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Lineares Wachstum – Überblick 06:41 min

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Transkript Lineares Wachstum – Überblick

Jeden Tag kommt eine neue Ausgabe auf den Stapel der ungelesenen Tageszeitungen. Mit jedem Tag wachsen deine Haare um etwa einen halben Millimeter. Deine Zimmerpflanze wächst unaufhörlich. Und vielleicht wirfst du jede Woche eine Münze in dein Sparschwein. Lineares Wachstum taucht an vielen Stellen in deinem Alltag auf. Aber was ist lineares Wachstum überhaupt? Manche Dinge wachsen immer nur zu einem Zeitpunkt. So wie der Zeitungsstapel einmal am Tag oder die Anzahl der Münzen in deinem Sparschwein einmal in der Woche. So ein Wachstum nennt man diskret. Andere Dinge wachsen ununterbrochen über eine Zeitspanne hinweg. Deine Haare oder die Pflanze wachsen die ganze Zeit. Dieses Wachstum nennt man stetig. Aber woher wissen wir, ob ein Wachstum linear ist?Schauen wir uns den Stapel der Tageszeitungen an. Er wächst diskret jeden Tag um eine neue Zeitung. Das kann man in einem Säulendiagramm darstellen: Dort trägst du jeden Tag eine Säule ein, die die Anzahl der Zeitungen darstellt. Mit jedem Tag erhöht sich die Anzahl von Zeitungen um 1. Und deshalb werden die Säulen auch jeden Tag um eine Einheit höher. Wenn sich die Anzahl von einem Zeitpunkt zum nächsten um den selben Betrag ändert, nennt man das Differenzengleichheit. Bei linearem Wachstum herrscht immer Differenzengleichheit. Die Höhen der Säulen ändern sich von einem Tag zum nächsten immer um eine Einheit. Genauso könntest du die Differenzen von einem Tag und dem Übernächsten vergleichen. Auch hier sind die Differenzen gleich, die Anzahl der Zeitungen ändert sich dann immer um zwei. Das sieht man gut an diesen Dreiecken — die sind wieder gleich. Solange man also immer gleiche Zeitspannen vergleicht, und die Differenzen sich dabei nicht ändern, liegt Differenzengleichheit vor. Bei diskretem Wachstum ist es klar, zu welchen Zeitpunkten man die Werte vergleichen muss - aber wie ist das bei stetigem Wachstum? Nehmen wir an, die Zimmerpflanze wächst gleichmäßig die ganze Zeit. Sollen wir also ihre Höhe von jetzt und von in einer Woche vergleichen? Oder die von jetzt und von in einer Stunde? Vielleicht wächst die Pflanze einen halben Zentimeter in der Woche. Wenn wir die Höhe der Pflanze zu jedem Zeitpunkt in ein Diagramm eintragen, sieht das so aus. Wir starten mit einer Höhe von 2 Zentimetern — das nennt man Anfangsbestand. Erinnert dich der Graph an etwas? Er ist eine Gerade! Jetzt suchen wir uns eine beliebige Zeitdauer aus und zeichnen die Steigungsdreiecke zu dieser Dauer an die Gerade. Die sind auch immer gleich! Also liegt auch beim Pflanzenwachstum Differenzengleichheit vor und damit lineares Wachstum. Woran erkennen wir also allgemein am Graphen, dass es sich um lineares Wachstum handelt? Der Bestand B zum Zeitpunkt t hat einen Graphen in etwa wie diesen hier. Vielleicht ist der Graph ein Säulendiagramm oder eine Gerade, in beiden Fällen gilt: Er steigt an: das soll er auch, denn es handelt sich ja um Wachstum. Und der Verlauf ist gerade - wie ein Lineal: also ist das Wachstum linear. Oft müssen wir aber nicht nur erkennen, ob ein Wachstum linear ist, sondern auch tatsächlich damit rechnen! Sagen wir, du wirfst jede Woche einen Euro in dein Sparschwein. Das heißt, dass du diese Woche einen Euro mehr hast als letzte Woche. Du kannst den aktuellen Bestand mithilfe des vorherigen ausrechnen, dieses Vorgehen heißt rekursiv. Nennen wir den Geldbestand zum Zeitpunkt t, B(t) und den von letzter Woche B(t-1), dann ist B(t) gleich B(t-1) + 1. Allgemein schreibt man die rekursive Formel als: Der Bestand zum Zeitpunkt t ist gleich dem Bestand vom Zeitpunkt (t - 1) + m. m ist dabei die Wachstumrate und gibt an, um wie viel sich der Bestand mit jedem Zeitschritt ändert. Oft bietet sich diese Formel für diskretes Wachstum an, weil dort immer feste Zeitschritte vorkommen, zwischen denen sich der Bestand nicht ändert. Wie können wir den Bestand aber bei stetigem Wachstum berechnen? Nehmen wir an, deine Haare wachsen jeden Tag etwa 0,5 Millimeter. Dann kannst du explizit ausrechnen, wie lang deine Haare zu einem beliebigen Zeitpunkt t sind. Wir nennen deine Haarlänge in Millimetern zum Zeitpunkt t in Tagen, B von t. Dann ist B(t) = 0,5 * t plus die Haarlänge zum Zeitpunkt 0: B(0). B(0) nennt man Anfangsbestand. Allgemein schreibt man die explizite Formel als: B(t) = m * t + B(0). Dabei ist m die Wachstumsrate. Diese Formel bietet sich besonders für stetiges Wachstum an, weil du beliebige Werte für den Zeitpunkt t einsetzen kannst. Übrigens: vielleicht erinnert dich diese Formel oder der Graph an eine lineare Funktion! Alle Eigenschaften von linearen Funktionen findest du auch bei linearem Wachstum wieder. Wir fassen zusammen: Eine Größe kann mit der Zeit wachsen. Dieses Wachstum kann diskret, also immer nur zu festen Zeitpunkten, oder stetig, also ununterbrochen, verlaufen. Veranschaulichen kann man den Bestand zur Zeit t mit einem Säulendiagramm oder einer Geraden. Du erkennst lineares Wachstum an der Differenzengleichheit. Den Bestand zum Zeitpunkt t kannst du rekursiv mithilfe des vorherigen Bestands ausrechnen oder Explizit mit dem Anfangsbestand. In beiden Fällen brauchst du auch die Wachstumsrate. Aber merk dir: lineares Wachstum ist fast immer nur eine Idealisierung. Und das ist auch wirklich gut so!

1 Kommentar
  1. cooool

    Von Champions Eros, vor 9 Monaten

Lineares Wachstum – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineares Wachstum – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme, ob die gegebenen Beispiele zum linearen Wachstum stetig oder diskret sind.

    Tipps

    Manche Dinge wachsen immer nur zu einem Zeitpunkt. Ein derartiges Wachstum nennt man diskret.

    Manche Dinge wachsen ununterbrochen, also kontinuierlich über eine Zeitspanne hinweg. Ein derartiges Wachstum nennt man stetig.

    Lösung

    Wir betrachten hier vier Beispiele zum linearen Wachstum. Dabei unterscheidet man zwischen stetigem und diskretem Wachstum.

    • Wächst etwas immer nur zu einem bestimmten Zeitpunkt, so handelt es sich um ein diskretes Wachstum.
    • Wächst etwas ununterbrochen über eine Zeitspanne hinweg, so handelt es sich um ein stetiges Wachstum.
    Nun können wir bestimmen, welche der gegebenen Beispiele ein diskretes und welche ein stetiges Wachstum beschreiben.

    Diskretes Wachstum

    • Jeden Tag kommt eine neue Ausgabe auf den Stapel der ungelesenen Tageszeitungen.
    • Jede Woche wirfst du eine Münze in dein Sparschwein.
    Stetiges Wachstum

    • Mit jedem Tag wachsen deine Haare um etwa einen halben Millimeter.
    • Deine Zimmerpflanze wächst unaufhörlich.
  • Beschreibe die Größen der expliziten Formel.

    Tipps

    Mittels der rekursiven Formel $B(t)=B(t-1)+m$ kannst du den Bestand zum Zeitpunkt $t$ mithilfe des vorherigen Bestandes zum Zeitpunkt $t-1$ berechnen.

    Die Größe $m$ gibt an, um wie viel der Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt wächst.

    Lösung

    Wir betrachten nun das Beispiel zum Wachstum von Haaren. Nehmen wir an, unsere Haare wachsen jeden Tag etwa $0,5$ Millimeter. Dann können wir mittels der expliziten Formel ausrechnen, wie lang unsere Haare zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ sind.

    Unsere Haarlänge $B$ in Millimetern zum Zeitpunkt $t$ in Tagen nennen wir $B(t)$. Dann erhalten wir folgende Gleichung:

    $B(t)=0,5\cdot t+B(0)$.

    Die Größe $B(0)$ ist der Anfangsbestand. Dieser entspricht unserer Haarlänge zum Zeitpunkt $t=0$.

    Allgemein schreibt man die explizite Formel als:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate. Die Wachstumsrate gibt an, um wie viel der Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt wächst. Die Größe $B(t)$ ist der Bestand $B$ zu einem Zeitpunkt $t$. Diese Formel bietet sich besonders für stetiges Wachstum an, weil du beliebige Werte für den Zeitpunkt $t$ einsetzen kannst.

  • Beschreibe die Eigenschaften von linearem Wachstum.

    Tipps

    Ändert sich ein Bestand $B$ in gleichen Zeitabständen um denselben Betrag, so liegt Differenzengleichheit vor. Das bedeutet, dass $B(t)-B(t-1)=\text{konstant}$ gilt.

    Die Wachstumsrate $m$ gibt an, um wie viel sich ein Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt ändert.

    Ein lineares Wachstum kannst du wie folgt mathematisch darstellen:

    • rekursiv: $~ B(t)=B(t-1)+m$,
    • explizit: $~ B(t)=m\cdot t+B(0)$.
    Lösung

    Im Folgenden behandeln wir die Eigenschaften des linearen Wachstums. Wir betrachten, woran man ein lineares Wachstum erkennt, sowie die Möglichkeiten, dieses graphisch und mathematisch darzustellen.

    Ein Bestand $B$ kann entweder nur zu festen Zeitpunkten, also diskret, oder ununterbrochen, also stetig, wachsen.

    Veranschaulichen kann man einen Bestand $B$ zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ mit einem Säulendiagramm oder einer Geraden. Ein lineares Wachstum erkennst du immer daran, dass Differenzengleichheit vorliegt. Wenn du dir den Graphen ansiehst, dann sind die Steigungsdreiecke immer gleich. Das bedeutet, dass Folgendes gilt: $~ B(t)-B(t-1)=\text{konstant}$.

    Den Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt kannst du rekursiv mithilfe des vorherigen Bestandes $B(t-1)$ oder explizit mit dem Anfangsbestand $B(0)$ berechnen. In beiden Fällen brauchst du die Wachstumsrate $m$.

  • Ermittle die nötige Zeit in Jahren.

    Tipps

    Achte auf die Einheiten! Die Wachstumsrate ist in Millimetern pro Jahr und der Anfangsbestand in Metern gegeben.

    Wandle die Wachstumsrate in die Einheit Meter pro Jahr um.
    Es gilt: $1\ \text{m}=1000\ \text{mm}$

    Die explizite Form lautet: $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand.

    Lösung

    Wir betrachten einen Stalaktiten, welcher bereits eine Länge von $1,6$ Metern hat und nehmen an, dass dieser jährlich um durchschnittlich $0,2$ Millimeter, also $0,0002$ Meter, wächst.

    Nun möchten wir herausfinden, nach wie vielen Jahren der Stalaktit eine Länge von $2$ Metern erreicht hat.

    Mittels einer expliziten Berechnung können wir diese Frage beantworten. Hierzu stellen wir zunächst die benötigte Gleichung auf:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m=0,0002$ Meter pro Jahr, $B(0)=1,6$ Meter und $B(t)=2$ Meter.

    $ \begin{array}{lllll} 2 &=& 0,0002\cdot t+1,6 && \vert -1,6 \\ 0,4 &=& 0,0002\cdot t && \vert :0,0002 \\ 2000 &=& t && \end{array} $

    Somit ist der Stalaktit erst nach $2000$ Jahren $2$ Meter lang.

  • Ermittle die Wassermenge in Liter nach vier Minuten.

    Tipps

    Die Wachstumsrate entspricht $m=6$ Liter pro Minute.

    Folgende Rechnungen musst du durchführen, um die Wassermenge nach $4$ Minuten rekursiv zu berechnen:

    $ \begin{array}{lll} B(1) &=& B(0)+m \\ B(2) &=& B(1)+m \\ B(3) &=& B(2)+m \\ B(4) &=& B(3)+m \end{array} $

    Der Anfangsbestand entspricht $20$ Litern.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Aus dem Wasserschlauch fließen $6$ Liter pro Minute.
    • In dem Becken befinden sich zum Zeitpunkt $t=0$ bereits $20$ Liter Wasser.
    Wir möchten mittels einer rekursiven Berechnung herausfinden, wie viel Liter Wasser sich nach $4$ Minuten im Becken befinden?

    Hierzu müssen wir folgende Rechenschritte durchführen:

    $ \begin{array}{lll} B(1) &=& B(0)+m \\ B(2) &=& B(1)+m \\ B(3) &=& B(2)+m \\ B(4) &=& B(3)+m \end{array} $

    Wir starten also mit dem Anfangsbestand $B(0)=20$ und der Wachstumsrate $m=6$. So erhalten wir:

    $ \begin{array}{llll} B(1) &=& 20+6 &=& 26 \\ B(2) &=& 26+6 &=& 32 \\ B(3) &=& 32+6 &=& 38 \\ B(4) &=& 38+6 &=& 44 \end{array} $

    Nach einer Füllzeit von $4$ Minuten befindet sich also $44$ Liter Wasser im Pool.

  • Bestimme die gesuchten Größen mittels expliziter Berechnung.

    Tipps

    Die explizite Formel lautet: $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand, also die Baumgröße zum Zeitpunkt $t=0$.

    Die Wachstumsrate ist in der Einheit Zentimeter pro Jahr gegeben. Diese musst du in Meter pro Jahr umrechnen. Dabei gilt: $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$.

    Lösung

    Wir betrachten nun Herr Grüns Problem gemeinsam. Die folgenden Angaben sind uns dabei bekannt:

    • Zum Zeitpunkt des Einpflanzens ragt der Baum um $0,5$ Meter aus dem Boden heraus.
    • Der Baum wächst durchschnittlich $20$ Zentimeter im Jahr
    Herr Grün möchte wissen, wie groß der Baum nach $6$, $8$ und $12$ Jahren in Metern ist. Hierzu stellt er zunächst die explizite Gleichung auf.

    Die explizite Formel lautet allgemein: $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand, also die Baumgröße zum Zeitpunkt $t=0$.

    Die Wachstumsrate ist hier in der Einheit Zentimeter pro Jahr gegeben. Diese müssen wir zunächst in Meter pro Jahr umrechnen. So erhalten wir die Wachstumsrate $20\ \text{cm/a}=0,2\ \text{m/a}$. Die Zeiteinheit Jahr schreiben wir mit dem Einheitenzeichen $a$, welches von dem lateinischen Begriff annus abgeleitet ist.

    Nun haben wir alles, was wir für die explizite Gleichung benötigen. Diese lautet:

    $B(t)=0,2\cdot t+0,5$.

    Die Baumgröße nach $6$, $8$ und $12$ Jahren entspricht demnach:

    $ \begin{array}{lllllll} B(6) &=& 0,2\cdot 6+0,5 &=& 1,2+0,5 &=& 1,7 \\ B(8) &=& 0,2\cdot 8+0,5 &=& 1,6+0,5 &=& 2,1 \\ B(12) &=& 0,2\cdot 12+0,5 &=& 2,4+0,5 &=& 2,9 \end{array} $

    Mit dem Bauen des Baumhauses muss Herr Grün wohl noch etwas warten.