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Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen

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Die Autor/-innen
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Fritze Michael
Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen

Hallo, in diesem Video werden wir das Ableiten von Funktionen mit Hilfe der Quotientenregel üben. Dabei leiten wir zwei Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen gemeinsam und schrittweise ab. Anfangs werden wir wichtige Voraussetzungen wie die Quotientenregel und die Kettenregel wiederholen, da wir diese während des Ableitens schließlich anwenden. Viel Spaß beim Video!

Transkript Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen

Hallo, meine Name ist Michael. Heute wenden wir die Quotientenregel bei zwei Beispielen mit gebrochenrationalen Funktionen an. Für dieses Video solltest du wissen, was gebrochenrationale Funktionen sind. Du solltest auch die grundlegenden Ableitungsregeln und die Kettenregel kennen. Außerdem wiederholen wir die Quotientenregel noch einmal, sodass wir die Funktionen im ersten und zweiten Beispiel ableiten können. Am Ende werde ich die wichtigsten Punkte des Videos zusammenfassen. In diesem Video werden beide Beispielfunktionen gebrochenrationale Funktionen sein. Das bedeutet, dass im Nenner und im Zähler der Funktion ein Polynom steht . Bei unserem ersten Beispiel steht im Zähler ein Polynom zweiten Grades und im Nenner ein Polynom ersten Grades, da die größte Potenz im Zähler 2 ist und im Nenner 3.

Außerdem benötigen wir die grundlegenden Ableitungsregeln, um die Beispiele abzuleiten. So ist vor allem wichtig, dass du Terme wie 2x³ ableiten kannst. Also (2x³)'= 6x².

Des Weiteren wenden wir die Kettenregel an. Sie besagt Folgendes: Die Ableitung einer differenzierbaren verknüpften Funktion g von h von x ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion g mit der inneren Funktion h(x) als Argument, multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion h(x). Wiederholen wir nun die Quotientenregel in Kurzschreibweise. Bei der Quotientenregel betrachten wir eine Funktion f, die als Quotient bzw. Bruch zweier Funktionen u und v dargestellt werden kann. u und v sind an jeder Stelle im Definitionsbereich differenzierbare Funktionen und v muss für alle Werte im Definitionsbereich ungleich Null sein, da der Nenner eines Bruchs nicht Null werden darf. Die Quotientenregel in der Kurzschreibweise lautet: f'=(u/v)'= (u'v-uv')/ v²

Jetzt bist du gut gerüstet für unsere erste Beispielaufgabe. Wir wollen die gebrochenrationale Funktion f(x)=(6x²+4x-2)/ 4x³-6x²-8) ableiten. Dazu müssen wird zuerst den Definitionsbereich der Funktion bestimmen. Wie vorhin erwähnt, ist die Funktion überall dort in den Reelen Zahlen definiert, wo v ungleich Null. v ist der Nenner der Funktion, also 4x³-6x²-8, den wir mit Null gleichsetzen. Die Nullstellen von Polynomen dritten Grades sind nicht ohne weiteres bestimmbar. In unserem Fall kann man durch ausprobieren jedoch heraus finden, dass die Funktion eine Nullstelle bei x = 2 hat. Denn 42³-62²-8 ergibt 0. An der Stelle x=2 ist die Funktion also nicht definiert und unser Definitionsbereich lautet |D ={x |R ; x ungleich 2}

Kommen wir zur Ableitung. Im ersten Schritt vereinfachen wir die Funktion, indem wir im Zähler und Nenner mit 2 kürzen. Um nun die Ableitung f’(x) zu ermitteln, wenden wir die Quotientenregel an. u ist der Zähler der Funktion und v der Nenner. Eingesetzt in die Quotientenregel erhalten wir dafür also (siehe Video). Multiplizieren wir die Terme aus, erhalten wir (siehe Video). Zum Schluss fassen wir die Ausdrücke mit der selben Potenz zusammen und erhalten das Ergebnis. Damit haben wir unsere erste Beispielfunktion abgeleitet.

Unser zweites Beispiel wird etwas weniger aufwändig. Wir betrachten die Funktion. Als erstes vereinfachen wir die Funktion wieder. Wir kürzen aber nicht mit 3, was auch möglich wäre, sondern wir nutzen die zweite Binomische Formel a² -2a b+b²=(a-b)². Wenden wir diese im Nenner an. Bevor wir die vereinfachte Funktion ableiten, ist wieder der Definitionsbereich zu bestimmen. In diesem Fall kann man der Funktion sofort entnehmen, wo die Nullstelle des Nenners liegt:

Leiten wir das Beispiel nun ab. Die Ableitung f ’(x) werden wir mit Hilfe der Quotientenregel ermitteln. Als erstes betrachten wir den Zähler u und den Nenner v. Für die Ableitung des Nenners benötigen wir nun die Kettenregel: Die äußere Funktion und die Ableitung. Die innere Funktion und die Ableitung. Multiplizieren wir nun g ’ und h ’ miteinander.

Im nächsten Schritt setzen wir die Terme, so wie es in der Quotientenregel zu sehen ist, zusammen.

Den Ausdruck vereinfachen wir noch, indem wir ausklammern und mit dem restlichen Zähler multiplizieren. Nun können wir kürzen: fällt im Zähler weg und im Nenner wird aus der Potenz 4 eine 3. Jetzt multiplizieren wir die Klammer im Zähler noch aus. In einem letzten Schritt fassen wir dies zu unserem Ergebnis zusammen. Wie so häufig beim Ableiten müssen wir verschiedene Ableitungsregeln, aber auch andere mathematische Finessen berücksichtigen, um das richtige Ergebnis zu erhalten. So brauchen wir häufig die Quotientenregel und die Kettenregel. Wir sollten aber auch immer versuchen, Terme durch Kürzen, Erweitern oder das Anwenden der Binomischen Formeln bereits vor dem Ableiten zu vereinfachen. So kommen wir Schritt für Schritt zur richtigen Ableitung. Damit sind wir am Ende des Videos angelangt. Hoffentlich kommst du mit der Quotientenregel jetzt noch besser klar als vorher.

Ich heiße Michael und freue mich, wenn dir das Video weiter geholfen hat. Tschüss

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Im Eiltempo heruntergespult, ohne Gedankenpause
    und Erklärungen.Keinerlei Erläuterung der eizelnen
    Schritte.

    Von Hans S., vor fast 3 Jahren

Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Definitionsbereich der Funktion.

    Tipps

    Verwende die 2. binomische Formel

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    zur Umformung des Nenners.

    Eine Quotientenfunktion ist nicht definiert, wenn der Nenner $0$ wird.

    Anders ausgedrückt: Die Nennernullstellen müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

    Der Definitionsbereich ist in zwei verschiedenen Schreibweisen angegeben.

    Lösung

    Um den Definitionsbereich der Funktion

    $f(x)=\frac{3x^2}{9x^2-18x+9}$

    zu bestimmen, könnten mit Hilfe der p-q-Formel die Nennernullstellen berechnet werden. Bei genauerem Hinsehen kann man erkennen, dass sich im Nenner die 2. binomische Formel verbirgt.

    $9x^2-18+9=(3x-3)^2$.

    In dieser faktorisierten Schreibweise ist die Nullstelle des Nenners ablesbar. Diese ist $x=1$.

    Somit ist der Definitionsbereich dieser Funktion

    $\mathbb{D}_f=\{x\in\mathbb{R}|x \neq1\}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

  • Berechne die erste Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

    Die Nennerfunktion kann mit der Kettenregel

    $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

    abgeleitet werden.

    Die innere Funktion der Nennerfunktion ist $3x-3$ und die äußere ist das Quadrieren.

    Lösung

    Gegeben sei die Funktion

    $f(x)=\frac{3x^2}{(3x-3)^2}$.

    Diese soll abgeleitet werden. Um die Quotientenregel

    $\large{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}}$

    anzuwenden, müssen Zähler und Nenner abgeleitet werden:

    • $u(x)=3x^2$,
    • $u'(x)=6x$,
    • $v(x)=(3x-3)^2$, dies ist eine verkettete Funktion. Deshalb wird zur Ableitung die Kettenregel verwendet, wobei $3x-3$ die innere Funktion ist und das Quadrieren die äußere:
    • $v'(x)=2(3x-3)\cdot 3=6(3x-3)$.
    Nun kann die Quotientenregel angewendet werden:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{6x\cdot (3x-3)^2-3x^2\cdot 6(3x-3)}{(3x-3)^4}\\ &=\frac{(3x-3)\cdot(6x\cdot (3x-3)-18x^2)}{(3x-3)^4}\\ &=\frac{6x\cdot (3x-3)-18x^2}{(3x-3)^3}\\ &=\frac{18x^2-18-18x^2}{(3x-3)^3}\\ &=-\frac{18}{(3x-3)^3}. \end{align*}$

  • Leite die gebrochen rationale Funktion einmal ab und vereinfache so weit als möglich.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Die Ableitung des Nenners ist gegeben durch $2x$.

    Der Nenner wird nicht ausmultipliziert.

    Lösung

    Gegeben ist die Funktion

    $f(x)=\frac{3x-2}{x^2+1}$

    mit $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$.

    Um diese Funktion abzuleiten, wird die Quotientenregel verwendet:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    In diesem Beispiel ist

    • $u(x)=3x-2$ und $u'(x)=3$ sowie
    • $v(x)=x^2+1$ und $v'(x)=2x$.
    Nun kann die Quotientenregel angewendet werden:

    $f'(x)=\frac{3(x^2+1)-(3x-2)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$.

    Im Zähler können die Klammer ausmultipliziert und Terme mit gleicher Variable und Exponenten zusammengefasst werden:

    $f'(x)=\frac{3x^2+3-6x^2+4x}{(x^2+1)^2}=\frac{-3x^2+4x+3}{(x^2+1)^2}$.

    Im Nenner könnte sicher das Quadrat mit der 1. binomischen Formel ausgerechnet werden. Dies bringt jedoch nichts.

  • Entscheide, welche der Ableitungen richtig ist.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Vereinfache jeweils die Ableitung so weit als möglich.

    Achte darauf, dass die Reihenfolge im Zähler wichtig ist.

    Es sind zwei Ableitungen richtig.

    Lösung

    Bei jeder der folgenden Funktionen wird die Quotientenregel angewendet:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    • $f(x)=\frac{2x}{(x-1)^2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$:
    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2(x-1)^2-2x\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}\\ &=\frac{2(x-1)-4x}{(x-1)^3}\\ &=\frac{-2x-2}{(x-1)^3}. \end{align*}$

    • $f(x)=\frac{2x^2-1}{x}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$:
    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{4x\cdot x-(2x^2-1)\cdot 1}{x^2}\\ &=\frac{2x^2+1}{x^2}. \end{align*}$

    • $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$:
    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x\cdot(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{4x}{(x^2+1)^2}. \end{align*}$

    • $f(x)=\frac{x^2}{(x+1)^3}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$:
    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x\cdot(x+1)^3-x^2\cdot3\cdot(x+1)^2}{(x+1)^6}\\ &=\frac{2x\cdot(x+1)-3x^2}{(x+1)^4}\\ &=\frac{-x^2+2x}{(x+1)^4}. \end{align*}$

  • Ergänze die Erklärung zur Quotientenregel.

    Tipps

    Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, für welche $x$ die Funktion definiert ist.

    Der Wertebereich beinhaltet alle Funktionswerte, welche durch die Funktion angenommen werden.

    Du kannst dir die Quotientenregel in Worten behalten:

    „... Ableitung des Zählers mal den Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch Nenner im Quadrat.“

    Lösung

    Um die Quotientenregel auf die Funktion

    $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

    anwenden zu können, müssen

    • $u$ und $v$ auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbare Funktionen und
    • $v$ im gesamten Definitionsbereich ungleich $0$ sein.
    Dann ist:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

  • Gib die erste Ableitung so weit als möglich vereinfacht an.

    Tipps

    Die Ableitung des Nenners ist gegeben durch

    $\left((x-c)^n\right)'=n\cdot (x-c)^{n-1}$.

    Der Faktor $(x-c)^{n-1}$ kann gekürzt werden.

    Lösung

    Bei der Funktion

    $f(x)=\frac{ax+b}{(x-c)^n}$

    mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{c\}$ ist

    • die Ableitung des Zählers $(ax+b)'=a$ und
    • die des Nenners $\left((x-c)^n\right)'=n\cdot (x-c)^{n-1}$.
    Nun kann die Quotientenregel zur Ableitung der Funktion verwendet werden:

    $f'(x)=\frac{a\cdot (x-c)^n-(ax+b)\cdot n\cdot (x-c)^{n-1}}{x^2n}$.

    Der Faktor $(x-c)^{n-1}$ steht sowohl im Minuenden als auch im Subtrahenden und kann deshalb gekürzt werden:

    $f'(x)=\frac{a\cdot (x-c)-(ax+b)\cdot n}{(x-c)^{n+1}}$.

    Nun können noch die Klammern ausmultipliziert und die Terme zusammengefasst werden zu

    $f'(x)=\frac{a\cdot x-a\cdot c-a\cdot n\cdot x-b\cdot n}{(x-c)^{n+1}}=\frac{a\cdot (1-n)\cdot x-a\cdot c-b\cdot n}{(x-c)^{n+1}}$.

    Der Nenner bleibt in der Potenzschreibweise stehen.

    Allgemein kann festgestellt werden, dass durch Kürzen immer erreicht werden kann, dass der Nennerexponent um $1$ größer wird.

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