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Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken

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Die Autor*innen
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Fritze Michael
Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken

Hallo, In diesem Video werden wir zwei etwas anspruchsvollere Funktionen der Form f(x)=u(x)/v(x) mit Hilfe der Quotientenregel ableiten. Besonders sind hierbei die Wurzelausdrücke, die entweder im Zähler oder Nenner der Funktion stehen. Um die Rechenschritte gut nachvollziehen zu können, wiederholen wir anfangs die Quotientenregel und die Kettenregel der Differentialrechnung. Viel Spaß!

Transkript Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken

Hallo, meine Name ist Michael. Heute werde ich mit dir zusammen Funktionen mit Wurzelausdrücken mit Hilfe der Quotientenregel ableiten. Vorab werde ich mit dir die Quotientenregel, sowie die Kettenregel kurz wiederholen.
In den zwei Beispiele werden wir Funktionen der Form u(x)/v(x) , die einen Wurzelausdruck enthalten, ableiten. Wir starten mit der Wiederholung der Quotientenregel in der Kurzschreibweise und wiederholen auch die Kettenregel:

Bei der Quotientenregel betrachten wir eine Funktion f, die als Quotient zweier Funktionen u und v dargestellt werden kann. u und v sind an jeder Stelle im Definitionsbereich differenzierbare Funktionen und v muss für alle Werte im Defintionsbereich ungleich Null sein. Für die Ableitung f’ gilt schließlich U Strich mal v Minus U mal v Strich geteilt durch v Quadrat. Nun zur Kettenregel. Die Kettenregel besagt Folgendes: die Ableitung einer differenzbierbaren verknüpften Funktion g von h von x ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion g mit der inneren Funktion h(x) als Argument, multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion h(x).

Kommen wir nun zur ersten Beispielaufgabe. Wir wollen die Funktion f(x)= 2x+2/ Wurzel x ableiten. Die Funktion ist nur für positive reelle Zahlen definiert, da im Reellen keine negativen Zahlen unter der Wurzel mit geradem Wurzelexponenten stehen dürfen. Außerdem darf x nicht Null sein, da man nicht durch Null teilen darf. Bevor wir die Quotientenregel anwenden, wenden wir ein Potenzgesetz an. Beziehen wir das auf den Nenner von f, so folgt daraus, dass die Quadratwurzel aus x gleich x hoch 1/2 ist.

Nun berechnen wir die Ableitung f’(x). Dafür betrachten wir den Zähler als Funktion u(x)=2x+2 und den Nenner als Funktion v(x) gleich x hoch 1/2. Die Ableitung dieser Funktionen sind u’(x)= 2 und nach Anwendung der Potenzregel v’(x)= 1/2x^-1/2.
Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich schließlich der Ausdruck f´(x)= 2x1/2-(2x+2)(1/2x^-1/2)/ (Wurzel x)2 . Fasst man dies weiter zusammen erhält man (2x1/2-x1/2-x^-1/2)/x, welches wiederum zu (x1/2-x^-1/2)/x zusammengefasst werden kann. Diesen Ausdruck kann man auf unterschiedliche Weise umformen.

Wir erweitern hier mit x hoch 1/2. und erhalten: (x-1/ x 3/2). In einer letzten Umformung erhalten wir schließlich unsere Ableitung: f´(x)= x-1/ Wurzel x3 .

Im zweiten Beispiel werden wir zusammen die Funktion f(x)= (Wurzel 2-2x)/ x2 ableiten. Zuerst müssen wir den Definitionsbereich bestimmen. Wie schon oben darf keine negative reelle Zahl unter der Quadratwurzel stehen, d.h. 2 - 2x muss größer gleich 0 sein. Wenn wir diese Ungleichung umformen und durch 2 teilen erhalten wir x kleiner gleich 1. Da x auch ungleich 0 gelten muss, weil der Nenner nicht 0 werden darf, erhalten wir folgenden Definitionsbereich. x ist eine reelle Zahl, die kleiner gleich 1 und ungleich 0 sein muss.

Kommen wir zur Ableitung. Wir wenden wieder das Potenzgesetz an und formulieren die Funktion um zu
f(x)= (2-2x)1/2/ x2. Nun betrachten wir den Zähler (2-2x) hoch ½ als u(x) und den Nenner x² als v(x). Für die Ableitung von u(x) benötigen wir die Kettenregel. Die innere Funktion ist also h(x)=2-2x und die äußere ist g (h(x))= 2-2x hoch 1/2. Die Ableitung von h(x) ist gleich -2 und die von g von h von x ist 1/2(2-2x)^-1/2 Insgesamt erhalten wir also u´(x)=g´(h(x))h'(x) . =1/2(2-2x)^-1/2 (-2) = -(2-2x)^-1/2

Nun haben wir u(x), u’(x),v(x), sowie v’(x) und können diese Ausdrücke in die Quotientenregel einsetzen. f’(x) ist also gleich (-(2-2x)^-1/2x2-(2-2x)1/22x)/ x4 , Nun kürzen wir ein x des Nenners mit einem x im Zähler, welches wir aus der Differenz ausmultiplizieren können. Wir erhalten -(2-2x)-1/2x-2(2-2x)1/2x3 . Diesen Ausdruck erweitern wir nun noch mit (2-2x) hoch (1/2) Wir erhalten im Zähler -x-2(2-2x ) und im Nenner x3(2-2x)1/2. Zum Schluss fassen wir den Zähler zusammen und wandeln den Potenzausdruck im Nenner wieder in einen Wurzelausdruck um. Wir erhalten letztlich: f´(x)=(3x-4)/ (x3 Wurzel 2-2x) Damit sind wir am Ende des Videos angelangt. Ich hoffe, dass du jetzt die Quotientenregel bei Funktionen mit Wurzelasdrücken anwenden kannst.

Ich heiße Michael und wünsche dir noch einen schönen Tag.

Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u\cdot v-u\cdot v'}{u^2}$.

    Zur Ableitung der Wurzelfunktion kannst du diese wie folgt schreiben:

    $\sqrt x=x^{\frac12}$.

    Lösung

    Es soll die Funktion

    $f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt x}$

    mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+$ unter Verwendung der Quotientenregel abgeleitet werden.

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$

    Hier ist

    • $u(x)=2x+2$ und $u'(x)=2$ sowie
    • $v(x)=\sqrt x=x^{\frac12}$. Damit ist $v'(x)=\frac12 x^{-\frac12}$.
    Also ist

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x^{\frac12}-(2x+2)\cdot \frac12\cdot x^{-\frac12}}{(\sqrt x)^2}\\ &=\frac{2x^{\frac12}-x^{\frac12}-x^{-\frac12}}{x}\\ &=\frac{x^{\frac12}-x^{-\frac12}}{x}&|&\cdot \frac{x^{\frac12}}{x^{\frac12}}\\ &=\frac{x-1}{x^{\frac32}}\\ &=\frac{x-1}{\sqrt{x^3}}. \end{align*}$

  • Beschreibe, wie die erste Ableitung der Funktion bestimmt werden kann.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Schreibe die Wurzel als Potenz:

    $\sqrt x=x^{\frac12}$.

    Erweitere bei der Ableitung mit $(2-2x)^{\frac12}$.

    Lösung

    Um die Funktion

    $f(x)=\frac{\sqrt{(2-2x)}}{x^2}$

    mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\{x\in\mathbb{R}|x\le1,~x\neq 0\}$ abzuleiten, werden zunächst die Ableitungen des Zählers sowie des Nenners benötigt:

    • $\left(\sqrt{(2-2x)}\right)'=\left((2-2x)^{\frac12}\right)'=-(2-2x)^{-\frac12}$ sowie
    • $(x^2)'=2x$.
    Nun kann die Quotientenregel angewendet werden:

    $\begin{align*} f'(x)& =\frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x^2-(2-2x)^{\frac12}\cdot 2x}{x^4} \\ & = \frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x-2(2-2x)^{\frac12}}{x^3} \end{align*}$

    Nun wird mit $(2-2x)^{\frac12}$ erweitert:

    $\begin{align*} f'(x)& = \frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x-2(2-2x)^{\frac12}}{x^3} &|&\cdot\frac{(2-2x)^{\frac12}}{(2-2x)^{\frac12}} \\ & = \frac{-x-2(2-2x)}{x^3\cdot (2-2x)^{\frac12}}\\ &=\frac{3x-4}{x^3\cdot \sqrt{(2-2x)}}. \end{align*}$

  • Untersuche den Definitionsbereich der Funktion.

    Tipps

    Die Wurzel ist nur für nicht-negative Radikanden definiert.

    Der Nenner muss ungleich $0$ sein.

    Löse die entsprechende Gleichung und schließt die Nennernullstelle aus.

    Lösung

    Der Definitionsbereich der Funktion

    $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{(x+1)^2}$

    soll bestimmt werden.

    • Zum einen darf der Term unter der Wurzel nicht negativ sein. Da $x^2+1$ immer größer ist als $1$, liegt im Zähler keine Einschränkung vor.
    • Zum anderen ist das Teilen durch $0$ nicht möglich. Also muss $(x+1)^2\neq 0$ sein. Dies ist äquivalent zu $x\neq -1$.
    Der Definitionsbereich ist gegeben durch $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Die erste Ableitung der Wurzel ist gegeben durch

    $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

    Um $\sqrt{x^2+1}$ abzuleiten, musst du zusätzlich die Kettenregel

    $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h(x)$

    verwenden.

    Die Ableitung des Nenners ist gegeben durch

    $((x+1)^2)'=2(x+1)$.

    Lösung

    Zunächst können von der Funktion

    $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{(x+1)^2}$

    sowohl die Ableitung des Zählers als auch die des Nenners berechnet werden. Diese sind:

    • $(\sqrt{x^2+1})'=\frac1{2\sqrt{x^2+1}}$ sowie
    • $((x+1)^2)'=2(x+1)$.
    Somit lässt sich die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel berechnen:

    $\begin{align*} f'(x)& =\frac{\frac x{\sqrt{x^2+1}}\cdot (x+1)^2-\sqrt{x^2+1}\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4} \\ & = \frac{\frac x{\sqrt{x^2+1}}\cdot (x+1)-\sqrt{x^2+1}\cdot2}{(x+1)^3} &|&\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \\ &=\frac{x\cdot (x+1)-2(x^2+1)}{(x+1)^3\cdot\sqrt{x^2+1} } \\ &=\frac{-x^2+x-2}{(x+1)^3\cdot\sqrt{x^2+1} }. \end{align*}$

  • Gib die Quotienten- und Kettenregel an.

    Tipps

    Du kannst dir die Quotientenregel in Worten merken:

    „... Ableitung des Zählers mal den Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner im Quadrat.“

    Du kannst dir die Kettenregel in Worten merken:

    „... die Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion.“

    Lösung

    Die Quotientenregel zur Ableitung der Funktion

    $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$,

    wobei $u$ und $v$ differenzierbare Funktionen sind und $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{x|v(x)=0\}$, lautet:

    $f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Die Kurzschreibweise lautet:

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

    Die Kettenregel zur Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

    $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$.

  • Werte die erste Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0=1$ aus.

    Tipps

    Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.

    Du kannst $f$ auch wie folgt umformen:

    $f(x)=\frac1{\sqrt x}$.

    Es gilt

    $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

    Lösung

    Die Funktion

    $f(x)=\sqrt{\frac1x}$

    kann wie folgt mit der Quotientenregel abgeleitet werden:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac1{2\sqrt{\frac1x}}\cdot \left( \frac 1x \right)'\\ &=\frac1{2\sqrt{\frac1x}}\cdot \left(-\frac1{x^2}\right)\\ &=-\frac1{2\sqrt{\frac1x}\cdot x^2}\\ &=-\frac1{2\sqrt{x^3}}. \end{align*}$

    In dieser Ableitung kann $x_0=1$ eingesetzt werden:

    $f'(1)=-\frac1{2\sqrt{1^3}}=-\frac12=-0,5$.

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