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Betragsfunktionen graphisch darstellen
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Grundlagen zum Thema Betragsfunktionen graphisch darstellen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Betragsfunktionen graphisch darzustellen.

Zunächst lernst du, was die Eigenschaften von Beträgen und Betragsfunktionen sind. Anschließend lernst du, wie du den Graphen einer Betragsfunktion in einem Koordinatensystem darstellen und dessen Eigenschaften bezüglich seiner Spiegelachse und seines tiefsten Punktes bestimmen kannst. Abschließend lernst du, wie du mittels verschiedener Parameter den Graphen einer Betragsfunktion im Koordinatensystem verschieben sowie dessen Steigung ändern kannst.

Lerne etwas über die Eigenschaften von Betragsfunktionen und deren Graphen, indem du der Billardexpertin Milena zuschaust.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie die Betragsfunktion, den Graphen einer Betragsfunktion, den Betrag, die Eigenschaften von Betragsfunktionen und deren Graphen.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine lineare Funktion ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, nichtlineare Funktionen zu lernen.

Transkript Betragsfunktionen graphisch darstellen

Milena ist ein echtes Billardass. Sie möchten ihrem Sohn Jonas alles über das Spiel beibringen. Schauen wir mal, wie die graphische Darstellung von Betragsfunktionen dabei helfen kann, die Kugeln in den Taschen zu versenken. Wiederholen wir zunächst ein paar Grundlagen. Wir wissen schon, dass der Betrag einer Zahl ihr Abstand zur 0 entspricht. Und auch, dass eine positive Zahl und ihre negative Gegenzahl den gleichen Betrag haben. Beispielsweise ist er Betrag von -1 und +1 der Gleiche, nämlich 1. Diese Zahlengerade zeigt die Lösungsmenge für Betrag von x ist gleich 1. x ist gleich +1 und -1. Wir wissen auch, wie man lineare Gleichungen zeichnet. Das ist der Graph von y = 3x + 2. Zeichnen wir aber eine Betragsfunktion, bekommen wir etwas völlig anderes. Fangen wir mit der einfachsten Betragsfunktion an: y = |x|. Wenn du für x 1, 2, 3 und so weiter einsetzt, bekommst du einen Graphen, der zunächst einmal an den einer linearen Gleichung erinnert. Aber Moment mal, das ist ja nur der eine Teil des Graphen! Sieh dir an, was bei x = -1, -2, -3 und so weiter passiert. Der Graph hat jetzt eine V-Form. Und das gilt für alle Graphen von Betragsfunktionen. Daran kann man sie ganz leicht erkennen. Der Scheitelpunkt ist der tiefste beziehungsweise höchste Punkt des Graphen einer Betragsfunktion. Die Spiegelachse verläuft vertikal durch diesen Punkt. Alle Änderungen der Ausgangsfunktion ändern den Graphen. Wir addieren 1, die Funktion lautet nun y = |x+1|. Der Graph hat sich um eine Einheit nach links verschoben, hat sich ansonsten aber nicht verändert. Was passiert deiner Meinung nach, wenn man 2 zu x addiert? Im Vergleich zum ursprünglichen Graphen hat sich der Graph um 2 Einheiten nach links verschoben. Jetzt subtrahieren wir 2 von x dieses Mal verschiebt sich der Graph um 2 Einheiten nach rechts. Erkennst du das Muster? Die Gegenzahl dieser Konstanten, also die Zahl mit getauschtem Vorzeichen, ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts. des tiefsten Punkts. Spielen wir noch ein bisschen herum. Dieses Mal addieren wir 1 außerhalb der Betragsstriche. Wie verändert das den ursprünglichen Graphen? Der Scheitelpunkt tiefste Punkt verschiebt sich nach oben, und mit ihm der ganze Graph. Addierst du 2, verschiebst sich der Graph um 2 Einheiten nach oben. Und wenn du 2 subtrahierst? Dann verschiebt sich der Graph um 2 Einheiten nach unten. Und eine letzte Änderung. Was passiert, wenn du den Betrag mal 2 nimmst? Der Scheitelpunkt tiefste Punkt bleibt gleich, aber die Steigung ändert sich. Bisher war sie 1, nun ist sie 2. Und wenn du den Betrag mal 3 nimmst? Ach was, je größer der Faktor, desto enger wird der Graph und desto steiler wird die Steigung. Und wenn wir mit 1/2 multiplizieren? Jetzt öffnet sich der Graph und die Steigung wird flacher. Hast du eine Idee, was passiert, wenn wir die ursprüngliche Funktion mal -2 nehmen? Sieh dir das an. Der Graph klappt nach unten! Nun weißt du, wie man Betragsfunktionen zeichnet. Also zurück zum Billardtisch. Schau dir die Bahn der Kugel an. Ein vertrautes Bild, nicht wahr? Eine V-Form, ganz so wie beim Graphen einer Betragsfunktion. Stellen wir eine Gleichung für die Bahn auf. Wir beginnen mit der Funktion y = |x|. Dann addieren oder subtrahieren wir innerhalb der Betragszeichen. Oder wir addieren oder subtrahieren außerhalb der Betragszeichen. Oder wir multiplizieren den Betrag mit einem Faktor. Die Bahn der Kugel hat ihren Scheitelpunkt tiefsten Punkt bei (6|0). Der Scheitelpunkt tiefste Punkt ist also 6 Einheiten rechts vom Ursprung, also subtrahieren wir 6 innerhalb der Betragszeichen. Da die y-Koordinate des Scheitelpunktes tiefsten Punktes 0 ist, müssen wir außerhalb der Betragszeichen nichts addieren oder subtrahieren. Aber das passt noch nicht ganz. Der Graph der gesuchten Funktion ist enger, also müssen wir den Betragsterm mit einem positiven Faktor multiplizieren. Wie ist die Steigung? Delta y ist 2, Delta x ist 1. Die Steigung entspricht Delta y durch Delta x, also 2. Keine Ahnung, ob Jonas seiner Mutter zugehört hat die Billardkreide hat ihn wohl mehr fasziniert.

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