Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren

Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren Übung

• Beschreibe, wie ein Funktionsgraph sich verändert, wenn er entlang eines Vektors verschoben wird.

  Tipps

  Wenn du eine Gerade verschiebst, ist der verschobene Graph ebenfalls eine Gerade.

  Betrachte zwei Punkte der Geraden. Wenn beide Punkte gleichermaßen verschoben werden, so ist die Steigung der resultierenden Geraden die gleiche wie bei der ursprünglichen Geraden.

  Der Graph zur Funktion $g(x)=3x-2$ ist entstanden durch eine parallele Verschiebung des Graphen zu $f(x)=3x+3$.

  Eine solche Verschiebung ähnelt dem Kopieren: Du kopierst den Graphen und setzt ihn an anderer Stelle wieder ein.

  Lösung

  Wenn man einen Graphen verschiebt, ändert sich weder dessen Form noch dessen Steigungsverhalten.

  Dies kann man sich besonders gut an Geraden klar machen. Wenn eine Gerade entlang eines Vektors verschoben wird, erhält man eine Gerade, welche parallel zu der ursprünglichen Geraden verläuft.

  Hierfür kann man

  • einzelne Punkte parallel verschieben und mit diesen Punkten die Funktionsgleichung des verschobenen Graphen herleiten oder
  • mithilfe des Parameterverfahrens direkt die Funktionsgleichung ermitteln.

• Ermittle die Gleichung des verschobenen Graphen durch Parallelverschiebung einzelner Punkte.

  Tipps

  Du erhältst den Punkt eines Graphen, indem du zu einem x-Wert den y-Wert berechnest.

  Zum Beispiel liefert $x=4$ den folgenden Funktionswert:

  $y=f(4)=2\cdot 4+3=11$.

  Durch zwei Punkte ist eine lineare Funktion gegeben.

  Die Steigung ist gegeben durch die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte dividiert durch die Differenz der x-Koordianten (in der gleichen Reihenfolge). Dies kannst du in der Abbildung sehen.

  Die Steigung der Bildgeraden (dies ist die „neue“ Gerade) muss gleich der Steigung der ursprünglichen Geraden sein.

  Lösung

  Der Verschiebungsvektor ist gegeben durch

  $\vec w=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$.

  Zunächst werden zwei Punkte des Graphen ermittelt. Hierfür werden zwei Werte für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:

  • $x_1=0$ führt zu $y_1=f(0)=2\cdot 0+3=3$
  • $x_2=1$ führt zu $y_2=f(1)=2\cdot 1+3=5$

  Die beiden Punkte $P_1(0|3)$ und $P_2(1|5)$ werden nun entlang des Vektors $\vec w$ verschoben. Das bedeutet, dass zu den x-Koordinaten der beiden Punkte die x-Koordinate des Vektors addiert wird. Ebenso wird bei den y-Koordinaten verfahren:

  • $x_1'=x_1+(-2)=0-2=-2$
  • $x_2'=x_2+(-2)=1-2=-1$
  • $y_1'=y_1+4=3+4=7$
  • $y_2'=y_2+4=5+4=9$

  Dies führt zu den Bildpunkten $P_1'(-2|7)$ sowie $P_2'(-1|9)$.

  Mithilfe von zwei Punkten kann die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion bestimmt werden:

  1. Zunächst wird die Steigung bestimmt: $m=\frac{9-7}{-1-(-2)}=\frac21=2$. (Hinweis: Die Steigung muss die gleiche wie bei der ursprünglichen Funktion sein, da die Geraden parallel zueinander verlaufen.)
  2. Die Gleichung lautet somit $g(x)=2x+n$ mit noch unbekanntem y-Achsenabschnitt $n$.
  3. Nun wird einer der beiden Punkte in die Gleichung eingesetzt und diese nach $n$ aufgelöst: $7=2\cdot (-2)+n$. Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung $4$ addiert und man erhält $n=11$.

  Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit

  $g(x)=2x+11$.

• Wende zur Bestimmung der Funktionsgleichung das Parameterverfahren an.

  Tipps

  Die y-Koordinate eines Punktes $(x|y)$ eines Funktionsgraphen ist

  $y=f(x)$.

  Die Schreibweise $f(x)$ drückt mehr als $y$ die Abhängigkeit von der Variable $x$ aus.

  Forme die Gleichung der x-Koordinate des Bildpunktes nach $x$ um.

  Die lineare Funktionsgleichung der verschobenen Geraden hat die gleiche Steigung wie die ursprüngliche Gerade.

  Lösung

  Sei $(x|y)$ irgendein Punkt des Graphen und

  $\vec w=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

  der Verschiebungsvektor, dann sind durch

  • $x'=x+1$ $\Leftrightarrow$ $x=x'-1$
  • $y'=y+3$

  die verschobenen Koordinaten angegeben.

  Nun wird die lineare Funktionsgleichung für $y$ verwendet:

  Somit ergibt sich $y'=y+3=-3x-2+3=-3x+1$.

  In diese Gleichung wird nur $x=x'-1$ eingesetzt

  $y'=-3(x'-1)+1=-3x'+3+1=-3x'+4$.

  Somit ist die Gleichung der verschobenen Geraden gegeben durch

  $g(x)=-3x+4$.

• Prüfe, ob die Parabel durch Verschiebung hervorgegangen ist aus der Funktion $h(x)=x^2+2$.

  Tipps

  Durch drei Punkte ist die Gleichung einer quadratischen Funktion eindeutig gegeben.

  Das Verfahren der Parallelverschiebung einzelner Punkte wird bei Parabeln mit drei Punkten durchgeführt.

  Dabei wird ein Punkt $(x|y)$ auf seinen Bildpunkt $(x'|y')$ abgebildet.

  Ein einzelner Punkte wird wie folgt verschoben:

  • Addiere zu der x-Koordinate des Punktes die des Verschiebungsvektors und
  • addiere zu der y-Koordinate des Punktes die des Verschiebungsvektors.

  Ein Punkt $(x|y)$ liegt auf einem Funktionsgraphen, wenn

  $y=f(x)$ gilt.

  Lösung

  Auch eine Parabelgleichung kann mithilfe der Parallelverschiebung einzelner Punkte bestimmt werden. In dieser Aufgabe ist die Gleichung bereits vorgegeben. Hier wird die Gleichung hergeleitet bei drei bekannten Punkten.

  Das bedeutet, dass zu drei Punkten der Parabel zunächst die Bildpunkte bestimmt werden. Dies ist hier in der Abbildung zu sehen. Zu den x-Koordinaten wurde jeweils $1$ addiert, von den y-Koordinaten jeweils $-2$ subtrahiert.

  Mit drei Punkten kann eine quadratische Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$ hergeleitet werden. Hierfür stellt man ein Gleichungssystem auf:

  (I) $a+b+c=0$

  (II) $4a+2b+c=1$

  (III) $a-b+c=4$

  Von der ersten Gleichung wird die dritte subtrahiert. Dies führt zu $2b=-4$, also $b=-2$.

  Von der zweiten Gleichung wird die erste subtrahiert zu

  $3a+b=1$.

  In diese Gleichung kann nun $b=-2$ eingesetzt werden: $3a-2=1$. Addition von $2$ und anschließende Division durch $3$ führt zu $a=1$.

  Zuletzt werden $a=1$ und $b=-2$ in die erste Gleichung eingesetzt:

  $1-2+c=0$. Dies führt zu $c=1$.

  Die gesuchte Gleichung lautet somit $k(x)=x^2-2x+1$.

• Benenne die beiden Verfahren, mit denen die Funktionsgleichung eines verschobenen Graphen ermittelt werden kann.

  Tipps

  Wenn eine Gerade entlang eines Vektors verschoben wird, bleibt die Steigung erhalten. Die resultierende Gerade ist also parallel zu der ursprünglichen Geraden.

  Das bedeutet, dass es genügt, zwei Punkte der Geraden zu verschieben.

  Lösung

  Wenn der Graph einer Funktion entlang eines Vektors verschoben werden soll, kann man dies entweder dadurch machen,

  • dass man einzelne Punkte parallel verschiebt und mithilfe der verschobenen Punkte die zugehörige Funktionsgleichung herleitet
  • oder dass man das Parameterverfahren anwendet.

• Ermittle die Gleichung der verschobenen Parabel.

  Tipps

  Du kannst drei Punkte des Graphen parallel verschieben.

  Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet $f(x)=ax^2+bx+c$. Stelle dann mithilfe der Bildpunkte ein Gleichungssystem auf.

  Du kannst auch das Parameterverfahren anwenden.

  Es ist $x'=x+1$ und $y'=y-1$.

  Verwende die Funktionsgleichung

  $y'=x^2-x-1$.

  Es ist $x=x'-1$.

  Setze dieses $x$ in die Gleichung $y'=x^2-x-1$ ein.

  Verwende die 2. binomische Formel

  $(x'-1)^2=x'^2-2x'+1$.

  Lösung

  Hier soll die quadratische Funktionsgleichung mithilfe des Parameterverfahrens bestimmt werden.

  Der Verschiebungsvektor ist gegeben durch

  $\vec w=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

  Somit ist

  • $x'=x+1$ und
  • $y'=y-1$.

  Mit $y=x^2-x$ erhält man

  $y'=x^2-x-1$.

  Nun wird noch $x=x'-1$ in diese Gleichung eingesetzt

  $y'=(x'-1)^2-(x'-1)-1$.

  Der Quadratterm kann mit der 2. binomischen Formel berechnet werden:

  $y'=x'^2-2x'+1-x'+1-1$.

  Dieser Term kann weiter vereinfacht werden zu

  $y'=x'^2-3x'+1$.

  Wir erhalten die gesuchte Funktionsgleichung

  $k(x)=x^2-3x+1$.