Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (2)

Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (2) Übung

• Beschreibe das Wachstum der Erdmännchenpopulation.

  Tipps

  Logistisches Wachstum ist an dem charakteristischen S-förmigen Verlauf des Graphen zu erkennen.

  Beim logistischem Wachstum steigen die Werte

  • zunächst langsam,
  • dann immer schneller und
  • gegen Ende wieder langsamer,
  • um sich schließlich kaum noch zu ändern.

  Lösung

  Handelt es sich bei dem Wachstum einer Erdmännchenpopulation um logistisches Wachstum?

  Es gilt $f(t+1)=1,8\cdot f(t)-0,0002\cdot \left[f(t)\right]^2$.

  Dabei ist $t$ die Zeit in $3$ Monaten.

  Der Anfangsbestand beträgt: $f(0)=10$.

  Ziel ist es,

  • den Graphen der Population zu zeichnen,
  • die Entwicklung der Erdmännchen als rekursive Formel der Form $f(t+1)=f(t)+k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$ zu beschreiben und
  • die maximale Größe der Population anzugeben.

• Stelle die Rekursionsformel $f(t+1)=f(t)+k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$ auf.

  Tipps

  Schaue dir an, wie die Rekursionsformel aussieht, und forme den vorhandenen Term so um, dass du zu der Rekursionsformel gelangst.

  Die Multiplikation ist kommutativ, das heißt, es gilt $a\cdot b=b\cdot a$.

  An der Rekursionsformel kannst du auch die obere Schranke des Wachstums erkennen.

  Lösung

  Gegeben sei die Formel

  $f(t+1)=1,8\cdot f(t)-0,0002\left[ f(t)\right]^2$.

  Diese kann wie folgt umgeformt werden:

  \begin{align*} f(t+1)&=1,8\cdot f(t)-0,0002\left[ f(t)\right]^2 \\ & =f(t)+0,8 \cdot f(t)-0,0002\left[ f(t)\right]^2&|&\text{ Ausklammern von } f(t) \\ &=f(t)+f(t)\cdot (0,8 -0,0002\cdot f(t))&|&\text{ Ausklammern von } 0,0002\\ &=f(t)+f(t)\cdot 0,0002\cdot (4000-f(t))\\ &=f(t)+0,0002\cdot f(t)\cdot (4000-f(t)). \end{align*}

  Dies ist die gesuchte Rekursionsformel für logistisches Wachstum.

• Entscheide, ob der beschriebene Prozess einem logistischen Wachstum genügt.

  Tipps

  Beim logistischen Wachstum

  • steigt der Graph zunächst langsam,
  • dann immer schneller,
  • bevor das Wachstum wieder langsamer wird
  • und eine obere Schranke erreicht ist.

  Logistisches Wachstum ist begrenzt.

  Wachstum, welches sich durch eine lineare oder exponentielle Funktion beschreiben lässt, ist nicht logistisch.

  Lösung

  • Annas Telefonkosten sind linear und unbegrenzt. Dies ist kein logistisches Wachstum.
  • Bernds Sonnenblume wächst am Anfang recht schnell, das Wachstum flacht irgendwann ab und eine gewisse Höhe wird die Sonnenblume nicht überschreiten. Hier liegt logistisches Wachstum vor.
  • Carlos Ball fliegt zunächst nach oben bis zu einem höchsten Punkt und fällt dann wieder nach unten. Dieser Verlauf könnte durch eine nach unten geöffnete Parabel modelliert werden. Hier liegt kein logistisches Wachstum vor.
  • Dörthes kleiner Bruder wird am Anfang recht schnell wachsen. Es ist gut, dass das nicht so bleibt. Das Wachstum wird langsamer werden und stagnieren. Irgendwann wird Dörthes Bruder seine Körpergröße erreicht haben. Hier liegt logistisches Wachstum vor.
  • Emils Geldanlage ist ein Beispiel für Zinsrechnung. Hier liegt exponentielles Wachstum vor.

• Leite die Rekursionsformel für die Ausbreitung eines Grippevirus' in einem begrenzten Gebiet her.

  Tipps

  Die Rekursionsformel lautet:

  $f(t+1)=f(t)+k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$.

  Aus der Rekursionsformel kann die obere Schranke abgelesen werden.

  Lösung

  Ausgehend von der Formel

  $f(t+1)=1,18\cdot f(t)-0,00012\cdot \left[ f(t)\right]^2$

  kann die Rekursionsformel wie folgt hergeleitet werden:

  \begin{align*} f(t+1)&=1,18\cdot f(t)-0,00012\left[ f(t)\right]^2 \\ & =f(t)+0,18 \cdot f(t)-0,00012\left[ f(t)\right]^2&|&\text{ Ausklammern von } f(t) \\ &=f(t)+f(t)\cdot (0,18 -0,00012\cdot f(t))&|&\text{ Ausklammern von } 0,00012\\ &=f(t)+f(t)\cdot 0,00012\cdot (1500-f(t))\\ &=f(t)+0,00012\cdot f(t)\cdot (1500-f(t)). \end{align*}

  Die obere Grenze beträgt $1500$.

• Beschreibe die Bedeutung der einzelnen Werte.

  Tipps

  $t$ steht für die Zeit. Diese kann in verschiedenen Größen angegeben werden:

  • Stunden,
  • Tagen,
  • Monaten oder
  • allgemein in Perioden.

  Die Formel besagt, dass zu einem aktuellen Bestand immer etwas dazu kommt, bis die obere Schranke erreicht ist.

  Rekursiv heißt am Beispiel der Erdmännchen, dass, wenn bekannt ist, wie viele Erdmännchen heute leben, auch die Anzahl der Erdmännchen in $3$ Monaten berechnet werden kann und von da aus wieder in $3$ Monaten.

  Das liegt daran, dass die Periode $3$ Monate beträgt.

  Lösung

  Die Rekursionsformel für logistisches Wachstum lautet:

  $f(t+1)=f(t)+k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$.

  Dabei ist

  • $f(t)$ der Bestand zum Zeitpunkt $t$,
  • $k$ der Proportionalitätsfaktor,
  • $S$ die obere Schranke und
  • $S-f(t)$ das Sättigungsmanko.

• Ermittle, wann mehr als die Hälfte der Angestellten einen Witz gehört haben.

  Tipps

  Die obere Schranke ist die Anzahl der Angestellten der Firma: $S=4000$.

  Zum Zeitpunkt $0$ kennen $12$ Personen den Witz, also $f(0)=12$.

  Berechne die Anzahl derer, die den Witz gehört haben, mit der Rekursionsformel. Runde auf ganze Zahlen.

  Nach $2$ Wochen haben bereits $170$ Angestellte der Firma den Witz gehört.

  Lösung

  Da der Anfangsbestand bekannt ist sowie die obere Schranke $S=4000$, die Anzahl der Angestellten in der Firma, kann die Formel

  $f(t+1)=f(t)+0,0007\cdot f(t)\cdot (4000-f(t))$

  verwendet werden:

  \begin{align*} f(0)&=12 \\ f(1)&=12+0,0007\cdot 12\cdot 3988\approx45\\ f(2)&=45+0,0007\cdot 45\cdot 3955\approx170\\ f(3)&=170+0,0007\cdot 170\cdot 3830\approx626\\ f(4)&=626+0,0007\cdot 626\cdot 3374\approx2104. \end{align*}

  Nach $4$ Wochen haben mehr als die Hälfte der Frauen und Männer in der Firma den Witz gehört.