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Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1) 10:43 min

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Transkript Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1)

Hallo und herzlich willkommen bei sofatutor. In diesem Video geht es um die rekursive Funktionsvorschrift des logistischen Wachstums.

Um dieses Video gut verstehen zu können, solltest du schon Vorwissen über die beiden wichtigsten Wachstumsfunktionen im Schulunterricht - das lineare und das exponentielle Wachstum - haben. Außerdem solltest du wissen, was eine rekursive Funktionsvorschrift ist, und den Graphen bei logistischem Wachstum kennen.

Wir wollen heute anhand einer einfachen Aufgabe klären, wann wir mit Hilfe des Modells des logistischen Wachstums arbeiten können. Dazu benötigen wir die allgemeine rekursive Funktionsvorschrift für das logistische Wachstum.

Dabei kommen wir auch noch einmal auf die rekursiven Vorschriften für lineares und exponentielles Wachstum zurück. Anhand unseres Beispiels wollen wir die notwendigen Größen berechnen und nutzen, um mit der rekursiven Funktionsvorschrift die gestellten Fragen beantworten zu können.

Lineares, exponentielles und logistisches Wachstum

Fassen wir zunächst kurz zusammen, was wir schon wissen:

Lineares Wachstum bedeutet: In gleichen Zeitspannen nehmen die Werte um den gleichen Summanden zu. In der rekursiven Schreibweise erhalten wir: f zum Zeitpunkt t plus 1 ist gleich f von t plus m. Als Graph erhalten wir eine Gerade mit der Steigung m.

Exponentielles Wachstum bedeutet: In gleichen Zeitpannen werden die Werte mit dem gleichen Faktor q multipliziert. In der rekursiven Darstellung erhalten wir: f zum Zeitpunkt t plus 1 ist gleich q mal f(t). Als Graph erhalten wir den klassischen exponentiellen Verlauf mit dem Wachstumsfaktor q.

Wie sieht dies jetzt beim logistischen Wachstum aus? Wir kennen schon den klassischen Verlauf des Graphen beim logistischen Wachstum. Zur Erinnerung: Zunächst steigt das Wachstum ähnlich dem exponentiellen Wachstums, ab dem Wendepunkt verlangsamt sich die Zunahme und nähert sich der oberen Grenze.

Unser Ziel heute soll es sein, die rekursive Vorschrift an einem Beispiel zu entwickeln und daraus die allgemeine rekursive Funktionsvorschrift beim logistischen Wachstum herzuleiten.

Rekursive Vorschrift bei logistischem Wachstum an einem Beispiel

Auf einer einsamen Südseeinsel, weit ab von jeder anderen Zivilisation, leben 5000 Menschen. Drei Lausbuben verabreden sich an einem dieser langen und langweiligen Abende ein Gerücht in Umlauf zu setzen.

Die meist diskutierte Frage an diesem Abend ist, wie viele Tage es wohl dauern wird, bis es allen anderen Inselbewohnern zu Ohren gekommen ist. Die drei erkennen schnell, dass es nur eine Person gibt, die ihnen helfen kann: Der alte Dorflehrer!

Am nächsten Morgen tragen sie dem Lehrer ihr Problem vor: Der erste erklärt, er gehe davon aus, dass jeden Tag sicherlich 1700 Menschen neu hinzu kämen und somit nach 3 Tagen alle Bescheid wüssten.

Der Alte lobt seinen Schüler: "Du hast gut aufgepasst und unterstellst ein lineares Wachstum. Kannst du dir vorstellen, dass es einen Unterschied macht, wie viele Leute das Gerücht schon kennen? Jeder, der es kennt, kann es seinen Begegnungen weiter erzählen." Das leuchtet dem Jungen ein und er erkennt die Schwachstelle seines Modells.

Der zweite unterstellt einen Wachstumsfaktor von 3,5 und berechnet mühsam, dass es dann 6 Tage dauert, bis auch der letzte davon weiß.

Zum Zweiten sagt der Alte: “Du hast gut aufgepasst und nimmst ein exponentielles Wachstum an. Hast du bedacht, dass manche von uns sehr zurück gezogen leben und nicht viele Kontakte haben, so dass sich das Wachstum verlangsamen könnte, wenn die geselligen Mitbewohner davon erfahren haben?” Das leuchtet dem Jungen ein und auch er erkennt die Schwachstelle seines Modells.

Nun ist der Dritte gefordert, seine Idee zu verteidigen: "Ich habe mir überlegt, dass am Anfang noch fast jeder den wir treffen, dass Gerücht nicht kennt. Sehr schnell erfahren unsere Freunde und Eltern und Familienangehörige davon. Aber dann kommt der Punkt, an dem viele schon das Gerücht kennen.

Je mehr Leute davon wissen, umso schwerer wird es, jemanden zu finden, dem das Gerücht noch nicht zu Ohren gekommen ist. Tja, und irgendwann weiß es jeder, wer sollte dann noch neu dazu kommen? Leider habe ich keine Idee, wie ich das mathematisch aufschreiben kann, aber es scheint mir passend für die Verbreitung des Gerüchts."

Der alte Dorflehrer kann sein Glück kaum fassen und applaudiert begeistert: "Du hast eine tolle Idee gehabt. Diese hat sogar einen eigenen Namen in der Mathematik. Ein Wachstum, welches sich so verhält wie von dir beschrieben heißt logistisches Wachstum. In der Natur verhalten sich viele Wachstumsprozesse genau so. Ich will dir jetzt noch die Mathematik dazu erklären:

An jedem Tag t gibt es f von t Menschen, die von dem Gerücht wissen. Hier wohnen insgesamt 5000 Menschen, das ist unsere obere Schranke S, also gibt es noch 5000 minus f von t, die noch nicht von dem Gerücht gehört haben.

Damit sich euer Gerücht verbreitet müssen sich ein Wissender und ein Unwissender begegnen, dafür gibt es in der Theorie f von t mal S minus f von t Möglichkeiten.

In der Praxis finden allerdings nicht alle dieser theoretisch möglichen Begegnungen statt und nicht jede Begegnung führt zur Verbreitung des Gerüchtes. Nehmen wir einfach mal an, täglich würden 0,02 Prozent der theoretisch möglichen Begegnungen stattfinden und das Gerücht würde weitergegeben.

Damit würden jeden Tag 0,0002 mal f von t mal S minus f von t Menschen dazukommen, die neu von dem Gerücht erfahren hätten. Das ist unsere Änderungsrate. Wir sehen, dass die Änderungsrate proportional zum Produkt von f von t und S minus f von t ist und den Proportionalitätsfaktor k = 0,0002 hat.

Und schon kennt ihr die rekursive Vorschrift für die Funktion, die die Verbreitung eures Gerüchtes beschreibt: Zum Zeitpunkt t plus 1 wissen alle von dem Gerücht, die schon vorher davon wussten also f von t und alle neu hinzugekommenen, also 0,0002 mal f von t mal S minus f von t.

Zum Zeitpunkt t gleich 0 wisst nur ihr drei von dem Gerücht, damit können wir ausrechnen, wie viele Menschen nach einem Tag, also zum Zeitpunkt t = 1, Bescheid wissen. Wir erhalten eine Änderung von 2,9982 und somit ungefähr 6 Menschen die nach einem Tag informiert sind.

Ebenso berechnen wir mit Hilfe von f zum Zeitpunkt t = 1 f zum Zeitpunkt t = 2. Auf diese Weise berechnen wir dann die Anzahl der Wissenden von Tag zu Tag. Ich habe zur Berechnung einmal einen Computer zur Hilfe genommen. Dieser hat mir folgende Tabelle berechnet.

Am Tag t = 14 hat das Gerücht 4999,73184 Personen erreicht, dass sind gerundet 5000 Menschen, also das ganze Dorf. Es braucht also 14 Tage bis jeder im Dorf das Gerücht kennt. Übrigens kannst du an dem Schaubild gut erkennen, dass sich das Gerücht zwischen dem siebten und zehnten Tag am schnellsten verbreitet.

Damit endet der Dorflehrer seine Ausführungen und wendet sich wieder dem dritten Jungen zu: “Du wirst begeistert sein, mit deiner Schätzung von 14 Tagen zur Verbreitung des Gerüchts, hast du goldrichtig gelegen. Ich hoffe, ihr anderen zwei Lausbuben habt nun auch verstanden, warum ihr im Unrecht gewesen seid.”

Zusammenfassung

Nachdem wir mit Hilfe des Dorflehrers nun verstanden haben, dass es wohl ungefähr zwei Wochen dauern wird, bis sich das Gerücht auf der ganzen Insel verbreitet hat, fassen wir das Wesentliche zusammen. Der charakteristische Verlauf: Zunächst steigt das Wachstum ähnlich dem exponentiellen Wachstum, ab dem Wendepunkt verlangsamt sich die Zunahme und nähert sich der oberen Grenze.

Du hast gesehen, dass die Änderungsrate mit dem Proportionalitätsfaktor k proportional zum Produkt von f von t und S minus f von t ist.

Die rekursive Vorschrift erhältst du, wenn wir die Summe aus dem Funktionswert zum Zeitpunkt t und der Änderungsrate zum Zeitpunkt t bilden. Durch sukzessives Einsetzen der einzelnen Zeitpunkte haben wir dann mit der rekursiven Vorschrift die einzelnen Werte für t = 1 bis 14 bestimmt.

So, nun hast du zum ersten Mal die rekursive Vorschrift bei logistischem Wachstum kennengelernt und freust dich hoffentlich schon auf unser nächstes Video, bei dem wir diese Formel dann nutzen, um Aufgabenstellungen zu bearbeiten, bei denen es um logistisches Wachstum geht.

Tschüss und bis bald!

Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Erkläre die verschiedenen Wachstumsarten.

    Tipps

    Der Verlauf des linearen Wachstums lässt sich durch eine Gerade beschreiben. Die Steigung der Geraden ist überall gleich.

    $f(x)=2^x$ ist zum Beispiel eine Exponentialfunktion.

    Sie beschreibt den Verlauf von exponentiellem Wachstum.

    Es gilt $2^{n+1}=2\cdot 2^n$.

    Lösung

    Beim linearen Wachstum nehmen in gleichen Zeitspannen die Werte um den gleichen Summanden zu. Die rekursive Schreibweise lautet:

    $f(t+1)=f(t)+m$.

    Bei exponentiellem Wachstum werden in gleichen Zeitspannen die Werte mit dem gleichen Faktor $q$ multipliziert. Die rekursive Darstellung ist gegeben durch:

    $f(t+1)=q\cdot f(t)$.

    Der Verlauf des logistischen Wachstums

    • ist zunächst langsam und dann immer schneller steigend. Dies entspricht exponentiellem Wachstum.
    • Dann verlangsamt sich die Steigung.
    • Irgendwann bleibt die Zahl gleich. Dies ist die obere Grenze.
    Die rekursive Darstellung ist gegeben durch:

    $f(t+1)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$.

  • Beschreibe, wie sich das Gerücht auf der Insel verbreitet.

    Tipps

    Es können nicht mehr Menschen das Gerücht erfahren, als sich auf der Insel befinden.

    Je mehr Menschen das Gerücht kennen, umso weniger können es noch erfahren.

    Lösung

    Am Anfang kennen nur die $3$ Jungen das Gerücht, also $f(0)=3$. Sie erzählen es weiter: Dabei kann jeder der $3$ Jungen das Gerücht einem der anderen $5000-3=4997$ Inselbewohner erzählen. Er wird aber nicht jeden antreffen. Deshalb wird die Anzahl $3\cdot (5000-3)$ mit einem Faktor kleiner als $1$ multipliziert. Nach einem Tag kennen also die $3$ Jungen und diejenigen Personen das Gerücht, die sie getroffen haben und denen sie das Gerücht erzählt haben. Nun können alle, die das Gerücht kennen, dieses weiterverbreiten.

    • Zum einen können zwar mehrere Inselbewohner das Gerücht verbreiten,
    • zum andern gibt es aber auch immer weniger Inselbewohner, die es noch nicht kennen.
    Es liegt also weder lineares noch exponentielles Wachstum vor. Diese beiden Wachstumsarten sind unbegrenzt.

    Da sich auf der Insel aber nur $5000$ Menschen befinden, ist das Wachstum für das Gerücht begrenzt. Man nennt ein solches Wachstum logistisch.

    Das Gerücht hat sich nach $14$ Tagen auf der gesamten Insel verbreitet, wenn wir einen Wachstumsfaktor von $k=0,002$ annehmen.

  • Gib die rekursive Vorschrift für die Verbreitung des Gerüchts an.

    Tipps

    Zum Zeitpunkt $t$ kennen $f(t)$ Inselbewohner das Gerücht. Zum Zeitpunkt $t+1$ müssen mehr als $f(t)$ Personen das Gerücht kennen.

    Mehr als die Anzahl der Inselbewohner können das Gerücht nicht erfahren. Es ist $S=5000$.

    Der Verlauf des logistischen Wachstums

    • ist zunächst langsam und dann immer schneller steigend. Dies entspricht exponentiellem Wachstum.
    • Dann verlangsamt sich die Steigung.
    • Irgendwann bleibt die Zahl gleich. Dies ist die obere Grenze.

    Die Änderungsrate entspricht gerade der Differenz $f(t+1)-f(t)$.

    Lösung

    Das logistische Wachstum ist häufig anzutreffen.

    Sei $t$ die Anzahl der Tage und $f(t)$ die Anzahl derer, die das Gerücht kennen. Die Anzahl der Inselbewohner ist die obere Schranke $S=5000$.

    Damit ist zum Zeitpunkt $t$ $5000-f(t)$ die Anzahl derer, die das Gerücht noch nicht kennen.

    Nun können die, die das Gerücht kennen, diejenigen treffen, die das Gerücht noch nicht kennen. Es kann also zu $f(t)\cdot (S-f(t))$ Begegnungen kommen. Da nicht jede Begegnung stattfinden wird und auch nicht immer das Gerücht ausgetauscht wird, wird diese Zahl mit einem Faktor kleiner als $1$ multipliziert. Wir können zum Beispiel $k=0,0002$ wählen. Dieser Faktor heißt Proportionalitätsfaktor.

    Damit kann die rekursive Formel angegeben werden:

    $f(t+1)=f(t)+0,0002\cdot f(t) \cdot (5000-f(t))$.

    Zu den $f(t)$ Personen, die das Gerücht zum Zeitpunkt $t$ kennen, kommen die Personen aus der Änderungsrate $0,0002\cdot f(t) \cdot (5000-f(t))$ hinzu.

  • Prüfe, wie lange es dauert, bis der See zu $90~\%$ mit Seerosen bedeckt ist.

    Tipps

    Wenn der See zu $90~\%$ mit Seerosen bedeckt ist, befinden sich $9000$ Seerosen auf dem See.

    Es gibt eine Wochenzahl, in welcher die Zahl noch unter $90~\%$ ist und eine, in welcher die Zahl darüber ist.

    Nach $3$ Wochen ist der See zu $61~\%$ mit Seerosen bedeckt.

    Es ist $f(0)=3000$ und $S=10000$.

    Lösung

    Da $f(0)=3000$ ist, gilt

    • $f(1)=3000+0,000045\cdot 3000\cdot 7000=3945$
    • $f(2)=3945+0,000045\cdot 3945\cdot 6055\approx 5020$
    • $f(3)=5020+0,000045\cdot 5020\cdot 4980\approx6145$
    • $f(4)=6145+0,000045\cdot 6145\cdot 3855\approx7211$
    • $f(5)=7211+0,000045\cdot 7211\cdot 2789\approx8116$
    • $f(6)=8116+0,000045\cdot 8116\cdot 1884\approx8804$
    • $f(7)=8804+0,000045\cdot 8804\cdot 1196\approx9278$.
    Nach $6$ Wochen ist der See zu $88~\%$ mit Seerosen bedeckt und nach $7$ Wochen zu $93~\%$.

    Das bedeutet, dass der See zwischen der sechsten und siebten Woche zu $90~\%$ mit Seerosen bedeckt ist.

  • Entscheide anhand des Verlaufs, welche Wachstumsart vorliegt.

    Tipps

    Beim logistischen Wachstum:

    • gibt es eine obere Schranke,
    • am Anfang steigt der Graph langsam,
    • dann schneller,
    • dann wieder langsamer und
    • ändert sich schließlich nicht mehr.

    Lineares und exponentielles Wachstum sind jeweils unbegrenzt.

    Das logistische Wachstum hat einen charakteristischen S-förmigen Verlauf.

    Lösung

    Der einzige Graph, welcher logistisches Wachstum zeigt, ist der Violette.

    • Bei dem Grünen handelt es sich um exponentielles Wachstum. Dessen Verhalten entspricht zu Beginn dem des logistischen Wachstums, jedoch ist exponentielles Wachstum nicht begrenzt.
    • Der rote Graph ist ein Ast einer quadratischen Funktion.
    • Bei dem blauen Graphen handelt es sich um eine stückweise definierte lineare Funktion.

  • Berechne die Anzahl der Seerosen zu den Zeiten $t=0$ bis $t=5$.

    Tipps

    Den Anfangswert kannst du der Tabelle entnehmen. Es ist $S=10000$.

    Es gilt $f(1)=f(0)+0,000045\cdot f(0)\cdot (10000-f(0))$.

    Lösung

    Die Anzahl $f(t+1)$ der Seerosen zum Zeitpunkt $t+1$ kann durch den Ausdruck $f(t)+0,000045\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$ beschrieben werden.

    Der Startwert ist gegeben durch $f(0)=570$.

    Damit ist

    • $f(1)=570+0,000045\cdot 570\cdot 9430=811,8795\approx 812$
    • $f(2)=812+0,000045\cdot 812\cdot 9188=1147,72...\approx 1148$
    • $f(3)=1148+0,000045\cdot 1148\cdot 8852\approx 1605$
    • $f(4)=1605+0,000045\cdot 1605\cdot 8395\approx 2211$
    • $f(5)=2211+0,000045\cdot 2211\cdot 7789\approx 2986$.
    Die komplette Tabelle ist in dem Bild zu erkennen.