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Lineare Substitutionsregel für Integrale

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Team Digital
Lineare Substitutionsregel für Integrale
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Substitutionsregel für Integrale

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, eine lineare Substitution durchzuführen, um Integrale zu berechnen.

Zunächst lernst du, wann eine lineare Substitution durchgeführt werden sollte. Anschließend lernst du, wie du eine lineare Substitution durchführen kannst. Abschließend erfährst du, warum du eine lineare Substitution nicht immer durchführen kannst.

Lineare Substitutionsregel

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie lineare Substitutionsregel, lineare Kettenregel und lineares Integrieren.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Kettenregel zum Ableiten kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Integralen haben.

Transkript Lineare Substitutionsregel für Integrale

Manchmal ergeben sich Situationen, für die findet man einfach nur schwer eine Erklärung. Wenn es dir bei der linearen Substitutionsregel ähnlich geht, ist dieses Video genau das richtige für dich! „Lineare Substitutionsregel“ – das klingt erstmal sehr kompliziert. Dass die Regel manchmal auch „lineare Kettenregel“ oder einfach „lineares Integrieren“ genannt wird, macht es zunächst mal nicht besser. Aber wir sollten uns von so kompliziert klingenden Begriffen nicht verunsichern lassen. Letztendlich geht es darum, Integrale einer ganz bestimmten Form berechnen zu können. Und zwar solche, die uns grundsätzlich bekannt vorkommen, wie zum Beispiel „x hoch drei“, „Wurzel von x“, oder „e hoch x“. Nur, dass an diesen Stellen keine x sondern lineare Funktionsterme stehen. Wir haben also verkettete Funktionen, wobei die innere Funktion jeweils eine ganz normale lineare Funktion ist. So wie wir sie schon seit Jahren kennen. Also zum Beispiel „minus drei x plus fünf“, „vier plus zwei x“, oder „ein halb x plus 2“. Ist als innere Funktion die Form „m-x plus b“ gegeben, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden. Die sagt uns dann, wie wir vorgehen müssen. Ganz allgemein lautet sie so. Wenn wir eine Funktion integrieren möchten, in der eine lineare Funktion verkettet ist, können wir diese Funktion zunächst einfach so integrieren, wie wir es gewohnt sind, sprich eine entsprechende Stammfunktion aufstellen. Dann müssen wir nur noch mit dem Kehrwert von m multiplizieren. m ist dabei der Vorfaktor des linearen Funktionsterms. Wie das funktioniert, wird deutlich, wenn es an unseren Beispielfunktionen einmal Schritt für Schritt vorgerechnet wird. Dafür schnappen wir uns die erste und stellen uns vor, anstatt der linearen Funktion würde da einfach ein x stehen. Diese Funktion haben wir nämlich schnell integriert. Und das Integrieren funktioniert auch erstmal genau so, nur dass wir eben statt dem „x“ „minus drei x plus fünf“ haben. Jetzt dürfen wir aber nicht vergessen, das Ganze noch mit dem Kehrwert der Zahl vor dem x zu multiplizieren. In unserem Fall also mit „minus ein Drittel“ Dann können wir noch vereinfachen und haben das Integral berechnet! Ob unser Ergebnis richtig ist, können wir wie immer überprüfen, indem wir die erhaltene Stammfunktion wieder ableiten. Da wir es mit einer verketteten Funktion zu tun haben gilt: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Diesen Term können wir vereinfachen und sehen: Es ergibt sich wieder unsere Ursprungsfunktion. Die lineare Substitutionsregel ist also sozusagen das Gegenstück zur Kettenregel bei Ableitungen – nur auf lineare Funktionen beschränkt. Nächstes Beispiel: Wenn wir eine Wurzel ableiten oder integrieren möchten, ist es immer am einfachsten, erstmal in die Potenzschreibweise zu wechseln. Nun können wir zuerst wieder nach der Potenzregel integrieren, wobei wir den linearen Term unverändert lassen. Anschließend müssen wir wieder zusätzlich mit dem Kehrwert des Vorfaktors multiplizieren – Achtung, der muss nicht immer ganz vorne stehen. Wir suchen die Zahl vor dem x!
Dann können wir noch vereinfachen. Auch dieses Ergebnis können wir überprüfen, indem wir es mit der Kettenregel wieder ableiten. Rechne es mal nach! Das letzte Integral kannst du jetzt vielleicht schon eigenständig lösen. Pausiere das Video doch kurz und schau dir die Lösung an, nachdem du es selbst probiert hast. Bei dieser Aufgabe sollten wir zwei Dinge beachten: Erstens bleibt die natürliche Exponentialfunktion beim Integrieren unverändert und zweitens müssen wir in diesem Fall den Kehrwert von ein Halb bilden. Das wiederum ist zwei. Wer's nicht glaubt soll ableiten. Wir fassen nochmal kurz zusammen. Die lineare Substitutionsregel kommt zum Einsatz, wenn wir eine Funktion haben, in die nochmal eine lineare Funktion eingesetzt ist. Wenn wir eine solche Form erkannt haben, können wir das Integral ganz einfach berechnen, indem wir wie gewohnt integrieren, wobei wir den linearen Funktionsterm einfach beibehalten und dann noch mit dem Kehrwert von m multiplizieren. Aber aufgepasst! Für die äußere Funktion kommen zwar viele verschiedene Funktionstypen in Frage, die lineare Substitutionsregel kann aber nur eingesetzt werden, wenn die innere Funktion auch wirklich linear und nicht quadratisch oder von einem noch höheren Grad ist. Wie solche Integrale mit anderen Integrationsmethoden berechnet werden können, ist ein Thema für ein anderes Video. Na dann sollte ja erstmal alles geklärt sein! Oder auch nicht.

Lineare Substitutionsregel für Integrale Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Substitutionsregel für Integrale kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die lineare Substitutionsregel.

    Tipps

    Wir können die lineare Substitutionsregel immer dann anwenden, wenn in uns bekannten Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)= x^4$, anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $m \cdot x +b$ steht.

    Beispiel: $f(x)=(4x+5)^4$

    Beispiel:

    $\displaystyle \int (4x+5)^4~\text{d}x$

    $~= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}(4x+5)^5 +c$

    $~= \dfrac{1}{20}(4x+5)^5 +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Lösung

    Die lineare Substitutionsregel hilft uns beim Integrieren ganz bestimmter Funktionen.
    Bei der Integration einer verketteten Funktion, bei der die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $\color{#99CC00}{m \cdot x +b}$ ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.

    In uns bekannten Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)= x^4$, steht dann anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $mx +b$.

    Beispiel: $f(x)= (4x+5)^4$

    Wenn wir eine solche Funktion integrieren möchten, können wir die äußere Funktion zunächst einfach wie gewohnt integrieren, indem wir die Stammfunktion bilden. Diese multiplizieren wir noch mit dem Kehrwert von $m$.
    Formal lautet die lineare Substitutionsregel:

    $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{m}}\color{black}{ ~\cdot~} F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    In unserem Beispiel setzen wir dies wie folgt um:

    $\displaystyle \int (4x+5)^4~\text{d}x = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}(4x+5)^5 +c = \dfrac{1}{20}(4x+5)^5 +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  • Benenne Integrale, die mit der linearen Substitutionsregel gebildet werden können.

    Tipps

    Steht in einem Integral eine verkettete Funktion, bei der die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden.

    Hier siehst du einige Beispiele für lineare Funktionen:

    • $3x-4$
    • $5+x$
    • $2x+7$
    • $6x$
    Lösung

    Steht in einem Integral eine verkettete Funktion, bei der die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.

    In uns bekannten Funktionen steht dann anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $m \cdot x +b$.

    Wir überprüfen die gegebenen Integrale:

    • $\displaystyle \int (4x+5)^4~\text{d}x$
    Die äußere Funktion ist $x^4$ und die innere Funktion ist $4x+5$, also linear.
    $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

    • $\displaystyle \int e^{3x}~\text{d}x$
    Die äußere Funktion ist $e^x$ und die innere Funktion ist $3x$, also linear.
    $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

    • $\displaystyle \int e^{2x^2}~\text{d}x$
    Die äußere Funktion ist $x^4$ und die innere Funktion ist $2x^2$, also quadratisch und nicht linear.
    $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann nicht angewendet werden.

    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^3-x^2+1}~\text{d}x$
    Die äußere Funktion ist $\dfrac{1}{x}$ und die innere Funktion ist $x^3-x^2+1$, also kubisch und nicht linear.
    $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann nicht angewendet werden.

    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{3-x}~\text{d}x$
    Die äußere Funktion ist $\dfrac{1}{x}$ und die innere Funktion ist $3-x$, also linear, dies erkennen wir besser, wenn wir sie umschreiben: $3-x = -1x+3$
    $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

    • $\displaystyle \int \cos (2x-4)~\text{d}x$
    Die äußere Funktion ist $\cos x$ und die innere Funktion ist $2x-4$, also linear.
    $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

    Ergänzung:
    Wenn wir eine solche Funktion integrieren möchten, können wir die äußere Funktion zunächst wie gewohnt integrieren, also eine entsprechende Stammfunktion aufstellen. Dann müssen wir mit dem Kehrwert von $m$ multiplizieren. Formal schreiben wir:

    $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  • Wende die lineare Substitutionsregel zur Berechnung der Integrale an.

    Tipps

    Beispiel:

    $\displaystyle \int e^{-3x-1}~\text{d}x = -\frac{1}{3} \cdot e^{-3x-1} +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Beachte die Vorzeichen.

    Lösung

    Wir wenden die lineare Substitutionsregel an:

    $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Dazu tragen wir in die erste Lücke jeweils den Kehrwert $\frac{1}{m}$ ein, und in die zweite Lücke die Stammfunktion $F(mx+b)$.

    Erstes Integral:
    $\displaystyle \int e^{4x}~\text{d}x = \dfrac{1}{4} \cdot e^{4x} +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Zweites Integral:
    $\displaystyle \int \cos(5-2x)~\text{d}x = \frac{1}{-2} \cdot \sin(5-2x) +c = -\frac{1}{2} \sin(5-2x) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  • Bestimme die Integrale mit der linearen Substitutionsregel.

    Tipps

    Identifiziere jeweils zuerst die innere Funktion und den Faktor $m$ vor $x$.

    Wende dann die Regel an:

    $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Es gilt:

    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x = \ln(\vert x\vert) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Lösung

    In den vorliegenden Integralen stehen verkettete Funktion, bei der die innere Funktion jeweils eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist. Wir können daher die lineare Substitutionsregel anwenden:

    $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Wir identifizieren dazu jeweils zuerst die innere Funktion und speziell die Zahl $m$. Anschließend wenden wir die Regel an.

    Rechnung 1:

    $\displaystyle \int (2x+5)^3~\text{d}x$
    Die innere Funktion lautet $2x+5$, also ist $m=2$.
    $\begin{array}{ll} \displaystyle \int (2x+5)^3~\text{d}x &= {\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}(2x+5)^4 +c} \\ \\ \displaystyle &= {\dfrac{1}{8}(2x+5)^4 +c} \\ \\ \displaystyle &= {\dfrac{1}{8}(5+2x)^4 +c} \quad (c \in \mathbb{R}) \end{array}$

    Rechnung 2:

    $\displaystyle \int \frac{1}{(4x+5)^2}~\text{d}x$
    Die innere Funktion lautet $4x+5$, also ist $m=4$.
    $\begin{array}{ll} \displaystyle \int \dfrac{1}{(4x+5)^2}~\text{d}x &= {\displaystyle \int (4x+5)^{-2}~\text{d}x} \\ \\ \displaystyle &= {\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{-1}\cdot (4x+5)^{-1} +c} \\ \\ \displaystyle &= {- \dfrac{1}{4(4x+5)} +c} \\ \\ \displaystyle &= {- \dfrac{1}{16x+20} +c} \\ \\ &= {- (16x+20)^{-1} +c} \quad (c \in \mathbb{R}) \end{array}$

    Rechnung 3:

    $\displaystyle \int \frac{1}{3x+4}~\text{d}x $
    Die innere Funktion lautet $3x+4$, also ist $m=3$.
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{3x+4}~\text{d}x = {\dfrac{1}{3} \ln (\vert 3x+4 \vert) +c} \quad (c \in \mathbb{R})$
    Dabei nutzen wir die Regel:
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x = \ln(\vert x\vert) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Rechnung 4:

    $\displaystyle \int (3-3x)^3~\text{d}x$
    Die innere Funktion lautet $3-3x$, also ist $m=-3$.
    $\displaystyle \int (3-3x)^3~\text{d}x = {\dfrac{1}{-3} \cdot \dfrac{1}{4}(3-3x)^4 +c} = {-\dfrac{1}{12}(3-3x)^4 +c} \quad (c \in \mathbb{R})$

  • Gib die lineare innere Funktion an.

    Tipps

    Die innere Funktion ist eine lineare Funktion. Diese schreiben wir allgemein in der Form ${m \cdot x +b}$.

    Achte auf negative Vorzeichen.

    Lösung

    Für Integrale von verketteten Funktionen, bei denen die innere Funktion eine lineare Funktion ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.
    Um die Regel richtig anzuwenden, ist es besonders wichtig, die innere Funktion korrekt zu identifizieren.

    Die innere Funktion ist eine lineare Funktion. Diese schreiben wir allgemein in der Form:
    $m \cdot x +b$
    Dabei nennen wir $m$ die Steigung und $b$ den $y$-Achsenabschnitt.

    In uns bekannten Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)= x^4$ steht dann also anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $m \cdot x +b$.
    Beispiel: $f(x)= (4x+5)^4$

    Wir betrachten die vorliegenden Funktionen:

    • $\displaystyle \int \sin (3x+4) ~\text{d}x \quad$
    Die lineare innere Funktion lautet: $\color{#99CC00}{3x+4}$
    • $\displaystyle \int (-5x+4)^5 ~\text{d}x \quad$
    Die lineare innere Funktion lautet: $\color{#99CC00}{-5x+4}$
    • $\displaystyle \int \sqrt{2x+1} ~\text{d}x \quad$
    Die lineare innere Funktion lautet: $\color{#99CC00}{2x+1}$

    Werden solche Funktionen integriert, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden:
    $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c$ mit $c \in \mathbb{R}$

    Wir können die äußere Funktion also zunächst einfach wie gewohnt integrieren, also eine entsprechende Stammfunktion aufstellen. Dann müssen wir nur noch mit dem Kehrwert von $m$ multiplizieren.

    Damit erhalten wir für die Integrale:

    • $\displaystyle \int \sin (3x+4) ~\text{d}x = -\dfrac{1}{3}\cos(3x+4) +c \quad (c \in \mathbb{R})$
    • $\displaystyle \int (-5x+4)^5 ~\text{d}x= -\dfrac{1}{30}(-5x+4)^6 \quad (c \in \mathbb{R})$
    • $\displaystyle \int \sqrt{2x+1} ~\text{d}x = \dfrac{1}{3}(2x+1)^{1{,}5} \quad (c \in \mathbb{R})$
  • Entscheide, bei welchen Integralen die lineare Substitutionsregel angewendet werden kann.

    Tipps

    Identifiziere zunächst die innere Funktion. Entscheide dann, ob es sich hierbei um eine lineare Funktion handelt.

    In manchen Fällen kannst du den inneren Funktionsterm noch zusammenfassen.

    Denk an die dritte binomische Formel:

    $a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$

    Lösung

    Die lineare Substitutionsregel können wir bei verketteten Funktionen immer dann anwenden, wenn die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.

    In den vorliegenden Integralen stehen verkettete Funktion. Wir müssen jeweils die innere Funktion identifizieren und entscheiden, ob es sich um eine lineare Funktion handelt. In manchen Fällen müssen wir die innere Funktion dazu erst vereinfachen.

    Integral 1:

    $\displaystyle \int (3-2x^2)^{-2}~\text{d}x $
    Die innere Funktion lautet $3-2x^2$. Hierbei handelt es sich wegen $x^2$ um eine quadratische Funktion, wir können also die lineare Substitutionsregel nicht anwenden.

    Integral 2:

    $\displaystyle \int e^{\sqrt{5x+1}}~\text{d}x$
    Die innere Funktion lautet $\sqrt{5x+1}$. Hierbei handelt es sich um eine Wurzelfunktion, wir können also die lineare Substitutionsregel nicht anwenden.

    Integral 3:

    $\displaystyle \int \cos \left(\dfrac{1-x^2}{1+x}\right)~\text{d}x $
    Wir können den Bruch im Kosinus-Argument mithilfe der binomischen Formel kürzen:

    $\dfrac{1-x^2}{1+x} = \dfrac{(1-x)(1+x)}{1+x} = 1-x$

    Wir erhalten somit das Integral:

    $\displaystyle \int \cos(1-x)~\text{d}x $

    Die innere Funktion ist somit linear, wir können die Regel anwenden. Es gilt $m=-1$.

    $\displaystyle \int \cos(1-x)~\text{d}x = {\dfrac{1}{-1} \sin(1-x) +c} = {- \sin(1-x) +c} \quad (c \in \mathbb{R})$

    Integral 4:

    $\displaystyle \int \left(\dfrac{4+ x^2 -2^2 +10x}{2x} \right)^3~\text{d}x $

    Wir können den Bruch, welcher die innere Funktion darstellt, zusammenfassen und kürzen:

    $\begin{array}{ll} \dfrac{4+ x^2 -2^2 +10x}{2x} &= {\dfrac{4-2^2+x^2+10x}{2x}} \\ \\ &= {\dfrac{x^2+10x}{2x}} = {\dfrac{x(x+10)}{2x}} \\ \\ &= {\dfrac{x+10}{2}} = {\dfrac{1}{2}x+5} \end{array}$

    Die innere Funktion ist also linear und die lineare Substitutionsregel somit anwendbar:

    $\displaystyle \int \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^3~\text{d}x$

    Die innere Funktion lautet $\frac{1}{2}x+5$, also ist $m=\frac{1}{2}$.

    $\begin{array}{ll} \displaystyle \int \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^3~\text{d}x &= {2 \cdot \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^4 +c} \\ \\ &= {\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^4 +c} \quad (c \in \mathbb{R}) \end{array}$

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