Quotientenregel – Herleitung

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Quotientenregel – Herleitung Übung
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Gib die Quotientenregel an.
TippsDie Quotientenregel kann mit der Produktregel und der Kettenregel hergeleitet werden.
Die Produktregel lautet in der Kurzschreibweise:
$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.
Die Kettenregel lautet:
$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.
Es gilt:
$\left(\frac1x\right)'=-\frac2{(v(x))^2}$.
LösungDie Regel, um einen Quotienten aus zwei Funktionen
$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$
abzuleiten, lautet:
$f'(x_0)=\frac{u'(x_0)\cdot v(x_0)-u(x_0)\cdot v'(x_0)}{(v(x_0))^2}$,
dabei
- müssen $u$ und $v$ differenzierbare Funktionen und
- $u(x_0)\neq$ sein.
$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.
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Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f$.
TippsVerwende die Quotientenregel:
$\large{\left(\frac uv\right)'=\frac{u\cdot v-u\cdot v'}{u^2}}$.
Vereinfache den Term so weit als möglich.
LösungDie Funktion
$f(x)=\frac{2x^2}{3x-1}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac13\right\}$,
soll abgeleitet werden. Hierfür kann die Quotientenregel, in Kurzschreibweise:
$\large{\left(\frac uv\right)'=\frac{u\cdot v-u\cdot v'}{u^2}}$
verwendet werden. Es ist:
- $u=2x^2$ und damit $u'=4x$ sowie
- $v=3x-1$ und damit $v'=3$.
$\begin{align*} f'(x)&=\frac{4x\cdot(3x-1)-2x^2\cdot 3}{(3x-1)^2}\\ &=\frac{12x^2-4x-6x^2}{(3x-1)^2}\\ &=\frac{6x^2-4x}{(3x-1)^2}. \end{align*}$
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Leite die Funktion einmal ab.
TippsDu kannst dir die Quotientenregel auch in Worten merken: „... Ableitung der Zählers mal den Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch Nenner im Quadrat.“
Achte darauf, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer in der Klammer jedes Vorzeichen vertauscht.
Du kannst den Nenner in der Form $(u(x))^2$ stehen lassen und musst diesen nicht ausmultiplizieren.
LösungUm die Quotientenregel anzuwenden, wird die Ableitung sowohl des Zählers als auch des Nenners der Funktion
$f(x)=\frac{3x^2+2}{x^2+1}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$
benötigt. Diese sind
- $(3x^2+2)'=6x$ sowie
- $(x^2+1)'=2x$.
$\begin{align*} f'(x)&=\frac{6x\cdot (x^2+1)-(3x^2+2)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{12x^2+6x-6x^2-4x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{6x^2+2x}{(x^2+1)^2}. \end{align*}$
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Entscheide, ob die Ableitung richtig ist oder falsch.
TippsVerwende die Quotientenregel:
$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.
Vereinfache den jeweiligen Term so weit als möglich.
Es gilt:
$\left((x+1)^2\right)'=2(x+1)$.
Zwei der vier Ableitungen sind richtig.
LösungBei jeder der Funktionen wird die Quotientenregel angewendet:
$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.
Betrachten wir zunächst die Ableitung der Funktion
$f(x)=\frac{2x-1}{x^2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$:
$\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x^2-(2x-1)\cdot 2x}{x^4}\\ &=\frac{-2x^2+2x}{x^4}\\ &=\frac{-2x+2}{x^3}. \end{align*}$
Nun die Ableitung der zweiten Funktion:
$f(x)=\frac{2x-1}{x}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$:
$\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x-(2x-1)\cdot 1}{x^2}\\ &=\frac{1}{x^2}. \end{align*}$
Es folgt die Ableitung von
$f(x)=\frac{2x-1}{x^2+2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$:
$\begin{align*} f'(x)&=\frac{2(x^2+2)-(2x-1)\cdot 2x}{(x^2+2)^2}\\ &=\frac{-2x^2+2x+4}{(x^2+2)^2}. \end{align*}$
Bei der Funktion
$f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$:
$\begin{align*} f'(x)&=\frac{2(x+1)^2-2x\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4}\\ &=\frac{2(x+1)-4x}{(x+1)^3}\\ &=\frac{-2x+2}{(x+1)^3}. \end{align*}$
müssen wir zusätzlich die Kettenregel $\left((x+1)^2\right)'=2(x+1)$ verwenden sowie mit dem Faktor $x+1$ kürzen.
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Ergänze die Produktregel.
TippsEin Spezialfall der Produktregel ist die Faktorregel:
$(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x)$.
Die Reihenfolge bei der Produktregel ist, anders als bei der Quotientenregel, nicht von Bedeutung.
Es ist egal, ob du $u\cdot v$ oder $v\cdot u$ ableitest.
LösungDie Regel, um ein Produkt aus zwei Funktionen
$f(x)=u(x)\cdot v(x)$
abzuleiten, lautet:
$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$.
Die Kurzschreibweise lautet:
$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.
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Gib eine Formel an, um Funktionen der Form $f(x)=\frac1{(ax+b)^n}$ abzuleiten.
TippsDu kannst entweder die Funktion mit negativem Exponenten schreiben und die Kettenregel anwenden oder die Quotientenregel und die Kettenregel anwenden.
Die Ableitung einer Konstanten ist $0$.
Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.
LösungBei der Funktion
$f(x)=\frac1{(ax+b)^n}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac ba\right\}$
ist
- der Zähler $1$ und somit dessen Ableitung $0$ sowie
- der Nenner $(ax+b)^n$ und dessen Ableitung $n\cdot (ax+b)^{n-1}\cdot a$ nach der Kettenregel.
$f'(x)=\frac{0\cdot (ax+b)^n-1\cdot n\cdot (ax+b)^{n-1}\cdot a}{\left((ax+b)^n\right)^2}$.
Nun können zum einen Potenzregeln angewendet sowie gekürzt werden zu:
$f'(x)=\frac{- n\cdot (ax+b)^{n-1}\cdot a}{(ax+b)^{2n}}=-\frac{a\cdot n}{(ax+b)^{n+1}}$.
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