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Parallelverschiebung

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Ø 3.8 / 30 Bewertungen

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Team Digital
Parallelverschiebung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Parallelverschiebung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Figuren parallel zu verschieben.

Zunächst lernst du, welche Eigenschaften eine Parallelverschiebung bezüglich der Punkte, Linien und Winkel einer Figur hat. Anschließend siehst du, wie du eine Figur auf einer Ebene entlang eines Vektors parallel verschiebst. Abschließend lernst du, dass das Bild, das du so erhältst, kongruent zum Original ist.

Lerne etwas über die Parallelverschiebung, indem du dir ansiehst, wie Sanjé seine Mandalas gestaltet.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Parallelverschiebung, Original, Bild, Kongruenz, Punkt, Linie, Winkel, geometrische Figur und Vektor.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du Figuren an einer Achse oder einem Punkt spiegelst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Kongruenzabbildungen kennenzulernen.

Transkript Parallelverschiebung

Der tibetische Mönch Sanjé erstellt mit buntem Sand ein Mandala. Mandalas bestehen aus Mustern und Formen, die sich immer wieder wiederholen. Sanjé nutzt Parallelverschiebungen, um bestimmte Formen an verschiedene Stellen seines Mandalas zu kopieren. Das Mandala enthält zwei KONGRUENTE Dreiecke - eines vollständig und eines unvollständig. Die beiden Dreiecke haben dieselbe Größe und dieselbe Form. Wie können wir mithilfe von Parallelverschiebungen das Dreieck von HIER nach HIER kopieren? Wir wollen das farbsatte Dreieck so verschieben, dass es perfekt auf das halb transparente passt. Beginnen wir bei Punkt 'A'. Wir können Punkt 'A' 6 Einheiten nach UNTEN verschieben dann 10 Einheiten nach RECHTS. So kommen wir bei Punkt 'A' STRICH an. 'A' STRICH markieren wir mit einem Apostroph. Wir können 'A' und 'A Strich' mit einer GERICHTETEN STRECKE verbinden, die man VEKTOR nennt. Ein Vektor zeigt uns die RICHTUNG und die LÄNGE, um die wir Punkt 'A' verschoben haben. Siehst du, dass wir hier ein STEIGUNGSDREIECK haben? Die Steigung dieser Geraden ist minus 6 Zehntel. Wenn wir Punkt 'B' entlang desselben Vektors verschieben, erhalten wir 'B Strich'. Die Steigung DIESER Strecke ist ebenfalls minus 6 Zehntel. Zum Schluss verschieben wir Punkt 'C' entlang desselben Vektors und erhalten 'C Strich'. Wenn wir 'A Strich', 'B Strich' und 'C Strich' verbinden, erhalten wir ein Dreieck. Es ist identisch zum ursprünglichen Dreieck, befindet sich aber an einem anderen Ort. Wir haben das Dreieck 'ABC' entlang eines Vektors parallelverschoben, um ein KONGRUENTES Dreieck an einem ANDEREN Ort zu erhalten.An diesem Beispiel sehen wir, dass die Parallelverschiebung eines Punktes ebenfalls einen Punkt ergibt. Die Parallelverschiebung einer Linie ergibt eine Linie derselben Länge. Und die Parallelverschiebung eines Winkels ergibt einen Winkel derselben Größe. Helfen wir Sanjé nun, mit Parallelverschiebungen mehrere Kopien dieser Raute zu konstruieren. Das HIER ist unser Vektor. Er besitzt eine Länge von 9 und eine vorgegebene Richtung. Wir können die Raute entlang des Vektors verschieben, indem wir sie um 9 Einheiten nach unten verschieben. Zuerst können wir jeden Punkt der Raute verschieben und zwar um 9 Einheiten nach unten. Dann verbinden wir diese Punkte und sehen, dass wir eine Raute erhalten, die kongruent zum Original ist. Wir sehen auch, dass durch die Parallelverschiebung die Punkte, Linien und Winkel der Raute erhalten geblieben sind. Wundervoll! Bevor wir uns das fertige Mandala anschauen, wiederholen wir noch mal: Bei einer Parallelverschiebung verschieben wir eine geometrische Figur auf einer Ebene entlang eines Vektors. Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke mit einer Richtung und einer Länge. Das Objekt, das du verschiebst, bleibt gleich, befindet sich aber an einem anderen Ort. Die Parallelverschiebung bewahrt: Punkte, Linien und Winkel. Bei der Parallelverschiebung einer Figur entsteht eine neue Figur, die KONGRUENT zum Original ist. Sanjé hat sein Mandala vollendet. Parallelverschiebungen mögen die Geometrie bewahren, doch nichts währt ewig.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Super erklärt. Am Anfang dachte ich dass ich es falsch verstehe doch jetzt kann ich es sehr gut. Gutes Mandala von Sange. Und coole figuren. Aber warum zerstört er dann am Ende Das Mandala ?

    Danke Team Digital

    MFG
    Singh Saardar

    Von Singh Saardar , vor etwa 2 Monaten
  2. Colles Video🙂

    Von Nilpa811, vor 9 Monaten
  3. am ende ;)

    Von Sieghard Klinghammer, vor 10 Monaten

Parallelverschiebung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parallelverschiebung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschrifte das Bild zur Parallelverschiebung.

    Tipps

    Die Steigung $m$ ist der Quotient aus der $y$- und der $x$-Komponente im Steigungsdreieck, jeweils mit Vorzeichen.

    Die Punkte $A$, $B$ und $C$ werden längs der Richtung des Verschiebungsvektors zu den Punkten $A'$, $B'$ und $C'$ verschoben.

    In einem Dreieck werden die Punkte in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.

    Lösung
    • Bei einer Parallelverschiebung werden alle Punkte eines Vielecks auf dieselbe Art und Weise verschoben. Die Verschiebung wird durch eine gerichtete Strecke festgelegt, d. h. durch einen Vektor.
    • Du kannst die Steigung $m$ des Verschiebungsvektors mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Die Steigung $m$ ist der Quotient aus der Verschiebung in $y$-Richtung und der Verschiebung in $x$-Richtung, jeweils mit Vorzeichen. Eine Verschiebung um $6$ Einheiten nach unten und $10$ Einheiten nach rechts führt zu der Steigung $m=\frac{-6}{10}$.
    • Die Eckpunkte des ursprünglichen Dreiecks haben die Bezeichnungen $A$, $B$ und $C$. Die zugehörigen Bildpunkte unter der Parallelverschiebung haben die Bezeichnungen $A'$, $B'$ und $C'$. Du findest die Bildpunkte, indem du die Punkte $A$, $B$ und $C$ jeweils um $6$ Einheiten nach unten und $10$ Einheiten nach rechts verschiebst.
  • Nenne Merkmale der Parallelverschiebung.

    Tipps

    Eine Parallelverschiebung geschieht längs einer gerichteten Strecke.

    Die Parallelverschiebung eines Winkels ist ein Winkel derselben Winkelgröße.

    Verschiebst du verschiedene Punkte einer Figur mit verschiedenen Vektoren, so ist die verschobene Figur zu der ursprünglichen Figur nicht kongruent.

    Lösung

    Eine Parallelverschiebung ändert den Ort einer Figur, aber nicht ihre geometrische Form. Die verschobene und die ursprüngliche Figur sind kongruent. Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Teil der Figur wieder auf einen entsprechenden Teil verschoben: Aus einem Punkt wird wieder ein Punkt, aus einer Strecke eine Strecke gleicher Länge, aus einem Winkel ein Winkel derselben Winkelgröße etc. Die Parallelverschiebung kannst du durch den Verschiebungsvektor charakterisieren. Dieser ist eine gerichtete Strecke, die anzeigt, wie weit und in welche Richtung die Figur verschoben wird. Jeder Punkt einer Figur wird mit demselben Vektor verschoben.

    So erhältst du folgende vervollständigten Sätze:

    • „Eine parallel verschobene Figur ... ist zu der ursprünglichen kongruent.“
    • „Die Parallelverschiebung eines Punktes ... ergibt einen Punkt.“
    • „Die Parallelverschiebung einer Strecke ... ergibt eine Strecke gleicher Länge.“
    • „Eine gerichtete Strecke ... heißt Vektor.“
    • „Die Parallelverschiebung einer Figur ... geschieht für jeden Punkt mit demselben Vektor.“
  • Erschließe den Verschiebungsvektor.

    Tipps

    Bestimme den Verschiebungsvektor zwischen den markierten Punkten.

    Der Verschiebungsvektor von $A$ zu $A'$ ist bis auf die Richtung der Pfeilspitze derselbe wie der Verschiebungsvektor von $A'$ zu $A$.

    Im Bild siehst du den Verschiebungsvektor für die Parallelverschiebung eines Dreiecks. Der Verschiebungsvektor geht genau von einem Eckpunkt zu seinem Bildpunkt unter der Verschiebung.

    Lösung

    Der Verschiebungsvektor zeigt an, um wie viel und in welche Richtung eine Figur verschoben werden soll. Hier sollst du Paaren zueinander parallel verschobener Figuren jeweils den Verschiebungsvektor zuordnen. Liegen die beiden Figuren z. B. genau nebeneinander, so ist der Verschiebungsvektor horizontal gerichtet. Liegt eine Figur links oben und die andere rechts unten, so zeigt der Verschiebungsvektor entweder von links oben nach rechts unten oder von rechts unten nach links oben.

    Für die genaue Zuordnung der Verschiebungsvektoren musst du darauf achten, um welchen Wert eine Figur in die horizontale Richtung, verglichen zur vertikalen Richtung, verschoben ist. Du kannst die Verschiebungen auch an den einzelnen Punkten ablesen, z. B. an den markierten Punkten oder jedem anderen Eckpunkt einer Figur.

    Im Bild siehst du die zweite Figur aus der Aufgabe mit dem zugehörigen Verschiebungsvektor, hier eingezeichnet als gerichtete Strecke von $A$ nach $A'$. Dieser Vektor verschiebt die Eckpunkte der ursprünglichen Figur jeweils um zwei Einheiten nach oben und fünf Einheiten nach links.

  • Ermittle jeweils die Bildpunkte der parallel verschobenen Figuren.

    Tipps

    Finde für jede Figur den Verschiebungsvektor durch Vergleichen des markierten Eckpunktes mit seinem Bildpunkt.

    Positioniere den Verschiebungsvektor an einen Eckpunkt und verschiebe diesen Punkt bis zur Spitze des Verschiebungsvektors.

    Lösung

    Bei einer Parallelverschiebung einer Figur wird jeder Eckpunkt der Figur mit demselben Vektor verschoben. Du kannst den Verschiebungsvektor jeweils an dem Eckpunkt positionieren. Die Spitze des Vektors zeigt dann genau auf den Eckpunkt nach der Verschiebung.

    Die drei Figuren werden mit verschiedenen Vektoren verschoben. Du musst daher genau darauf achten, für jede Figur den passenden Verschiebungsvektor auszuwählen. Diesen kannst du an den Punkten $A$ und $A'$ bzw. $G$ und $G'$ sowie $L$ und $L'$ ablesen: Der Verschiebungsvektor des Sechsecks ist der Vektor von $A$ zu $A'$, der des Fünfecks ist der Verschiebungsvektor von $G$ zu $G'$ und der des Siebenecks der Vektor von $L$ zu $L'$.

    Im Bild siehst du das Sechseck (violett) mit der zugehörigen Parallelverschiebung und dem zugehörigen Verschiebungsvektor. Dieser Vektor gibt eine Verschiebung von drei Einheiten nach unten und acht Einheiten nach links an.

  • Gib die kongruenten Figuren an.

    Tipps

    Zwei kongruente Vielecke haben dieselbe Anzahl an Eckpunkten.

    Kongruente Figuren können unterschiedliche Richtungen in der Ebene haben.

    Diese Figuren sind nicht kongruent, denn die linke Figur ist ein regelmäßiges Siebeneck, die rechte Fgur ein regelmäßiges Achteck.

    Lösung

    Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsleich sind. Ob zwei Figuren deckungsleich sind, kannst du prüfen, indem du versuchst, sie übereinander zu schieben. Aber auch Drehungen und Spiegelungen führen zu kongruenten Figuren.

    Dass zwei Figuren nicht deckungsgleich sind, kannst du daran erkennen, dass sie z. B. nicht dieselbe Größe oder nicht dieselbe Form haben. Kongruente Vielecke müssen dieselbe Anzahl an Ecken aufweisen.

    Im Bild siehst du hier die nicht kongruenten Figuren:

    1. Die beiden unregelmäßigen Vielecke können nicht kongruent sein, denn eines der beiden ist ein Siebeneck, das andere ein Achteck.
    2. Diese beiden Sechsecke haben nicht dieselben Winkel bzw. Seitenlängen und sind daher nicht kongruent.
    3. Diese beiden Siebenecke sind nicht zueinander kongruent, denn sie haben nicht dieselben Winkelgrößen.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Den Flächeninhalt einer Figur kannst du aus den Längen der Figur berechnen.

    Eine Figur und ihre Parallelverschiebung können einander überlagern.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Parallelverschiebung erhält alle Winkelgrößen, Seitenlängen und Flächeninhalte einer Figur.“ Die Flächeninhalte lassen sich aus den Längen und ggf. den Winkelgrößen berechnen. Da die Längen und Winkelgrößen unter einer Parallelverschiebung erhalten bleiben, gilt dasselbe auch für die Flächeninhalte.
    • „Ist bei einer Parallverschiebung einer Figur der Punkt $C$ mit dem Punkt $C'$ identisch, so wurde die Figur gar nicht verschoben.“ Bei einer Parallelverschiebung werden alle Eckpunkte mit demselben Vektor verschoben. Ist der verschobene Eckpunkt identisch zu dem ursprünglichen Eckpunkt, so gilt dasselbe für alle anderen Eckpunkte.
    • „Haben die Eckpunkte zweier kongruenter Vielecke nicht dieselbe Reihenfolge im Uhrzeigersinn, so sind die Vielecke nicht zueinander parallel verschoben.“ An der Reihenfolge der Eckpunkte im Uhrzeigersinn erkennst du die Orientierung einer Figur. Du kannst dir z. B. das Ziffernblatt einer Uhr vorstellen: Bei einer Parallelverschiebung des Ziffernblatts bleibt die Reihenfolge der Punkte (also die Orientierung der Figur) erhalten, bei einer Drehung ebenfalls. Bei einer Achsenspiegelung wird die Reihenfolge umgedreht, die gespiegelte Uhr hat also im Uhrzeigersinn die Ziffern $2$, $1$, $12$, $11$, $10$ usw. Ist die Reihenfolge im Uhrzeigersinn der Eckpunkte zweier Vielecke verschieden, so können die Vielecke also nicht zueinander parallel verschoben sein.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Sind zwei Figuren kongruent zueinander, so ist die eine Figur eine Parallelverschiebung der anderen.“ Auch Drehungen und Spiegelungen erzeugen zueinander kongruente Figuren. Drehungen und Spiegelungen sind aber keine Parallelverschiebungen und lassen sich auch nicht durch Parallelverschiebungen ersetzen.
    • „Eine Figur und ihre Parallelverschiebung haben keinen Punkt gemeinsam.“ Die Parallelverschiebung muss nicht so weit sein, dass die Figuren disjunkt werden. Daher können eine Figur und ihre Parallelverschiebung sich auch überlappen und somit gemeinsame Punkte haben.
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