Stammfunktionen berechnen

Fragst du dich auch manchmal, von wem du eigentlich abstammst? Bis zu deinen Großeltern ist ja wahrscheinlich noch alles klar, aber wer waren eigentlich deren Vorfahren? Wo haben sie gelebt? Was haben sie gemacht? Und war eventuell sogar eine berühmte Persönlichkeit unter ihnen? Stammbaumforschung kann echt spannend sein! So, oder so ähnlich kannst du dir auch deine Aufgabe im Matheunterricht das nächste mal schönreden, wenn du „Stammfunktionen“ bestimmen sollst. Denn bei der Bestimmung von Stammfunktionen geht es im Prinzip um genau das. Wir wollen herausfinden, von welchen Funktionen eine gegebene Funktion abstammt. Aber was genau meint „Abstammen“ in diesem Kontext? Um das zu verstehen, gehen wir zunächst einen Schritt zurück und schauen uns nochmal kurz an, wie das aussah, wenn wir Funktionen abgeleitet haben. Wenn wir eine Funktion „f von x“ abgeleitet haben, haben wir die Ableitungsfunktion „f-Strich von x“ genannt. In diesem Sinne stammt also f-Strich von f ab. Jetzt können wir das Ganze aber auch andersherum betrachten und uns überlegen, welche Funktion wir eigentlich ableiten müssen, um „f von x“ zu erhalten. Wir fragen uns also, von welcher Funktion „f von x“ abstammen könnte und nennen eine solche Funktion dann Stammfunktion. Stammfunktionen benennt man üblicherweise mit Großbuchstaben. In unserem Fall wäre das dann „Groß-F von x“. Eine Stammfunktion „Groß-F von x“ der Funktion „f von x“ ist also genau so definiert, dass ihre Ableitung gleich „f von x“ ist. Daher können wir „f von x“ auch als Stammfunktion von „f-Strich von x“ betrachten. Genug Theorie! Wir brauchen ein konkretes Beispiel! Wir betrachten „f von x gleich x Quadrat“. Anstatt diese Funktion jetzt abzuleiten, suchen wir eine Funktion die abgeleitet „x hoch zwei“ ergibt. Das nennen wir „die Funktion integriert“. Da sich beim Ableiten der Exponent um eins verringert, muss die gesuchte Stammfunktion den Exponenten drei haben. Wenn wir „x hoch drei“ ableiten, erhalten wir aber „drei x hoch zwei“. Um diese Drei loszuwerden, multiplizieren wir unsere Stammfunktion noch mit dem Kehrwert von drei – also einem Drittel. Wenn wir diese Funktion jetzt ableiten, kürzen sich drei und ein Drittel weg. Und schon haben wir eine Stammfunktion gefunden. Sprich: Wir haben „f von x“ integriert. Das ist allerdings nicht die einzige Stammfunktion zu unserer Funktion „x Quadrat“. Auch die Funktionen „ein Drittel x hoch drei plus eins“, oder „ein Drittel x hoch drei minus zwei“ sind Stammfunktionen von „f von x“. Denn auch wenn wir diese Funktionen ableiten, erhalten wir wieder „x Quadrat“. Konstanten werden ja beim Ableiten zu Null, fallen also einfach weg. Daher können wir eine beliebige konstante Zahl addieren oder auch subtrahieren. Das Resultat wird immer eine Stammfunktion von „x Quadrat“ sein. Das wird auch deutlich, wenn wir uns die zugehörigen Funktionsgraphen in zwei untereinander liegenden Koordinatensystemen anschauen. „f von x“ gibt als Ableitungsfunktion der Stammfunktionen deren Steigung an jeder beliebigen Stelle wieder. Die Steigung ist erst positiv, dann flacht die Funktion ab, bis die Steigung Null erreicht wird, und schließlich wird die Steigung wieder positiv und immer steiler. Die Steigung von „Groß-F von x“ ändert sich aber nicht, wenn wir die Funktion im Koordinatensystem nach oben oder unten, sprich in y-Richtung verschieben. Und genau das machen wir ja, wenn wir eine beliebige konstante Zahl addieren, beziehungsweise subtrahieren. Umgangssprachlich könnte man sagen: Wie hoch oder tief eine Funktion im Koordinatensystem platziert ist, ist für die Ableitung egal. Diese Information geht durch das Ableiten verloren. Es kommt nur auf die Steigung an. Aus umgekehrter Perspektive kommt daher also auch nicht nur eine Funktion als Stammfunktion in Frage, sondern es gibt eben unendlich viele – die sich alle nur durch eine konstante Zahl unterscheiden. Diese Zahl, auch Integrationskonstante genannt, wird allgemein meistens mit einem c dargestellt. C ist dann eine beliebige, reelle Zahl. Bleibt nur noch eine Frage: Wie berechnen wir denn Stammfunktionen jetzt ganz konkret? Durch Ausprobieren? Zum Glück gibt es – genauso wie beim Ableiten – einige Regeln, an die wir uns halten können. Hier siehst du die wichtigsten schonmal auf einen Blick! Wie genau sie funktionieren und was es mit diesem merkwürdigen Integralzeichen auf sich hat, erfährst du in den entsprechenden Videos. Fürs Erste fassen wir zusammen, was wir über Stammfunktionen gelernt haben. Eine Stammfunktion „Groß-F von x“ zu einer gegebenen Funktion „f von x“ ist so definiert, dass ihre Ableitung gleich „f von x“ ist. Wenn wir eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion bestimmen, nennen wir das „die Funktion integrieren“. Im Gegensatz zum Ableiten, das eindeutig zu einer Ableitungsfunktion führt, kommen beim Integrieren unendlich viele Stammfunktionen in Frage, da wir nichts über Konstanten wissen können, die beim Ableiten wieder wegfallen würden. Eine Funktion hat also unendlich viele Eltern! Unendlich viele Vorfahren haben wir als Menschen zwar nicht, aber dafür unterscheiden sich unsere Vorfahren etwas deutlicher voneinander – jeder einzelne ist ganz besonders!