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Rekonstruktion von Beständen – Einführung 09:02 min

Textversion des Videos

Transkript Rekonstruktion von Beständen – Einführung

Hallo! Mein Name ist Frank. In diesem Video schaue ich mir die Rekonstruktion von Beständen an. Du hast sicherlich schon das eine oder andere Mal eine Kurvendiskussion durchgeführt, kannst also Ableiten, und vielleicht hast du bei der einen oder anderen Kurvendiskussion auch schon mal eine Flächenberechnung durchgeführt. Und weiß auch wie Du integrieren musst. Das sind beides Handwerkszeuge, die ich jetzt im Laufe des Videos benötige. Und ich habe zuerst einmal eine Funktion vorbereitet die du hier links sehen kannst, und betrachte erst mal ein Beispiel, nämlich einen Baumbestand. Und der Baumbestand habe die Maßeinheit Flächeninhalten, also Ar = 100m². Hier links siehst du die Funktion die die Veränderung des Baumbestandes angibt und die Veränderung des Baumbestandes hat dann die Maßeinheit “Ar pro Jahr”. Das heißt, die x-Achse, die hier eingezeichnet ist, hätte die Maßeinheit “Jahr“. Also heißt das, wie verändert sich dieser Baumbestand in Abhängigkeit von dem Jahr, zum Beispiel durch Rodung. In den Bildern hier siehst du das, hier oben ist dieser Baumbestand noch sehr üppig. Dann wird gerodet, der wird weniger und noch weniger im Laufe der Zeit. Das kannst Du an dieser Funktion auch schon sehen. Diese Funktion liegt unterhalb der x-Achse. Das heißt, wir haben eine negative Veränderung, eine Verminderung. Und Du siehst auch, dass diese Funktion sich an die x-Achse anschmiegt, das heißt, die Veränderung wird immer kleiner. Und wenn du nun zurück zu den Beständen gehen möchtest, müsstest du dir Flächeninhalte anschauen. Wie hier, natürlich da es unterhalb liegt, negative Flächeninhalte. Und das werde ich jetzt im Folgenden machen. Nun schaue ich mir das Beispiel das ich vorhin erklärt habe mit diesem abnehmenden Baumbestand mal anhand einer Funktion an. Und zuerst einmal nehme ich die Funktion für den Bestand her, also f(x)=5e-0,2x. Diese Funktion kannst du da links sehen. Und du erkennst schon, wenn es der Bestand ist, der fängt an bei 5, also der Anfangsbestand wäre dann 5, und der geht runter. Und nun schaue ich mir an, wie ich von dem Bestand zu der Änderungsrate komme. Dafür habe ich zwei Punkte eingetragen, die du hier als Kreuzchen markiert siehst und die Verbindung dieser beiden Punkte ist eine Sekante. Und die steigende Sekante ist die sogenannte “mittlere Änderungsrate”. Und wenn ich jetzt gedanklich diesen einen Punkt, nehmen wir mal den linken, gegen den anderen Punkt wandern lasse, erhalte ich eine Tangente. Und die Steigung dieser Tangente bekomme ich durch Grenzwertbildung. Und das ist gerade f’(4) ist gerade der Grenzwert x geht gegen vier von f(x)-f(4). Und das Ganze geteilt durch (x-4). Und da erhalte ich ungefähr -0,4493. Also etwas Negatives. Was ja auch klar ist, da der Bestand runter geht. Und ich habe es hier schon dran geschrieben, das ist gerade die Ableitung der Funktion an der Stelle vier. Ich schreibe noch einmal die Ableitung an. Die Ableitung wäre f’(x), diese erhältst du durch die Kettenregel, also die Ableitung der äußeren Funktion. e-0,2x bleibt einfach stehen. Und dann die Ableitung der Inneren ist -0,2 das mal fünf ist minus eins. Also wäre das die Ableitung. Und die an 4 ist gerade das. Also die Änderungsrate ist nichts anderes als die Ableitung. Und das halte ich schon mal als ersten Merksatz fest. Wenn Du eine Aufgabenstellung hast in der der Bestand gegeben ist und du sollst die Änderungsrate bestimmen, dann musst du differenzieren. Wie das nun aussieht wenn die Aufgabenstellung genau umgekehrt ist, und das ist gerade die Rekonstruktion von Beständen, wenn du also eine Änderungsrate hast und davon zurück zu den Beständen kommen möchtest, das schaue ich mir dann im Folgenden an. Und nun kommen wir tatsächlich zur Rekonstruktion von Beständen, das heißt in diesem Fall habe ich die Änderungsrate vorgegeben, den Verlauf der Änderungsrate kannst du hier links sehen, f(x)=-e-0,2x. Und jetzt schaue ich, wie ich von dieser Änderungsrate zurück zu dem Bestand komme. Also das heißt, dass ich jetzt schon ein bisschen vorgreife, wenn ich hier die Änderungsrate hätte und ich müsste zurück zum Bestand, was muss ich dann tun? Und das schaue ich mir jetzt an. Wie ich ja vorhin schon sagte, der Anfangsbestand sei 5 Ar, also der Bestand ist ja in Ar, in Flächeninhalten gemessen. Die Funktion der Veränderung hat die Maßeinheit Ar pro Jahr und wie gesagt, die siehst du hier links. Und wenn Du jetzt mal schauen wolltest, wie verändert sich der Bestand in den ersten vier Jahren, dann heißt das, du fängst ja an mit dem Bestand fünf und das was du hier gelb als Fläche markiert siehst, ist die Abnahme des Bestandes. Das sieht dann wie folgt aus: Du müsstest erst mal die fünf, den Anfangsbestand hernehmen, und von der Fünf ausgehend das bestimmte Integral (von 0 bis 4) f(x) d x betrachten und dann drauf addieren. Hier wird was Negatives heraus kommen. Hier siehst Du den Hauptsatz der differentialen Integralrechnung noch einmal angeschrieben: Das bestimmte Integral von a bis b, f von x d x ist gerade groß F an der oberen Grenze minus groß F an der unteren Grenze. Also bräuchte ich hier eine Stammfunktion und das schreibe ich dann mal so auf. Eine Stammfunktion von klein f ist gegeben durch lineare Substitution, durch 5e-0,2x und das in den Grenzen von Null bis Vier. Wenn wir das auswerten sehen wir F(4)=5*e-0,8 und F(0)=5. Also 5-5 fliegt da raus. Also käme da raus: fünf mal e hoch -0,8. Und das ist ungefähr gleich... Oh, jetzt habe ich schon ein Gleichheitszeichen gemacht. Ungefähr gleich 2,2466. Es geht um den Bestand. Also wäre die Maßeinheit hier a für Ar. Das sind 100 Quadratmeter. Gut. Das heißt also, wenn Du die umgekehrte Aufgabenstellung hast, also von der Änderungsrate zum Bestand, müsstest Du integrieren. Dann fasse ich noch einmal kurz zusammen was ich in diesem Video gemacht habe. Ich habe mir angeschaut, wie ich aus einer Änderungsrate Bestände rekonstruieren kann. Dazu habe ich zuerst einmal den umgekehrten Weg wieder gemacht, vom Bestand zur Änderungsrate. Dafür müsstest du differenzieren. Und schließlich und endlich von der Änderungsrate, also die Änderungsrate sei gegeben, zum Bestand. Dafür müsstest du integrieren, so wie du es hier noch angeschrieben siehst. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

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Rekonstruktion von Beständen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rekonstruktion von Beständen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Rekonstruktion von Beständen.

    Tipps

    Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Sekante. Die Steigung einer Geraden erhält man durch ein Steigungsdreick:

    Diese ist gegeben durch die Differenz der y-Werte dividiert durch die Differenz der x-Werte.

    Die Ableitung einer Funktion steht für die Steigung dieser Funktion.

    Wenn man eine Funktion integriert und dann wieder differenziert, erhält man die Ausgangsfunktion. Dies gilt auch in umgekehrter Richtung.

    Lösung

    Wenn eine Bestandsfunktion gegeben ist, so kann man die (lokale) Änderungsrate mithilfe des Differentialquotienten bestimmen.

    Dieser ist der Grenzwert von Differenzenquotienten. (Man beachte den Unterschied zwischen Differentialquotient und Differenzenquotient.)

    Ein Differenzenquotient gibt die Steigung einer Sekante an. Somit gibt der Differentialquotient die Steigung einer Tangente an.

    Das bedeutet, dass man die (lokale) Änderungsrate aus der Bestandsfunktion durch Differenzieren erhält.

    Wenn umgekehrt die Änderungsrate gegeben ist, muss man integrieren, um die Bestandsfunktion zu ermitteln.

  • Vervollständige die Zusammenfassung zur Änderungsrate und zur Rekonstruktion von Beständen.

    Tipps

    Die Änderungsrate ist die Steigung einer Tangente.

    Die Steigung einer Funktion lässt sich mit Hilfe der ersten Ableitung bestimmen.

    Die Umkehrung des Differenzierens ist das Integrieren.

    Lösung

    Man kann sich die folgenden Sachverhalte einprägen:

    • Ist eine Änderungsrate gegeben, so erhält man die Bestandsfunktion durch Integrieren.
    • Ist die Bestandsfunktion gegeben, so erhält man die Änderungsrate durch Differenzieren.
  • Ermittle die Bestandsfunktion.

    Tipps

    Beachte, dass du integrieren musst, um zur Bestandsfunktion zu gelangen.

    Zu einer Exponentialfunktion mit linearer innerer Funktion

    $f'(x)=e^{ax+b}$

    ist eine Stammfunktion gegeben durch

    $f(x)=\frac1a e^{ax+b}$.

    Du kannst die Bestandsfunktion auch durch Differenzieren überprüfen.

    Lösung

    Gesucht ist die Funktion $f(x)$. Bekannt ist deren Ableitung. Es muss also integriert werden.

    Es gilt die lineare Substitutionsregel:

    $\int~-e^{ax+b}~dx~=~-\frac 1a ~e^{ax+b}$.

    Also gilt:

    $f(x)=-\frac1{-0,2}~e^{-0,2x}(+c)=5e^{-0,2x}(+c)$.

    $c$ ist die sogenannte Integrationskonstante.

  • Ermittle den Baumbestand.

    Tipps

    Du erhältst die Bestandsfunktion, indem du die Funktion, die die Änderung beschreibt, integrierst.

    Es muss für die Bestandsfunktion gelten:

    $B(0)=70$.

    Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem ein gegebener Bestand erreicht ist, musst du eine Gleichung lösen:

    $B=B(t)$.

    Dies ist eine Exponentialgleichung.

    Bei einer Exponentialgleichung muss man häufig irgendwann logarithmieren.

    Lösung

    Eine zu $c(t)$ gehörende Stammfunktion ist gegeben durch

    $C(t)=70~e^{-0,1t}$.

    Somit kann also der Bestand zu jedem beliebigen Zeitpunkt $t$ bestimmt werden mittels

    $\begin{align} B(t) & =70+\int\limits_0^t~c(x)~dx\\ & =70+C(t)-C(0)\\ & =70+C(t)-70=C(t) \end{align}$.

    So kann der Bestand zu jedem Zeitpunkt $t$ berechnet werden.

    Zum Beispiel ist für $t=10$ Jahre

    $B(10)=70~e^{-0,1\cdot 10}\approx 25,75$ [ha].

    Umgekehrt kann man auch berechnen, nach wie vielen Jahren sich zum Beispiel der Bestand halbiert hat. Zu lösen ist also die folgende Gleichung:

    $35~=~70~e^{-0,1t}$.

    Nun wird durch $70$ dividiert zu

    $\frac12~=~e^{-0,1t}$.

    Auf beiden Seiten wird der Logarithmus naturalis angewendet:

    $\ln(0,5)=-0,1t$

    und zuletzt durch $-0,1$ dividiert zu

    $t=\frac{\ln(0,5)}{-0,1}\approx 6,93$ Jahre.

    Das bedeutet, dass sich nach etwas weniger als $7$ Jahren der Baumbestand halbiert hat.

    Möge er sich schnell wieder verdoppeln!

  • Ermittle die Änderungsrate der Funktion $f(x)=2e^{0,5x}$ an den verschiedenen Stellen.

    Tipps

    Bestimme zunächst die erste Ableitung dieser Funktion.

    Verwende dazu die Kettenregel. Die Kettenregel ist in der Abbildung für eine Funktion der Form $f(x)=e^{ax+b}$ zu sehen.

    Die Ableitung der obigen Funktion ist gegeben durch $f'(x)=e^{0,5x}$.

    Um die lokale Änderungsrate an einer gegebenen Stelle zu bestimmen, setzt du die gegebene Stelle in die Ableitungsfunktion ein.

    Lösung

    Die Ableitung dieser Funktion ist gegeben durch

    $f'(x)=2\cdot 0,5~e^{0,5x}=e^{0,5x}$.

    Will man nun die lokale Änderungsrate an gegebenen Stellen bestimmen, setzt man die entsprechenden Stellen in diese Ableitung ein:

    • $x=0$ führt zu $f'(0)=e^{0,5\cdot 0}=e^0=1$
    • $x=1$ führt zu $f'(1)=e^{0,5\cdot 1}=e^{0,5}\approx 1,65$
    • $x=2$ führt zu $f'(2)=e^{0,5\cdot 2}=e^1=e\approx 2,72$
    • $x=3$ führt zu $f'(3)=e^{0,5\cdot 3}=e^{1,5}=4,5$
  • Bestimme die jeweilige Bestandsfunktion.

    Tipps

    Verwende jeweils die Faktorregel der Integration:

    $\int~(k\cdot f(x))~dx~=~k~\int~f(x)~dx$.

    Verwende die lineare Substitutionsregel der Integration

    $\int ~e^{ax+b}~dx~=~\frac1a~e^{ax+b}(+c)$.

    Du kannst auch jeweils zur Kontrolle die gegebene Bestandsfunktion ableiten.

    Lösung

    Bei jeder der Funktionen wird der Term $e^{3x}$ mit einem Faktor multipliziert. Das bedeutet, dass man die Faktorregel der Integration verwenden kann:

    $\int~(k\cdot f(x))~dx~=~k~\int~f(x)~dx$.

    Eine Stammfunktion von $e^{3x}$ ist gegeben durch

    $\frac13~e^{3x}$.

    Somit muss jeweils noch der Faktor mit dieser Stammfunktion multipliziert werden:

    • $0,2~e^{3x}$ hat als mögliche Bestandsfunktion $0,2\cdot \frac13~e^{3x}=\frac1{15}~e^{3x}$.
    • $3~e^{3x}$ hat als mögliche Bestandsfunktion $3\cdot \frac13~e^{3x}=e^{3x}$.
    • $0,5~e^{3x}$ hat als mögliche Bestandsfunktion $0,5\cdot \frac13~e^{3x}=\frac1{6}~e^{3x}$.
    • $2,4~e^{3x}$ hat als mögliche Bestandsfunktion $2,4\cdot \frac13~e^{3x}=0,8~e^{3x}=\frac4{5}~e^{3x}$.