Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus
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Grundlagen zum Thema Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus
Trigonometrische Funktionen – Definition
Die beiden Funktionen $f(x)=\sin(x)$ und $f(x)=\cos(x)$ sind trigonometrische Funktionen. Der Verlauf beider Funktionen ist prinzipiell sehr ähnlich: Die Werte beider Funktionen liegen zwischen $1$ und $-1$. Beide Funktionen sind sogenannte periodische Funktionen mit der Periode $2\pi$. Die Sinusfunktion startet jedoch bei $0$ für $x=0$. Die Cosinusfunktion hingegen ist um $\frac{\pi}{2}$ beziehungsweise $90^\circ$ verschoben.
Sinus und Cosinus ableiten
Um trigonometrische Funktionen ableiten zu können, schaut man sich am besten die Steigung der Tangente an einer beliebigen Stelle der Funktion an. Das hilft, da die Ableitung einer beliebigen Stelle $x$ nichts anderes ist als die Steigung der Tangente im Punkt $(x\vert f(x))$.
Ableitung: Sinus
Im Bild zu sehen sind Tangenten an den Punkten $(0 \vert 0)$, $(\frac{1}{2}\pi \vert 1)$, $(\pi \vert 0)$ und $(\frac{3}{2}\pi \vert -1)$. Zudem geben die blauen Punkte die jeweilige Steigung der Tangenten in den besagten Punkten an. Somit ergibt sich für $f(x)=\sin(x)$:
- $f’(0)=1$
- $f’(\frac{1}{2}\pi)=0$
- $f’(\pi)=-1$
- $f’(\frac{3}{2}\pi)=0$
- $f’(2\pi)=1$
Es ist zu sehen, dass dies die Funktionswerte der Cosinusfunktion sind. Damit ergibt sich:
$f(x)=\sin(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=\cos(x)$
Ableitung: Cosinus
Im Bild zu sehen sind Tangenten an den Punkten $(0 \vert 1)$, $(\frac{1}{2}\pi \vert 0)$, $(\pi \vert -1)$, $(\frac{3}{2}\pi \vert 0)$ und $(2\pi \vert 1)$. Zudem geben die roten Punkte die jeweilige Steigung der Tangenten in den besagten Punkten an. Somit ergibt sich für $f(x)=\cos(x)$:
- $f’(0)=0$
- $f’(\frac{1}{2}\pi)=-1$
- $f’(\pi)=0$
- $f’(\frac{3}{2}\pi)=1$
- $f’(2\pi)=0$
Es ist zu sehen, dass dies die Funktionswerte der Sinusfunktion sind, die an der $x$-Achse gespiegelt wurde. Damit ergibt sich:
$f(x)=\cos(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=-\sin(x)$
Ableitungsregeln:
Folgende Ableitungsregeln für die Sinus- und Cosinusfunktion lassen sich somit aufstellen:
- $f(x)=\sin(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=\cos(x)$
- $f(x)=\cos(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=-\sin(x)$
Ferner gilt:
- $f(x)=-\sin(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=-\cos(x)$
- $f(x)=-\cos(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=\sin(x)$
Das kann man sich mit folgendem Kreislauf merken:
Trigonometrische Funktionen ableiten – Beispiele
Gesucht ist die Ableitung der Funktion $f(x)=-9\sin(x)$
- Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$.
- Es ergibt sich: $f(x)=-9\sin(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=-9\cos(x)$
Folgende Funktion soll ebenfalls abgeleitet werden: $f(x)=5x-\cos(x)$
- Die Ableitung von $5x$ ist $5$.
- Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.
- Es ergibt sich: $f(x)=5x-\cos(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=5+\sin(x)$
Die Ableitung der Funktion $f(x)=3\sin(x)+\frac{1}{2}\cos(x)$ ist zu ermitteln.
- Die Ableitung von $3\sin(x)$ ist $3\cos(x)$.
- Gleichermaßen ist die Ableitung von $\frac{1}{2}\cos(x)$ nach den Ableitungsregeln $-\frac{1}{2}\sin(x)$.
- Es ergibt sich: $f(x)=3\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x)$ $~\Rightarrow~$ $f’(x)=3\cos(x)-\frac{1}{2}\sin(x)$
Trigonometrische Funktionen ableiten – Anwendung: Schwingungen
Trigonometrische Funktionen finden vor allem in der Physik Anwendung. Mit ihnen lassen sich harmonische Schwingungen beschreiben. Mithilfe der Ableitungen der Funktionen können Geschwindigkeit und auch Beschleunigung der Schwingungen berechnet werden.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus
Transkript Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus
Hallo. In diesem Video geht es um die Ableitung trigonometrischer Funktionen. Wir beschäftigen uns heute mit dem Ableiten der Funktionen f(x) = sin(x) und f(x) = cos(x). Trigonometrische Funktionen und auch den Ableitungsbegriff kennst Du ja bereits. Im Folgenden werden wir beides zusammenbringen. Zunächst werden wir uns den Verlauf der beiden Funktionen f(x) = sin(x) und f(x) = cos(x) in Erinnerung rufen. Dann werden wir quasi experimentell herausfinden, wie die Ableitungen dieser Funktionen aussehen. Unsere Überlegungen münden in zwei Ableitungsregeln, die man sich gut einprägen kann und die man am besten nie mehr vergisst. An einigen Beispielen werden wir diese Regeln üben. Die beiden Graphen der trigonometrischen Funktionen sin(x) und cos(x) haben den prinzipiell gleichen Verlauf. Ihre Werte liegen zwischen 1 und -1. Es sind periodische Funktionen mit der Periode 2π. Allerdings sind Sinus und Kosinus gegeneinander verschoben. Das heißt, die Sinusfunktion startet bei null für x = 0, erreicht dann bei x = (1/2)π den Hochpunkt, schneidet die x-Achse bei der Nullstelle x = π, erreicht den Tiefpunkt bei x = (3/2)π und schneidet die x-Achse erneut bei 2π. Hier beginnt eine neue Periode. Die Kosinusfunktion ist dazu um π/2 beziehungsweise 90° verschoben. Sie startet also mit einem Hochpunkt bei eins für x = 0, hat Nullstellen bei 1/2π und 3/2π, dazwischen liegt bei π ein Tiefpunkt. Und am Ende der Periode gilt wieder cos(2π) = 1. Wie kommen wir nun zu den Ableitungen von Sinus und Kosinus? Beginnen wir mit der Sinusfunktion und legen uns an bestimmten Stellen eine Tangente an, denn die Ableitung an einer beliebigen Stelle x ist ja die Steigung der Tangente im zugehörigen Punkt f(x). Bei x = 0 ist sie etwa eins, beim Hochpunkt (1/2)π dann null, bei π etwa -1, beim Tiefpunkt bei (3/2)π wieder null und bei 2π wieder eins. Das sind genau die Funktionswerte der Kosinusfunktion. Es drängt sich der Verdacht auf, die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Die Funktionsvorschrift würde dann f'(x) = cos(x) lauten. Folgen wir nun dem Verlauf der Kosinusfunktion. Beim Hochpunkt bei x = 0 ist die Steigung null, bei (1/2)π etwa -1, beim Tiefpunkt bei π wieder null, bei (3/2)π wieder eins und bei 2π noch einmal null. Das sind genau die Funktionswerte einer Sinusfunktion, die an der x-Achse gespiegelt wurde. Hier drängt sich also der Verdacht auf, die Ableitung der Kosinusfunktion ergibt die Sinusfunktion, allerdings an der x-Achse gespiegelt. Die Funktionsvorschrift würde dann f'(x) = -sin(x) lauten. In der Tat, auch eine streng mathematische Vorgehensweise führt auf die beiden Ableitungsregeln. Die Ableitung von f(x) = sin(x) ist f'(x) = cos(x). Und die Ableitung von f(x) = cos(x) ist f'(x) = -sin(x). Diese Regeln braucht Ihr immer wieder. Also ab damit ins Gedächtnis. Wir schauen uns drei Beispiele an. f(x) = -9 * sin(x). Der Koeffizient -9 bleibt erhalten beim Ableiten. Aus sin(x) wird cos(x), also ist f'(x) = -9 * cos(x). Zweites Beispiel: f(x) = 5x - cos(x). Die Ableitung von 5x ist 5. Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x). Also f'(x) = 5 + sin(x). Nun das letzte Beispiel: f(x) = 3 * sin(x) + 1/2 * cos(x). Drei und 1/2 bleiben jeweils beim Ableiten erhalten. Aus sin(x) wird cos(x) und aus cos(x) -sin(x). Also f'(x) = 3 * cos(x) - 1/2 * sin(x). Wir haben zwei wichtige Ableitungsregeln gelernt. Die Ableitung von f(x) = sin(x) ist f'(x) = cos(x). Die Ableitung von f(x) = cos(x) ist f'(x) = -sin(x). Tschüss und bis zum nächsten Mal.
Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus Übung
-
Gib jeweils die Ableitung der Funktionsgleichung $f(x)$ an.
TippsKoeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten.
Leite jede Gleichung einzeln ab.
Achte auf die Vorzeichen!
Die Ableitung der Funktionsgleichung $f(x)=sin(x)$ lautet $f'(x)=cos(x)$.
Die Ableitung der Funktionsgleichung $f(x)=cos(x)$ lautet $f'(x)=-sin(x)$.
LösungWir gehen die Funktionen einzeln durch und bestimmen ihre Ableitungen:
- $f(x) = -9\cdot sin(x)$: Der Koeffizient $-9$ bleibt erhalten und die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Daher lautet die Ableitung insgesamt; $f'(x)=-9 \cdot cos(x)$
- $f(x)=5x-cos(x)$: Hier wird jeder Term einzeln abgeleitet. Die Ableitung von $5x$ ist $5$, die Ableitung von $cos(x)$ ist $-sin(x)$. Die Ableitung lautet insgesamt also $f'(x) = 5 + sin(x)$.
- $f(x)=3\cdot sin(x) + \frac{1}{2}\cdot cos(x)$: Der Koeffizient $3$ bleibt erhalten. Die Ableitung lautet insgesamt also: $f'(x)=3\cdot cos(x) - \frac{1}{2} \cdot sin(x)$.
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Beschreibe den Verlauf der beiden Funktionen.
TippsSieh in der Abbildung nach, zwischen welchen $y$-Werten sich der Graph bewegt.
An welchen Stellen haben die Graphen besondere Merkmale wie Hoch- oder Tiefpunkte und Nullstellen?
Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der $x$-Achse.
LösungDie beiden Funktionen $f(x)=sin(x)$ und $f(x)=cos(x)$ sehen vom Verlauf her fast gleich aus: Sie sind nur gegeneinander verschoben. Ihre Funktionswerte liegen zwischen den Werten $-1$ und $1$, das kannst du in der Grafik gut erkennen. Beide Funktionen sind periodische Funktionen mit der Periodenlänge von $2\pi$. Das bedeutet, der Funktionsverlauf wiederholt sich regelmäßig nach $2\pi$.
Wenn du die Graphen genauer anschaust, erkennst du Folgendes: Der Funktionsgraph der Sinusfunktion startet bei $0$ für $x=0$ und erreicht bei $x=\frac{1}{2} \pi$ den Hochpunkt. Dann schneidet er die $x$-Achse bei $x=\pi$. Dort besitzt die Funktion also eine Nullstelle. Der Graph erreicht den Tiefpunkt bei $x= \frac{3}{2} \pi$ und schneidet die $x$-Achse erneut bei $x=2 \pi$. Hier beginnt eine neue Periode.
Der Graph der Kosinusfunktion ist dazu um $\frac{1}{2} \pi$ verschoben.
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Wende die Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen auf die Funktionsgleichung $g(x)$ an.
TippsWie lauten die Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen $sin(x)$ und $cos(x)$?
Koeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten.
Was passiert beim Ableiten mit einem konstanten Term?
Achte auf die Vorzeichen!
LösungUm die Ausgangsfunktion $g(x) = -3\cdot sin(x)+cos(x)+5$ abzuleiten, gehe folgendermaßen vor:
- Der Koeffizient $-3$ bleibt beim Ableiten erhalten.
- Aus $sin(x)$ wird $cos(x)$, aus $cos(x)$ wird hingegen $-sin(x)$.
- Der Summand $+5$ fällt beim Ableiten weg.
$g'(x)=-3\cdot cos(x)-sin(x)$.
-
Bestimme die Ableitungen der gegebenen Funktionen.
TippsKoeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten.
Der Graph der Ableitung von $cos(x)$ sieht genau so aus wie der an der $x$-Achse gespiegelte Graph von $sin(x)$.
Leite jeden Term einzeln ab.
Achte auf die Vorzeichen!
LösungAllgemein gilt: Die Ableitung von $f(x)=sin(x)$ ist $f'(x)=cos(x)$ und die Ableitung von $f(x)=cos(x)$ ist $f'(x)=-sin(x)$.
Koeffizienten bleiben jeweils erhalten, konstante Terme fallen beim Ableiten hingegen weg.
Für $f(x)= 12\cdot sin(x)+5\cdot x$ teilst du die Gleichung in die Terme $12\cdot sin(x)$ und $5\cdot x$ und leitest einzeln ab.
Im ersten Term bleibt der Koeffizient erhalten; $sin(x)$ leitest du zu $cos(x)$ ab. Die Ableitung des Terms lautet also $12\cdot cos(x)$.
Den zweiten Term kannst du bereits schon länger ableiten; die Ableitung lautet $5$.
Für $f(x)= 12\cdot sin(x)+5\cdot x$ ist die Ableitung also $f'(x)= 12\cdot cos(x)+5$.
Gehe so auch für die anderen Funktionsgleichungen vor.
-
Prüfe, welche Aussagen stimmen.
TippsSkizziere dir den Verlauf der Sinus- und der Kosinusfunktion.
In einer Periode liegen jeweils zwei Nullstellen, ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt.
Der Graph der Ableitung von $f(x)=cos(x)$ sieht aus wie der an der $x$-Achse gespiegelte Graph von $f(x)=sin(x)$.
LösungDie Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion sehen fast gleich aus. Allerdings sind sie auf der $x$-Achse gegeneinander verschoben. Daher verschieben sich auch Hoch- und Tiefpunkte sowie Nullstellen: Die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen genau bei den Hoch- und Tiefpunkten der Sinusfunktion (und anders herum).
Bei Hoch- und Tiefpunkten von Funktionen ist die Steigung gleich Null. Daher haben Funktionsgraphen in diesem Punkt eine waagerechte Tangente.
Die Ableitung von $f(x)=sin (x)$ lautet $f' (x)=cos(x)$. Die Ableitung von $f(x)=cos (x)$ sieht aus wie der an der $x$-Achse gespiegelte Graph von $f(x)=sin(x)$. Sie lautet $f' (x)=-sin(x)$.
-
Berechne jeweils die Steigung des Graphen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ an der Stelle $x=\pi$.
TippsWie hängen die Steigung einer Funktion und die erste Ableitung dieser Funktion zusammen?
Welchen Wert musst du in die Ableitung der Funktionsgleichung einsetzen?
Achte auf die Vorzeichen!
Koeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten!
Die Ableitung der Funktion $f(x)=cos(x)$ ist $f'(x)=-sin(x)$.
LösungUm die Steigung einer Funktion an einer Stelle bestimmen zu können, bilden wir die erste Ableitung der Funktionsgleichung.
Die erste Ableitung von $f(x)=-8\cdot sin(x)$ lautet $f'(x)=-8\cdot cos(x)$.
Die erste Ableitung von $g(x)=3+cos(x)$ lautet $g'(x)=-sin(x)$.
Die erste Ableitung von $h(x)=4x-sin(x)$ lautet $h'(x)=4-cos(x)$.
Um nun jeweils die Steigung an der Stelle $x=\pi$ bestimmen zu können, setzen wir $x=\pi$ in die erste Ableitung ein:
$f'(\pi)=-8\cdot cos(\pi)=-8\cdot (-1)=8$,
$g'(\pi)=-sin(\pi)=0$ und
$h'(\pi)=4-cos(\pi)=4-(-1)=5$.
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@Ayhan Zorlu Ü.:
Schaue dir nochmal die Kosinusfunktion genauer an. Es ist cos(0)=1, cos(pi/2)=0 und cos(pi)=-1.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Sehr gut hat mir gut geholfen :)
Bei der letzten Bonusaufgabe:
h(x)=4x-sin(x)
h^(x)=4-cos(x)
und wenn man Pi einsetzt kommt doch 3 raus, weil cos(pi)=1, nicht -1. und -cos(pi)= -1
Vielen Dank ist sehr lehrreich :)
Sehr gut! So müssten alle Videos sein (qualitativ und angenehme Stimme).
Manchmal klingt deine Stimme wie die eines Hörbuchsprechers, der gerade einen spannenden Krimi vorträgt. Du verklickerst dafür mit großem Enthusiasmus mathematische Erkenntnisse. Bei dir habe ich in jedem Video ein Aha-Erlebnis! Übrigens habe ich zu Schulzeiten die Ableitungsregeln "stumpf auswendig" gelernt - bei dir erfahre ich nun alles über das WARUM? ... Und genau ab diesem Moment fängt Mathe an, spannend zu werden! Danke, liebes Mathe Team!!!