Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.0 / 3 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Fritze Michael
Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u\cdot v-u\cdot v'}{u^2}$.

    Zur Ableitung der Wurzelfunktion kannst du diese wie folgt schreiben:

    $\sqrt x=x^{\frac12}$.

    Lösung

    Es soll die Funktion

    $f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt x}$

    mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+$ unter Verwendung der Quotientenregel abgeleitet werden.

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$

    Hier ist

    • $u(x)=2x+2$ und $u'(x)=2$ sowie
    • $v(x)=\sqrt x=x^{\frac12}$. Damit ist $v'(x)=\frac12 x^{-\frac12}$.
    Also ist

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x^{\frac12}-(2x+2)\cdot \frac12\cdot x^{-\frac12}}{(\sqrt x)^2}\\ &=\frac{2x^{\frac12}-x^{\frac12}-x^{-\frac12}}{x}\\ &=\frac{x^{\frac12}-x^{-\frac12}}{x}&|&\cdot \frac{x^{\frac12}}{x^{\frac12}}\\ &=\frac{x-1}{x^{\frac32}}\\ &=\frac{x-1}{\sqrt{x^3}}. \end{align*}$

  • Beschreibe, wie die erste Ableitung der Funktion bestimmt werden kann.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Schreibe die Wurzel als Potenz:

    $\sqrt x=x^{\frac12}$.

    Erweitere bei der Ableitung mit $(2-2x)^{\frac12}$.

    Lösung

    Um die Funktion

    $f(x)=\frac{\sqrt{(2-2x)}}{x^2}$

    mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\{x\in\mathbb{R}|x\le1,~x\neq 0\}$ abzuleiten, werden zunächst die Ableitungen des Zählers sowie des Nenners benötigt:

    • $\left(\sqrt{(2-2x)}\right)'=\left((2-2x)^{\frac12}\right)'=-(2-2x)^{-\frac12}$ sowie
    • $(x^2)'=2x$.
    Nun kann die Quotientenregel angewendet werden:

    $\begin{align*} f'(x)& =\frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x^2-(2-2x)^{\frac12}\cdot 2x}{x^4} \\ & = \frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x-2(2-2x)^{\frac12}}{x^3} \end{align*}$

    Nun wird mit $(2-2x)^{\frac12}$ erweitert:

    $\begin{align*} f'(x)& = \frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x-2(2-2x)^{\frac12}}{x^3} &|&\cdot\frac{(2-2x)^{\frac12}}{(2-2x)^{\frac12}} \\ & = \frac{-x-2(2-2x)}{x^3\cdot (2-2x)^{\frac12}}\\ &=\frac{3x-4}{x^3\cdot \sqrt{(2-2x)}}. \end{align*}$

  • Untersuche den Definitionsbereich der Funktion.

    Tipps

    Die Wurzel ist nur für nicht-negative Radikanden definiert.

    Der Nenner muss ungleich $0$ sein.

    Löse die entsprechende Gleichung und schließt die Nennernullstelle aus.

    Lösung

    Der Definitionsbereich der Funktion

    $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{(x+1)^2}$

    soll bestimmt werden.

    • Zum einen darf der Term unter der Wurzel nicht negativ sein. Da $x^2+1$ immer größer ist als $1$, liegt im Zähler keine Einschränkung vor.
    • Zum anderen ist das Teilen durch $0$ nicht möglich. Also muss $(x+1)^2\neq 0$ sein. Dies ist äquivalent zu $x\neq -1$.
    Der Definitionsbereich ist gegeben durch $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Die erste Ableitung der Wurzel ist gegeben durch

    $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

    Um $\sqrt{x^2+1}$ abzuleiten, musst du zusätzlich die Kettenregel

    $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h(x)$

    verwenden.

    Die Ableitung des Nenners ist gegeben durch

    $((x+1)^2)'=2(x+1)$.

    Lösung

    Zunächst können von der Funktion

    $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{(x+1)^2}$

    sowohl die Ableitung des Zählers als auch die des Nenners berechnet werden. Diese sind:

    • $(\sqrt{x^2+1})'=\frac1{2\sqrt{x^2+1}}$ sowie
    • $((x+1)^2)'=2(x+1)$.
    Somit lässt sich die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel berechnen:

    $\begin{align*} f'(x)& =\frac{\frac x{\sqrt{x^2+1}}\cdot (x+1)^2-\sqrt{x^2+1}\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4} \\ & = \frac{\frac x{\sqrt{x^2+1}}\cdot (x+1)-\sqrt{x^2+1}\cdot2}{(x+1)^3} &|&\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \\ &=\frac{x\cdot (x+1)-2(x^2+1)}{(x+1)^3\cdot\sqrt{x^2+1} } \\ &=\frac{-x^2+x-2}{(x+1)^3\cdot\sqrt{x^2+1} }. \end{align*}$

  • Gib die Quotienten- und Kettenregel an.

    Tipps

    Du kannst dir die Quotientenregel in Worten merken:

    „... Ableitung des Zählers mal den Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner im Quadrat.“

    Du kannst dir die Kettenregel in Worten merken:

    „... die Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion.“

    Lösung

    Die Quotientenregel zur Ableitung der Funktion

    $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$,

    wobei $u$ und $v$ differenzierbare Funktionen sind und $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{x|v(x)=0\}$, lautet:

    $f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Die Kurzschreibweise lautet:

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

    Die Kettenregel zur Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

    $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$.

  • Werte die erste Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0=1$ aus.

    Tipps

    Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.

    Du kannst $f$ auch wie folgt umformen:

    $f(x)=\frac1{\sqrt x}$.

    Es gilt

    $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

    Lösung

    Die Funktion

    $f(x)=\sqrt{\frac1x}$

    kann wie folgt mit der Quotientenregel abgeleitet werden:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac1{2\sqrt{\frac1x}}\cdot \left( \frac 1x \right)'\\ &=\frac1{2\sqrt{\frac1x}}\cdot \left(-\frac1{x^2}\right)\\ &=-\frac1{2\sqrt{\frac1x}\cdot x^2}\\ &=-\frac1{2\sqrt{x^3}}. \end{align*}$

    In dieser Ableitung kann $x_0=1$ eingesetzt werden:

    $f'(1)=-\frac1{2\sqrt{1^3}}=-\frac12=-0,5$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.090

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.922

Lernvideos

36.998

Übungen

34.261

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden