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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Team Digital
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anzuwenden.

Zunächst lernst du, dass der Hauptsatz es ermöglicht konkrete Flächen zu berechnen, indem man auf Stammfunktionen zurückgreift. Anschließend siehst du an einem konkreten Beispiel, wie man den Hauptsatz anwenden kann, um bestimmte Integrale zu berechnen. Abschließend erfährst du, dass ein bestimmtes Integral nicht direkt einen Flächeninhalt, sondern eine Flächenbilanz wiedergibt.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.jpg

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie bestimmtes Integral, Integrationsgrenzen, Stammfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Stammfunktionen kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Integralrechnung haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Flächeninhalte mit dem Hauptsatz auszurechnen.

Transkript Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Jahrelang hast du auf diesen Moment hingearbeitet. Es gab Höhen, es gab Tiefen Mathestunde für Mathestunde hast du alles gegeben! Nicht immer warst du dir sicher, ob das noch alles SINN ergibt, ob dein Weg der richtige ist doch dann – wie aus dem Nichts – kommt dieser eine Moment und er steht plötzlich vor dir: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Scheint wichtig zu sein. Und das ist er in der Tat. Er wird auch „Fundamentalsatz der Analysis“ genannt, da er den Zusammenhang zwischen den zwei ganz großen Themenbereichen der Analysis herstellt. Der Differenzialrechnung, also dem Ableiten, einerseits und der Integralrechnung andererseits. Das alleine schon lässt das Herz von Mathematiker*innen höher schlagen. Darüber hinaus ist er aber auch super praktisch, um ganz konkret „bestimmte Integrale“ und damit zusammenhängende Flächeninhalte zu berechnen. Wie genau das funktioniert, schauen wir uns gleich an. Zunächst einmal eine kleine Wiederholung. Im Rahmen der Integralrechnung gibt es zwei grundlegende Interpretationsmöglichkeiten, die sich gegenüberstehen. Zum einen ist da die „Integration als Methode zur Flächenberechnung“. Dabei geht es darum, die Fläche zu bestimmen, die zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen ist. Die grundlegende Idee dieser geometrischen Deutung ist es, den Flächeninhalt mit Hilfe von Unter- und Obersummen immer besser abzuschätzen und diese Schätzung immer weiter zu verfeinern. Auf diese Weise bekommt man dann schließlich einen konkreten Zahlenwert für die betrachtete Fläche als Ergebnis. Auf der anderen Seite steht die „Integration als Umkehrung des Ableitens“. Genauso wie wir eine Funktion ableiten können, um ihre Ableitungsfunktion zu bestimmen, können wir eine Funktion integrieren, um ihre Stammfunktion zu bestimmen. Dabei ist uns aufgefallen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion gibt, da Konstanten beim Ableiten ja wegfallen. Um diesen Informationsverlust beim Ableiten aufzufangen, addieren wir beim Integrieren die Integrationskonstante c. Bis auf Konstanten können wir also eine abgeleitete Funktion durch das Integrieren gewissermaßen „wiedererlangen“. Bei dieser Betrachtungsweise geht es also darum, eine oder mehrere konkrete Funktionen zu bestimmen. Nämlich Stammfunktionen. Wir können die Integration also einerseits als Methode zur Flächenberechnung betrachten. Dabei berechnen wir eine konkrete Maßzahl. Oder andererseits als Umkehrung des Ableitens betrachten. Und so Stammfunktionen bestimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet jetzt diese beiden Deutungsmöglichkeiten von Integralen. Und zwar indem er aufzeigt, wie wir konkrete Flächeninhalte mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen können. Wir betrachten dafür ein bestimmtes Integral in den Integrationsgrenzen a und b einer beliebigen Funktion „f von x“, die nach der Integrationsvariable x integriert werden soll. Um dieses Integral zu berechnen, brauchen wir eine Stammfunktion „Groß-F von x“ in den Grenzen a bis b. Das wiederum bedeutet, dass wir in die Stammfunktion sowohl b als auch a einsetzen, also die Funktion an diesen beiden konkreten Stellen auswerten, und dann die Differenz dieser beiden Funktionswerte bilden. Und da ist das Ding! Was für eine prächtige Formel! Dann können wir uns ja jetzt mal anschauen, wie wir den Hauptsatz nutzen können, um den konkreten Wert eines bestimmten Integrals zu berechnen. Ein einfaches Beispiel zum Reinkommen: Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion „x hoch 2“ in den Grenzen eins und zwei. In anderen Worten: Wir wollen den Flächeninhalt berechnen, den der Graph der Funktion im Intervall eins bis zwei mit der x-Achse einschließt. Um das tun zu können, müssen wir jetzt erstmal eine Stammfunktion finden, also eine Funktion die abgeleitet „x hoch zwei“ ergibt. An dieser Stelle müssen wir also grundsätzlich die Rechenregeln für Integrale auf dem Kasten haben. Das ist bei unserer Funktion aber noch recht einfach. Mit Hilfe der Potenzregel erhalten wir „ein Drittel x hoch drei“ als eine mögliche Stammfunktion. Diese Funktion müssen wir jetzt nur noch an der oberen und unteren Intervallgrenze auswerten. Sprich, wir müssen zunächst die obere Grenze in die aufgestellte Stammfunktion einsetzen und davon dann die an der unteren Grenze ausgewertete Stammfunktion abziehen. Dann müssen wir nur noch rechnen. Sieben drittel ist also unser Ergebnis! Zwei Fragen sind an dieser Stelle noch zu klären. Erstens: Was ist eigentlich mit der Integrationskonstante c, die wir beim Integrieren eigentlich immer beachten sollten? Nun ja, wir können sie ja mal hinzufügen. Wie wir sehen, kürzt sich c automatisch weg und hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. Die Integrationskonstante können wir also bei der Berechnung eines bestimmten Integrals einfach weglassen. Praktisch! Zweitens sollten wir uns am Graphen von „x hoch zwei“ nochmal anschauen, was wir da jetzt eigentlich berechnet haben. Wir haben das bestimmte Integral in den Grenzen eins und zwei betrachtet. Dazu haben wir das Integral zunächst an seiner oberen Grenze ausgewertet, wobei wir den Wert acht Drittel erhalten haben. Das entspricht dem gesamten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall von null bis zwei. Da uns aber nur der Flächeninhalt von eins bis zwei interessiert, haben wir anschließend diesen Flächeninhalt im Intervall null bis eins, dessen Wert wir durch das an der unteren Intervallgrenze ausgewertete Integral erhalten haben, wieder abgezogen. Übrig bleibt, so wie es gesucht war, die Fläche zwischen dem Graphen von „x hoch zwei“ und der x-Achse in dem Intervall von eins bis zwei! Diese ist also sieben Drittel Flächeneinheiten groß. Eine kleine, aber wichtige Anmerkung noch: Das bestimmte Integral – das wir mit dem Hauptsatz berechnen können – gibt nicht direkt den häufig gesuchten Flächeninhalt zwischen Graphen und x-Achse, sondern vielmehr eine Flächenbilanz an. Konkret heißt das, dass Flächeninhalte unterhalb der x-Achse auch negativ in diese Bilanz mit eingehen – sprich von der Gesamtgröße des Flächeninhalts abgezogen werden. Wie wir dieses Problem umgehen können, klären wir aber in einem anderen Video. Wir fassen das Gelernte erstmal auf einen Blick zusammen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt den Flächeninhalt, der sich zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse ergibt, in einen direkten Zusammenhang mit Stammfunktionen. Genauer gesagt können wir mit ihm ein bestimmtes Integral berechnen, indem wir eine Stammfunktion bestimmen, diese an den Integrationsgrenzen auswerten, und dann die Differenz der Funktionswerte berechnen. Als Ergebnis erhalten wir so eine konkrete Zahl, die eine Flächenbilanz wiedergibt. Wir können also festhalten: Die harte Arbeit hat sich ausgezahlt! Wir wissen jetzt, was der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aussagt und wie wir ihn anwenden können. Ein absolutes Highlight einer jeden Mathekarriere! No Cap!

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse die verschiedenen Bedeutungen der Integration zusammen.

    Tipps

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt an, wie wir eine Flächenbilanz mit einer Stammfunktion berechnen können. Er verbindet die beiden Aspekte der Integration.

    Für integrieren wird umgangssprachlich manchmal der Begriff 'aufleiten' verwendet.

    Lösung

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet die beiden Deutungsmöglichkeiten der Integration. Er zeigt auf, wie wir konkrete Flächeninhalte mithilfe von Stammfunktionen berechnen können.

    Integration als Methode zur Flächenberechnung:
    Wir können die Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$-Achse mithilfe der Ober- und Untersummen bestimmen. Das Ergebnis ist eine Maßzahl.

    Integration als Umkehrung des Ableitens:
    Das Integral einer Funktion $f(x)$ liefert eine Stammfunktion $F(x)$, für die gilt: $F'(x)$ $= f(x)$.
    Da beim Ableiten konstante Terme verschwinden, addieren wir stets die Integrationskonstante $c \in \mathbb{R}$.

  • Vervollständige den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

    Tipps

    Um die Flächenbilanz zu berechnen, wird zunächst eine Stammfunktion gebildet. Diese wird an den Integrationsgrenzen ausgewertet und die Differenz zwischen der oberen und der unteren Grenze wird bestimmt.

    Beispiel:

    $\displaystyle \int\limits_2^3 x \ \text{d}x = \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{2}^{3} = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - \left(\frac{1}{2} \cdot 2^2 \right)$
    $~= \dfrac{9}{2} - \dfrac{4}{2} = 4{,}5 - 2 = 2{,}5~[\text{FE}]$

    Lösung

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt uns, wie wir den Wert eines bestimmten Integrals mit einer Stammfunktion bestimmen können:

    $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \ \text{d}x = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

    Wir werten also die Stammfunktion an den Integrationsgrenzen aus und bilden die Differenz.


    Beispiel:

    $\displaystyle \int\limits_1^3 8x^3 \ \text{d}x = \left[ 2 x^4 \right]_{1}^{3} = 2 \cdot (3)^4 - \left[2 \cdot (1)^4 \right] = 162 - 2 = 160~[\text{FE}]$

  • Beurteile die Aussagen zur Differential- und Integralrechnung.

    Tipps

    Eine Bilanz kann positive und negative Einträge enthalten.

    Hier siehst du die gesamte Fläche, die von einer Funktion $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

    Lösung

    Als Fundamentalsatz der Analysis bringt der Hauptsatz die Differential- und die Integralrechnung zusammen. Wir können so den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion $f(x)$ mit einer Stammfunktion $F(x)$ berechnen. Dabei gilt zwischen einer Funktion und einer Stammfunktion stets der Zusammenhang: $F'(x) = f(x)$. Diese Aussage ist also richtig.
    Die Integrationskonstante $c$, die wir beim Bilden der Stammfunktion berücksichtigen müssen, fällt bei der Berechnung weg.

    Beispiel: Für die Funktion $f(x) = x$ mit der Stammfunktion $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + c$ gilt:

    $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)\ \text{d}x = \int\limits_{a}^{b} x\ \text{d}x = \left[ \dfrac{1}{2}x^2 + c \right]_{a}^{b} = \dfrac{1}{2}b^2 + c - \left[\dfrac{1}{2}a^2 + c \right] = \dfrac{1}{2}b^2 - \dfrac{1}{2}a^2$

    Die Aussage Bei der Anwendung des HDI muss die Integrationskonstante $c = 0$ sein. ist demnach falsch.

    Wie in der Skizze oben zu sehen, zählen bei der Berechnung eines bestimmten Integrals Flächen oberhalb der $x$-Achse positiv und Flächen unterhalb der $x$-Achse negativ. Wir erhalten eine Flächenbilanz, deren Wert auch negativ sein kann.

    • Die Aussage Der HDI liefert eine Flächenbilanz. ist richtig.
    • Die Aussagen Der Wert eines bestimmten Integrals ist stets größer als $0$. und Bei der Anwendung des HDI zählen nur Flächen oberhalb der $x$-Achse. sind falsch.
  • Bestimme die Flächenbilanz mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

    Tipps

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet:

    $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \text{d}x = \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

    Beispiel:

    $\displaystyle \int\limits_{-5}^0 2~\text{d}x = \Bigl[ 2x \Bigr]_{-5}^{0} = 2 \cdot 0 - [2 \cdot (-5)] = 0 - [-10] = 10~[\text{FE}]$

    Lösung

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erlaubt uns das bestimmte Integral einer Funktion $f(x)$ mithilfe einer Stammfunktion $F(x)$ zu berechnen:

    $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \text{d}x = \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

    Wir wenden den Hauptsatz auf die Integrale an:

    1. Integral:

    $\displaystyle \int\limits_{-3}^2 5~\text{d}x = \Bigl[ 5x \Bigr]_{-3}^{2} = 5 \cdot 2 - \bigl[ 5 \cdot (-3) \bigr] = 10 - \bigl[ -15 \bigr] = 25$
    $\Rightarrow \quad 25~[\text{FE}]$

    2. Integral:

    $\displaystyle \int\limits_1^5 -x + 3~\text{d}x = \Bigl[ -\frac{1}{2} x^2 + 3x \Bigr]_{1}^{5}$
    $= -\frac{1}{2} \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 - \bigl[ -\frac{1}{2} \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 \bigr]$
    $= -12,5 + 15 - \bigl[ -0,5 + 3 \bigr]$
    $= 2,5 - 2,5 = 0$
    $\Rightarrow \quad 0~[\text{FE}]$

    3. Integral:

    $\displaystyle \int\limits_{-2}^1 x^2 + 2x - 7~\text{d}x = \Bigl[ \frac{1}{3} x^3 + x^2 - 7x \Bigr]_{-2}^{1}$
    $= \frac{1}{3} \cdot 1^3 + 1^2 - 7 \cdot 1 - \bigl[ \frac{1}{3} \cdot (-2)^3 + (-2)^2 - 7 \cdot (-2) \bigr]$
    $= \frac{1}{3} + 1 - 7 - \bigl[ -\frac{8}{3} + 4 + 14 \bigr]$
    $= \frac{1}{3} - 6 + \frac{8}{3} - 18 \bigr]$
    $= 3 - 24 = -21$
    $\Rightarrow \quad -21~[\text{FE}]$

    4. Integral:

    $\displaystyle \int\limits_{-2}^1 -x^3 + 2x~\text{d}x = \Bigl[ -\frac{1}{4} x^4 + x^2 \Bigr]_{-2}^{1}$
    $= -\frac{1}{4} \cdot 1^4 + 1^2 - \bigl[ -\frac{1}{4} \cdot (-2)^4 + (-2)^2 \bigr]$
    $= -\frac{1}{4} + 1 - \bigl[ -4 + 4 \bigr]$
    $= 0,75 - 0 = 0,75$
    $\Rightarrow \quad 0,75~[\text{FE}]$

  • Gib Stammfunktionen der Funktion $f(x)$ an.

    Tipps

    Potenzregel:

    $\displaystyle \int x^n \ \text{d}x = \frac{1}{n + 1}x^{n+1} + c$

    Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens.

    Lösung

    Um die Stammfunktion der gegebenen Polynomfunktion zu bilden, nutzen wir die Potenzregel:

    $\displaystyle \int x^n \ \text{d}x = \dfrac{1}{n + 1}x^{n+1} + c$

    Wenn wir das auf unsere Funktion anwenden, erhalten wir:

    $\displaystyle \int x^2 \ \text{d}x = \dfrac{1}{3}x^{3} + c$

    Damit erhalten wir die folgenden Stammfunktionen:

    • $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 1$ mit $c = 1$
    • $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 5$ mit $c = 5$
    Der Term $F(x) = 2x$ ist die Ableitung von $f(x)$, nicht die Stammfunktion. Hier gibt es keine Integrationskonstante. Damit ist auch $F(x) = 2x + 1$ keine Stammfunktion von $f$.

    Bei $F(x) = \frac{1}{2}x^2$ handelt es sich um die Stammfunktion der Funktion $f(x) = x$ und nicht $f(x) = x^2$.

    Hinweis: Du kannst auch $F(x)$ ableiten und überprüfen, ob die Ableitung mit $f(x)$ übereinstimmt.

  • Ermittle den Inhalt des Flächenstücks, das die Funktion $f(x)$ im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

    Tipps

    Es gilt:

    Die obere Integrationsgrenze ist die Nullstelle der Funktion.
    Du kannst diese durch Probieren ermitteln.

    Du kannst den Graphen zum Beispiel mithilfe der Nullstelle bei $x = 2$, des Schnittpunktes mit der $y$-Achse bei $3$ und den Extremstellen skizzieren um eine bessere Vorstellung des gesuchten Flächenstücks zu bekommen.

    Lösung

    Um den Inhalt des Flächenstücks zu ermitteln, das $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 0{,}5x + 3$ im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt, müssen wir zunächst die Nullstelle von $f(x)$ bestimmen.
    Da es sich um eine Polynomfunktion dritten Grades handelt, gibt es keine allgemeine Lösungsformel. Wir setzen positive $x$-Werte ein:

    $f(1) = -2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 0{,}5 \cdot 1 + 3 = -2 + 3 + 0{,}5 + 3 = 4{,}5$
    $f(2) = -2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 0{,}5 \cdot 2 + 3 = -16 + 12 + 1 + 3 = 0$
    $\Rightarrow$ Nullstelle bei $x = 2$.

    Hinweis: Wenn wir den Linearfaktor $(x - 2)$ zum Beispiel durch Polynomdivison vom Funktionsterm abspalten, erhalten wir: $f(x) = (x-2)(-2x^2-x-1{,}5)$. Dabei hat der quadratische Term in der Klammer keine weiteren Nullstellen. Alternativ kann der Graph der Funktion zum Beispiel mithilfe der Nullstelle bei $x = 2$, des Schnittpunktes mit der $y$-Achse bei $3$ und den Extremstellen (über die Ableitung zu bestimmen) skizziert werden, um eine bessere Vorstellung des gesuchten Flächenstücks zu bekommen.

    Das gesuchte Flächenstück erhalten wir durch Berechnung des Integrals mit den Grenzen $0$ und $2$. Wir nutzen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\displaystyle \int\limits_0^2 f(x)~\text{d}x = \int\limits_0^2 -2x^3 + 3x^2 + 0{,}5x + 3~\text{d}x$
    $= \left[ -2 \cdot \dfrac{1}{4} x^4 + 3 \cdot \dfrac{1}{3} x^3 + 0{,}5 \cdot \dfrac{1}{2} x^2 + 3 \cdot x \right]_{0}^{2}$
    $= \left[ -\dfrac{1}{2} x^4 + x^3 + \dfrac{1}{4} x^2 + 3x \right]_{0}^{2}$
    $= -\dfrac{1}{2} \cdot 2^4 + 2^3 + \dfrac{1}{4} \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - \left[-\dfrac{1}{2} \cdot 0^4 + 0^3 + \dfrac{1}{4} \cdot 0^2 + 3 \cdot 0\right]$
    $= -8 + 8 + 1 + 6 - \left[0\right] = 7$

    $\Rightarrow$ Das Flächenstück hat einen Inhalt von $7~[\text{FE}]$

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