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Potenzregel für Integrale

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Team Digital
Potenzregel für Integrale
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Potenzregel für Integrale Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzregel für Integrale kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Potenzregel für Integrale an.

    Tipps

    Für jede Stammfunktion gilt:

    $F'(x) = f(x)$

    Beispiel für das Integral der Potenzfunktion $f(x) = x^2$:

    $\displaystyle \int x^2 ~\text{d}x = \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} + c = \dfrac{x^3}{3} + c$

    Mögliche Stammfunktionen:

    $F_1(x) = \dfrac{x^3}{3} + 3$

    $F_2(x) = \dfrac{x^3}{3} - 0{,}74$

    $F_3(x) = \dfrac{x^3}{3}$

    ...

    Lösung

    Das Integral einer Funktion $f(x)$ gibt die Summe aller ihrer Stammfunktionen an. Das sind alle Funktionen $F(x)$, für die gilt $F'(x) = f(x)$. Das Integrieren ist also gewissermaßen die Umkehrung des Ableitens. Für Potenzfunktionen wie $f(x) = x^2$ gibt es auch hier eine Potenzregel: Wir müssen den Exponenten um eins erhöhen und den Term mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren.
    So erhalten wir für $\displaystyle \int x^2 ~\text{d}x = \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} + c = \dfrac{x^3}{3} + c$

    Allgemein lautet die Potenzregel für $n \ne -1$:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$

    Die Integrationskonstante $c$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl. Für unterschiedliche Werte von $c$ erhalten wir verschiedene Stammfunktionen, deren Ableitung stets gleich der Ausgangsfunktion ist.
    Zum Beispiel hat $f(x) = x^2$ die Stammfunktionen:

    $F_1(x) = \dfrac{x^3}{3} + 3$ mit $c = 3$

    $F_2(x) = \dfrac{x^3}{3} - 0{,}74$ mit $c = -0{,}74$

    $F_3(x) = \dfrac{x^3}{3}$ mit $c = 0$

    ...

    Da die Konstante $c$ beim Ableiten von $F$ wegfällt, erhalten wir stets $f$.

  • Bestimme das Integral.

    Tipps

    Schreibe den Term zunächst als Potenzfunktion der Form:
    $x^n$ mit $n \in \mathbb{R}$

    Beispiel:

    $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt[5]{x}} ~\text{d}x = \int x^{-\frac{1}{5}} ~\text{d}x = \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + c = \frac{5}{4} \sqrt[5]{x^4} + c$

    Lösung

    Potenzregel für Integrale:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$

    Wir können die Potenzregel für Integrale für Potenzfunktionen der Form $x^n$ mit $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ anwenden. Auch Wurzeln oder Brüche können wir mithilfe der Potenzgesetze in diese Form bringen.

    Beispiel 1:
    $\displaystyle \int 3x^2 ~\text{d}x = 3 \cdot \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} +c = x^3 +c$

    Beispiel 2:
    $\displaystyle \int x^5 ~\text{d}x = \dfrac{1}{5+1} x^{5+1} + c= \dfrac{1}{6} x^6 + c$

    Beispiel 3:
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2} ~\text{d}x = \int x^{-2} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-2+1} x^{-2+1} + c= \dfrac{1}{-1} x^{-1} + c= -\dfrac{1}{x} + c$

    Beispiel 4:
    $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^2} ~\text{d}x = \int x^{\frac{2}{3}} ~\text{d}x = \dfrac{1}{\frac{2}{3}+1} x^{\frac{2}{3}+1} + c= \dfrac{1}{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{3}} + c= \dfrac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} + c$

  • Ermittle verschiedene Stammfunktionen.

    Tipps

    Bestimme zunächst das Integral von $f(x)$. Durch Einsetzen verschiedener reeller Zahlen für die Integrationskonstante $c$ erhältst du unterschiedliche Stammfunktionen.

    Beispiel:

    $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}} ~\text{d}x = \int x^{-\frac{3}{4}} ~\text{d}x = 4 x^{\frac{1}{4}} + c = 4 \sqrt[4]{x} + c$

    Lösung

    Die Potenzregel für Integrale lautet:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c$

    Sie gibt die Summe aller Stammfunktionen für eine Potenzfunktion $x^n$ an. Dabei steht die Integrationskonstante $c$ für eine beliebige reelle Zahl. Durch Einsetzen verschiedener Werte für $c$ erhalten wir unterschiedliche Stammfunktionen.
    Da beim Ableiten Konstanten wegfallen, haben alle diese Stammfunktionen dieselbe Ableitung, die Ausgangsfunktion $x^n$.

    Wir integrieren:

    • $\displaystyle \int x^4 ~\text{d}x = \dfrac{1}{4+1} x^{4+1} + c = \dfrac{x^5}{5} + c$

    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^4} ~\text{d}x = \int x^{-4} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-4+1} x^{-4+1} + c = -\dfrac{1}{3} x^{-3} + c = -\dfrac{1}{3x^3} + c$

    • $\displaystyle \int \sqrt[4]{x} ~\text{d}x = \int x^\frac{1}{4} ~\text{d}x = \dfrac{1}{\frac{1}{4} + 1} x^{\frac{1}{4} + 1} + c = \dfrac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + c = \dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x^5} + c$

    Wir können die Stammfunktionen zuordnen:

    $f(x) = x^4$:

    • $F(x) = \dfrac{x^5}{5} - 3$ mit $c = -3$

    • $F(x) = \dfrac{1}{5} x^5 $ mit $c = 0$

    • $F(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^5}{5}$ mit $c = \dfrac{1}{2}$

    $f(x) = \dfrac{1}{x^4}$:

    • $F(x) = -\dfrac{1}{3x^3} + 17$ mit $c = 17$

    • $F(x) = \dfrac{4}{5} -\dfrac{1}{3x^3}$ mit $c = \dfrac{4}{5}$

    $f(x) = \sqrt[4]{x}$:

    • $F(x) = \dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x^5} - \dfrac{2}{3}$ mit $c = -\dfrac{2}{3}$

    • $F(x) = \dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x^5} + 1 $ mit $c = 1$

    • $F(x) = \dfrac{4 \sqrt[4]{x^5}}{5}$ mit $c = 0$

    Hinweis: Du kannst auch die Ableitung der Stammfunktion bilden, um sie der passenden Ausgangsfunktion zuzuordnen.

  • Berechne die unbestimmten Integrale.

    Tipps

    Schreibe den Term als Potenzfunktion der Form $x^n$.

    Es gilt:

    • $\dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2}$
    • $\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$
    Lösung

    Potenzregel für Integrale:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$

    Wir können die Potenzregel für Integrale für Potenzfunktionen der Form $x^n$ mit $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ anwenden. Auch Wurzeln oder Brüche können wir mithilfe der Potenzgesetze in diese Form bringen. Dazu nutzen wir die Potenzgesetze:

    • $\dfrac{1}{a} = a^{-1}$

    • $\sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}}$

    Beispiel 1:
    $\displaystyle \int x^{17} ~\text{d}x = \dfrac{1}{17+1} x^{17+1} +c = \dfrac{1}{18} x^{18} +c$

    Beispiel 2:
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^{19}} ~\text{d}x = \int x^{-19} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-19+1} x^{-19+1} + c= -\dfrac{1}{18} x^{-18} + c = -\dfrac{1}{18x^{18}} + c$

    Beispiel 3:
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^6}} ~\text{d}x = \int \dfrac{1}{x^3} ~\text{d}x = \int x^{-3} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-3+1} x^{-3+1} + c= -\dfrac{1}{2} x^{-2} + c= -\dfrac{1}{2x^2} + c$

    Beispiel 4:
    $\displaystyle \int \sqrt[6]{x^2} ~\text{d}x = \int x^{\frac{2}{6}} ~\text{d}x = \int x^{\frac{1}{3}} ~\text{d}x = \dfrac{1}{\frac{1}{3}+1} x^{\frac{1}{3}+1} + c= \dfrac{1}{\frac{4}{3}} x^{\frac{4}{3}} + c= \dfrac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} + c$

    Beispiel 5:
    $\displaystyle \int \sqrt{x^{18}} ~\text{d}x = \int x^{\frac{18}{2}} ~\text{d}x = \int x^9 ~\text{d}x = \dfrac{1}{9+1} x^{9+1} + c= \dfrac{1}{10} x^{10} + c$

  • Vervollständige die Tabelle mit den Ableitungen der Potenzfunktionen.

    Tipps

    Potenzregel für die Ableitung:

    $f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

    Beispiel:

    $f(x) = x^7 \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = 7 \cdot x^{6}$

    Potenzgesetze:

    $\dfrac{1}{a} = a^{-1}$

    $\sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}}$

    Lösung

    Wir können Potenzfunktionen mithilfe der Potenzregel für die Ableitung ableiten:

    $f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

    Dazu ziehen wir den Exponenten als Faktor nach vorne und verringern ihn dann um eins. Das funktioniert auch, wenn der Exponent negativ oder ein Bruch ist.

    Wir erhalten die folgenden Ableitungen:

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} & & & & \\ f(x) & x & x^2 & \sqrt{x} & \dfrac{1}{x^2} \\ & & & & \\ \hline & & & & \\ f'(x) & 1 & 2x & \dfrac{1}{2\sqrt{x}} & -\dfrac{2}{x^3} \\ & & & & \end{array}$

    Wir rechnen:

    • $f(x) = x = x^1 \quad \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1$

    • $f(x) = x^2 \quad \quad \quad \ \ \ ~ \rightarrow \quad f^\prime(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$

    • $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$

    • $f(x) = \dfrac{1}{x^2} = x^{-2} \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = -2 \cdot x^{-2-1} = -2 \cdot x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}$
  • Entscheide, ob die Potenzregel richtig angewendet wurde.

    Tipps

    Potenzregel für Integrale:

    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$

    für $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ und $c \in \mathbb{R}$.

    Für jede Stammfunktion gilt:

    $F'(x) = f(x)$

    Lösung

    Wir können das unbestimmte Integral für Potenzfunktionen der Form $x^n$ mit $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ mit der Potenzregel bestimmen:

    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$

    Um zu überprüfen, ob du richtig integriert hast, kannst du die Ableitung der Stammfunktion bestimmen. Diese muss stets gleich der Ausgangsfunktion sein:
    $F'(x) = f(x)$

    Beispiel 1: $\displaystyle \int \dfrac{7}{x^7} ~\text{d}x = \dfrac{1}{x^8} + c$
    Ableitung: $F(x) = \dfrac{1}{x^8} + c = x^{-8} + c \quad \to \quad F'(x) = -8x^{-9} = -\dfrac{8}{x^9}$
    $\Rightarrow$ Integral falsch
    Integral: $\displaystyle \int \dfrac{7}{x^7} ~\text{d}x = \int 7 x^{-7} ~\text{d}x = \dfrac{7}{-7 + 1} x^{-7 + 1} + c = -\dfrac{7}{6x^6} + c$

    Beispiel 2: $\displaystyle \int \dfrac{4}{3} \sqrt[3]{x} ~\text{d}x = \sqrt[3]{x} + c$
    Ableitung: $F(x) = \sqrt[3]{x} + c = x^{\frac{1}{3}} + c \quad \to \quad F'(x) = \dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3} -1} = \dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$
    $\Rightarrow$ Integral falsch.
    Integral: $\displaystyle \int \dfrac{4}{3} \sqrt[3]{x} ~\text{d}x = \int \dfrac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} ~\text{d}x = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{3}+1}x^{\frac{1}{3}+1} + c = x^{\frac{4}{3}} + c = \sqrt[3]{x^4} + c$

    Beispiel 3: $\displaystyle \int -80 \dfrac{x^2}{x^7} ~\text{d}x = \dfrac{20}{x^4} + c$

    Ableitung: $F(x) = \dfrac{20}{x^4} + c = 20 x^{-4} + c \quad \to \quad F'(x) = 20 \cdot (-4)x^{-4 -1} = -80 x^{-5} = -\dfrac{80}{x^5}$

    $\Rightarrow$ Integral richtig, da $-80 \dfrac{x^2}{x^7} = -\dfrac{80}{x^5}$.

    Integral: $\displaystyle \int -80 \dfrac{x^2}{x^7} ~\text{d}x = \int -80 \dfrac{1}{x^5} ~\text{d}x = \int -80 \cdot x^{-5} ~\text{d}x = -80 \cdot \dfrac{1}{-5+1}x^{-5+1} + c = \dfrac{20}{x^4} + c$

    Beispiel 4: $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~\text{d}x = c$
    Ableitung: $F(x) = c \quad \to \quad F'(x) = 0$
    $\Rightarrow$ Integral falsch.
    Wir dürfen hier die Potenzregel nicht anwenden, da diese nur für $n \ne -1$ gilt und $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ ist.
    Es gilt: $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~\text{d}x = ln\vert x \vert + c$

    Beispiel 5: $\displaystyle \int x^2 + 2x ~\text{d}x = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + c$
    Ableitung: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + c \quad \to \quad F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} + 2x = x^2 + 2x$
    $\Rightarrow$ Integral richtig.
    Integral: $\displaystyle \int x^2 + 2x ~\text{d}x = \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} + 2 \cdot \dfrac{1}{1+1} x^{1+1} + c = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + c$

    Beispiel 6: $\displaystyle \int 5 \sqrt[5]{x} ~\text{d}x = \dfrac{25}{6} \sqrt[5]{x^6} + c$

    Ableitung: $F(x) = \dfrac{25}{6} \sqrt[5]{x^6} + c = \dfrac{25}{6} x^{\frac{6}{5}} + c \quad \to \quad F'(x) = \dfrac{25}{6} \cdot \dfrac{6}{5}x^{\frac{1}{5}} = 5 \sqrt[5]{x}$
    $\Rightarrow$ Integral richtig.

    Integral: $\displaystyle \int 5 \sqrt[5]{x} ~\text{d}x = \int x^{\frac{1}{5}} ~\text{d}x = \dfrac{5}{\frac{1}{5}+1} x^{\frac{1}{5}+1} + c = \dfrac{5}{\frac{6}{5}} x^{\frac{6}{5}} + c = \dfrac{25}{6} \sqrt[5]{x^6} + c$

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