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Lineares Wachstum – Überblick

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Team Digital
Lineares Wachstum – Überblick
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineares Wachstum – Überblick

Inhalt

  • Was ist lineares Wachstum?
  • Was ist lineares Wachstum?

    Jeden Tag wächst der Stapel der ungelesenen Zeitungen, mit jedem Tag wachsen deine Haare um etwa einen halben Millimeter, deine Zimmerpflanze wächst unaufhörlich und jede Woche landet eine neue Münze in deinem Sparschwein. Das sind alles Beispiele für lineares Wachstum in deinem Alltag. In diesem Text finden wir gemeinsam heraus, wie lineares Wachstum funktioniert.


    Lineares Wachstum – Definition

    Eine Größe kann mit der Zeit wachsen. Dieses Wachstum kann diskret oder stetig sein. Diskret bedeutet, dass die Größe nur zu bestimmten Zeitpunkten wächst. Das ist zum Beispiel bei den Münzen in deinem Sparschwein so: Ihre Anzahl wächst nur einmal in der Woche. Stetig bedeutet, dass die Größe ununterbrochen anwächst. Das ist zum Beispiel bei deinen Haaren der Fall. Wir können das Wachstum in einem Säulendiagramm oder mithilfe einer Gerade veranschaulichen. Du erkennst lineares Wachstum immer an der Differenzengleichheit. Das bedeutet, dass der Bestand innerhalb gleicher Zeitspannen immer um den gleichen Wert ansteigt. Der Zeitungsstapel wächst zum Beispiel jeden Tag um eine Zeitung. Den Bestand zum Zeitpunkt $t$ kannst du rekursiv, also mithilfe des vorherigen Bestandes, oder explizit mit dem Anfangsbestand berechnen. In beiden Fällen benötigen wir die Wachstumsrate.
    Das sind die wichtigsten Eigenschaften des linearen Wachstums. Im Folgenden werden wir auf die verschiedenen Begriffe noch einmal genauer eingehen.


    Diskretes und stetiges Wachstum

    Manche Dinge wachsen nur zu bestimmten Zeitpunkten. So zum Beispiel der Zeitungsstapel: Er wächst einmal am Tag. Auch die Anzahl der Münzen in deinem Sparschwein wächst zu bestimmten Zeitpunkten: Sie erhöht sich einmal in der Woche, wenn du eine Münze einwirfst. Dieses Wachstum nennt man diskret.
    Andere Dinge wachsen ununterbrochen über eine Zeitspanne hinweg. Deine Haare zum Beispiel wachsen langsam, aber permanent – genau wie deine Zimmerpflanze. Dieses Wachstum wird stetig genannt. Aber woher wissen wir jetzt, ob ein Wachstum linear ist?


    Lineares Wachstum graphisch darstellen

    Schauen wir uns zuerst den Stapel an Zeitungen an. Dieser wächst diskret jeden Tag um eine weitere Zeitung. Das Ganze lässt sich gut in einem Säulendiagramm darstellen. Dort wird jeden Tag eine Säule eingetragen, die die Anzahl der Zeitungen darstellt. Mit jedem Tag erhöht sich die Anzahl der Zeitungen um eins. Deshalb werden die Säulen jeden Tag um eine Einheit größer. Das sieht dann so aus:

    Saeulendiagramm lineares Wachstum

    Wenn sich die Anzahl von einem Zeitpunkt zum nächsten um denselben Betrag ändert, wird das Differenzengleichheit genannt. Bei linearem Wachstum herrscht immer Differenzengleichheit. Schauen wir uns die Säulen von Montag und Dienstag an. Die Säule wächst um eins. Auch bei den Säulen von Dienstag und Mittwoch ist der Unterschied eins. Die Differenz der Säulen ist von einem zum nächsten Tag immer gleich. Du kannst dir auch den Unterschied zwischen einem und dem übernächsten Tag anschauen. Schauen wir uns die Säulen von Montag und Mittwoch an, so wächst der Stapel um zwei. Genauso auch von Mittwoch zu Freitag.
    Das ist gut an den Dreiecken in der Grafik zu erkennen. Diese Dreiecke werden Steigungsdreiecke genannt. Solange du also gleiche Zeitspannen betrachtest und sich die Differenzen dabei nicht ändern, liegt Differenzengleichheit vor. Bei diskretem Wachstum ist es klar, zu welchen Zeitpunkten du die Werte vergleichen musst, aber wie ist das bei stetigem Wachstum?

    Angenommen, deine Pflanze wächst kontinuierlich, also die ganze Zeit. Müssen wir dann die Werte von jetzt und morgen oder von jetzt und in einer Woche miteinander vergleichen? Schauen wir uns an, wie es wäre, wenn deine Pflanze einen halben Zentimeter pro Woche wächst. Tragen wir dann die Höhe der Pflanze zu jedem Zeitpunkt in ein Diagramm ein, sieht das folgendermaßen aus.

    Steigungsdreieck lineares Wachstum

    Dabei sind wir bei der Höhe der Pflanze gestartet, die sie am Anfang hatte. Wir haben angenommen, dass deine Pflanze $2~\text{cm}$ hoch war, als wir unsere Messung begonnen haben. Dieser Wert wird Anfangsbestand genannt. Der Graph ist eine Gerade. Jetzt können wir uns eine beliebige Zeitdauer suchen und zeichnen die Steigungsdreiecke zu dieser Dauer an die Gerade. Diese sind ebenfalls immer gleich. Also liegen auch beim Wachstum der Pflanze Differenzengleichheit und damit lineares Wachstum vor. Woran erkennen wir jetzt nur mithilfe eines Graphen, ob es sich um lineares Wachstum handelt?
    Wir betrachten den folgenden Graphen.

    lineares Wachstum

    Dabei ist $B(t)$ der Bestand $B$ zum Zeitpunkt $t$. Das Ganze lässt sich als Säulendiagramm oder als Gerade darstellen, je nach Art des Wachstums. In beiden Fällen gilt, dass der Graph ansteigt. Es handelt sich schließlich um Wachstum. Zudem ist der Verlauf gerade wie ein Lineal. Er ist also linear.
    Oft müssen wir jedoch nicht nur erkennen, ob ein Graph linear ist, sondern auch damit rechnen. Wie wir lineares Wachstum berechnen, schauen wir uns im nächsten Abschnitt an.


    Lineares Wachstum – Formel

    Nehmen wir an, dass du jede Woche einen Euro in dein Sparschwein wirfst. Das bedeutet, dass du diese Woche einen Euro mehr hast als letzte Woche. Du kannst nun also den aktuellen Stand mithilfe des vorherigen ausrechnen. Dieses Vorgehen nennt sich rekursiv. Den Geldbestand zum Zeitpunkt $t$ nennen wir $B(t)$. Den von letzter Woche nennen wir $B(t-1)$. Daraus ergibt sich dann die Formel:

    $B(t) = B(t-1) + 1$

    Das $+1$ ergibt sich daraus, dass du diese Woche einen Euro in dein Sparschwein geworfen hast.
    Allgemein schreibt man die rekursive Formel als:

    $B(t) = B(t-1) + m$

    $m$ ist dabei die Wachstumsrate. Diese gibt an, um wie viel sich der Bestand mit jedem Zeitschritt ändert. Diese Formel bietet sich für diskretes Wachstum an, da dort immer feste Zeitschritte vorkommen.
    Und wie können wir den Bestand bei stetigem Wachstum berechnen? Angenommen, deine Haare wachsen jeden Tag um etwa $0,5~\text{mm}$. Dann kannst du explizit ausrechnen, wie lang deine Haare zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ sind. Wir nennen deine Haarlänge zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ in Tagen $B(t)$. Dann ergibt sich folgende Gleichung für das lineare Wachstum:

    $B(t) = 0,5 \cdot t + B(0)$

    $B(0)$ ist dabei deine Haarlänge zum Zeitpunkt $0$ und wird Anfangsbestand genannt. Bei der expliziten Berechnung wird immer der Anfangsbestand benötigt.
    Allgemein wird die explizite Form geschrieben als:

    $B(t) = m \cdot t + B(0)$

    Auch hier ist $m$ die Wachstumsrate. Diese Formel bietet sich besonders für stetiges Wachstum an, weil du beliebige Werte für t einsetzen kannst. Vielleicht erinnerst du dich an die Formel von linearen Funktionen? Alle Eigenschaften von linearen Funktionen findest du auch beim linearen Wachstum wieder.

    Wichtig ist, dass lineares Wachstum fast immer nur eine Idealisierung ist. Viele Wachstumsprozesse laufen nur innerhalb bestimmter Zeitspannen linear ab. Das ist auch gut so, denn ansonsten würde deine Zimmerpflanze bald dein gesamtes Zimmer einnehmen, deine Haare viel zu lang sein und dein Sparschwein platzen, weil es so voll ist.

    Lineares Wachstum – Zusammenfassung

    In diesem Video lernst du sowohl die mathematische als auch die graphische Darstellung linearen Wachstums kennen. Dabei wird auch auf Begriffe wie rekursiv, explizit sowie diskret und stetig eingegangen. Willst du dein Wissen zu diesem Thema nach dem Video noch etwas festigen, findest du noch eine Übung und Arbeitsblätter zum linearen Wachstum.

Transkript Lineares Wachstum – Überblick

Jeden Tag kommt eine neue Ausgabe auf den Stapel der ungelesenen Tageszeitungen. Mit jedem Tag wachsen deine Haare um etwa einen halben Millimeter. Deine Zimmerpflanze wächst unaufhörlich. Und vielleicht wirfst du jede Woche eine Münze in dein Sparschwein. Lineares Wachstum taucht an vielen Stellen in deinem Alltag auf. Aber was ist lineares Wachstum überhaupt? Manche Dinge wachsen immer nur zu einem Zeitpunkt. So wie der Zeitungsstapel einmal am Tag oder die Anzahl der Münzen in deinem Sparschwein einmal in der Woche. So ein Wachstum nennt man diskret. Andere Dinge wachsen ununterbrochen über eine Zeitspanne hinweg. Deine Haare oder die Pflanze wachsen die ganze Zeit. Dieses Wachstum nennt man stetig. Aber woher wissen wir, ob ein Wachstum linear ist?Schauen wir uns den Stapel der Tageszeitungen an. Er wächst diskret jeden Tag um eine neue Zeitung. Das kann man in einem Säulendiagramm darstellen: Dort trägst du jeden Tag eine Säule ein, die die Anzahl der Zeitungen darstellt. Mit jedem Tag erhöht sich die Anzahl von Zeitungen um 1. Und deshalb werden die Säulen auch jeden Tag um eine Einheit höher. Wenn sich die Anzahl von einem Zeitpunkt zum nächsten um den selben Betrag ändert, nennt man das Differenzengleichheit. Bei linearem Wachstum herrscht immer Differenzengleichheit. Die Höhen der Säulen ändern sich von einem Tag zum nächsten immer um eine Einheit. Genauso könntest du die Differenzen von einem Tag und dem Übernächsten vergleichen. Auch hier sind die Differenzen gleich, die Anzahl der Zeitungen ändert sich dann immer um zwei. Das sieht man gut an diesen Dreiecken — die sind wieder gleich. Solange man also immer gleiche Zeitspannen vergleicht, und die Differenzen sich dabei nicht ändern, liegt Differenzengleichheit vor. Bei diskretem Wachstum ist es klar, zu welchen Zeitpunkten man die Werte vergleichen muss - aber wie ist das bei stetigem Wachstum? Nehmen wir an, die Zimmerpflanze wächst gleichmäßig die ganze Zeit. Sollen wir also ihre Höhe von jetzt und von in einer Woche vergleichen? Oder die von jetzt und von in einer Stunde? Vielleicht wächst die Pflanze einen halben Zentimeter in der Woche. Wenn wir die Höhe der Pflanze zu jedem Zeitpunkt in ein Diagramm eintragen, sieht das so aus. Wir starten mit einer Höhe von 2 Zentimetern — das nennt man Anfangsbestand. Erinnert dich der Graph an etwas? Er ist eine Gerade! Jetzt suchen wir uns eine beliebige Zeitdauer aus und zeichnen die Steigungsdreiecke zu dieser Dauer an die Gerade. Die sind auch immer gleich! Also liegt auch beim Pflanzenwachstum Differenzengleichheit vor und damit lineares Wachstum. Woran erkennen wir also allgemein am Graphen, dass es sich um lineares Wachstum handelt? Der Bestand B zum Zeitpunkt t hat einen Graphen in etwa wie diesen hier. Vielleicht ist der Graph ein Säulendiagramm oder eine Gerade, in beiden Fällen gilt: Er steigt an: das soll er auch, denn es handelt sich ja um Wachstum. Und der Verlauf ist gerade - wie ein Lineal: also ist das Wachstum linear. Oft müssen wir aber nicht nur erkennen, ob ein Wachstum linear ist, sondern auch tatsächlich damit rechnen! Sagen wir, du wirfst jede Woche einen Euro in dein Sparschwein. Das heißt, dass du diese Woche einen Euro mehr hast als letzte Woche. Du kannst den aktuellen Bestand mithilfe des vorherigen ausrechnen, dieses Vorgehen heißt rekursiv. Nennen wir den Geldbestand zum Zeitpunkt t, B(t) und den von letzter Woche B(t-1), dann ist B(t) gleich B(t-1) + 1. Allgemein schreibt man die rekursive Formel als: Der Bestand zum Zeitpunkt t ist gleich dem Bestand vom Zeitpunkt (t - 1) + m. m ist dabei die Wachstumrate und gibt an, um wie viel sich der Bestand mit jedem Zeitschritt ändert. Oft bietet sich diese Formel für diskretes Wachstum an, weil dort immer feste Zeitschritte vorkommen, zwischen denen sich der Bestand nicht ändert. Wie können wir den Bestand aber bei stetigem Wachstum berechnen? Nehmen wir an, deine Haare wachsen jeden Tag etwa 0,5 Millimeter. Dann kannst du explizit ausrechnen, wie lang deine Haare zu einem beliebigen Zeitpunkt t sind. Wir nennen deine Haarlänge in Millimetern zum Zeitpunkt t in Tagen, B von t. Dann ist B(t) = 0,5 * t plus die Haarlänge zum Zeitpunkt 0: B(0). B(0) nennt man Anfangsbestand. Allgemein schreibt man die explizite Formel als: B(t) = m * t + B(0). Dabei ist m die Wachstumsrate. Diese Formel bietet sich besonders für stetiges Wachstum an, weil du beliebige Werte für den Zeitpunkt t einsetzen kannst. Übrigens: vielleicht erinnert dich diese Formel oder der Graph an eine lineare Funktion! Alle Eigenschaften von linearen Funktionen findest du auch bei linearem Wachstum wieder. Wir fassen zusammen: Eine Größe kann mit der Zeit wachsen. Dieses Wachstum kann diskret, also immer nur zu festen Zeitpunkten, oder stetig, also ununterbrochen, verlaufen. Veranschaulichen kann man den Bestand zur Zeit t mit einem Säulendiagramm oder einer Geraden. Du erkennst lineares Wachstum an der Differenzengleichheit. Den Bestand zum Zeitpunkt t kannst du rekursiv mithilfe des vorherigen Bestands ausrechnen oder Explizit mit dem Anfangsbestand. In beiden Fällen brauchst du auch die Wachstumsrate. Aber merk dir: lineares Wachstum ist fast immer nur eine Idealisierung. Und das ist auch wirklich gut so!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. cooool

    Von Champions Eros, vor mehr als 2 Jahren

Lineares Wachstum – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineares Wachstum – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme, ob die gegebenen Beispiele zum linearen Wachstum stetig oder diskret sind.

    Tipps

    Manche Dinge wachsen immer nur zu einem Zeitpunkt. Ein derartiges Wachstum nennt man diskret.

    Manche Dinge wachsen ununterbrochen, also kontinuierlich über eine Zeitspanne hinweg. Ein derartiges Wachstum nennt man stetig.

    Lösung

    Wir betrachten hier vier Beispiele zum linearen Wachstum. Dabei unterscheidet man zwischen stetigem und diskretem Wachstum.

    • Wächst etwas immer nur zu einem bestimmten Zeitpunkt, so handelt es sich um ein diskretes Wachstum.
    • Wächst etwas ununterbrochen über eine Zeitspanne hinweg, so handelt es sich um ein stetiges Wachstum.
    Nun können wir bestimmen, welche der gegebenen Beispiele ein diskretes und welche ein stetiges Wachstum beschreiben.

    Diskretes Wachstum

    • Jeden Tag kommt eine neue Ausgabe auf den Stapel der ungelesenen Tageszeitungen.
    • Jede Woche wirfst du eine Münze in dein Sparschwein.
    Stetiges Wachstum

    • Mit jedem Tag wachsen deine Haare um etwa einen halben Millimeter.
    • Deine Zimmerpflanze wächst unaufhörlich.
  • Beschreibe die Eigenschaften von linearem Wachstum.

    Tipps

    Ändert sich ein Bestand $B$ in gleichen Zeitabständen um denselben Betrag, so liegt Differenzengleichheit vor. Das bedeutet, dass $B(t)-B(t-1)=\text{konstant}$ gilt.

    Die Wachstumsrate $m$ gibt an, um wie viel sich ein Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt ändert.

    Ein lineares Wachstum kannst du wie folgt mathematisch darstellen:

    • rekursiv: $~ B(t)=B(t-1)+m$,
    • explizit: $~ B(t)=m\cdot t+B(0)$.
    Lösung

    Im Folgenden behandeln wir die Eigenschaften des linearen Wachstums. Wir betrachten, woran man ein lineares Wachstum erkennt, sowie die Möglichkeiten, dieses graphisch und mathematisch darzustellen.

    Ein Bestand $B$ kann entweder nur zu festen Zeitpunkten, also diskret, oder ununterbrochen, also stetig, wachsen.

    Veranschaulichen kann man einen Bestand $B$ zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ mit einem Säulendiagramm oder einer Geraden. Ein lineares Wachstum erkennst du immer daran, dass Differenzengleichheit vorliegt. Wenn du dir den Graphen ansiehst, dann sind die Steigungsdreiecke immer gleich. Das bedeutet, dass Folgendes gilt: $~ B(t)-B(t-1)=\text{konstant}$.

    Den Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt kannst du rekursiv mithilfe des vorherigen Bestandes $B(t-1)$ oder explizit mit dem Anfangsbestand $B(0)$ berechnen. In beiden Fällen brauchst du die Wachstumsrate $m$.

  • Ermittle die Wassermenge in Liter nach vier Minuten.

    Tipps

    Die Wachstumsrate entspricht $m=6$ Liter pro Minute.

    Folgende Rechnungen musst du durchführen, um die Wassermenge nach $4$ Minuten rekursiv zu berechnen:

    $ \begin{array}{lll} B(1) &=& B(0)+m \\ B(2) &=& B(1)+m \\ B(3) &=& B(2)+m \\ B(4) &=& B(3)+m \end{array} $

    Der Anfangsbestand entspricht $20$ Litern.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Aus dem Wasserschlauch fließen $6$ Liter pro Minute.
    • In dem Becken befinden sich zum Zeitpunkt $t=0$ bereits $20$ Liter Wasser.
    Wir möchten mittels einer rekursiven Berechnung herausfinden, wie viel Liter Wasser sich nach $4$ Minuten im Becken befinden?

    Hierzu müssen wir folgende Rechenschritte durchführen:

    $ \begin{array}{lll} B(1) &=& B(0)+m \\ B(2) &=& B(1)+m \\ B(3) &=& B(2)+m \\ B(4) &=& B(3)+m \end{array} $

    Wir starten also mit dem Anfangsbestand $B(0)=20$ und der Wachstumsrate $m=6$. So erhalten wir:

    $ \begin{array}{llll} B(1) &=& 20+6 &=& 26 \\ B(2) &=& 26+6 &=& 32 \\ B(3) &=& 32+6 &=& 38 \\ B(4) &=& 38+6 &=& 44 \end{array} $

    Nach einer Füllzeit von $4$ Minuten befindet sich also $44$ Liter Wasser im Pool.

  • Bestimme die gesuchten Größen mittels expliziter Berechnung.

    Tipps

    Die explizite Formel lautet: $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand, also die Baumgröße zum Zeitpunkt $t=0$.

    Die Wachstumsrate ist in der Einheit Zentimeter pro Jahr gegeben. Diese musst du in Meter pro Jahr umrechnen. Dabei gilt: $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$.

    Lösung

    Wir betrachten nun Herr Grüns Problem gemeinsam. Die folgenden Angaben sind uns dabei bekannt:

    • Zum Zeitpunkt des Einpflanzens ragt der Baum um $0,5$ Meter aus dem Boden heraus.
    • Der Baum wächst durchschnittlich $20$ Zentimeter im Jahr
    Herr Grün möchte wissen, wie groß der Baum nach $6$, $8$ und $12$ Jahren in Metern ist. Hierzu stellt er zunächst die explizite Gleichung auf.

    Die explizite Formel lautet allgemein: $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand, also die Baumgröße zum Zeitpunkt $t=0$.

    Die Wachstumsrate ist hier in der Einheit Zentimeter pro Jahr gegeben. Diese müssen wir zunächst in Meter pro Jahr umrechnen. So erhalten wir die Wachstumsrate $20\ \text{cm/a}=0,2\ \text{m/a}$. Die Zeiteinheit Jahr schreiben wir mit dem Einheitenzeichen $a$, welches von dem lateinischen Begriff annus abgeleitet ist.

    Nun haben wir alles, was wir für die explizite Gleichung benötigen. Diese lautet:

    $B(t)=0,2\cdot t+0,5$.

    Die Baumgröße nach $6$, $8$ und $12$ Jahren entspricht demnach:

    $ \begin{array}{lllllll} B(6) &=& 0,2\cdot 6+0,5 &=& 1,2+0,5 &=& 1,7 \\ B(8) &=& 0,2\cdot 8+0,5 &=& 1,6+0,5 &=& 2,1 \\ B(12) &=& 0,2\cdot 12+0,5 &=& 2,4+0,5 &=& 2,9 \end{array} $

    Mit dem Bauen des Baumhauses muss Herr Grün wohl noch etwas warten.

  • Beschreibe die Größen der expliziten Formel.

    Tipps

    Mittels der rekursiven Formel $B(t)=B(t-1)+m$ kannst du den Bestand zum Zeitpunkt $t$ mithilfe des vorherigen Bestandes zum Zeitpunkt $t-1$ berechnen.

    Die Größe $m$ gibt an, um wie viel der Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt wächst.

    Lösung

    Wir betrachten nun das Beispiel zum Wachstum von Haaren. Nehmen wir an, unsere Haare wachsen jeden Tag etwa $0,5$ Millimeter. Dann können wir mittels der expliziten Formel ausrechnen, wie lang unsere Haare zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ sind.

    Unsere Haarlänge $B$ in Millimetern zum Zeitpunkt $t$ in Tagen nennen wir $B(t)$. Dann erhalten wir folgende Gleichung:

    $B(t)=0,5\cdot t+B(0)$.

    Die Größe $B(0)$ ist der Anfangsbestand. Dieser entspricht unserer Haarlänge zum Zeitpunkt $t=0$.

    Allgemein schreibt man die explizite Formel als:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate. Die Wachstumsrate gibt an, um wie viel der Bestand $B$ mit jedem Zeitschritt wächst. Die Größe $B(t)$ ist der Bestand $B$ zu einem Zeitpunkt $t$. Diese Formel bietet sich besonders für stetiges Wachstum an, weil du beliebige Werte für den Zeitpunkt $t$ einsetzen kannst.

  • Ermittle die nötige Zeit in Jahren.

    Tipps

    Achte auf die Einheiten! Die Wachstumsrate ist in Millimetern pro Jahr und der Anfangsbestand in Metern gegeben.

    Wandle die Wachstumsrate in die Einheit Meter pro Jahr um.
    Es gilt: $1\ \text{m}=1000\ \text{mm}$

    Die explizite Form lautet: $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m$ die Wachstumsrate und $B(0)$ der Anfangsbestand.

    Lösung

    Wir betrachten einen Stalaktiten, welcher bereits eine Länge von $1,6$ Metern hat und nehmen an, dass dieser jährlich um durchschnittlich $0,2$ Millimeter, also $0,0002$ Meter, wächst.

    Nun möchten wir herausfinden, nach wie vielen Jahren der Stalaktit eine Länge von $2$ Metern erreicht hat.

    Mittels einer expliziten Berechnung können wir diese Frage beantworten. Hierzu stellen wir zunächst die benötigte Gleichung auf:

    $B(t)=m\cdot t+B(0)$.

    Dabei ist $m=0,0002$ Meter pro Jahr, $B(0)=1,6$ Meter und $B(t)=2$ Meter.

    $ \begin{array}{lllll} 2 &=& 0,0002\cdot t+1,6 && \vert -1,6 \\ 0,4 &=& 0,0002\cdot t && \vert :0,0002 \\ 2000 &=& t && \end{array} $

    Somit ist der Stalaktit erst nach $2000$ Jahren $2$ Meter lang.

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