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Ableitung der Umkehrfunktion

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Die Autor*innen
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Wolfgang Tews
Ableitung der Umkehrfunktion
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Ableitung der Umkehrfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung der Umkehrfunktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere, wie die Ableitung der Umkehrfunktion berechnet werden kann.

    Tipps

    Das allgemeine Vorgehen ist:

    • Man löst die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ auf.
    • Bei der so erhaltenen Gleichung werden die Variablen $x$ und $y$ getauscht.

    Zum Beispiel kann die Umkehrfunktion von $f(x)=2x-3$ wie folgt bestimmt werden:

    $\begin{align*} y&=2x-3&|&+3\\ y+3&=2x&|&:2\\ x&=\frac{y+3}2. \end{align*}$

    $f^{-1}(x)=\frac{x+3}2$

    Lösung

    Zur Herleitung einer Umkehrfunktion wird die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ aufgelöst. Für $f(x)=1,8x+32$ sieht dies wie folgt aus:

    $\begin{align*} y&=1,8x+32&|&-32\\ y-32&=1,8x&|&:1,8\\ x&=\frac{y-32}{1,8}\\ &=\frac y{1,8}-\frac{32}{1,8}. \end{align*}$

    $x$ und $y$ werden vertauscht. Somit ist die Umkehrfunktion

    $f^{-1}(x)=\frac x{1,8}-\frac{32}{1,8}$

    gefunden.

  • Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion der gegebenen Funktion.

    Tipps

    Es gilt

    • $f^{-1}(x)=x^3$ und
    • $\left(f^{-1}\right)'(x)=3x^2$.

    Es existieren zwei Fassungen der Regel zum Ableiten einer Umkehrfunktion, je nachdem, ob die Funktion oder die Umkehrfunktion gegeben ist.

    Die Ableitung der Funktion $f(x)=2x$ ist $f'(x)=2$.

    Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x)=\frac12 x$ und deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac12$.

    Drei der Gleichungen sind richtig. Zwei Gleichungen sind die 1. und 2. Fassung der Ableitung der Umkehrfunktion und die dritte ist die Ableitung der Umkehrfunktion der gegebenen Funktion.

    Lösung

    Die Regel zur Ableitung einer Umkehrfunktion kann in $2$ Fassungen angegeben werden:

    • $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $ oder
    • $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'(f(x))}$.
    Die Wahl hängt davon ab, ob die Funktion oder die Umkehrfunktion gegeben ist.

    An dem Beispiel $f(x)=\sqrt[3]x$ bedeutet dies, dass die 2. Fassung verwendet wird. Es muss also die Umkehrfunktion von $f$ und auch deren Ableitung bekannt sein:

    • $f^{-1}(x)=x^3$ und
    • $\left(f^{-1}\right)'(x)=3x^2$.
    Somit ist

    $f'(x)=\frac1{3\left(\sqrt[3]x\right)^2}$.

  • Ermittle die Umkehrfunktion der Funktion.

    Tipps

    Löse die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ auf und vertausche am Schluss die Variablen.

    Die Umkehrung von Wurzeln ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.

    Das Umkehren von Potenzieren mit $n$ ist das Ziehen der Wurzel. Dabei ist der Wurzelexponent $n$.

    Lösung

    Zur Herleitung einer Umkehrfunktion wird die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ aufgelöst.

    Für $f(x)=\sqrt[5]{x^2}$ bedeutet dies:

    $\begin{align*} y&=\sqrt[5]{x^2}&|&(~)^5\\ y^5&=x^2&|&\sqrt{\text{ }}\\ x&=\sqrt{y^5}. \end{align*}$

    $x$ und $y$ werden vertauscht: $y=\sqrt{x^5}$. Somit ist die Umkehrfunktion

    $f^{-1}(x)=\sqrt{x^5}$.

    gefunden.

  • Leite die Funktion mit der Regel zur Ableitung von Umkehrfunktionen ab.

    Tipps

    Eine Wurzel wird durch Potenzieren mit dem Wurzelexponenten umgekehrt.

    Es gilt die Potenzregel der Differentiation:

    $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.

    Lösung

    Es wird die folgende Fassung zur Ableitung von Umkehrfunktionen verwendet:

    $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$.

    Es wird also zu $f^{-1}(x)=\sqrt[5]x$

    • die Funktion $f(x)=x^5$ sowie
    • deren Ableitung $f'(x)=5x^4$ benötigt.
    Somit kann die Ableitung der Funktion berechnet werden: $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{5\left(\sqrt[5]x\right)^4}$.

  • Fasse zusammen, wie eine Umkehrfunktion hergeleitet wird.

    Tipps

    Die Funktion $y=f(x)$ stellt $y$ in Abhängigkeit von $x$ dar.

    Wie kann man $x$ in Abhängigkeit von $y$ darstellen?

    Wenn $x$ in Abhängigkeit von $y$ dargestellt wird, hast du eine Funktion $g(y)$.

    Normalerweise werden Funktionen in Abhängigkeit der Variablen $x$ aufgeschrieben.

    Lösung

    Durch die Funktion $y=f(x)$ wird $y$ in Abhängigkeit von $x$ dargestellt. Um umgekehrt, sofern möglich, $x$ in Abhängigkeit von $y$ darzustellen, wird

    • zunächst die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ aufgelöst.
    • Bei der so erhaltenen Gleichung werden die Variablen $x$ und $y$ getauscht.

  • Gib die Umkehrfunktion und die Ableitung der Funktion an.

    Tipps

    Wende die Regel

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$

    an.

    Die Potenzregel der Differentiation lautet:

    $\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}$.

    Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

    Lösung

    Um die Regel

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$

    anwenden zu können, muss man zunächst die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=\frac1{\sqrt x}$ bestimmen:

    $\begin{align*} y&=\frac1{\sqrt x}&|\cdot \sqrt x&|:y\\ \sqrt x&=\frac1y&|(~)^2\\ x&=\frac1{y^2}. \end{align*}$

    Nun werden die Variablen vertauscht. Somit ist

    $f^{-1}(x)=\frac1{x^2}$

    die gesuchte Umkehrfunktion.

    Deren Ableitung

    $\left(f^{-1}\right)'(x)=-\frac2{x^3}$

    kann mit der Potenzregel der Differentiation berechnet werden.

    Damit ist

    $\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=\frac1{-\frac2{\left(\frac1{\sqrt x} \right)^3}}=-\frac{1}{2\sqrt x^3}$.

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