun klären wir, was die Stammfunktion einer Funktion ist. Die beiden hängen nämlich direkt miteinander zusammen.

Wenn du eine Ableitung bilden sollst, ist normalerweise eine Funktion $f(x)$ gegeben und ihre Ableitung $f^{\prime}(x)$ gesucht. Bei der Frage nach einer Stammfunktion ist es umgekehrt: Die Ableitung ist gegeben und die Funktion ist gesucht.

• Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ bezeichnen wir als $f^{\prime}(x)$. Die Stammfunktion einer Funktion $f(x)$ wird üblicherweise mit $F(x)$ benannt.
• Bei der Berechnung der Ableitung einer Funktion $f(x)$ gibt es nur eine richtige Lösung – vorausgesetzt, die Funktion $f(x)$ ist überhaupt differenzierbar. Bei der Bestimmung einer Stammfunktion $F(x)$ gibt es hingegen nie nur eine richtige Lösung:
  Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, so ist auch $F(x)+c$ eine Stammfunktion von $f(x)$. Hierbei ist $c \in \mathbb{R}$ eine konstante reelle Zahl.

Den letzten Punkt können wir direkt nachrechnen und beweisen. Berechnen wir die Ableitung der Funktion $F(x)+c$, so erhalten wir:

$\left( F(x) + c \right)^{\prime} = F^{\prime}(x) + c^{\prime} = F^{\prime}(x) + 0 = F^{\prime}(x) = f(x)$

Da die Ableitung einer beliebigen konstanten Zahl $c$ stets null ist $\left( c^{\prime} = 0 \right)$, gibt es unendlich viele Stammfunktionen $F(x) + c$ mit $c \in \mathbb{R}$, deren Ableitung die Funktion $f(x)$ ergibt. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer Schar von Stammfunktionen.

Grafische Darstellung von Stammfunktion und Ableitungsfunktion

Im Folgenden sehen wir uns an, was der Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Ableitungsfunktion hinsichtlich der jeweiligen Funktionsgraphen bedeutet. Dazu wiederholen wir zuerst, was den Graphen einer Ableitungsfunktion kennzeichnet.

Ableitungsfunktion – grafische Darstellung

Im Koordinatensystem bildet der Funktionsgraph der Ableitung $f^{\prime}(x)$ die Steigung des Funktionsgraphen der ursprünglichen Funktion $f(x)$ ab.
Um das darzustellen, lesen wir an jedem Punkt $x$ den Wert der Steigung von $f(x)$ ab (bzw. berechnen diesen) und tragen diesen Wert als Funktionswert der Ableitung $f^{\prime}(x)$ ein.

• An jeder Stelle $x$, an der die Funktion $f(x)$ ansteigt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ positiv.
• An Stellen, an denen $f(x)$ eine horizontale Tangente hat, hat $f^{\prime}(x)$ eine Nullstelle. Dort hat die Steigung von $f(x)$ also den Wert $0$.
• An allen Stellen $x$, an denen $f(x)$ abfällt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ negativ.

Zeichnen wir zu dem Funktionsgraphen von $f(x)$ noch die Funktionsgraphen der Funktionen $f(x)+2$ und $f(x)-3$, so finden wir zu allen drei Funktionen dieselbe Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$. Denn die Funktionen $f(x)+2$ und $f(x)-3$ stellen lediglich eine Verschiebung der Funktion $f(x)$ entlang der $y$-Achse dar. Ihre Monotonie, also der Verlauf der Steigung, ändert sich nicht.

Da sich $f(x)$, $f(x)+2$ und $f(x)-3$ nur durch die Addition einer konstanten, reellen Zahl $c$ unterscheiden, gehören all diese Funktionen zur Schar der Stammfunktionen in Bezug auf die Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$. Es gilt:

$\left( f(x) \right)^{\prime} = \left( f(x)+2 \right)^{\prime} = \left( f(x)-3 \right)^{\prime} = f^{\prime}(x)$

Wir können nun unsere Perspektive wechseln und die Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$ als eigentliche Funktion $f(x)$ benennen. Dann müssen wir die vorherigen Funktionen $f(x)$, $f(x)+2$ und $f(x)-3$ eindeutig als Stammfunktionen kennzeichnen. Wir nennen sie also $F(x)$, $F(x)+2$ und $F(x)-3$. Damit gilt:

$\left( F(x) \right)^{\prime} = \left( F(x)+2 \right)^{\prime} = \left( F(x)-3 \right)^{\prime} = f(x)$

Achtung! Dieser Perspektivwechsel ändert nichts an den Zusammenhängen der Funktionen und Funktionsgraphen – wir haben nur die Benennung, also die Buchstaben, geändert. Die Beziehung zwischen $f(x)$ und $f^{\prime}(x)$ haben wir einfach umbenannt zu $F(x)$ und $f(x)$.

Stammfunktion – grafische Darstellung

Zu einer gegebenen Funktion $f(x)$ den Funktionsgraphen der Stammfunktion $F(x)$ zu zeichnen, ist deutlich schwieriger als der umgekehrte Weg. Dazu müssen wir an jeder Stelle $x$ den Funktionswert $F(x)$ so einzeichnen, dass die Steigung des Funktionsgraphen von $F(x)$ an der Stelle $x$ genau dem Funktionswert $f(x)$ entspricht. Das ist gar nicht so einfach, aber wir können uns dabei zumindest an den Nullstellen der Funktion $f(x)$ orientieren:

• Ist $f(x) = 0$ an einer Stelle $x$, so hat jede Stammfunktion an dieser Stelle eine horizontale Tangente.
• Ist $f(x)$ links der Nullstelle positiv, so steigt jede Stammfunktion $F(x)$ dort an.
• Ist $f(x)$ rechts der Nullstelle negativ, so fällt jede Stammfunktion dort ab.
• Nähern sich die Funktionswerte von $f(x)$ der $x$-Achse an, so nähert sich auch jede Stammfunktion einem konstanten Funktionswert an, nämlich dem Wert $c$.

Unter Berücksichtigung dieser Punkte können wir mögliche Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion $f(x)$ zeichnen. In der folgenden Abbildung siehst du drei mögliche Stammfunktionen zu einer Funktion $f(x)$. Es handelt sich bei den Stammfunktionen um die Funktionen $F(x)$, $F(x)+2$ und $F(x)-3$, die wir auch schon im Rahmen der Betrachtung der Ableitungsfunktion untersucht haben.

Die Abbildung ist sowohl gültig, wenn wir $f(x)$ (unten) gegeben haben und mögliche Stammfunktionen (oben) einzeichnen sollen, als auch, wenn wir eine der drei Stammfunktionen (oben) gegeben haben und die zugehörige Ableitungsfunktion $f(x)$ (unten) einzeichnen sollen – denn in beiden Fällen gilt:

$\left( F(x) \right)^{\prime} = \left( F(x)+2 \right)^{\prime} = \left( F(x)-3 \right)^{\prime} = f(x)$

Haben wir eine Stammfunktion $F(x)$ gefunden, so sind auch die Funktionen $F(x)+2$ und $F(x)-3$ Stammfunktionen der Funktion $f(x)$. Die Stammfunktion $F(x)$ ist also nicht eindeutig bestimmt durch die Funktion $f(x)$ – jede konstante Verschiebung des Funktionsgraphen einer Stammfunktion $F(x)$ um den Wert $c$ in $y$-Richtung ergibt eine neue Stammfunktion.
In unserem Beispiel haben wir einmal $c = 2$ und einmal $c = -3$ gewählt, um das zu verdeutlichen.

Stammfunktionen berechnen

Stammfunktionen müssen nicht immer grafisch ermittelt werden. Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f(x)$ kann auch rechnerisch bestimmt werden, wenn der Funktionsterm von $f(x)$ bekannt ist. Das Berechnen von Stammfunktionen heißt auch Integrieren.
Ein Integral ist eine bestimmte Stammfunktion einer gegebenen Funktion. Ein sogenanntes unbestimmtes Integral schließt die Gesamtheit aller Stammfunktionen ein, die es zu einer gegebenen Funktion gibt. Das schreibt man so:

$\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = F(x) + c \quad$ mit $\quad c \in \mathbb{R}$

Darin sind

• $\int$ das Integralzeichen,
• $\text{d}x$ das Differential $\left(\Delta x \rightarrow 0 \right)$,
• $x$ die Integrationsvariable und
• $f(x)$ der Integrand.

$F(x) + c$ ist die Funktionenschar von Stammfunktionen mit beliebiger Integrationskonstante $c \in \mathbb{R}$, die jeweils abgeleitet die Funktion $f(x)$ ergeben.
Das Integralzeichen bedeutet also, das die Funktion $f(x)$ integriert werden muss, um eine Stammfunktion $F(x) + c$ zu erhalten.

Stammfunktionen berechnen – Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f(x) = 3\,x^2$. Wie lautet eine Stammfunktion zu $f(x)$?

Eine mögliche Stammfunktion ist $F(x) = x^3$, denn es gilt:

$F^{\prime}(x) = \left( x^3 \right)^{\prime} = 3 \cdot x^{3-1} = 3\,x^2 = f(x)$

Aber auch die Funktion $F_{-3} = x^3 -3$ wäre eine passende Stammfunktion, denn es gilt ebenso:

${F_{-3}}^{\prime}(x) = \left( x^3 - 3 \right)^{\prime} = 3 \cdot x^{3-1} - 0 = 3\,x^2 = f(x)$

Stammfunktionen berechnen – Rechenregeln

So wie es bestimmte Ableitungsregeln gibt, so gibt es auch für das Integrieren bestimmte Rechenregeln, die je nach Art der Funktion $f(x)$ angewendet werden können, um eine Stammfunktion $F(x)$ zu berechnen. Das sind beispielsweise

• die Potenzregel für Integrale,
• die Faktor- und Summenregel für Integrale,
• die lineare Substitutionsregel für Integrale,
• Regeln für Stammfunktionen von Wurzelfunktionen und
• die logarithmische Integration.

Sehen für uns die Potenzregel für Integrale, also die Regel für Potenzfunktionen, genauer an. Beim Ableiten einer einfachen Potenzfunktion der Form $f(x) = x^n$ wird der Exponent $n$ als Faktor nach vorne gezogen und in der Potenz um Eins erniedrigt. Es gilt also:

$f^{\prime}(x) = \left( x^n \right)^{\prime} = n \cdot x^{n-1}$

Beim Integrieren einer Potenzfunktion $f(x) = x^n$ muss nun genau der umgekehrte Vorgang passieren. Das heißt, der Exponent $n$ wird um Eins erhöht und der Kehrwert des erhöhten Exponenten muss als Faktor nach vorne gezogen werden, damit der Faktor beim Ableiten wegfällt. Allgemein gilt also folgende Regel:

$\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = \displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \frac{1}{n +1} \cdot x^{n+1} + c = F(x) + c$

Denn dann gilt umgekehrt:

$F^{\prime}(x) = \left( \frac{1}{n +1} \cdot x^{n+1} + c \right)^{\prime} =\frac{1}{n +1} \cdot (n+1) \cdot x^{n+1-1} + 0 = x^n = f(x)$

Beachte: Diese Potenzregel für Integrale gilt auch für $n < 0$, allerdings nicht für $n = -1$, denn dann ist der Bruch $\frac{1}{n+1}$ nicht definiert. Dieser Fall ist ein Spezialfall, für den du die korrekte Stammfunktion auswendig lernen solltest. Es gilt:

$\displaystyle \int x^{-1} ~\text{d}x = \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x = \ln \vert x \vert + c$

Die Stammfunktion zur Funktion $\frac{1}{x}$ ist die natürliche Logarithmusfunktion des Betrags von $x$, also $\ln \vert x \vert$.

Wenden wir die Potenzregel für Integrale einmal systematisch für die ganzrationale Funktion $x^5$ an:

$\displaystyle \int x^5 ~\text{d}x = \frac{1}{5+1} \cdot x^{5+1} ~\left( + c \right) = \frac{1}{6}\,x^6 ~\left( + c \right)$

Eine schnelle Probe durch Ableiten beweist, dass wir richtig liegen:

$\left( \frac{1}{6}\,x^6 \right)^{\prime} = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot x^{6-1} = x^5$

Stammfunktionen berechnen – bestimmte Integrale

Wenn eine Stammfunktion $F(x)$ rechnerisch ermittelt wurde, kann mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ein sogenanntes bestimmtes Integral berechnet werden:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x = \Bigl[ F(x)\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

Ein bestimmtes Integral ist ein Integral, das einen bestimmten, reellen Zahlenwert hat. Dieser Wert wird als Differenz $F(b) - F(a)$ berechnet, wobei $a$ und $b$ zwei reelle Zahlen sind, die die Integrationsgrenzen des bestimmten Integrals darstellen.
Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, muss also zuerst eine Stammfunktion berechnet werden und dann die Werte $a$ und $b$ in diese eingesetzt werden, um die Differenz $F(a) - F(b)$ berechnen zu können. Das Ergebnis der Differenz ist der Wert des bestimmten Integrals in den Grenzen des Intervalls $[a,b]$.

Beispiel:

$\displaystyle \int\limits_{1}^{0} 3\,x^2 ~\text{d}x = \Bigl[ x^3 \Bigr]_{0}^{1} = 1^3 - 0^3 = 1$

Eine wichtige Anwendung von Stammfunktionen und insbesondere von bestimmten Integralen ist die Berechnung von Flächen sowie von anderen Größen, die grafisch durch Flächen ausgedrückt werden können.
So wie die Ableitung der Steigung eines Funktionsgraphen entspricht, so entspricht das Integral der Fläche, die ein Funktionsgraph mit der $x$-Achse einschließt.
Oft wird eine bestimmte Fläche unter dem Graphen in einem Intervall $[a,b]$, also zwischen zwei Grenzen $a$ und $b$, betrachtet.

Hat man beispielsweise das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ($v$-$t$-Diagramm) eines Körpers gegeben, der sich mit der Geschwindigkeit $v(t)$ bewegt, so entspricht die Strecke $s(t)$, die der Körper zurücklegt, dem Flächeninhalt, der von der $v$-$t$-Kurve und der $t$-Achse eingeschlossen wird – konkret zwischen zwei bestimmten Zeitpunkten $a = t_1$ und $b = t_2$.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Stammfunktion