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Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren 05:46 min

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Transkript Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren

Hallo ich bin Aline. Heute beschäftigen wir uns mit dem Verschieben von Funktionsgraphen. Dazu werden wir uns zunächst anschauen worum es bei dem Thema überhaupt geht und uns anschließend zwei verschiedene Lösungswege anschauen. Die Parallelverschiebung einzelner Punkte und das Parameterverfahren. Anschließend rechnen wir noch gemeinsam eine Beispielaufgabe. Funktionsgraphen können in einem Koordinatensystem beliebig verschoben werden. Wenn wir von einer Parallelverschiebung sprechen, ist es wichtig, dass die Form beziehungsweise der Anstieg des Graphen identisch bleibt und er nur in X- beziehungsweise Y-Richtung verschoben wird. Hat man einen Vektor V gegeben, um den der Graph verschoben werden soll, gibt es verschiedene Wege den neuen Funktionsgraphen zu bestimmen. Man kann a, einzelne Punkte des Graphen parallel verschieben und daraus die neue Funktion bilden. Oder man wendet b, das Parameterverfahren an. Schauen wir uns doch beide Möglichkeiten an einem Beispiel einmal an. Los geht’s. Bei der Variante eins verschieben wir einfach einzelne Punkte parallel und bilden aus den Bildpunkten die neue Funktionsgleichung. Gegeben sei zum Beispiel die Funktion f(x) = 2x + 3, welche um den Vektor W (-2 4) verschoben werden soll. Da wir, um eine Geradengleichung aufstellen zu können, zwei Punkte benötigen, berechnen wir zu zwei beliebigen X-Werten erst einmal den passenden Y-Wert. Nehmen wir zum Beispiel x1 = 0 und x2 = 1. Wir setzen diese X-Werte in die Gleichung von f(x) ein und erhalten die Werte y1 = 3 und y2 = 5. Nun müssen wir nur die X- und Y-Werte um den Vektor erweitern. Das heißt von den X-Werten werden zwei subtrahiert und bei den Y-Werten vier addiert. Wir erhalten die neuen Punkte P1‘ (-2; 7) und P2‘ (-1; 9). Aus diesen beiden Punkten können wir nun die neue Funktionsgleichung g(x) = mx + n bestimmen. Die Steigung m erhalten wir mit Hilfe der Steigungsformel: m = y2‘ - y1‘/x2‘ - x1‘. Es ergibt sich ein Anstieg von zwei. Der Achsenabschnitt N errechnen wir, indem wir die Werte von P1‘ in die Funktionsgleichung g(x) = mx + n einsetzen. 7 = 2 * (-2) + n, n = 11. Die neue Funktionsgleichung g(x) lautet also g(x) = 2x + 11. Bei dem Parameterverfahren geht man nicht den Umweg über konkrete Punkte, sondern berechnet allgemein die neue Funktionsgleichung. Nehmen wir wieder unsere Beispielfunktion f(x) = 2x + 3 und den Vektor W = (-2 4), dann wissen wir dass sich x‘ ergibt aus x - 2 und y‘ aus (2x + 3) + 4, was 2x + 7 ist. Wir stellen die erste Gleichung nach x um und setzen x = x‘ + 2 in die Ausgangsgleichung ein. y‘ = 2 * (x‘ + 2) + 7. Nach Umstellen und Zusammenfassen, ergibt sich die Funktionsgleichung y‘ = 2x‘ + 11. Wir können also sagen, dass g(x) = 2x + 11 ist, was sich mit dem Ergebnis aus Methode eins deckt. Nun rechnen wir gemeinsam noch eine Beispielaufgabe. Gegeben sei die Parabel h(x) = 2x² + 4. Diese soll um den Vektor a (-1 1) parallel verschoben werden. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? Wenn wir die Parametermethode anwenden, stellen wir zunächst Gleichungen zu x‘ und y‘ auf. X‘ = x - 1. Y‘ = 2x² + 4 + 1 = 2x² + 5. Nun stellen wir die erste Gleichung nach x um und setzen x = x‘ + 1 in diese Gleichung ein. Ausmultiplizieren und zusammenfassend ergibt die neue Funktionsgleichung k(x) = 2x’² + 4x‘ + 7. Wir haben uns in diesem Video mit der Verschiebung von Funktionsgraphen beschäftigt. Dazu haben wir uns zwei verschiedene Möglichkeiten angeschaut, die neue Funktionsgleichung zu berechnen. Ein Weg führt über Parallelverschiebung einzelner Punkte des Graphen, über die die Funktionsgleichung bestimmt werden kann. Ein anderer Weg ist das sogenannte Parameterverfahren, bei dem die bekannten X- und Y-Werte substituiert werden und so direkt die neue Funktionsgleichung berechnet werden kann. Bis zum nächsten Mal.

Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionsgraphen verschieben mit dem Parameterverfahren kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie ein Funktionsgraph sich verändert, wenn er entlang eines Vektors verschoben wird.

    Tipps

    Wenn du eine Gerade verschiebst, ist der verschobene Graph ebenfalls eine Gerade.

    Betrachte zwei Punkte der Geraden. Wenn beide Punkte gleichermaßen verschoben werden, so ist die Steigung der resultierenden Geraden die gleiche wie bei der ursprünglichen Geraden.

    Der Graph zur Funktion $g(x)=3x-2$ ist entstanden durch eine parallele Verschiebung des Graphen zu $f(x)=3x+3$.

    Eine solche Verschiebung ähnelt dem Kopieren: Du kopierst den Graphen und setzt ihn an anderer Stelle wieder ein.

    Lösung

    Wenn man einen Graphen verschiebt, ändert sich weder dessen Form noch dessen Steigungsverhalten.

    Dies kann man sich besonders gut an Geraden klar machen. Wenn eine Gerade entlang eines Vektors verschoben wird, erhält man eine Gerade, welche parallel zu der ursprünglichen Geraden verläuft.

    Hierfür kann man

    • einzelne Punkte parallel verschieben und mit diesen Punkten die Funktionsgleichung des verschobenen Graphen herleiten oder
    • mit Hilfe des Parameterverfahrens direkt die Funktionsgleichung ermitteln.
  • Benenne die beiden Verfahren, mit denen die Funktionsgleichung eines verschobenen Graphen ermittelt werden kann.

    Tipps

    Wenn eine Gerade entlang eines Vektors verschoben wird, bleibt die Steigung erhalten. Die resultierende Gerade ist also parallel zu der ursprünglichen Geraden.

    Das bedeutet, dass es genügt, zwei Punkte der Geraden zu verschieben.

    Lösung

    Wenn der Graph einer Funktion entlang eines Vektors verschoben werden soll, kann man dies entweder dadurch machen,

    • dass man einzelne Punkte parallel verschiebt und mit Hilfe der verschobenen Punkte die zugehörige Funktionsgleichung herleitet
    • oder dass man das Parameterverfahren anwendet.
  • Ermittle die Gleichung des verschobenen Graphen durch Parallelverschiebung einzelner Punkte.

    Tipps

    Du erhältst den Punkt eines Graphen, indem du zu einem x-Wert den y-Wert berechnest.

    Zum Beispiel liefert $x=4$ den folgenden Funktionswert:

    $y=f(4)=2\cdot 4+3=11$.

    Durch zwei Punkte ist eine lineare Funktion gegeben.

    Die Steigung ist gegeben durch die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte dividiert durch die Differenz der x-Koordianten (in der gleichen Reihenfolge). Dies kannst du in der Abbildung sehen.

    Die Steigung der Bildgeraden (Dies ist die „neue“ Gerade) muss gleich der Steigung der ursprünglichen Geraden sein.

    Lösung

    Der Verschiebungsvektor ist gegeben durch

    $\vec w=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

    Zunächst werden zwei Punkte des Graphen ermittelt. Hierfür werden zwei Werte für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:

    • $x_1=0$ führt zu $y_1=f(0)=2\cdot 0+3=3$
    • $x_2=1$ führt zu $y_2=f(1)=2\cdot 1+3=5$
    Die beiden Punkte $P_1(0|3)$ und $P_2(1|5)$ werden nun entlang des Vektors $\vec w$ verschoben. Das bedeutet, dass zu den x-Koordinaten der beiden Punkte die x-Koordinate des Vektors addiert wird. Ebenso wird bei den y-Koordinaten verfahren:

    • $x_1'=x_1+(-2)=0-2=-2$
    • $x_2'=x_2+(-2)=1-2=-1$
    • $y_1'=y_1+4=3+4=7$
    • $y_2'=y_2+4=5+4=9$
    Dies führt zu den Bildpunkten $P_1'(-2|7)$ sowie $P_2'(-1|9)$.

    Mit Hilfe von zwei Punkten kann die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion bestimmt werden:

    1. Zunächst wird die Steigung bestimmt: $m=\frac{9-7}{-1-(-2)}=\frac21=2$. (Hinweis: Die Steigung muss die gleich wie bei der ursprünglichen Funktion sein, da die Geraden parallel zueinander verlaufen.)
    2. Die Gleichung lautet somit $g(x)=2x+n$ mit noch unbekanntem y-Achsenabschnitt $n$.
    3. Nun wird einer der beiden Punkte in die Gleichung eingesetzt und diese nach $n$ aufgelöst: $7=2\cdot (-2)+n$. Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung $4$ addiert und man erhält $n=11$.
    Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit

    $g(x)=2x+11$.

  • Ermittle die Gleichung der verschobenen Parabel.

    Tipps

    Du kannst drei Punkte des Graphen parallel verschieben.

    Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet $f(x)=ax^2+bx+c$. Stelle dann mithilfe der Bildpunkte ein Gleichungssystem auf.

    Du kannst auch das Parameterverfahren anwenden.

    Es ist $x'=x+1$ und $y'=y-1$.

    Verwende die Funktionsgleichung

    $y'=x^2-x-1$.

    Es ist $x=x'-1$.

    Setze dieses $x$ in die Gleichung $y'=x^2-x-1$ ein.

    Verwende die 2. binomische Formel

    $(x'-1)^2=x'^2-2x'+1$.

    Lösung

    Hier soll die quadratische Funktionsgleichung mit Hilfe des Parameterverfahrens bestimmt werden.

    Der Verschiebungsvektor ist gegeben durch

    $\vec w=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

    Somit ist

    • $x'=x+1$ und
    • $y'=y-1$
    Mit $y=x^2-x$ erhält man

    $y'=x^2-x-1$.

    Nun wird noch $x=x'-1$ in diese Gleichung eingesetzt

    $y'=(x'-1)^2-(x'-1)-1$.

    Der Quadratterm kann mit der 2. binomischen Formel berechnet werden:

    $y'=x'^2-2x'+1-x'+1-1$.

    Dieser Term kann weiter vereinfacht werden zu

    $y'=x'^2-3x'+1$.

    Wir erhalten die gesuchte Funktionsgleichung

    $k(x)=x^2-3x+1$.

  • Wende zur Bestimmung der Funktionsgleichung das Parameterverfahren an.

    Tipps

    Die y-Koordinate eines Punktes $(x|y)$ eines Funktionsgraphen ist

    $y=f(x)$.

    Die Schreibweise $f(x)$ drückt mehr als $y$ die Abhängigkeit von der Variable $x$ aus.

    Forme die Gleichung der x-Koordinate des Bildpunktes nach $x$ um.

    Die lineare Funktionsgleichung der verschobenen Geraden hat die gleiche Steigung wie die ursprüngliche Gerade.

    Lösung

    Sei $(x|y)$ irgendein Punkt des Graphen und

    $\vec w=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

    der Verschiebungsvektor, dann sind durch

    • $x'=x+1$ $\Leftrightarrow$ $x=x'-1$
    • $y'=y+3$
    die verschobenen Koordinaten angegeben.

    Nun wird die lineare Funktionsgleichung für $y$ verwendet:

    Somit ergibt sich $y'=y+3=-3x-2+3=-3x+1$.

    In diese Gleichung wird nur $x=x'-1$ eingesetzt

    $y'=-3(x'-1)+1=-3x'+3+1=-3x'+4$.

    Somit ist die Gleichung der verschobenen Geraden gegeben durch

    $g(x)=-3x+4$.

  • Prüfe, ob die Parabel durch Verschiebung hervorgegangen ist aus der Funktion $h(x)=x^2+2$.

    Tipps

    Durch drei Punkte ist die Gleichung einer quadratischen Funktion eindeutig gegeben.

    Das Verfahren der Parallelverschiebung einzelner Punkte wird bei Parabeln mit drei Punkten durchgeführt.

    Dabei wird ein Punkt $(x|y)$ auf seinen Bildpunkt $(x'|y')$ abgebildet.

    Ein einzelner Punkte wird wie folgt verschoben:

    • Addiere zu der x-Koordinate des Punktes die des Verschiebungsvektors und
    • addiere zu der y-Koordinate des Punktes die des Verschiebungsvektors.

    Ein Punkt $(x|y)$ liegt auf einem Funktionsgraphen, wenn

    $y=f(x)$ gilt.

    Lösung

    Auch eine Parabelgleichung kann mithilfe der Parallelverschiebung einzelner Punkte bestimmt werden. In dieser Aufgabe ist die Gleichung bereits vorgegeben. Hier wird die Gleichung hergeleitet bei drei bekannten Punkten.

    Das bedeutet, dass zu drei Punkten der Parabel zunächst die Bildpunkte bestimmt werden. Dies ist hier in der Abbildung zu sehen. Zu den x-Koordinaten wurde jeweils $1$ addiert, von den y-Koordinaten jeweils $-2$ subtrahiert.

    Mit drei Punkten kann eine quadratische Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$ hergeleitet werden. Hierfür stellt man ein Gleichungssystem auf:

    (I) $a+b+c=0$

    (II) $4a+2b+c=1$

    (III) $a-b+c=4$

    Von der ersten Gleichung wird die dritte subtrahiert. Dies führt zu $2b=-4$, also $b=-2$.

    Von der zweiten Gleichung wird die erste subtrahiert zu

    $3a+b=1$.

    In diese Gleichung kann nun $b=-2$ eingesetzt werden: $3a-2=1$. Addition von $2$ und anschließende Division durch $3$ führt zu $a=1$.

    Zuletzt werden $a=1$ und $b=-2$ in die erste Gleichung eingesetzt:

    $1-2+c=0$. Dies führt zu $c=1$.

    Die gesuchte Gleichung lautet somit $k(x)=x^2-2x+1$.