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Lineares Wachstum – Überblick

Lineares Wachstum sagt aus, dass etwas stetig größer wird, sei es kontinuierlich oder in diskreten Schritten. Du erkennst es an konstanten Steigerungen. Erfahre, wie man lineares Wachstum in Diagrammen abbildet und mathematisch beschreibt. Neugierig geworden? Lies weiter für mehr Informationen!

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Team Digital
Lineares Wachstum – Überblick
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Lineares Wachstum – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineares Wachstum – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme, ob die gegebenen Beispiele zum linearen Wachstum stetig oder diskret sind.

    Tipps

    Manche Dinge wachsen immer nur zu einem Zeitpunkt. Ein derartiges Wachstum nennt man diskret.

    Manche Dinge wachsen ununterbrochen, also kontinuierlich über eine Zeitspanne hinweg. Ein derartiges Wachstum nennt man stetig.

    Lösung

    Hier sind vier Beispiele zum linearen Wachstum. Dabei unterscheidet man zwischen stetigem und diskretem Wachstum:

    • Wächst etwas immer nur zu einem bestimmten Zeitpunkt, so handelt es sich um ein diskretes Wachstum.
    • Wächst etwas ununterbrochen über eine Zeitspanne hinweg, so handelt es sich um ein stetiges Wachstum.
    Nun können wir bestimmen, welche der gegebenen Beispiele ein diskretes und welche ein stetiges Wachstum beschreiben:

    Diskretes Wachstum

    • Jeden Tag kommt eine neue Ausgabe auf den Stapel der ungelesenen Tageszeitungen.
    • Jede Woche wirfst du eine Münze in dein Sparschwein.
    Stetiges Wachstum
    • Mit jedem Tag wachsen deine Haare um etwa einen halben Millimeter.
    • Eine Zimmerpflanze wächst unaufhörlich.

  • Beschreibe die Eigenschaften von linearem Wachstum.

    Tipps

    Ändert sich ein Bestand $B$ in gleichen Zeitabständen um denselben Betrag, so liegt Differenzengleichheit vor. Das bedeutet, dass $B(t)-B(t-1)=\text{konstant}$ gilt.

    Die Wachstumsrate $m$ gibt an, um wie viel sich ein Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt ändert.

    Ein lineares Wachstum kannst du wie folgt mathematisch darstellen:

    • rekursiv: $~ B(t)=B(t-1)+m$
    • explizit: $~ B(t)=m\cdot t+B(0)$
    Lösung

    Im Folgenden behandeln wir die Eigenschaften des linearen Wachstums. Wir betrachten, woran man ein lineares Wachstum erkennt sowie die Möglichkeiten, dieses graphisch und mathematisch darzustellen:

    Ein Bestand $B$ kann entweder nur zu festen Zeitpunkten, also diskret, oder ununterbrochen, also stetig, wachsen.

    Veranschaulichen kann man einen Bestand $B$ zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ mit einem Säulendiagramm oder einer Geraden. Ein lineares Wachstum erkennst du immer daran, dass Differenzengleichheit vorliegt. Wenn du dir den Graphen ansiehst, dann sind die Steigungsdreiecke immer gleich. Das bedeutet, dass Folgendes gilt:

    $~ B(t)-B(t-1)=\text{konstant}$

    Den Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt kannst du rekursiv mithilfe des vorherigen Bestandes $B(t-1)$ oder explizit mit dem Anfangsbestand $B(0)$ berechnen. In beiden Fällen brauchst du die Wachstumsrate $m$.

  • Ermittle die Wassermenge in Liter nach vier Minuten.

    Tipps

    Die Wachstumsrate entspricht $m=6$ Liter pro Minute.

    Folgende Rechnungen musst du durchführen, um die Wassermenge nach $4$ Minuten rekursiv zu berechnen:

    $ \begin{array}{lll} B(1) &=& B(0)+m \\ B(2) &=& B(1)+m \\ B(3) &=& B(2)+m \\ B(4) &=& B(3)+m \end{array} $

    Der Anfangsbestand entspricht $20$ Litern.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Aus dem Wasserschlauch fließen $6$ Liter pro Minute.
    • In dem Becken befinden sich zum Zeitpunkt $t=0$ bereits $20$ Liter Wasser.
    Wir möchten mittels einer rekursiven Berechnung herausfinden, wie viel Liter Wasser sich nach $4$ Minuten im Becken befinden.
    Hierzu müssen wir folgende Rechenschritte durchführen:

    $ \begin{array}{lll} B(1) &=& B(0)+m \\ B(2) &=& B(1)+m \\ B(3) &=& B(2)+m \\ B(4) &=& B(3)+m \end{array} $

    Wir starten also mit dem Anfangsbestand $B(0)=20$ und der Wachstumsrate $m=6$. So erhalten wir:

    $ \begin{array}{llll} B(1) &=& 20+6 &=& 26 \\ B(2) &=& 26+6 &=& 32 \\ B(3) &=& 32+6 &=& 38 \\ B(4) &=& 38+6 &=& 44 \end{array} $

    Nach einer Füllzeit von $4$ Minuten befinden sich also $44$ Liter Wasser im Pool.

  • Bestimme die gesuchten Größen mittels expliziter Berechnung.

    Tipps

    Die explizite Formel lautet:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand, also die Baumgröße zum Zeitpunkt $t=0$.

    Die Wachstumsrate ist in der Einheit Zentimeter pro Jahr gegeben. Diese musst du in Meter pro Jahr umrechnen. Dabei gilt:

    $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$

    Lösung

    Wir betrachten nun Herrn Grüns Problem gemeinsam. Die folgenden Angaben sind uns dabei bekannt:

    • Zum Zeitpunkt des Einpflanzens ragt der Baum um $0,\!5$ Meter aus dem Boden heraus.
    • Der Baum wächst durchschnittlich $20$ Zentimeter im Jahr.
    Herr Grün möchte wissen, wie groß der Baum nach $6$, $8$ und $12$ Jahren in Metern ist. Dafür stellt er zunächst die explizite Gleichung auf.

    Die explizite Formel lautet allgemein $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand, also die Baumgröße zum Zeitpunkt $t=0$.

    Die Wachstumsrate ist hier in der Einheit Zentimeter pro Jahr gegeben. Diese müssen wir zunächst in Meter pro Jahr umrechnen. So erhalten wir die Wachstumsrate $20\ \frac{\text{cm}}{\text{a}}=0,\!2\ \frac{\text{m}}{\text{a}}$. Die Zeiteinheit Jahr schreiben wir mit dem Einheitenzeichen $a$, welches von dem lateinischen Begriff annus für das Wort „Jahr“ abgeleitet ist.

    Jetzt haben wir alles, was wir für die explizite Gleichung benötigen. Diese lautet:

    $B(t)=0,\!2\cdot t+0,\!5$

    Die Baumgröße nach $6$, $8$ und $12$ Jahren entspricht demnach:

    $ \begin{array}{lllllll} B(6) &=& 0,\!2\cdot 6+0,\!5 &=& 1,\!2+0,\!5 &=& 1,\!7 \\ B(8) &=& 0,\!2\cdot 8+0,\!5 &=& 1,\!6+0,\!5 &=& 2,\!1 \\ B(12) &=& 0,\!2\cdot 12+0,\!5 &=& 2,\!4+0,\!5 &=& 2,\!9 \end{array} $

    Mit dem Bauen des Baumhauses muss Herr Grün wohl noch etwas warten.

  • Beschreibe die Größen der expliziten Formel.

    Tipps

    Mittels der rekursiven Formel $B(t)=B(t-1)+m$ kannst du den Bestand zum Zeitpunkt $t$ mithilfe des vorherigen Bestandes zum Zeitpunkt $t-1$ berechnen.

    Die Größe $m$ gibt an, um wie viel der Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt wächst.

    Lösung

    Wir betrachten das Beispiel zum Wachstum von Haaren. Nehmen wir an, unsere Haare wachsen jeden Tag etwa $0,\!5$ Millimeter. Dann können wir mittels der expliziten Formel ausrechnen, wie lang unsere Haare zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ sind.

    Unsere Haarlänge $B$ in Millimetern zum Zeitpunkt $t$ in Tagen nennen wir $B(t)$. Dann erhalten wir folgende Gleichung:

    $B(t)=0,\!5\cdot t+B(0)$

    Die Größe $B(0)$ ist der Anfangsbestand. Dieser entspricht unserer Haarlänge zum Zeitpunkt $t=0$.

    Allgemein schreibt man die explizite Formel als:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate. Die Wachstumsrate gibt an, um wie viel der Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt wächst. Die Größe $B(t)$ ist der Bestand $B$ zu einem Zeitpunkt $t$. Diese Formel bietet sich besonders für stetiges Wachstum an, weil du beliebige Werte für den Zeitpunkt $t$ einsetzen kannst.

  • Ermittle die nötige Zeit in Jahren.

    Tipps

    Achte auf die Einheiten! Die Wachstumsrate ist in Millimetern pro Jahr und der Anfangsbestand in Metern gegeben.

    Wandle die Wachstumsrate in die Einheit Meter pro Jahr um. Es gilt:

    $1\ \text{m}=1\,000\ \text{mm}$

    Die explizite Form lautet:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand.

    Lösung

    Wir betrachten einen Stalaktiten, welcher bereits eine Länge von $1,6$ Metern hat, und nehmen an, dass dieser jährlich um durchschnittlich $0,\!2$ Millimeter, also $0,\!0002$ Meter, wächst.

    Nun möchten wir herausfinden, nach wie vielen Jahren der Stalaktit eine Länge von $2$ Metern erreicht hat.

    Mittels einer expliziten Berechnung können wir diese Frage beantworten. Hierzu stellen wir zunächst die benötigte Gleichung auf:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$

    Dabei ist $m=0,0002$ Meter pro Jahr, $B(0)=1,6$ Meter und $B(t)=2$ Meter.

    $ \begin{array}{lllll} 2 &=& 0,\!0002\cdot t+1,\!6 && \vert -1,\!6 \\ 0,\!4 &=& 0,\!0002\cdot t && \vert :0,\!0002 \\ 2\,000 &=& t && \end{array} $

    Somit ist der Stalaktit erst nach $2\,000$ Jahren $2$ Meter lang.