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Logistisches Wachstum

Erfahre, wie logistisches Wachstum in der Mathematik funktioniert. Von der exponentiellen Phase bis zur Stagnation – wir erläutern die drei Wachstumsphasen anhand eines Beispiels mit einer Hefekultur. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

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Mathe-Team
Logistisches Wachstum
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Logistisches Wachstum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logistisches Wachstum kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zum logistischen Wachstum.

    Tipps

    Ein logistisches Wachstum ist kein unbegrenztes Wachstum wie zum Beispiel das lineare oder das exponentielle Wachstum.

    Ein typischer Verlauf ist

    • am Anfang exponentiell steigend,
    • dann verlangsamt sich die Steigung,
    • um schließlich zu stagnieren.

    Lösung

    Der Name „logistisches Wachstum“ stammt von einem belgischen Mathematiker namens Pierre-Francois Verhulst, dessen Bild hier zu sehen ist.

    Er lebte von 1804 bist 1849.

    Er entwickelte dieses Modell anhand des Bevölkerungswachstums und veröffentlichte es 1845.

    Es ist nicht bekannt, wieso Verhulst diesem Modell den Namen „logistisches Wachstum“ gegeben hat.

    Von besonderer Bedeutung ist beim logistischen Wachstum

    • zum einen die obere Schranke und
    • zum anderen die Änderungsrate vom Zeitpunkt $t$ zum Zeitpunkt $t+1$.

  • Beschreibe den Verlauf eines logistischen Wachstums.

    Tipps

    Sowohl beim linearen als auch beim exponentiellen Wachstum gibt es keine obere Schranke.

    Beim linearen Wachstum ist die Steigung des Graphen immer gleich.

    Beim exponentiellen Wachstum steigt der Graph immer schneller.

    Lösung

    Wenn man ein logistisches Wachstum in ein Koordinatensystem zeichnet, erhält man einen charakteristischen S-förmigen Verlauf:

    • Am Anfang steigt der Graph exponentiell,
    • dann wird das Wachstum immer langsamer,
    • um schließlich zu stagnieren.
    Eine obere Grenze wird nicht überschritten. Dies kann zum Beispiel daran liegen, dass ein Wachstum wie bei der Hefekultur nicht mehr weiter geht, weil der Alkoholgehalt zu hoch ist, oder weil kein Platz mehr für Wachstum vorhanden ist.

  • Entscheide, ob logistisches Wachstum vorliegt oder nicht.

    Tipps

    Wichtig bei logistischem Wachstum ist

    • die obere Grenze und
    • die Änderungsrate vom Zeitpunkt $t$ zum Zeitpunkt $t+1$.

    Jedes unbegrenzte Wachstum kann kein logistisches Wachstum sein.

    Lösung

    Das Beispiel der Telefongesellschaft stellt ein lineares Wachstum dar. Das heißt, es ist unbegrenzt und kann somit nicht logistisch sein.

    Selbiges gilt für das Beispiel mit Pauls angelegtem Geld. Hier liegt ein exponentieller Prozess vor.

    Alle übrigen Beispiele genügen den Bedingungen von logistischem Wachstum:

    • Es existiert eine obere Grenze und
    • das Wachstum ist anfangs sehr schnell, exponentiell,
    • wird dann langsamer und
    • stagniert schließlich.
    Sonnenblume: Das Wachstum von Pflanzen, ebenso wie auch zum Beispiel das Körperwachstum von Menschen, ist logistisch. Am Anfang wächst die Pflanze recht schnell, das Wachstum wird langsamer und stagniert. Eine gewisse Höhe wird nicht überschritten.

    Seerose: Die Ausbreitung der Seerosen ist dadurch begrenzt, dass nur eine gewisse Fläche und somit auch Nährstoffe zur Verfügung stehen.

  • Überprüfe anhand der Graphen, ob logistisches Wachstum vorliegt.

    Tipps

    Wichtig bei logistischem Wachstum sind

    • eine obere Grenze und
    • die Änderungsrate.

    • Anfangs steigt der Graph exponentiell,
    • dann verlangsamt sich die Steigung und
    • stagniert schließlich.

    Ein unbegrenzter Wachstumsprozess kann kein logistisches Wachstum sein.

    Beispiele für unbegrenztes Wachstum sind

    • lineares Wachstum und
    • exponentielles Wachstum.

    Lösung

    Der grüne Graph gehört zu einer Exponentialfunktion. Es ist keine Grenze erkennbar. Hier liegt kein logistisches Wachstum vor.

    Der rote Graph gehört zu einer quadratischen Funktion. Auch hier werden die Werte immer größer. Es kann kein logistisches Wachstum vorliegen.

    Der violette Graph zeigt ein logistisches Wachstum:

    • Am Anfang eine exponentielle Steigung,
    • dann verlangsamt sich die Steigung und
    • stagniert schließlich.
    • Eine obere Grenze ist erkennbar.
    Der blaue Graph gehört zu einer stückweise definierten Funktion, deren Teilabschnitte linear sind. Es liegt kein logistisches Wachstum vor.

    Insgesamt ist nur $1$ Graph zu erkennen, welcher ein logistisches Wachstum aufweist.

  • Gib an, bei welchem der Beispiele logistisches Wachstum vorliegt.

    Tipps

    Mach dir bei jedem Beispiel klar, ob eine obere Schranke existiert.

    Sowohl beim linearen als auch beim exponentiellen Wachstum existiert eine solche obere Schranke nicht. Es handelt sich dabei jeweils um unbegrenztes Wachstum.

    Lösung

    Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um logistische Wachstumsprozesse:

    • die Ausbreitung einer Grippe in einem begrenzten Gebiet,
    • die Entwicklung von Algen in einem Teich und
    • die Entwicklung einer Bakterienkultur.
    Das Prinzip bei diesen Vorgängen ist immer gleich:
    • Am Anfang ist das Wachstum exponentiell,
    • nimmt dann wieder ab und stagniert schließlich.
    • Der Bestand hat eine obere Schranke.
    Bei den folgenden Beispielen handelt es sich nicht um logistische Wachstumsprozesse:
    • Die Kosten für gefahrene Kilometer bei einem Auto sind linear und unbegrenzt. Das heißt, je mehr gefahren wird, umso höher sind die Kosten.
    • Bei der Zinsrechnung handelt es sich um ein unbegrenztes exponentielles Wachstum.

  • Überlege, ob es sich bei der Verbreitung des Gerüchts um ein logistisches Wachstum handelt.

    Tipps

    Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.

    Ist ein charakteristischer S-förmiger Verlauf des Graphen zu erkennen?

    Gelten die folgenden Bedingungen?

    • am Anfang exponentiell steigend,
    • dann verlangsamt sich die Steigung,
    • um schließlich zu stagnieren.

    Das Gerücht kann sich nicht bei mehr Personen verbreiten als sich Leute auf der Party befinden.

    Lösung

    Am Anfang, also zum Zeitpunkt $t=0$, wissen $3$ Personen von dem Gerücht. Sie erzählen es weiter. Nach einer Stunde sind bereits $12$ Personen informiert, nach $2$ Stunden $48$. Die Werte kann man der obigen Tabelle entnehmen.

    Es ist zu erkennen, dass die Zahl am Anfang sehr schnell steigt, dann etwas langsamer und schließlich kaum mehr steigt.

    Die obere Grenze ist $350$, da sich nicht mehr Personen auf der Party befinden.

    Es handelt sich bei diesem Beispiel um ein logistisches Wachstum.