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Ableitung der Umkehrfunktion 19:32 min

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Transkript Ableitung der Umkehrfunktion

Hallo. Unser heutiges Thema ist die “Ableitung der Umkehrfunktion”. Wir wollen zunächst wiederholen, wie man aus einer gegebenen Funktion die Umkehrfunktion erstellt. Dann wollen wir eine erste Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion herstellen und da es eine erste Formel gibt, wollen wir auch noch eine zweite Formel herstellen, dann alles was wir gelernt haben wiederholen. Wenn ein Amerikaner nach Europa kommt, dann sollte er, wenn er Temperaturen hier sich anschauen will, dann sollte er wissen, wie er aus Grad Celsius (°C) Grad Fahrenheit (°F) herstellt. Umgekehrt solltest du, wenn du nach Amerika fährst aus °F °C herstellen. Und genau mit diesem Zusammenhang zweier Funktionen wollen wir uns heute beschäftigen. Also eine Funktion und eine entsprechende Umkehrfunktion und dies bezogen auf den Zusammenhang zwischen °C und °F. Für den Zusammenhang von °C und °F gibt es eine einfache Formel. Diese lautet: f: y= f(x) = 1,8x + 32. Hier ist also einem x in °C ein y in °F zugeordnet. x→y °C→°F. Diesen Zusammenhang kann man sich in Form einer Wertetabelle einmal anschauen. Und diese Wertetabelle sieht in einer einfachen Form so aus, dass wir hier die Eingangsgröße x in °C und hier die AUsgangsgröße y in °F. Wir wählen der Einfachheit halber relativ einfache Werte. Also °C -10, 0 und 10 Grad. Wenn wir diese Werte in die Ausgangsformel einsetzen erhalten wir °F. Bei -10° C gewinnen wir 14° F, bei 0°C 32° F und bei 10° C gewinnen wir 50° F. Wenn wir diese Tabelle graphisch darstellen, dann erhalten wir hier in einem x-y-Koordinatensystem den entsprechenden Graf, der diese Funktion widerspiegelt. Wollen wir uns jetzt mit der anderen Form der Umrechnung nämlich °F in °C befassen, dann fällt uns hier auf, dass wir in dieser Wertetabelle, die Werte entsprechend vertauschen. Dann gewinnen wir folgenden Zusammenhang. Oben °F und unten °C und übernehmen einfach die Werte. 14° F entsprechen -10° C, 32° F 0° C und 50° F 10° C. Auch dies können wir wieder in dem Koordinatensystem eintragen. Wir haben die Funktionsvorschrift noch zu erstellen für diese Umkehrfunktion. Der Graph ist hier schonmal dargestellt. Wenn wir uns die beiden Wertetabellen einmal ansehen, sehen wir hier sofort, dass zum Beispiel in dem Graph der Darstellung °C → °F der Punkt P(10/50) dem Punkt P‘ mit den Koordinaten (50/10) entspricht. Oder ein Punkt Q mit den Koordinaten (0/32) dem Punkt Q‘(32/0). Wir können uns diese beiden Wertetabellen nochmal in diesem Koordinatensystem ansehen und stellen fest, dass wir wenn wir diese Funktion hier zeichnen einen Zusammenhang bekommen, der in diesem x-y-Koordinatensystem dargestellt ist und da jetzt die °F auf der x-Achse abzulesen sind und die °C auf der y-Achse müssen wir auch hier die entsprechenden Variablen wählen. Das ist dann x in °F und y in °C. Und das ist auch hier durch diese Zuordnung wiedergegeben. Wir sind also jetzt in der Lage, uns die Funktion anzuschauen und die entsprechende Umkehrfunktion und die wollen wir mit f-1 bezeichnen. Das finden wir in der graphischen Darstellung wieder. Wir haben jetzt unsere nächste Aufgabe. Wir wollen die Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion ermitteln. Aus dem Elementarunterricht wissen wir, wie das vor sich geht. Wir nehmen die Ursprungsfunktion. Hier vertausche ich einfach die beiden Seiten, das ist hier möglich. 1,8x + 32 = y. Nun müssen wir diese Gleichung nach x auflösen. Wir subtrahieren auf beiden Seiten 32. Das gibt 1,8 x = y – 32 Und wir dividieren jetzt beide Seiten durch 1,8 und gewinnen: x = (1/1,8)y – 32/1,8. Um jetzt zur Umkehrfunktion selber zu kommen, werden als nächster Schritt die beiden Variablen vertauscht und wir gewinnen dann y = (1/1,8)x – 32/1,8. Das wäre also die Umkehrfunktion in der üblichen Darstellung y(x). Wir notieren uns ganz kurz wie also eine Umkehrfunktion aus einer gegeben Funktion hergestellt wird. Die Prozedur lautet dann in verkürzter Fassung so. Erster Schritt: Auflösung der gegebenen Funktion y = f (x) nach der Variablen x. Das haben wir hier gemacht und im zweiten Schritt erfolgt ein Variablen-Tausch. Damit haben wir noch einmal die Prozedur zur Herstellung einer Umkehrfunktion behandelt. Da wir die Ableitung der Umkehrfunktion uns angucken wollen, müssen wir uns die Anstiege der gegebenen und der Umkehrfunktion anschauen. Und das wollen wir im nächsten Schritt tun. Betrachten wir also nochmal unsere Funktion f: y= f(x) = 1,8x + 32 und die entsprechende Umkehrfunktion f-1: y = f-1(x) = (1/1,8)x – 32/1,8 Diese beiden Funktionen sehen wir in dem Koordinatensystem, wobei zu beachten ist, dass die Umkehrfunktion und die Funktion f jeweils an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten an der Gleichung y = x und der entsprechenden Funktion, die hier dargestellt ist, gespiegelt sind. Und wir sehen auch da noch einmal die Punkte, die wir vorhin heraus gegriffen haben, wie sie hier auf den entsprechenden Graphen gespiegelt sind und mit ihren x- und f(x)-Koordinaten an der x- und y-Achse zu verfolgen sind. Wir betrachten jetzt die Steigung unserer Funktion. Wir finden hier bei der Originalfunktion die Steigung 1,8 und bei der Umkehrfunktion die Steigung 1/1,8. Die übliche Darstellung ist wie in einer allgemeinen Form y= mx + m. So steht das m für die Steigung. Wir wissen aus dem Elementarunterricht, dass die Steigung zusammenhängt mit der Ableitung der Funktion. Und wir notieren für diesen Fall m = f‘(x) = 1,8 und für die Umkehrfunktion wählen wir die Bezeichnung m‘. Das wäre dann f-1’(x) = 1/1,8. An dieser Stelle möchte ich nochmal darauf verweisen, dass das Ganze ja nur dann funktioniert, wenn die Umkehrfunktion zur gegeben Funktion überhaupt existiert. Dann als weiteres müssen wir voraussetzen, dass die Ableitungen der entsprechenden Funktionen existieren und in dem betrachteten Bereich ungleich null sind. Wenn wir jetzt diese Steigerung uns anschauen, dann stellen wir fest, wenn wir m und m‘ miteinander multiplizieren, also (1,8)×(1/1,8), dann kommt 1 raus. Und dieser Zusammenhang notieren wir mal hier. m×m‘=1. Dieser Zusammenhang gilt allgemein und wir formen ihn einfach mal um. m=1/m‘ und wenn wir hier die entsprechenden Ausdrücke einsetzen, gewinnen wir hier eine Funktionsvorschrift, die wir entsprechend mal hier notieren. Nach Einsetzen der Terme, die wir hier haben f‘(x) = 1/(f-1’(f(x)) und zwar jetzt an der Stelle, das kann man aus der graphischen Darstellung entnehmen, an der Stelle f(x). Und das ist auch schon die erste Fassung der gesuchten Umkehrregel. Wenn wir diese Formel nach m‘ auflösen, gewinnen wir 1/m und setzen wir auch hier die entsprechenden Terme ein, so entsteht - m’ sehen wir hier - das ist f-1’(x) = 1/(f’(f-1(x))). Und da müssen wir das entsprechende m also f’ einsetzen, f’ von - und jetzt ist es wichtig, dass wir die Stelle f-1(x) wählen, sodass wir hier die vollständige Formel notiert haben. Und das ist die zweite Fassung unserer gesuchten Ableitung der Umkehrfunktion. Nun, was bringt uns das Ganze, das wollen wir an einem Beispiel sehen. Wir sehen ja hier, dass die Ableitung der gegeben Funktion zusammenhängt mit der Ableitung der Umkehrfunktion oder anders rum: Die Ableitung der Umkehrfunktion hängt zusammen mit der Ableitung der gegebenen Funktion. Ein Beispiel soll uns das Ganze verdeutlichen. Wählen wir als Beispiel einmal die Funktion f(x) = ∛x. Das ist ja eine recht komplizierte Funktion. Angenommen wir kennen die Ableitung der dritten Wurzel von x noch nicht, aber wir wissen, dass die Umkehrfunktion von f(x) lautet: f-1(x) = x3. Und die Ableitung dieser Funktion ist wesentlich einfacher als diese. Wir leiten mal die Umkehrfunktion ab f-1‘(x) = 3x2. Und jetzt wählen wir mal die erste Fassung unserer Regel, also f‘(x) = 1/(f-1’(f(x)) und setzen jetzt einfach diese Terme, die wir hier gewonnen haben ein. Dann ist das 1/f-1’(∛x) und wenn wir dies hier durch diesen Term hier ersetzen, gewinnen wir 1/(3×(∛x)2). Und das ist die gesuchte Ableitung dieses Terms. Ich denke diese Art der Ableitung ist einfacher als die Anwendung der entsprechenden Regel, die hier notwendig ist. Das wäre ein Beispiel für die Anwendung der ersten Fassung der Ableitung der Umkehrfunktion. Was haben wir heute gelernt? Nun wir haben wiederholt, wie eine Umkehrfunktion aus einer gegebenen Funktion abgeleitet wird. Und dann haben wir aus dem Zusammenhang von Funktion und Umkehrfunktion, die im Koordinatensystem an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten gespiegelten einen Zusammenhang zwischen den Steigungen hergeleitet und aus der Umformulierung der entsprechenden Formel m‘ gleich eins haben wir eine erste Fassung der Umkehrformel für die Ableitung der Umkehrfunktion hergestellt. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen erfolgt aus der graphischen Darstellung. Hier in allgemeiner Form zwischen f(x) und f-1(x). Die Umformung dieser Formel nach den anderen Variablen ergab die zweite Fassung der Ableitung der Umkehrfunktion. Zum Schluss haben wir eine Anwendung der ersten Fassung der Ableitung der Umkehrfunktion als Beispiel gelehrt. Das war es für heute. Ich hoffe, wir sehen uns beim nächsten Video, das weitere Bespiele zu diesem Thema enthält. Wiedersehen.

Ableitung der Umkehrfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung der Umkehrfunktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse zusammen, wie eine Umkehrfunktion hergeleitet wird.

    Tipps

    Die Funktion $y=f(x)$ stellt $y$ in Abhängigkeit von $x$ dar.

    Wie kann man $x$ in Abhängigkeit von $y$ darstellen?

    Wenn $x$ in Abhängigkeit von $y$ dargestellt wird, hast du eine Funktion $g(y)$.

    Normalerweise werden Funktionen in Abhängigkeit der Variablen $x$ aufgeschrieben.

    Lösung

    Durch die Funktion $y=f(x)$ wird $y$ in Abhängigkeit von $x$ dargestellt. Um umgekehrt, sofern möglich, $x$ in Abhängigkeit von $y$ darzustellen, wird

    • zunächst die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ aufgelöst.
    • Bei der so erhaltenen Gleichung werden die Variablen $x$ und $y$ getauscht.

  • Schildere, wie die Ableitung der Umkehrfunktion berechnet werden kann.

    Tipps

    Das allgemeine Vorgehen ist:

    • Man löst die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ auf.
    • Bei der so erhaltenen Gleichung werden die Variablen $x$ und $y$ getauscht.

    Zum Beispiel kann die Umkehrfunktion von $f(x)=2x-3$ wie folgt bestimmt werden:

    $\begin{align*} y&=2x-3&|&+3\\ y+3&=2x&|&:2\\ x&=\frac{y+3}2. \end{align*}$

    $f^{-1}(x)=\frac{x+3}2$

    Lösung

    Zur Herleitung einer Umkehrfunktion wird die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ aufgelöst. Für $f(x)=1,8x+32$ sieht dies wie folgt aus:

    $\begin{align*} y&=1,8x+32&|&-32\\ y-32&=1,8x&|&:1,8\\ x&=\frac{y-32}{1,8}\\ &=\frac y{1,8}-\frac{32}{1,8}. \end{align*}$

    $x$ und $y$ werden vertauscht. Somit ist die Umkehrfunktion

    $f^{-1}(x)=\frac x{1,8}-\frac{32}{1,8}$

    gefunden.

  • Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion der gegebenen Funktion.

    Tipps

    Es gilt

    • $f^{-1}(x)=x^3$ und
    • $\left(f^{-1}\right)'(x)=3x^2$.

    Es existieren zwei Fassungen der Regel zum Ableiten einer Umkehrfunktion, je nachdem, ob die Funktion oder die Umkehrfunktion gegeben ist.

    Die Ableitung der Funktion $f(x)=2x$ ist $f'(x)=2$.

    Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x)=\frac12 x$ und deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac12$.

    Drei der Gleichungen sind richtig. Zwei Gleichungen sind die 1. und 2. Fassung der Ableitung der Umkehrfunktion und die dritte ist die Ableitung der Umkehrfunktion der gegebenen Funktion.

    Lösung

    Die Regel zur Ableitung einer Umkehrfunktion kann in $2$ Fassungen angegeben werden:

    • $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $ oder
    • $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'(f(x))}$.
    Die Wahl hängt davon ab, ob die Funktion oder die Umkehrfunktion gegeben ist.

    An dem Beispiel $f(x)=\sqrt[3]x$ bedeutet dies, dass die 2. Fassung verwendet wird. Es muss also die Umkehrfunktion von $f$ und auch deren Ableitung bekannt sein:

    • $f^{-1}(x)=x^3$ und
    • $\left(f^{-1}\right)'(x)=3x^2$.
    Somit ist

    $f'(x)=\frac1{3\left(\sqrt[3]x\right)^2}$.

  • Gib die Umkehrfunktion und die Ableitung der Funktion an.

    Tipps

    Wende die Regel

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$

    an.

    Die Potenzregel der Differentiation lautet:

    $\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}$.

    Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

    Lösung

    Um die Regel

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$

    anwenden zu können, muss man zunächst die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=\frac1{\sqrt x}$ bestimmen:

    $\begin{align*} y&=\frac1{\sqrt x}&|\cdot \sqrt x&|:y\\ \sqrt x&=\frac1y&|(~)^2\\ x&=\frac1{y^2}. \end{align*}$

    Nun werden die Variablen vertauscht. Somit ist

    $f^{-1}(x)=\frac1{x^2}$

    die gesuchte Umkehrfunktion.

    Deren Ableitung

    $\left(f^{-1}\right)'(x)=-\frac2{x^3}$

    kann mit der Potenzregel der Differentiation berechnet werden.

    Damit ist

    $\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=\frac1{-\frac2{\left(\frac1{\sqrt x} \right)^3}}=-\frac{1}{2\sqrt x^3}$.

  • Ermittle die Umkehrfunktion der Funktion.

    Tipps

    Löse die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ auf und vertausche am Schluss die Variablen.

    Die Umkehrung von Wurzeln ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.

    Das Umkehren von Potenzieren mit $n$ ist das Ziehen der Wurzel. Dabei ist der Wurzelexponent $n$.

    Lösung

    Zur Herleitung einer Umkehrfunktion wird die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ aufgelöst.

    Für $f(x)=\sqrt[5]{x^2}$ bedeutet dies:

    $\begin{align*} y&=\sqrt[5]{x^2}&|&(~)^5\\ y^5&=x^2&|&\sqrt{\text{ }}\\ x&=\sqrt{y^5}. \end{align*}$

    $x$ und $y$ werden vertauscht: $y=\sqrt{x^5}$. Somit ist die Umkehrfunktion

    $f^{-1}(x)=\sqrt{x^5}$.

    gefunden.

  • Leite die Funktion mit der Regel zur Ableitung von Umkehrfunktionen ab.

    Tipps

    Eine Wurzel wird durch Potenzieren mit dem Wurzelexponenten umgekehrt.

    Es gilt die Potenzregel der Differentiation:

    $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.

    Lösung

    Es wird die folgende Fassung zur Ableitung von Umkehrfunktionen verwendet:

    $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$.

    Es wird also zu $f^{-1}(x)=\sqrt[5]x$

    • die Funktion $f(x)=x^5$ sowie
    • deren Ableitung $f'(x)=5x^4$ benötigt.
    Somit kann die Ableitung der Funktion berechnet werden: $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{5\left(\sqrt[5]x\right)^4}$.