Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren
- Verschieben von Funktionsgraphen – benötigtes Vorwissen
- Verschieben von Funktionsgraphen – Möglichkeiten
- Weg 1 – Parallelverschiebung einzelner Punkte
- Weg 2 – Parameterverfahren
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Lerntext zum Thema Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren
Verschieben von Funktionsgraphen – benötigtes Vorwissen
Für dieses Thema musst du wissen, was lineare und quadratische Funktionen sind. Zur Erinnerung:
Lineare Funktionsgleichungen sehen allgemein so aus:
$f(x) = m \cdot x + b$
Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt der Gerade, die den Funktionsgraphen der linearen Funktion darstellt.
Quadratische Funktionsgleichungen sehen allgemein so aus:
$f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$
Dabei ist $a$ der Faktor für die Stauchung/Streckung und $c$ der $y$-Achsenabschnitt der Parabel, die den Funktionsgraphen der quadratischen Funktion darstellt.
Weiterhin solltest du wissen, was eine Parallelverschiebung ist.
Wenn eine Figur parallel verschoben wird, wird jeder Punkt der Figur um einen bestimmten Wert in eine bestimmte Richtung verschoben. Die beiden Figuren sind deckungsgleich, also gleich groß und von der gleichen Form.
Verschieben von Funktionsgraphen – Möglichkeiten
Wird ein Funktionsgraph parallel verschoben, bleiben die Form und Steigung des Funktionsgraphen erhalten, er wird lediglich in $x$-Richtung und/oder in $y$-Richtung verschoben. Um einen Funktionsgraphen parallel in Richtung bestimmter Werte zu verschieben, gibt es zwei Möglichkeiten, die zugehörigen Funktionsgleichungen zu bestimmen.
Weg 1 – Parallelverschiebung einzelner Punkte
Achtung!
Dieser Weg ist lediglich beim Verschieben linearer Funktionsgraphen anwendbar:
- Zwei Punkte $A$ und $B$ der linearen Funktion finden
- Mithilfe der Verschiebungswerte die Bildpunkte $A^\prime$ und $B^\prime$ ermitteln
- Mit den Punkten $A^\prime$ und $B^\prime$ die neue Funktionsgleichung bestimmen
Schauen wir uns das anhand einer Beispielaufgabe an.
Die Funktion $f(x) = 3x~–~2$ soll um $2$ Einheiten in $x$-Richtung und um $3$ Einheiten in $y$-Richtung verschoben werden.
Indem wir zwei beliebige $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen, suchen wir uns zwei Punkte $A$ und $B$, die auf dem Funktionsgraphen liegen:
$f(1) = 3 \cdot 1~–~2 = 1 \implies A(1 \vert 1)$
$f(2) = 3 \cdot 2~–~2 = 4 \implies B(2 \vert 4)$
Die beiden Bildpunkte $A^\prime$ und $B^\prime$ erhalten wir, indem wir die $x$- und $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ mit den Verschiebungswerten verrechnen.
$A^\prime(1 + 2 \vert 1 + 3) = A^\prime(3 \vert 4)$ und $B^\prime(2 + 2 \vert 4 + 3) = B^\prime(4 \vert 7)$
Mit diesen Bildpunkten können wir nun die neue Funktionsgleichung bestimmen. Für eine lineare Funktion ist es nämlich lediglich notwendig, zwei auf der Funktion liegende Punkte zu kennen. Die Steigung der neuen verschobenen Funktion $g(x)$ ist aufgrund der Verschiebung zwar noch immer gleich (nämlich $3$), aber wir wollen hier trotzdem kurz wiederholen, wie man die Steigung einer Funktionsgleichung durch zwei gegebene Punkte bestimmt. Das macht man mit dem Differenzenquotienten. Zur kurzen Erinnerung:
Mit dem Differenzenquotienten wird die Steigung $m$ der Geraden zwischen zwei Punkten $A(x_{1} \vert y_{1})$ und $B(x_{2} \vert y_{2})$ bestimmt. Der Differenzenquotient wird so berechnet:
$m = \dfrac{y_{2}~–~y_{1}}{x_{2}~–~x_{1}}$
In diesem Fall wird also der Differenzenquotient mit $A^\prime(3 \vert 4)$ und $B^\prime(4 \vert 7)$ so berechnet:
$m = \dfrac{7~–~4}{4~–~3} = \dfrac{3}{1} = 3$
Wir haben nun auch mit dem Differenzenquotienten gezeigt, dass die Steigung der Bildfunktion $g(x)$ ebenfalls $3$ ist. Die Funktionsgleichung lautet demnach:
$g(x) = 3x + b$
Den $y$-Achsenabschnitt $b$ bestimmen wir nun noch, indem wir entweder $A^\prime$ oder $B^\prime$ in die Gleichung einsetzen und sie nach $b$ auflösen. Also so:
$A^\prime(3 \vert 4) \implies 4 = 3 \cdot 3 + b \Leftrightarrow 4 = 9 + b \Leftrightarrow –5 = b$
Das Gleiche funktioniert auch mit $B’$.
$B^\prime(4 \vert 7) \implies 7 = 3 \cdot 4 + b \Leftrightarrow 7 = 12 + b \Leftrightarrow –5 = b$
Also lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion:
$g(x) = 3x~–~5$
Weg 2 – Parameterverfahren
Das Parameterverfahren geht nicht den Umweg über zwei Punkte, sondern wandelt die Funktionsgleichung direkt in eine verschobene Funktion um. Deswegen kann dieses Verfahren auch auf jede Funktionsgleichung angewendet werden:
- $x^\prime = x +$ Verschiebung in $x$-Richtung und $y^\prime = y + $ Verschiebung in $y$-Richtung bestimmen
- Die $x^\prime$-Gleichung nach $x$ umformen und in die $y^\prime$-Gleichung einsetzen
- Eventuell ausmultiplizieren und zusammenfassen
Parameterverfahren – lineare Funktion
Auch dies wollen wir an einem Beispiel durchführen. Wir nutzen der Einfachheit halber zunächst die lineare Funktionsgleichung $f(x) = 3x~–~2$ und die Verschiebungswerte $2$ Einheiten in $x$-Richtung und $3$ Einheiten in $y$-Richtung erneut. $y$ ist eine alternative Bezeichnung für $f(x)$, also können wir auch $y = 3x~–~2$ schreiben. Damit bestimmen wir $x^\prime$ und $y^\prime$ so:
$x^\prime = x + 2$
$y^\prime = y + 3 = 3x~–~2 + 3 = 3x + 1$
Nun formen wir die $x^\prime$-Gleichung nach $x$ um:
$x^\prime = x + 2 \implies x = x^\prime~–~2$
Dies können wir nun in die $y^\prime$-Gleichung für $x$ einsetzen.
$y^\prime = 3x + 1 \implies y^\prime= 3 \cdot (x^\prime~–~2) + 1 = 3x^\prime~–~6 + 1 = 3x^\prime~–~5$
Damit sind wir mithilfe des Parameterverfahrens ebenfalls zur verschobenen Funktionsgleichung $g(x) = 3x~–~5$ gekommen.
Parameterverfahren – quadratische Funktion
Nun wollen wir dieses Verfahren noch an einer quadratischen Funktionsgleichung ausprobieren. Wir nehmen dafür die Funktionsgleichung $h(x) = 3x^{2}~–~4x + 1$.
Diese soll um den $x$-Wert $3$ und $y$-Wert $–5$ verschoben werden. Damit erhalten wir folgende Gleichungen für $x^\prime$ und $y^\prime$:
$x^\prime = x + 3 \Leftrightarrow x = x^\prime~–~3$
$y^\prime = y~–~5 = 3x^{2}~–~4x + 1 -5 = 3x^{2}~–~4x - 4$
$\begin{array}{rcl} \implies y^{\prime} & = & 3(x^{\prime}~–~3)^{2}~–~4(x^{\prime}~–~3) - 4 = 3({x^{\prime}}^{2}~–~6x^{\prime} + 9)~–~4x^{\prime} + 12 - 4 \\ \\ & = & {3x^{\prime}}^{2}~–~18x^{\prime} + 27~–~4x^{\prime} + 8 = {3x^{\prime}}^{2}~–~22x^{\prime} + 35 \\ \end{array}$
Wir haben erneut zunächst den Funktionsterm für $y$ und dann $x^{\prime}~–~3$ für $x$ eingesetzt, um anschließend zu vereinfachen und zusammenzufassen. Anschließend können wir noch die Variablen umbenennen. Damit lautet die verschobene Funktionsgleichung $i(x) = 3x^{2}~–~22x + 35$.
Sonderfall – Verschiebungswerte bestimmen
Es kann auch sein, dass du in einer Aufgabe nicht die Verschiebungswerte gegeben hast, sondern zwei Funktionsgleichungen und mit diesen die Verschiebung ermitteln sollst. Diesen umgekehrten Fall schauen wir uns an einem Beispiel genauer an.
Gegeben sind die Funktionsgleichungen $j(x) = –2x^{2} + 4x + 1$ und $k(x) = –2x^{2}~–~8x~–~4$. Um welche Werte wurde $k(x)$ verschoben?
Für die Berechnung schauen wir uns markante Punkte der beiden Funktionen an, die wir miteinander vergleichen können. Da es sich hier um quadratische Funktionen handelt, können wir z. B. die Scheitelpunkte betrachten. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu bestimmen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Die bekannteste davon ist die Umwandlung der Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform. Dabei nutzen wir die quadratische Ergänzung, um die Funktionsgleichung in eine Form zu bringen, aus der wir den Scheitelpunkt einfach ablesen können.
Wir wollen nun mit der quadratischen Ergänzung die beiden Funktionen in ihre Scheitelpunktform bringen. Wir beginnen mit $j(x) = –2x^{2} + 4x + 1$.
$\begin{array}{rcll} –2x^{2} + 4x + 1 & = & –2(x^{2}~–~2x &~–~\dfrac{1}{2}) \\ \\ & = & –2(x^{2}~–~2x + \left(\dfrac{2}{2}\right)^{2}~–~\left(\dfrac{2}{2}\right)^{2} &~–~\dfrac{1}{2}) \\ \\ & = & –2((x~–~1)^{2} &~–~1,5) \\ \\ & = & –2(x~–~1)^{2} & + 3 \\ \end{array}$
Damit können wir den Scheitelpunkt von $j(x)$ ablesen. Dieser lautet $S_{1}(1 \vert 3)$. Als Nächstes wandeln wir $k(x) = –2x^{2}~–~8x~–~4$ um.
$\begin{array}{rcll} –2x^{2}~–~8x~–~4 & = & –2(x^{2} + 4x + 2) \\ \\ & = & –2(x^{2} + 4x + \left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}~–~\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2} & + 2) \\ \\ & = & –2((x + 2)^{2} &~–~2) \\ \\ & = & –2(x + 2)^{2} & + 4 \\ \end{array}$
Also wissen wir nun, dass $S_{1}(1 \vert 3)$ und $S_{2}(–2 \vert 4)$ ist. Indem wir nun jeweils die $x$- und $y$-Koordinaten miteinander verrechnen, können wir die Verschiebungswerte ermitteln. Also wurde $k(x)$ genau um $–2~–~1 = –3$ in $x$-Richtung und $4~–~3 = 1$ in $y$-Richtung verschoben.
Verschieben von Funktionsgraphen – Zusammenfassung
Sollen Funktionsgraphen verschoben werden, gibt es zwei Möglichkeiten, die neue Funktionsgleichung zu berechnen.
Bei der Verschiebung zweier Punkte werden sich zwei Punkte gesucht, die auf einer linearen Funktion liegen. Von diesen werden die Bildpunkte anhand der gegebenen Verschiebungswerte ermittelt und dann wird die neue Funktionsgleichung berechnet. Aber Achtung: Dieser Weg funktioniert nur bei linearen Funktionen.
Der zweite Weg funktioniert bei allen Funktionsgleichungen. Beim Parameterverfahren werden die zwei Gleichungen $x^\prime = x +$ Verschiebung in $x$-Richtung und $y^\prime = y + $ Verschiebung in $y$-Richtung aufgestellt und mit diesen die neue Funktionsgleichung berechnet.
Soll im Gegenteil berechnet werden, um welche $x$- und $y$-Werte eine Funktion verschoben wurde, schaut man sich markante Punkte, wie z. B. Nullstellen oder die Extremwerte der Funktionen, an und vergleicht deren Koordinaten miteinander.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Verschieben von Funktionsgraphen
Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren Übung
-
Beschreibe, wie ein Funktionsgraph sich verändert, wenn er entlang eines Vektors verschoben wird.
TippsWenn du eine Gerade verschiebst, ist der verschobene Graph ebenfalls eine Gerade.
Betrachte zwei Punkte der Geraden. Wenn beide Punkte gleichermaßen verschoben werden, so ist die Steigung der resultierenden Geraden die gleiche wie bei der ursprünglichen Geraden.
Der Graph zur Funktion $g(x)=3x-2$ ist entstanden durch eine parallele Verschiebung des Graphen zu $f(x)=3x+3$.
Eine solche Verschiebung ähnelt dem Kopieren: Du kopierst den Graphen und setzt ihn an anderer Stelle wieder ein.
LösungWenn man einen Graphen verschiebt, ändert sich weder dessen Form noch dessen Steigungsverhalten.
Dies kann man sich besonders gut an Geraden klar machen. Wenn eine Gerade entlang eines Vektors verschoben wird, erhält man eine Gerade, welche parallel zu der ursprünglichen Geraden verläuft.
Hierfür kann man
- einzelne Punkte parallel verschieben und mit diesen Punkten die Funktionsgleichung des verschobenen Graphen herleiten oder
- mithilfe des Parameterverfahrens direkt die Funktionsgleichung ermitteln.
-
Ermittle die Gleichung des verschobenen Graphen durch Parallelverschiebung einzelner Punkte.
TippsDu erhältst den Punkt eines Graphen, indem du zu einem x-Wert den y-Wert berechnest.
Zum Beispiel liefert $x=4$ den folgenden Funktionswert:
$y=f(4)=2\cdot 4+3=11$.
Durch zwei Punkte ist eine lineare Funktion gegeben.
Die Steigung ist gegeben durch die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte dividiert durch die Differenz der x-Koordianten (in der gleichen Reihenfolge). Dies kannst du in der Abbildung sehen.
Die Steigung der Bildgeraden (dies ist die „neue“ Gerade) muss gleich der Steigung der ursprünglichen Geraden sein.
LösungDer Verschiebungsvektor ist gegeben durch
$\vec w=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Zunächst werden zwei Punkte des Graphen ermittelt. Hierfür werden zwei Werte für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:
- $x_1=0$ führt zu $y_1=f(0)=2\cdot 0+3=3$
- $x_2=1$ führt zu $y_2=f(1)=2\cdot 1+3=5$
- $x_1'=x_1+(-2)=0-2=-2$
- $x_2'=x_2+(-2)=1-2=-1$
- $y_1'=y_1+4=3+4=7$
- $y_2'=y_2+4=5+4=9$
Mithilfe von zwei Punkten kann die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion bestimmt werden:
- Zunächst wird die Steigung bestimmt: $m=\frac{9-7}{-1-(-2)}=\frac21=2$. (Hinweis: Die Steigung muss die gleiche wie bei der ursprünglichen Funktion sein, da die Geraden parallel zueinander verlaufen.)
- Die Gleichung lautet somit $g(x)=2x+n$ mit noch unbekanntem y-Achsenabschnitt $n$.
- Nun wird einer der beiden Punkte in die Gleichung eingesetzt und diese nach $n$ aufgelöst: $7=2\cdot (-2)+n$. Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung $4$ addiert und man erhält $n=11$.
$g(x)=2x+11$.
-
Wende zur Bestimmung der Funktionsgleichung das Parameterverfahren an.
TippsDie y-Koordinate eines Punktes $(x|y)$ eines Funktionsgraphen ist
$y=f(x)$.
Die Schreibweise $f(x)$ drückt mehr als $y$ die Abhängigkeit von der Variable $x$ aus.
Forme die Gleichung der x-Koordinate des Bildpunktes nach $x$ um.
Die lineare Funktionsgleichung der verschobenen Geraden hat die gleiche Steigung wie die ursprüngliche Gerade.
LösungSei $(x|y)$ irgendein Punkt des Graphen und
$\vec w=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
der Verschiebungsvektor, dann sind durch
- $x'=x+1$ $\Leftrightarrow$ $x=x'-1$
- $y'=y+3$
Nun wird die lineare Funktionsgleichung für $y$ verwendet:
Somit ergibt sich $y'=y+3=-3x-2+3=-3x+1$.
In diese Gleichung wird nur $x=x'-1$ eingesetzt
$y'=-3(x'-1)+1=-3x'+3+1=-3x'+4$.
Somit ist die Gleichung der verschobenen Geraden gegeben durch
$g(x)=-3x+4$.
-
Prüfe, ob die Parabel durch Verschiebung hervorgegangen ist aus der Funktion $h(x)=x^2+2$.
TippsDurch drei Punkte ist die Gleichung einer quadratischen Funktion eindeutig gegeben.
Das Verfahren der Parallelverschiebung einzelner Punkte wird bei Parabeln mit drei Punkten durchgeführt.
Dabei wird ein Punkt $(x|y)$ auf seinen Bildpunkt $(x'|y')$ abgebildet.
Ein einzelner Punkte wird wie folgt verschoben:
- Addiere zu der x-Koordinate des Punktes die des Verschiebungsvektors und
- addiere zu der y-Koordinate des Punktes die des Verschiebungsvektors.
Ein Punkt $(x|y)$ liegt auf einem Funktionsgraphen, wenn
$y=f(x)$ gilt.
LösungAuch eine Parabelgleichung kann mithilfe der Parallelverschiebung einzelner Punkte bestimmt werden. In dieser Aufgabe ist die Gleichung bereits vorgegeben. Hier wird die Gleichung hergeleitet bei drei bekannten Punkten.
Das bedeutet, dass zu drei Punkten der Parabel zunächst die Bildpunkte bestimmt werden. Dies ist hier in der Abbildung zu sehen. Zu den x-Koordinaten wurde jeweils $1$ addiert, von den y-Koordinaten jeweils $-2$ subtrahiert.
Mit drei Punkten kann eine quadratische Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$ hergeleitet werden. Hierfür stellt man ein Gleichungssystem auf:
(I) $a+b+c=0$
(II) $4a+2b+c=1$
(III) $a-b+c=4$
Von der ersten Gleichung wird die dritte subtrahiert. Dies führt zu $2b=-4$, also $b=-2$.
Von der zweiten Gleichung wird die erste subtrahiert zu
$3a+b=1$.
In diese Gleichung kann nun $b=-2$ eingesetzt werden: $3a-2=1$. Addition von $2$ und anschließende Division durch $3$ führt zu $a=1$.
Zuletzt werden $a=1$ und $b=-2$ in die erste Gleichung eingesetzt:
$1-2+c=0$. Dies führt zu $c=1$.
Die gesuchte Gleichung lautet somit $k(x)=x^2-2x+1$.
-
Benenne die beiden Verfahren, mit denen die Funktionsgleichung eines verschobenen Graphen ermittelt werden kann.
TippsWenn eine Gerade entlang eines Vektors verschoben wird, bleibt die Steigung erhalten. Die resultierende Gerade ist also parallel zu der ursprünglichen Geraden.
Das bedeutet, dass es genügt, zwei Punkte der Geraden zu verschieben.
LösungWenn der Graph einer Funktion entlang eines Vektors verschoben werden soll, kann man dies entweder dadurch machen,
- dass man einzelne Punkte parallel verschiebt und mithilfe der verschobenen Punkte die zugehörige Funktionsgleichung herleitet
- oder dass man das Parameterverfahren anwendet.
-
Ermittle die Gleichung der verschobenen Parabel.
TippsDu kannst drei Punkte des Graphen parallel verschieben.
Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet $f(x)=ax^2+bx+c$. Stelle dann mithilfe der Bildpunkte ein Gleichungssystem auf.
Du kannst auch das Parameterverfahren anwenden.
Es ist $x'=x+1$ und $y'=y-1$.
Verwende die Funktionsgleichung
$y'=x^2-x-1$.
Es ist $x=x'-1$.
Setze dieses $x$ in die Gleichung $y'=x^2-x-1$ ein.
Verwende die 2. binomische Formel
$(x'-1)^2=x'^2-2x'+1$.
LösungHier soll die quadratische Funktionsgleichung mithilfe des Parameterverfahrens bestimmt werden.
Der Verschiebungsvektor ist gegeben durch
$\vec w=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.
Somit ist
- $x'=x+1$ und
- $y'=y-1$.
$y'=x^2-x-1$.
Nun wird noch $x=x'-1$ in diese Gleichung eingesetzt
$y'=(x'-1)^2-(x'-1)-1$.
Der Quadratterm kann mit der 2. binomischen Formel berechnet werden:
$y'=x'^2-2x'+1-x'+1-1$.
Dieser Term kann weiter vereinfacht werden zu
$y'=x'^2-3x'+1$.
Wir erhalten die gesuchte Funktionsgleichung
$k(x)=x^2-3x+1$.
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