Stammfunktionen berechnen
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Grundlagen zum Thema Stammfunktionen berechnen
Was ist eine Stammfunktion?
In Mathe hast du bestimmt schon die Ableitung einer Funktion kennengelernt. In diesem Video erklären wir dir, was die Stammfunktion einer Funktion ist. Berechnest du die Ableitung, so ist eine Funktion $f$ gegeben und ihre Ableitung gesucht. Bei der Frage nach einer Stammfunktion ist es umgekehrt: Die Ableitung ist gegeben und die Funktion ist gesucht. Die Ableitung einer Funktion $f$ bezeichnen wir mit $f^{\prime}$. Für die Stammfunktion einer Funktion $f$ verwendet man üblicherweise den Buchstaben $F$.
Stammfunktion – Definition
Eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion $f$ ist eine Funktion $F$, deren Ableitung die Funktion $f$ ist. Als Formel können wir das so schreiben:
$F'(x) = f(x)$
Bei der Berechnung der Ableitung einer Funktion $f$ gibt es nur eine richtige
$(F(x) + c)^{\prime} = F^{\prime}(x) + c^{\prime} = F^{\prime}(x) +0 = F^{\prime}(x) = f(x)$
Denn die Ableitung einer konstanten Zahl ist stets null: $c^{\prime} = 0$
Graphische Darstellung der Ableitungsfunktion
Im Koordinatensystem kannst du die Ableitung einer Funktion $f$ als Funktionsgraph darstellen. Dazu liest du an jedem Punkt $x$ den Wert der Steigung von $f$ ab und trägst diesen Wert als Funktionswert der Ableitung $f^\prime(x)$ ein. An jeder Stelle $x$, an der die Funktion $f$ ansteigt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ positiv. An Stellen, an denen $f$ eine horizontale Tangente hat, hat $f^{\prime}$ eine Nullstelle. Und an allen Stellen $x$, an denen $f(x)$ abfällt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ negativ. Zeichnen wir zu dem Funktionsgraphen von $f(x)$ noch die Funktionsgraphen der Funktionen $f(x)+2$ und $f(x)-3$, so finden wir bei allen drei Funktionen dieselbe Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$. Denn die Funktionen $f(x)$ sowie $f(x)+2$ und $f(x)-3$ unterscheiden sich nur durch die Addition konstanter reeller Zahlen. Alle diese Funktionen sind Stammfunktionen der Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$.
Graphische Darstellung der Stammfunktionen
Zu einer gegebenen Funktion $f$ eine Stammfunktion $F$ zu zeichnen, ist schwieriger. Dazu musst du an jeder Stelle $x$ den Funktionswert $F(x)$ so einzeichnen, dass die Steigung des Funktionsgraphen von $F$ an der Stelle $x$ genau dem Funktionswert $f(x)$ entspricht. Du kannst dich aber an den Nullstellen der Funktion $f$ orientieren: Ist $f(x) =0$, so hat jede Stammfunktion an der Stelle $x$ eine horizontale Tangente. Ist die Funktion $f$ links der Nullstelle positiv, so steigt jede Stammfunktion $F$ dort an. Ist $f$ rechts der Nullstelle negativ, so fällt jede Stammfunktion dort ab. Ändert sich die Funktion $f$ kaum noch, so ist auch jede Stammfunktion fast konstant. Auf diese Weise kannst du Stammfunktionen zu einer vorgegebenen Funktion $f$ zeichnen.
Hast du eine Stammfunktion $F(x)$ gefunden, so sind auch die Funktion $F(x)+2$ und die Funktion $F(x)-3$ eine Stammfunktion der Funktion $f(x)$. Die Stammfunktion $F(x)$ ist also nicht eindeutig bestimmt durch die Funktion $f(x)$ – jede konstante Verschiebung in $y$-Richtung des Funktionsgraphen einer Stammfunktion $F$ ergibt eine neue Stammfunktion.
Eine vergleichbare Beobachtung kennst du bestimmt aus dem Alltag: Wenn du einen Berg hinaufsteigst, kannst du die Steigung direkt spüren – aber nicht die genaue Höhe. Ob du zwei Meter höher oder drei Meter tiefer bist, kannst du nicht unmittelbar feststellen. Die tatsächliche Höhe hängt auch davon ab, wo der Nullpunkt der Höhenskala liegt – die Steigung hängt davon nicht ab, sondern lässt sich unmittelbar beobachten. Die Steigung entspricht in diesem Beispiel der vorgegebenen Funktion $f(x)$, die tatsächliche Höhe, auf einer geeigneten Skala gemessen, ist eine Stammfunktion $F(x)$.
Wozu braucht man Stammfunktionen?
Die wichtigste Anwendung von Stammfunktionen wird im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung formuliert: Das bestimmte Integral einer Funktion $f$ ist die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion $F$ an den Integralgrenzen:
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$
Zur Berechnung von Stammfunktionen gibt es verschiedene Regeln – analog zu den Ableitungsregeln für Funktionen. Diese Regeln werden dir in anderen Videos erklärt.
Das Video zu Stammfunktionen
In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was eine Stammfunktion ist. Du erfährst, wie die Stammfunktion mit der Ableitung zusammenhängt und wie verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion aussehen. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt.
Transkript Stammfunktionen berechnen
Fragst du dich auch manchmal, von wem du eigentlich abstammst? Bis zu deinen Großeltern ist ja wahrscheinlich noch alles klar, aber wer waren eigentlich deren Vorfahren? Wo haben sie gelebt? Was haben sie gemacht? Und war eventuell sogar eine berühmte Persönlichkeit unter ihnen? Stammbaumforschung kann echt spannend sein! So, oder so ähnlich kannst du dir auch deine Aufgabe im Matheunterricht das nächste mal schönreden, wenn du „Stammfunktionen“ bestimmen sollst. Denn bei der Bestimmung von Stammfunktionen geht es im Prinzip um genau das. Wir wollen herausfinden, von welchen Funktionen eine gegebene Funktion abstammt. Aber was genau meint „Abstammen“ in diesem Kontext? Um das zu verstehen, gehen wir zunächst einen Schritt zurück und schauen uns nochmal kurz an, wie das aussah, wenn wir Funktionen abgeleitet haben. Wenn wir eine Funktion „f von x“ abgeleitet haben, haben wir die Ableitungsfunktion „f-Strich von x“ genannt. In diesem Sinne stammt also f-Strich von f ab. Jetzt können wir das Ganze aber auch andersherum betrachten und uns überlegen, welche Funktion wir eigentlich ableiten müssen, um „f von x“ zu erhalten. Wir fragen uns also, von welcher Funktion „f von x“ abstammen könnte und nennen eine solche Funktion dann Stammfunktion. Stammfunktionen benennt man üblicherweise mit Großbuchstaben. In unserem Fall wäre das dann „Groß-F von x“. Eine Stammfunktion „Groß-F von x“ der Funktion „f von x“ ist also genau so definiert, dass ihre Ableitung gleich „f von x“ ist. Daher können wir „f von x“ auch als Stammfunktion von „f-Strich von x“ betrachten. Genug Theorie! Wir brauchen ein konkretes Beispiel! Wir betrachten „f von x gleich x Quadrat“. Anstatt diese Funktion jetzt abzuleiten, suchen wir eine Funktion die abgeleitet „x hoch zwei“ ergibt. Das nennen wir „die Funktion integriert“. Da sich beim Ableiten der Exponent um eins verringert, muss die gesuchte Stammfunktion den Exponenten drei haben. Wenn wir „x hoch drei“ ableiten, erhalten wir aber „drei x hoch zwei“. Um diese Drei loszuwerden, multiplizieren wir unsere Stammfunktion noch mit dem Kehrwert von drei – also einem Drittel. Wenn wir diese Funktion jetzt ableiten, kürzen sich drei und ein Drittel weg. Und schon haben wir eine Stammfunktion gefunden. Sprich: Wir haben „f von x“ integriert. Das ist allerdings nicht die einzige Stammfunktion zu unserer Funktion „x Quadrat“. Auch die Funktionen „ein Drittel x hoch drei plus eins“, oder „ein Drittel x hoch drei minus zwei“ sind Stammfunktionen von „f von x“. Denn auch wenn wir diese Funktionen ableiten, erhalten wir wieder „x Quadrat“. Konstanten werden ja beim Ableiten zu Null, fallen also einfach weg. Daher können wir eine beliebige konstante Zahl addieren oder auch subtrahieren. Das Resultat wird immer eine Stammfunktion von „x Quadrat“ sein. Das wird auch deutlich, wenn wir uns die zugehörigen Funktionsgraphen in zwei untereinander liegenden Koordinatensystemen anschauen. „f von x“ gibt als Ableitungsfunktion der Stammfunktionen deren Steigung an jeder beliebigen Stelle wieder. Die Steigung ist erst positiv, dann flacht die Funktion ab, bis die Steigung Null erreicht wird, und schließlich wird die Steigung wieder positiv und immer steiler. Die Steigung von „Groß-F von x“ ändert sich aber nicht, wenn wir die Funktion im Koordinatensystem nach oben oder unten, sprich in y-Richtung verschieben. Und genau das machen wir ja, wenn wir eine beliebige konstante Zahl addieren, beziehungsweise subtrahieren. Umgangssprachlich könnte man sagen: Wie hoch oder tief eine Funktion im Koordinatensystem platziert ist, ist für die Ableitung egal. Diese Information geht durch das Ableiten verloren. Es kommt nur auf die Steigung an. Aus umgekehrter Perspektive kommt daher also auch nicht nur eine Funktion als Stammfunktion in Frage, sondern es gibt eben unendlich viele – die sich alle nur durch eine konstante Zahl unterscheiden. Diese Zahl, auch Integrationskonstante genannt, wird allgemein meistens mit einem c dargestellt. C ist dann eine beliebige, reelle Zahl. Bleibt nur noch eine Frage: Wie berechnen wir denn Stammfunktionen jetzt ganz konkret? Durch Ausprobieren? Zum Glück gibt es – genauso wie beim Ableiten – einige Regeln, an die wir uns halten können. Hier siehst du die wichtigsten schonmal auf einen Blick! Wie genau sie funktionieren und was es mit diesem merkwürdigen Integralzeichen auf sich hat, erfährst du in den entsprechenden Videos. Fürs Erste fassen wir zusammen, was wir über Stammfunktionen gelernt haben. Eine Stammfunktion „Groß-F von x“ zu einer gegebenen Funktion „f von x“ ist so definiert, dass ihre Ableitung gleich „f von x“ ist. Wenn wir eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion bestimmen, nennen wir das „die Funktion integrieren“. Im Gegensatz zum Ableiten, das eindeutig zu einer Ableitungsfunktion führt, kommen beim Integrieren unendlich viele Stammfunktionen in Frage, da wir nichts über Konstanten wissen können, die beim Ableiten wieder wegfallen würden. Eine Funktion hat also unendlich viele Eltern! Unendlich viele Vorfahren haben wir als Menschen zwar nicht, aber dafür unterscheiden sich unsere Vorfahren etwas deutlicher voneinander – jeder einzelne ist ganz besonders!
Stammfunktionen berechnen Übung
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Gib an, welche der Aussagen über Stammfunktionen richtig sind.
TippsBeispiel:
Wenn $f(x)=x^5$, dann muss $F(x)$ den Exponenten $6$ haben. Es gilt somit:
$F(x)=\dfrac{1}{6}x^6$, denn:
$\left(\dfrac{1}{6}x^6\right)^\prime = \dfrac{1}{6}\cdot6x^5 = x^5$
LösungAllgemein gilt:
- Wir können eine Funktion ableiten und erhalten die Ableitungsfunktion $f'(x)$.
- Wir können eine Funktion integrieren und erhalten die Stammfunktion $F(x)$.
Die Ableitung der Stammfunktion ist dann gleich $f(x)$. Formal können wir das so schreiben:
$F'(x) = f(x)$
Die Stammfunktion der Ableitung $f^\prime(x)$ ist demnach gleich $f(x)$.
Beim Bilden der Stammfunktion erhöhen wir den Exponenten um $1$, da er sich beim Ableiten um diesen Wert verringert. Außerdem multiplizieren wir mit dem Kehrwert des neuen Exponenten, um den Vorfaktor beim Ableiten auszugleichen.
Um zu festzustellen, ob eine Funktion tatsächlich eine Stammfunktion ist, können wir sie ableiten und überprüfen, ob sie gleich der Ursprungsfunktion ist. Dabei ist zu beachten, dass Konstanten (Terme ohne die Variable $x$) beim Ableiten wegfallen. Dadurch gibt es keine eindeutige Stammfunktion, sondern unendlich viele verschiedene, weil wir eine beliebige reelle Konstante zur Stammfunktion addieren oder subtrahieren können.Folgende Aussagen sind korrekt:
- $F(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$, wenn $F'(x)=f(x)$ gilt.
- Wenn $f(x)$ integriert wird, dann entsteht $F(x)$.
- Es gibt unendlich viele verschiedene Stammfunktionen für die Funktion $f(x) = x^2$.
Folgende Aussagen sind inkorrekt:
- $f(x)$ ist die Stammfunktion von $F(x)$.
- Wenn $f(x)$ abgeleitet wird, dann entsteht $F(x)$.
- Die Stammfunktion von $f(x) = x^2$ lautet $F(x) = x^3$, weil der Exponent um $1$ erhöht wird.
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Beschreibe die Bedeutung der Integrationskonstante $c$.
TippsDer Graph von $x^2 -3$ ist im Vergleich zur Normalparabel ($x^2$) um drei Einheiten nach unten verschoben.
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Funktionsgraphen.
LösungEine Stammfunktion $F$ ist die Funktion, die abgeleitet wieder $f$ ergibt. Die Funktion $f$ ist also die Steigung von $F$. Wir können schreiben:
$F^\prime(x) = f(x)$
Wird zu einem Funktionsterm eine Konstante addiert, so bewirkt dies eine Verschiebung des Funktionsgraphen in $\boldsymbol{y}$-Richtung.
Die Steigung des Funktionsgraphen für einen $x$-Wert bleibt nach Addition einer Konstante unverändert. Daher sind alle Funktionen, die sich nur durch die Integrationskonstante $c$ unterscheiden, Stammfunktionen derselben Ausgangsfunktion.
Es gilt:
$\left(F(x) + c\right)^\prime = F^\prime(x)$ für alle $c \in \mathbb{R}$
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Bestimme, welche Ausgangsfunktion zu der jeweiligen Stammfunktion gehört.
TippsEs gibt zu jeder Funktion $f(x)$ unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch die Integrationskonstante $c$ unterscheiden.
Beispiel:
$f(x)=x^2$
Zwei Stammfunktionen von $f$ lauten:
$F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-1$ und ${F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+5}$
LösungBei dieser Aufgabe solltest du jede Stammfunktion der passenden Ausgangsfunktion zuordnen.
Die Potenzregel zum Bilden der Stammfunktion lautet:
$f(x) = a \cdot x^n \quad \implies \quad {F(x) = \dfrac{a}{n+1}x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})}$
Beispiel:
Um die Stammfunktion der Funktion $f(x)=x^4$ zu bestimmen, erhöhen wir den Exponenten um $1$. Die Potenz lautet dann also $x^{4+1}=x^5$.
Um den Vorfaktor $5$, der beim Ableiten entsteht, auszugleichen, müssen wir noch mit $\frac{1}{5}$ multiplizieren. Eine mögliche Stammfunktion $F$ lautet also:$F(x) = \dfrac{1}{5}x^5$
Zu dieser Stammfunktion können wir nun eine beliebige reelle Zahl als Integrationskonstante addieren – sie bleibt trotzdem eine Stammfunktion von $f$.
Beachte, dass die Integrationskonstante $c$ beim Ableiten wegfällt. Suchen wir eine Stammfunktion, wissen wir daher nicht, welches $c$ vorhanden war. Deshalb gibt es unendlich viele Möglichkeiten.
Der Funktion $f(x)=3x^3$ können folgende Stammfunktionen zugeordnet werden:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=\dfrac{3}{4}x^4-1$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=\dfrac{3}{4}x^4-\dfrac{4}{3}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=\dfrac{3}{4}x^4+2$
Denn:
$\left(\dfrac{3}{4}x^4+c\right)^\prime = \dfrac{3}{4} \cdot 4x^3 = 3x^3$
Der Funktion $f(x)=4x^3$ können folgende Stammfunktionen zugeordnet werden:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=x^4-\dfrac{4}{3}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=x^4+2$
Denn:
$\left(x^4+c\right)^\prime = 4x^3$
Der Funktion $f(x)=5x^3$ können folgende Stammfunktionen zugeordnet werden:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=\dfrac{5}{4}x^4-1$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=\dfrac{5}{4}x^4+2$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}\color{black}{~}F(x)=\dfrac{5}{4}x^4+\dfrac{1}{4}$
Denn:
$\left(\dfrac{5}{4}x^4+c\right)^\prime = \dfrac{5}{4} \cdot 4x^3 = 5x^3$
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Ermittle den Verlauf des Graphen der Stammfunktion von $f$.
TippsÜberlege dir, welchen Grad die gegebene Funktion hat: Sie zeigt eine Parabel.
Der Graph zeigt eine Funktion zweiten Grades. Daher muss die Stammfunktion eine Funktion dritten Grades sein.
LösungHier haben wir den Graphen einer Funktion zweiten Grades, also eine Parabel, gegeben. Die Funktionsgleichung lautet:
$f(x)=2x^2+4x+1$
Um die Stammfunktion zu bestimmen, erhöhen wir den Exponenten um $1$ und multiplizieren den Term mit dem Kehrwert des Exponenten. Dadurch erhalten wir eine Funktion dritten Grades:
$F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 + 2x^2 + x$
Damit können wir alle Graphen von Funktionen, die einen niedrigeren Grad haben (Geraden und Parabeln) ausschließen. Auch der Graph der Funktion mit drei Extremstellen, also die Funktion vierten Grades, können wir ausschließen.
An dem Graph der Ursprungsfunktion sehen wir, dass er die $x$-Achse in den ungefähren Punkten $({-}1{,}7 | 0)$ und $({-}0{,}3 | 0)$ schneidet. Daraus können wir ableiten, dass der Graph der Stammfunktion an diesen Stellen Extremstellen haben muss.
Der erste Graph zeigt eine Funktion dritten Grades, die am Ursprung einen Sattelpunkt hat. Deshalb können wir diese ebenfalls ausschließen und erhalten den oben abgebildeten Graphen.
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Finde eine Ausgangsfunktion zur Stammfunktion.
TippsBeim Bilden der Stammfunktion erhöht sich der Exponent der Potenz um $1$.
Beispiel:
$F(x)=\dfrac{1}{5}x^5$
Die Ausgangsfunktion $f$ entspricht der Ableitung:
$f(x)= \left(\dfrac{1}{5}x^5\right)^\prime = \dfrac{1}{5}\cdot 5x^4 = x^4$
LösungBei dieser Aufgabe solltest du den Stammfunktionen $F$ ihre Ausgangsfunktionen $f$ zuordnen.
Da zwischen Stammfunktion und Ausgangsfunktion der Zusammenhang $F^\prime(x) = f(x)$ gilt, können wir die Stammfunktionen ableiten und so auf die Ausgangsfunktion schließen.
Die Potenzregel zum Bilden der Stammfunktion lautet:
$f(x) = a \cdot x^n \quad \implies \quad F(x) = \dfrac{a}{n+1}x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})$
Wenn wir die Ableitung von $F$ bilden, dann erhalten wir wieder $f$, weil die Integrationskonstante $c$ wegfällt:
$\left(\dfrac{a}{n+1}x^{n+1} + c\right)^\prime = \dfrac{a}{n+1} \cdot (n+1)x^{n+1-1} = ax^n = f(x)$
Bei den gegebenen Stammfunktionen ist die Integrationskonstante $c=0$ gewählt: Wir leiten sie ab, um die passenden Ausgangsfunktionen zu finden.
Erste Funktion: $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3$
$\implies ~ f(x) = \left(\dfrac{1}{3}x^3\right)^\prime = \dfrac{1}{3} \cdot 3 x^2 = \color{#99CC00}{x^2}$
Zweite Funktion: $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4$
$\implies ~ f(x) = \left(\dfrac{1}{4}x^4\right)^\prime = \dfrac{1}{4} \cdot 4 x^3 = \color{#99CC00}{x^3}$
Dritte Funktion: $F(x)= \dfrac{2}{3}x^3$
$\implies ~ f(x) = \left(\dfrac{2}{3}x^3\right)^\prime = \dfrac{2}{3} \cdot 3 x^2 = \color{#99CC00}{2x^2}$
Vierte Funktion: $F(x)=x^3$
$\implies ~ f(x) = \left(x^3\right)^\prime = \color{#99CC00}{3x^2}$
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Stelle eine Stammfunktion auf.
TippsEine Stammfunktion von $f(x)=x^5$ wird gebildet, indem der Exponent um $1$ erhöht wird. Die Potenz lautet dann also $x^6$.
Um beim Ableiten wieder auf den Vorfaktor $1$ zu kommen, muss mit $\frac{1}{6}$ multipliziert werden. Eine Stammfunktion von $f$ lautet also:$F(x) = \dfrac{1}{6}x^6$
Beispiel:
$f(x)=36x^5+16x^3$
$F(x)=\left(36 \cdot \dfrac{1}{6}\right)x^6 + \left(16 \cdot \dfrac{1}{4}\right) x^4 = 6 x^6 + 4x^4$
LösungEine Stammfunktion $F$ ist so definiert, dass ihre Ableitung gleich $f$ ist:
$F^\prime(x)=f(x)$
Beim Bilden der Stammfunktion erhöhen wir den Exponenten der jeweiligen Potenz um $1$ und dividieren den Vorfaktor durch diesen erhöhten Exponenten. Die Potenzregel lautet also:
$f(x) = a \cdot x^n \quad \implies \quad {F(x) = \dfrac{a}{n+1}x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})}$
Die Integrationskonstante $c$ kann eine beliebige reelle Zahl sein. In unseren Beispielen wurde $c=0$ gewählt.
Wird bei $f(x)$ eine reelle Zahl in der Funktion addiert, musst du bei der Stammfunktion ein $x$ anhängen.
Konstante Terme in $f$ werden mit der Variablen $x$ multipliziert, denn es gilt:
$x^0 = 1$
Die Lösung der Aufgabe lautet:
$f(x)=4x^3+6x^2+2$
$\implies F(x) = {4 \cdot \dfrac{1}{4}x^4 + 6 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 +2x} = {x^4+2x^3+2x}$
$f(x)=15x^4+8x^3+9x^2$
$\implies F(x) = {15 \cdot \dfrac{1}{5}x^5 + 8 \cdot \dfrac{1}{4}x^4 + 9 \cdot \dfrac{1}{3}x^3} = {3x^5+2x^4+3x^3}$
$f(x)=45x^8-84x^6-51x^2$
$\implies F(x) = {45 \cdot \dfrac{1}{9}x^9 - 84 \cdot \dfrac{1}{7}x^7 - 51\cdot \dfrac{1}{3}x^3} = {5x^9-12x^7-17x^3}$
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