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Grenzwertsätze für Funktionen 10:45 min

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Transkript Grenzwertsätze für Funktionen

Hallo, ich bin Giuliano. Ich möchte Dir die Grenzwertsätze für Funktionen vorstellen und Dir an Beispielen zeigen, wie man sie anwendet. Dazu wiederholen wir die Grenzwertsätze für „Folgen“. “Seien an und bn zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b, dann gilt limes a gegen ∞, von der Summe von den beiden Folgen, also an + bn, gleich limes n -> ∞ an + limes n -> ∞ bn.” Das heißt, wenn ich eine Summenfolge habe, kann ich die Grenzwerte der einzelnen Folgen berechnen und dann summieren. Das heißt eben a + b. Das Gleiche gilt auch für die sogenannte Differenzfolge, das heißt, limes n -> ∞ (an – bn) = limes n -> ∞ an – limes n -> ∞ bn = a – b. Dasselbe gilt auch für die Multiplikation, das heißt, limes n -> ∞ (an × bn), da kann ich also die einzelnen Grenzwerte der Folgen berechnen und dann multiplizieren. Im Endeffekt also a × b. Bei der sogenannten „Quotientenfolge“ muss man beachten, dass b ungleich 0 sein muss und bn ungleich 0 für alle Folgenglieder. Dann gilt limes n -> ∞ (an / bn), dass ich den limes n -> unendlich durch den Zähler, also an, geteilt durch limes n -> ∞ bn rechnen darf. Und das gibt dann eben a / b. Jetzt schauen wir uns die Grenzwertsätze für Funktionen an. Die sind eigentlich identisch zu den Grenzwertsätzen für Folgen, da Folgen spezielle Funktionen sind, das heißt hier haben wir eigentlich eine Verallgemeinerung. “Seien f und g zwei Funktionen und sei limes x -> ∞ f(x) = A und limes x -> ∞ g(x) = B, dann gilt, wie hier vorne, limes x -> ∞ (f(x) + g(x)), dass ich die Grenzwerte von den einzelnen Funktionen berechnen kann und dann addieren kann, das heißt A + B.” Das Gleiche gilt auch für die Differenz der beiden Funktionen, das heißt limes x -> ∞ (f(x) – g(x)), kann ich wieder die einzelnen Grenzwerte berechnen der Funktionen und dann subtrahieren, am Ende also A – B. Dasselbe gilt auch für die Multiplikation, das heißt, limes x -> ∞ (f(x) × g(x)) ist im Endeffekt dann auch A × B. Und wie bei der Quotientenfolge hier, muss auch bei dem Quotienten von den beiden Funktionen f und g auch beachtet werden, dass g(x) ungleich 0 ist, für alle x in der Umgebung von x -> ∞ oder später auch x -> x0. Und der Grenzwert B darf natürlich auch nicht 0 sein. Das heißt wir erhalten dann limes x -> ∞ (f(x) / g(x)), im Endeffekt A / B. Diese Grenzwertsätze für Funktionen gelten auch für limes x -> -∞ und x -> x0, wenn zum Beispiel x0 eine Definitionslücke ist. Jetzt möchte ich mit Dir gerne vier Beispiele durchrechnen, wo wir diese vier Grenzwertsätze einmal anwenden werden. Jetzt schauen wir uns die ersten beiden Beispiele an. Das erste Beispiel was wir uns angucken, ist limes x -> ∞ (5 / x2) + 3. Diese Funktion hier, (5 / x2) + 3, nenne ich jetzt einfach f(x) und sie besteht aus zwei Funkionen: 5 / x2 und einmal aus der konstanten Funktion 3. Und jetzt wenden wir hier den ersten Grenzwertsatz an. Das heißt, ich kann schreiben limes x -> ∞ (5 / x2) + limes x -> ∞ 3. Wenn ich jetzt hier x -> ∞ laufen lasse, dann steht hier 5 durch eine, in Anführungsstrichen ∞, also sehr große Zahl, das ist eben 0. Plus limes x -> ∞ 3, 3 ist eine Konstante, da kommt kein x vor, das heißt, es bleibt einfach 3, also haben wir insgesamt den Grenzwert 3. Das wollen wir jetzt noch einmal im Koordinatensystem ansehen. Hier seht ihr die Funktion (5 / x2) + 3, die ich jetzt f(x) genannt habe. Und sie kommt, ja, von oben herunter sozusagen, und nähert sich der „Asymptote“, y = 3 für x -> ∞ an. Kommen wir jetzt zum zweiten Beispiel. Beim zweiten Beispiel wenden wir jetzt den zweiten Grenzwertsatz an, eben für, ja, für eine Differenz von Funktionen. Das heißt, wir nehmen limes x -> ∞ 8 – ( 1 / x). Diese Funktion in der Mitte hier, in dem Grenzwert nenne ich jetzt g(x). Das heißt, g(x) besteht aus der konstanten Funktion 8 und die andere Funktion ist 1 / x. Das heißt, wir können wieder nach dem Grenzwertsatz schreiben limes x -> ∞ 8 – limes x -> ∞ (1 / x). Wenn wir da jetzt wieder x -> ∞ laufen lassen, ist hier einfach, oder bleibt einfach nur 8, weil hier kein x vorkommt. Und hier geht das, genauso wie im obigen Beispiel, gegen 0 und 8 – 0 = 8. Das wollen wir uns jetzt auch nochmal in einem Koordinatensystem ansehen, das siehst Du dort. Dort habt ihr die Funktion g(x), sie kommt diesmal von unten und nähert sich eben für x -> ∞ der Asymptote y = 8 an. Als nächstes gucken wir uns noch zwei weitere Beispiele an. Schauen wir uns jetzt das dritte Beispiel an. Im dritten Beispiel wollen wir den Grenzwert berechnen limes x -> -∞ 10a × (1 / x2). a ist hierbei eine reelle Zahl und der Definitionsbereich dieser Funktion hier ist, oder sind alle reellen Zahlen außer die 0, weil sonst hier im Nenner eine 0 steht. Jetzt wenden wir den dritten Grenzwertsatz an. Das heißt, limes x-> -∞ 10a × limes x -> -∞ (1 / x2). Jetzt wende ich den einfach an. Das heißt, hier x -> -∞ von 10a, bleibt einfach 10a, weil dort ist kein x vorhanden. Und wenn ich hier x -> -∞ laufen lasse, habe ich 1 durch eine ganz hohe positive Zahl, negative Zahl wäre auch egal, der Grenzwert dieses Ausdrucks hier ist eben 0, das heißt 10a × 0 = 0. Diese Funktion ist eine Funktionsschar, aber unabhängig von dem a ist der Grenzwert, limes x -> -∞, für alle Funktionen 0. Kommen wir jetzt zum letzten Beispiel und damit zur Anwendung des letzten Grenzwertsatzes. Das heißt wir schauen uns folgende Funktion an, limes x -> ∞ von der gebrochen rationalen Funktion (x2 +1) / (2x2 - 2). Diese Funktion hier nenne ich h(x). Der Definitionsbereich, beziehungsweise die Definitionsmenge, das sind alle reellen Zahlen außer 1 und -1, da sonst der Nenner hier 0 wird. Jetzt wollen wir also diesen Grenzwert berechnen. Dazu müssen wir zuerst jetzt eine Umformung machen, da, wenn ihr jetzt hier nochmal auf den Grenzwertsatz guckt, der Grenzwert selber nicht 0 sein darf, aber g(x) darf auch nicht 0 sein, aber es muss ja auch ein Grenzwert existieren. Wenn ich jetzt aber hier für x ∞ einsetze, habe ich im Zähler und im Nenner keinen Grenzwert, weil die hier gegen ∞ streben beide Funktionen. Das heißt wir müssen jetzt eine Erweiterung machen. Das heißt wir multiplizieren im Zähler 1 / x2 und im Nenner Dasselbe. Genau, x darf ja, darf jetzt hier nicht 0 sein. Das heißt, wir haben limes x -> ∞ von, wenn ich jetzt hier oben 1 / x2 multipliziere, dann erhalte 1 + (1 / x2) und unten 2 – (2 / x2). Jetzt habe ich also sichergestellt, dass im Zähler und Nenner Grenzwerte existieren, das heißt, ich kann den vierten Grenzwertsatz auf den Zähler und auf den Nenner anwenden. Das heißt, (limes x -> ∞ 1 + (1 / x2)) / (limes x -> ∞ 2 – (2 / x2)). Jetzt können wir sogar noch den ersten und zweiten Grenzwertsatz für den Zähler und Nenner anwenden. Und wir erhalten also (1 + 0) / (2 – 0). Das heißt insgesamt erhalten wir einen Grenzwert von 1/2. Das wollen wir uns jetzt nochmal im Koordinatensystem ansehen. Hier siehst Du jetzt die Funktion h(x) im Koordinatensystem. Bei den Definitionslücken 1 und -1 entpuppen sich quasi jetzt als Polstellen, weil die Funktion dort gegen plus, beziehungsweise minus ∞ strebt. Und für x -> ∞ strebt diese Funktion h(x) gegen die Asymptote y = 1/2. Jetzt möchte ich einmal zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: Zu Beginn haben wir uns die Grenzwertsätze für Folgen angesehen und dann die Grenzwertsätze für Funktionen analog übertragen. Das heißt, diese vier Grenzwertsätze haben wir uns angesehen. Und dann habe ich Dir an vier Beispielen gezeigt, wie man diese vier Grenzwertsätze anwenden kann. Ich hoffe, dass Du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Giuliano.

4 Kommentare
  1. @Jacqueline Siemann: Würde man in der Ausgangsgleichung x gegen unendlich streben lassen, würde sowohl der Nenner, als auch der Zähler gegen unendlich streben. Es würde also kein Grenzwert existieren. Hier wird ein Mathematische Kniff genutzt. Es wird sowohl der Zähler als auch der Nenner mit dem selben Term multipliziert. Es gilt: (1/x²)/(1/x²)=1
    Es wird in der Regel bei solchen Funktionen mit 1/(x hoch höchste Potenz im Zähler bzw. Nenner multipliziert).
    Würde die Funktion lauten:

    f(x)=(3x³-1)/(2x³+2), dann würde der Zahler und der Nenner mit 1/x³ multipliziert werden.
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 3 Jahren
  2. Das Video ist echt klasse ! Ich habe nur nicht so richtig verstanden wie man bei dem 4. Beispiel darauf kommt , dass die Funktion keinen GW hat , bzw. wie man weiß mit was man die Funktion dann multiplizieren muss damit es einen GW gibt . :-/

    Von Jacqueline Siemann , vor mehr als 3 Jahren
  3. sicher, dass man das für das Abitur braucht ich glaube eigentlich nicht

    Von Benbela, vor etwa 4 Jahren
  4. Haha. Ich habs gecheckt. Danke !!!!

    Von Selcuk Privat, vor mehr als 5 Jahren

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Grenzwertsätze für Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grenzwertsätze für Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Grenzwerte der angegebenen Funktionen.

    Tipps

    Verwende die Grenzwertsätze für Summen und Differenzen von Funktionen.

    1. $\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)+\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A+B$ sowie
    2. $\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A-B$

    Wogegen konvergiert die Funktion $\frac1x$, wenn x immer größer wird, also gegen $\infty$ geht?

    Lösung

    Du kannst die beiden Grenzwertsätze zu Summen und Differenzen von Funktionen verwenden:

    1. $\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)+\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A+B$ und
    2. $\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A-B$
    Die Funktion $\frac5{x^2}+3$ ist die Summe zweier Funktionen, also verwenden wir den 1. Grenzwertsatz.

    $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac5{x^2}+3\right)&=\lim\limits_{x \to \infty}\frac5{x^2}+\lim\limits_{x\to\infty}3\\ & = 0+3=3=A. \end{align*}$

    Durch den 2. Grenzwertsatz kann der Grenzwert B berechnet werden.

    $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}\left( 8-\frac1x\right)&=\lim\limits_{x \to \infty}8-\lim\limits_{x\to\infty}\frac1x\\ & = 0+3=3=B. \end{align*}$

    Wichtig an dieser Stelle ist, dass x und $x^2$ für $x\rightarrow \infty$ immer größer werden und somit sich die Kehrwerte $\frac{1}{x}$ und $\frac{5}{x^2}$ immer stärker an Null annähern.

  • Schildere die einzelnen Schritte zur Berechnung des Grenzwertes.

    Tipps

    Verwende die Grenzwertsätze:

    $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}(f(x)+g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)+\lim\limits_{x \to \infty}g(x)\\ \lim\limits_{x \to \infty}(f(x)-g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-\lim\limits_{x \to \infty}g(x)\\ \lim\limits_{x \to \infty}(f(x) \cdot g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x) \cdot \lim\limits_{x \to \infty}g(x)\\ \lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)&=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}f(x)}{\lim\limits_{x \to \infty}g(x)} \end{align*}$

    Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, müssen die entsprechenden Funktionen Grenzwerte besitzen. Bei dem Quotienten zweier Funktionen darf der Grenzwert des Nenners und auch die Nennerfunktion ab einem gewissen Funktionswert nicht 0 sein.

    Du musst also gegebenenfalls die Funktion umformen.

    Du wendest in diesem Beispiel die Regel zur Berechnung des Grenzwertes von Quotienten, Summen und Differenzen zweier Funktionen an.

    Lösung

    Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, müssen die betrachteten Funktionen konvergieren, das heißt einen Grenzwert besitzen. Um dies zu erreichen, muss eine Funktion gegebenenfalls umgeformt werden.

    In diesem Beispiel wird der Bruch mit $\frac1{x^2}$ erweitert. Somit konvergiert sowohl die Funktion im Zähler als auch die im Nenner. Für die Berechnung des Grenzwertes im Zähler wird der Grenzwertsatz für Summen von Funktionen und im Nenner der Grenzwertsatz für Differenzen von Funktionen verwendet. Insgesamt sieht die Rechnung folgendermaßen aus:

    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{2x^2-2}\right)&=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{\frac1{x^2}(x^2+1)}{\frac1{x^2}(2x^2-2)}\right)\\ &=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{1+\frac1{x^2}}{2-\frac2{x^2}}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x^2}\right)}{\lim\limits_{x\to\infty}\left(2-\frac2{x^2}\right)}\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}1+\lim\limits_{x\to\infty}\frac1{x^2}}{\lim\limits_{x\to\infty}2-\lim\limits_{x\to\infty}\frac2{x^2}}\\ &=\frac{1+0}{2-0}=\frac12. \end{align*}$

  • Untersuche die Funktionen auf Konvergenz und gib die Grenzwerte für $x \to \infty$ an.

    Tipps

    Wende die Grenzwertsätze für die Berechnung von Grenzwerten von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten zweier Funktionen an.

    Du darfst verwenden, dass

    $\large{\lim\limits_{x\to\infty}\frac1{x^n}=0}$ für $n\in\mathbb{N}$ mit $n\neq 0$.

    Lösung

    In jedem der Beispiele wird einer der Grenzwertsätze verwendet.

    Der Grenzwert $\large{\lim\limits_{x\to \infty}\frac1{x^n}=0}$ für $n\in \mathbb{N}$ für $n\neq 0$ darf vorausgesetzt werden. Die Grenzwertsätze lauten im Einzelnen:

    $\begin{align*} &~~\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)+\lim\limits_{x \to \infty}g(x)\\ &~~\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-\lim\limits_{x \to \infty}g(x)\\ &~~\lim\limits_{x \to \infty}(f(x) \cdot g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x) \cdot \lim\limits_{x \to \infty}g(x)\\ &~~\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}f(x)}{\lim\limits_{x \to \infty}g(x)} \end{align*}$

    Diese können wir nun konkret anwenden:

    1. Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac2{x^3}+3\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac2{x^3}+\lim\limits_{x\to\infty}3=0+3=3$ mit der Summenregel.
    2. Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{-4}{x}-2\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-4}{x}-\lim\limits_{x\to\infty}2=0-2=-2$ mit der Differenzregel.
    3. Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty} \left(2\cdot \frac1{x^2} \right)=\lim\limits_{x\to\infty} 2 \cdot \lim\limits_{x\to\infty} \frac1{x^2}=2\cdot0=0$ mit der Produktregel.
    4. Die Grenzwerte der Funktionen f und g sind 3 beziehungsweise -2. Also gilt $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}f(x)}{\lim\limits_{x\to\infty}g(x)}=\frac3{-2}=-1,5$.
  • Ermittle den Grenzwert der angegebenen Funktion.

    Tipps

    Du kannst die Grenzwertsätze analog für $x\to x_0$ formulieren, indem du $x\to \infty$ durch $x\to x_0$ ersetzt.

    Wenn ein Grenzwert $\lim\limits_{x\to x_0}$ existiert, wobei $x_0$ eine Definitionslücke ist, so muss die betreffende Funktion zunächst umgeformt werden. In unserem Fall konvergiert $\frac{3}{x-1}$ für $x\to 1$ nicht gegen eine Zahl.

    Der Term $(x-1)$ im Nenner lässt sich kürzen.

    In diesem Fall spricht man von einer hebbaren Definitionslücke.

    Lösung

    Wenn x gegen 1 geht, dann geht der Nenner sowohl im Minuenden als auch im Subtrahenden gegen 0. So sind die Grenzwertsätze nicht anwendbar.

    Beide Brüche haben den gleichen Nenner, also können sie auch subtrahiert werden und dann fällt nach Ausklammern von 3 im Zähler auf, dass da die dritte binomische Formel verwendet werden kann:

    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to1}\left(\frac{3x^2}{x-1}-\frac3{x-1} \right)&=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{3x^2-3}{x-1}\right)\\ &=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{3(x^2-1)}{x-1}\right)\\ &=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}\right)\\ &=\lim\limits_{x\to1}3(x+1)=3\cdot2=6. \end{align*}$

    Der Term $(x-1)$ im Nenner lässt sich also kürzen und es existiert ein Grenzwert. Man spricht dann von einer hebbaren Definitionslücke. Andernfalls handelt es sich bei der Definitionslücke um eine Polstelle.

  • Ergänze die Grenzwertsätze für Funktionen.

    Tipps

    Mit den Grenzwertsätzen kannst du immer zuerst die Einzelgrenzwerte betrachten und im Anschluss den Grenzwert des Gesamtausdrucks bestimmen.

    Ein Beispiel: Für $\lim\limits_{x \to \infty}2+\frac1x$ gilt für die Einzelgrenwerte $\lim\limits_{x \to \infty}2=2$ und $\lim\limits_{x \to \infty}\frac1x=0$. Dann konvergiert die Funktion $f(x)=2+\frac1x$ gegen $2+0=2$.

    Lösung

    Die Grenzwertsätze für Funktionen bieten ein Handwerkszeug zur Berechnung von Grenzwerten. Dabei müssen die miteinander über die Grundrechenarten verknüpften Funktionen konvergent sein. Das heißt:

    $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty} f(x)=A\\ \lim\limits_{x \to \infty} g(x)=B. \end{align*}$

    Die Grenzwertsätze gelten auch für die Berechnung der Grenzwerte $\lim\limits_{x\to -\infty}$ sowie $\lim\limits_{x\to x_0}$, wobei $x_0$ eine Definitionslücke ist. Die Grenzwertsätze lauten:

    1. $\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)+\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A+B$
    2. $\lim\limits_{x \to \infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A-B$
    3. $\lim\limits_{x \to \infty}(f(x) \cdot g(x))=\lim\limits_{x \to \infty}f(x) \cdot \lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A \cdot B$
    4. $\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}f(x)}{\lim\limits_{x \to \infty}g(x)}=\frac{A}{B}$ Hier muss zusätzlich noch gelten, dass sowohl die Werte der Nennerfunktion ab einer gewissen Wert als auch der Grenzwert ungleich 0 sind.
    Zusammengefasst kannst du den Grenzwert einer Summe von Funktionen als die Summe der Grenzwerte, den Grenzwert einer Differenz von Funktionen als die Differenz der Grenzwerte, den Grenzwert eines Produktes von Funktionen als das Produkt der Grenzwerte und den Grenzwert eines Quotienten von Funktionen als den Quotienten der Grenzwerte unter den oben angegebenen Voraussetzungen berechnen.

  • Untersuche in Abhängigkeit der Koeffizienten, wogegen die Funktion konvergiert.

    Tipps

    Erweitere den Bruch mit $\frac1{x^2}$. Somit erhältst du sowohl im Zäher als auch im Nenner eine Funktion mit einem Grenzwert.

    Sowohl den Zähler- als auch den Nennergrenzwert kannst du mit den Grenzwertsätzen berechnen.

    Der Grenzwert des Bruches ist dann der Quotient der Grenzwerte.

    Im Fall $d=0$ ist der Grenzwert im Nenner 0. Was bedeutet dies?

    Lösung

    Zur Berechnung des Grenzwertes der Funktion $\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{a \cdot x^2+b\cdot x+c}{d\cdot x^2+e\cdot x+f}\right)$ muss zunächst der Bruch mit $\frac1{x^2}$ erweitert werden. Dadurch stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner Funktionen, welche einen Grenzwert haben. Wir nutzen dabei die Summenregel und den Umstand, dass die Grenzwerte von $\frac{1}{x}$ und $\frac{1}{x^2}$ für $x\to \infty$ jeweils Null sind:

    $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{a \cdot x^2+b\cdot x+c}{d\cdot x^2+e\cdot x+f}\right)&=\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{\frac1{x^2}(a \cdot x^2+b\cdot x+c)}{\frac1{x^2}(d\cdot x^2+e\cdot x+f)}\right)\\ &=\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{a +\frac bx+\frac c{x^2}}{d+\frac ex+\frac f{x^2}}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}\left(a +\frac bx+\frac c{x^2}\right)}{\lim\limits_{x \to \infty}\left(d+\frac ex+\frac f{x^2}\right)}\\ &=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}a +\lim\limits_{x \to \infty}\frac bx+\lim\limits_{x \to \infty}\frac c{x^2}}{\lim\limits_{x \to \infty}d+\lim\limits_{x \to \infty}\frac ex+\lim\limits_{x \to \infty}\frac f{x^2}}\\ &=\frac{a+0+0}{d+0+0}=\frac{a}{d} \end{align*}$

    Damit sind sowohl der 1. als auch der 3. Fall erklärt. Der Grenzwert ist $\frac ad$ im ersten Fall. Für den dritten Fall ist der Grenzwert gerade 0.

    Der zweite Fall mit $a\neq 0$ und $d=0$ würde im Nenner zu einem Grenzwert 0 führen. Die Funktion ist dann divergent. Allgemein gilt, dass die Funktion divergent ist, wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad ist.