40%

Black Friday-Angebot – nur bis zum 27.11.2022

sofatutor 30 Tage lang kostenlos testen & dann 40 % sparen!

Quotientenregel – Einführung

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 5.0 / 2 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Quotientenregel – Einführung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Quotientenregel – Einführung

Inhalt

Die Quotientenregel in der Mathematik

In der Mathematik und in den Naturwissenschaften spielt das Ableiten von Funktionen eine wichtige Rolle, denn anhand der Ableitung einer Funktion kann man ihre Steigung und spezielle Punkte ermitteln. Du kennst sicher schon Methoden, mit denen man einfache Funktionen ableiten kann, indem man zum Beispiel die Potenzregel anwendet:

$\bigl( x^{n} \bigr)^\prime = n \cdot x^{n-1}$

Aber wie kann man die Ableitung der folgenden Funktion bestimmen?

$\bigl( \frac{x}{x+1} \bigr)^\prime = ?$

Um diese Funktion abzuleiten, kannst du die Quotientenregel benutzen. Aber ... was ist die Quotientenregel?

Quotientenregel – Definition

Die Quotientenregel ist eine Regel, nach der man Funktionen ableiten kann, deren Funktionsterme Quotienten enthalten. Dabei wird die Berechnung vereinfacht, indem Zähler und Nenner jeweils einzeln abgeleitet werden. Die Definition lautet folgendermaßen:

$\bigl( \frac{u(x)}{v(x)} \bigr)^\prime = \frac{u^\prime(x) v(x) - u(x) v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Der Zähler $u(x)$ und der Nenner $v(x)$ werden jeweils als Funktion aufgefasst und einzeln abgeleitet. Anschließend müssen die Funktionen und ihre Ableitungen nur eingesetzt werden, um die Ableitung des Quotienten zu erhalten.

Quotientenregel – Beispiele

Beispiel 1 Wir wollen mithilfe der Quotientenregel die Ableitung der Beispielfunktion aus der Einleitung berechnen:

$\bigl( \frac{x}{x+1} \bigr)^\prime = ?$

Um die Regel anwenden zu können, müssen wir zunächst $u(x)$ und $v(x)$ identifizieren und ableiten. Wir beginnen mit dem Zähler:

$u(x) = x \rightarrow u^\prime(x) = 1$

Anschließend berechnen wir die Ableitung für den Nenner:

$v(x) = x+1 \rightarrow v^\prime(x) = 1$

Jetzt setzen wir die Funktionen und ihre Ableitungen gemäß der Quotientenregel ein:

$\bigl( \frac{x}{x+1} \bigr)^\prime = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^{2}} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$

Im letzten Schritt haben wir noch die Terme zusammengefasst.

Beispiel 2 Als zweites Beispiel betrachten wir die folgende Funktion:

$\bigl( \frac{3-x}{3+x} \bigr)^\prime = ?$

Wir beginnen wieder, indem wir Zähler und Nenner separat ableiten:

$u(x) = 3-x \rightarrow u^\prime(x) = -1$

$v(x) = 3+x \rightarrow v^\prime(x) = 1$

Anschließend setzen wir die Funktionen und ihre Ableitungen gemäß der Quotientenregel ein:

$\bigl( \frac{3-x}{3+x} \bigr)^\prime = \frac{-1 \cdot (3+x) - (3-x) \cdot 1}{(3+x)^{2}} = \frac{-6}{(3+x)^{2}} $

Du weißt jetzt, wie man die Quotientenregel anwenden kann. Aber warum gilt diese Regel überhaupt? Das wollen wir uns im Folgenden anschauen, indem wir die Quotientenregel herleiten.

Was ist $u(x)$ und was ist $v(x)$?
Berechne die Ableitung der Funktion: $f(x)=\frac{4x+2}{8x+5}$
Berechne die Ableitung der Funktion: $f(x)=\frac{x^{2}+1}{2x}$

Quotientenregel – Herleitung

Wir betrachten zur Herleitung die folgende Funktion:

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$

Wir können den Funktionsterm auch anders schreiben. Zum einen können wir ihn als Produkt aus $u(x)$ und $\frac{1}{v(x)}$ schreiben, zum anderen können wir den Bruchterm $\frac{1}{v(x)}$ durch die Potenzschreibweise $v(x)^{-1}$ ersetzen:

$f(x) = u(x) \cdot v(x)^{-1}$

Wir haben den Funktionsterm damit so umgeformt, dass er ein Produkt darstellt. Wir können zur Berechnung der Ableitung daher die Produktregel anwenden:

$f^\prime(x) = u(x)^\prime \bigl( v(x)^{-1} \bigr) + u(x) \cdot \bigl( v(x)^{-1} \bigr)^\prime \newline = u^\prime(x) \bigl( v(x)^{-1} \bigr) + u(x) \cdot (-1) \cdot \bigl( v(x)^{-2} \bigr) \cdot v(x)^\prime$

Für den Term $\bigl( v(x)^{-1} \bigr)^\prime$ haben wir außerdem die Kettenregel verwendet.

Um die Gleichung zu vereinfachen, schreiben wir die Terme mit negativem Exponenten als Brüche:

$f^\prime(x) = u^\prime(x) \frac{1}{v(x)} - u(x)\frac{v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Um beide Brüche auf einen Nenner zu bringen, erweitern wir den linken Term mit $v(x)$:

$f^\prime(x) = \frac{u^\prime(x) v(x)}{v(x) \cdot v(x)} - u(x)\frac{v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Das Zusammenfassen ergibt:

$\bigl( \frac{u(x)}{v(x)} \bigr)^\prime = \frac{u^\prime(x) v(x) - u(x) v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Das ist gerade die Definition der Quotientenregel, die wir zu Beginn eingeführt haben.

Quotientenregel – Zusammenfassung

In diesem Video lernst du die Quotientenregel kennen. Ihre Anwendung wird dir anhand zweier Beispiele einfach erklärt. Außerdem lernst du, wie man die Quotientenregel herleitet, indem man Produkt- und Kettenregel anwendet. Neben Text und Video findest du zum Thema Quotientenregel ein Arbeitsblatt mit Aufgaben sowie interaktive Übungen.

Häufige Fragen zum Thema Quotientenregel

Wie lautet die Quotientenregel?
Für was braucht man die Quotientenregel?
Wie wendet man die Quotientenregel an?

Transkript Quotientenregel – Einführung

Endlich schulfrei, du zockst ne Runde und du hast einen Lauf! Level für Level – gar kein Problem! Aber dann kommt dieser eine Endgegner, den du einfach nicht geknackt kriegst. Das kann ganz schön frustrierend sein. Bei der „Quotientenregel“ beißt sich auch so manch einer die Zähne aus. Um das Aggressionspotenzial nicht zu groß werden zu lassen, solltest du dir kurz dieses Video gönnen. Die Quotientenregel kann man durchaus als Endgegner der Ableitungsregeln bezeichnen. Aber mit dem richtigen Ansatz kriegen wir auch diesen Brocken aus dem Weg geräumt - versprochen! Zunächst sollten wir uns klar machen, bei welcher Art von Funktionen die Regel zum Einsatz kommt. Wie der Name schon vermuten lässt – bei Quotienten! Und das wiederum heißt: Es geht um Brüche, die wir ableiten wollen! Und zwar um Brüche bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner jeweils ein Funktionsterm steht, der ein x enthält. Wenn wir dann den Zähler „u von x“, und den Nenner „v von x“ nennen, lautet die Ableitung nach der Quotientenregel: „f-Strich“ gleich „u-Strich mal v
minus u mal v-Strich“ und das Ganze teilen wir noch durch „v von x zum Quadrat“. Wie diese Formel zustande kommt, kann man sich mit der Produkt- und Kettenregel herleiten. Das müssen wir an dieser Stelle nicht weiter vertiefen. Die Produktregel kann uns aber trotzdem dabei helfen, die Quotientenregel einzuprägen. Denn wenn wir uns den Zähler in der Quotientenregel mal genau anschauen, sehen wir, dass da eigentlich die Produktregel steht. Wir müssen nur das Plus durch ein Minus ersetzen. So betrachtet ist die Quotientenregel praktisch die große Schwester der Produktregel. Natürlich sollten wir das ganze mal an einem Beispiel durchrechnen. Also gut: Wir schnappen uns zuerst den Zähler und leiten ihn ab. Außerdem brauchen wir die Ableitung des Nenners. Jetzt müssen wir die Ableitungsfunktion nur noch zusammensetzen. „U-Strich mal v“ minus „u mal v-Strich“. Und das Ganze dann geteilt durch „v von x“ zum Quadrat. Dabei immer darauf achten, Klammern zu setzen, wenn wir Summen beziehungsweise Differenzen einfügen. Sonst würde die „Punkt-vor-Strich-Rechnung“ gelten. Wir wollen aber jeweils den ganzen Term multiplizieren. Schon haben wir die Ableitungsfunktion! So, um unseren Pflichten als gewissenhafte Mathematiker*innen gerecht zu werden, möchten wir diesen Bruch natürlich noch vereinfachen. Das macht uns dann auch die Arbeit leichter, wenn wir mit dem Term weiterrechnen. Zum Beispiel wenn wir ihn nochmal ableiten möchten. Vorsicht! Da im Zähler eine Differenz steht, können wir „drei minus x Quadrat“ nicht einfach kürzen. Wir können stattdessen den Zähler vereinfachen, indem wir ausmultiplizieren, und zusammenfassen. So sieht das doch schon viel schöner aus! Ein Beispiel schauen wir uns noch an. Übung macht den Meister! „e hoch x“ durch „Sinus von x“? Das wirkt eher kompliziert! Ist es aber gar nicht. Wir müssen uns nur daran erinnern, dass „e hoch x“ abgeleitet „e hoch x“ bleibt und die Ableitung des Sinus der Cosinus ist. Dann bauen wir die Ableitung einfach wieder nach der Quotientenregel zusammen. Wir haben also „e hoch x mal Sinus von x“ minus „e hoch x mal Cosinus von x“ durch „Sinus von x zum Quadrat“. Wir können im Zähler noch das „e hoch x“ ausklammern und schon sind wir fertig! Friss das, Funktion! Bevor wir übermütig werden, fassen wir die wichtigsten Infos zum Ableiten von Quotienten nochmal ganz ruhig zusammen. Wenn wir vor einer Funktion sitzen, die sich aus einem Bruch zusammensetzt und sowohl im Zähler als auch im Nenner mindestens ein x enthält, können wir diese mit der Quotientenregel ableiten. Diese erinnert uns stark an die Produktregel! Nur, dass wir im Zähler ein Minus anstelle eines Plus haben und noch durch „v von x hoch zwei“ teilen müssen. Bei der Anwendung der Quotientenregel immer darauf achten, längere Terme, die wir einsetzen, in Klammern zu setzen. Und beim Kürzen aufpassen! Das ist im Normalfall nicht ohne weiteres möglich. Meistens können wir aber den Zähler noch vereinfachen. Und dann können uns auch Quotienten, wie dieser finstere Geselle hier, nicht mehr die Laune verderben. Problem abgeleitet.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.062

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.863

Lernvideos

44.040

Übungen

38.731

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden