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Drehsymmetrie

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Team Digital
Drehsymmetrie
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Drehsymmetrie

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein zu erklären, was Drehsymmetrie ist.

Zunächst lernst du, was Drehsymmetrie ist und was der Unterschied zur Punktsymmetrie ist. Anschließend lernst du, wie auch zwei Figuren zueinander drehsymmetrisch sein können. Abschließend siehst du noch einige Beispiele aus dem Alltag, in denen eine Drehsymmetrie vorkommt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Drehsymmetrie, Drehung, Kleeblatt, Drehzentrum, Kreis, Punktsymmetrie, Symmetrie, Winkel

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was punktsymmetrisch ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Figuren um ein Drehzentrum zu drehen. ...

Transkript Drehsymmetrie

Ahhh, draußen in der Natur ist es doch immer noch am schönsten! Hier können wir die erstaunlichsten Dinge entdecken. Zum Beispiel dieses Kleeblatt. Es wirkt zwar unscheinbar und dennoch können wir hier eine besondere Form der Symmetrie erkennen, nämlich die Drehsymmetrie. Die äußere Form des Kleeblatts ist drehsymmetrisch. Ist eine Figur drehsymmetrisch, dann führt eine Drehung um weniger als 360 Grad zu einer Deckungsgleichheit mit der ursprünglichen Figur. Die Drehung muss deshalb geringer sein, da jede Figur bei einer Drehung um 360 Grad mit der ursprünglichen Figur deckungsgleich wäre. Die Drehung erfolgt dabei um das sogenannte Zentrum der Drehung oder kurz gesagt das Drehzentrum. Drehsymmetrische Figuren und Formen haben oftmals die Eigenschaft, dass sie nicht nur um einen bestimmten Winkel gedreht werden können. Dieses Kleeblatt kann um 120 Grad und 240 Grad gedreht werden. In beiden Fällen ist das gedrehte Kleeblatt deckungsgleich zum ursprünglichen Kleeblatt. Die Punktsymmetrie ist der Drehsymmetrie sehr ähnlich. Schauen wir uns dazu dieses vierblättrige Kleeblatt an. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung um genau 180 Grad auf sich selbst wieder abgebildet wird. Somit ist jede punktsymmetrische Figur auch drehsymmetrisch. Jedoch ist nicht jede drehsymmetrische Figur auch gleichzeitig punktsymmetrisch. Drehen wir das dreiblättrige Kleeblatt um 180 Grad, ist es nicht deckungsgleich mit dem nicht-gedrehten Kleeblatt. Doch nicht nur eine Figur an sich kann die Eigenschaft der Drehsymmetrie besitzen. Auch zwei Figuren können drehsymmetrisch zueinander sein. Betrachten wir diese zwei Dreiecke. Drehen wir das Dreieck ABC um das Drehzentrum herum, dann ist es deckungsgleich zum Dreieck 'A-Strich, B-Strich, C-Strich'. Das Drehzentrum, das wir mit Z benennen, liegt in diesem Fall außerhalb der Figuren. Entsprechende Punkte haben dabei denselben Abstand zum Drehzentrum. Die Punkte A und 'A-Strich' liegen also auf einem Kreis um das Drehzentrum Z. Genauso verhält es sich mit B und 'B-Strich' sowie C und 'C-Strich'. Sind zwei Figuren drehsymmetrisch zueinander, dann sind sie kongruent. Das bedeutet so viel wie 'deckungsgleich'. Neben dem Kleeblatt gibt es auch noch viele weitere drehsymmtrische Figuren, denen wir im Alltag begegnen. Die Form der Rotorblätter von Windrädern sind beispielsweise drehsymmetrisch. Hier ist liegt das Drehzentrum auch genau in dem Punkt, um den sich die Rotorblätter drehen. Sowohl eine Drehung um 120 als auch um 240 Grad führt hier zu einer Deckungsgleichheit. Auch viele Zahnräder sind drehsymmetrisch. Das Drehzentrum liegt hier genau in der Mitte des Zahnrades. Sowohl diese als auch diese Drehung führen zu einer Deckungsgleichheit. Selbst in der Tierwelt können wir manchmal Drehsymmetrien entdecken. Dies gilt zum Beispiel für die Form einiger Seesterne. Sie kann um 72, 144, 216 und 288 Grad gedreht werden. In allen Fällen ist die gedrehte Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Lass uns das noch einmal zusammenfassen: Ist eine Figur drehsymmetrisch, dann führt eine Drehung um weniger als 360 Grad zu einer Deckungsgleichheit mit der ursprünglichen Figur. Die Drehung erfolgt dabei um das sogenannte Drehzentrum. Auch mehrere Figuren können drehsymmetrisch zueinander sein. Ob es nun Glück bringt oder nicht. Drehen wir das Kleeblatt immer schneller, dann wird aus dem Kleeblatt eben ein Drehblatt.

23 Kommentare

23 Kommentare
  1. bin in in der siebten und brauche trotzdem das video

    Von Amelie, vor 19 Tagen
  2. Hallo Katharina Gwinner, Hallo Petra K.,

    der Fehler wurde korrigiert und das korrigierte Video wurde hochgeladen.
    Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 3 Monaten
  3. Hallo,
    leider wird die Drehung noch immer IM Uhrzeigersinn durchgeführt. Das ist - unter Beachtung der angegebenen Winkelmaße - so nicht korrekt.

    Von Petra K., vor 3 Monaten
  4. Besser als mein Mathelerer erklärt xDDDD.

    Von Philipp , vor 4 Monaten
  5. Liebe @Katharina Gwinner 1,

    der Fehler ist bereits weitergegeben und wird hoffentlich bald behoben sein.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 5 Monaten
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Drehsymmetrie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehsymmetrie kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Drehsymmetrie.

    Tipps

    Dieses Kleeblatt ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

    $360^{\circ}$ ist eine komplette Drehung.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch.

    „Ist eine Figur nach einer Drehung um $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur, dann ist sie drehsymmetrisch.“

    • Laut Definition ist eine Figur drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Denn jede Figur ist nach einer Drehung um $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.
    „Jede Figur ist nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

    • Nach einer Drehung um $360^{\circ}$ ist jede Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Nach einer Drehung um $180^{\circ}$ sind nur punktsymmetrische Figuren deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.
    Diese Aussagen sind richtig.

    „Die Drehung einer drehsymmetrischen Figur erfolgt immer um das Drehzentrum $Z$. Dieses kann innerhalb oder außerhalb der Figur liegen.“

    „Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist.“

    • Das ist die Definition einer punktsymmetrischen Figur.
    „Jede punktsymmetrische Figur ist drehsymmetrisch.“

    • Nach Definition ist eine Figur punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Eine Figur gilt hingegen als drehsymmetrisch, sobald sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Da $180^{\circ}$ weniger als $360^{\circ}$ ist, ist jede punktsymmetrische Figur gleichzeitig eine drehsymmetrische Figur. Andersherum gilt dies jedoch nicht.
  • Beschreibe die Drehsymmetrie von Figuren.

    Tipps

    Deckungsgleich bedeutet: in Form und Größe gleich.

    Eine Drehung um $120^{\circ}$ entspricht einem Drittel eines Kreises.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Dieses Kleeblatt ist drehsymmetrisch. Nach einer Drehung um weniger als $360^{\circ}$ ist es wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

    • Das Kleeblatt erfüllt die obige Definition von Drehsymmetrie.
    „Die Drehung erfolgt immer um das Drehzentrum. Dieses ist hier gelb markiert.

    Dieses Kleeblatt ist nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

    Dieses Kleeblatt ist punktsymmetrisch. Nach einer Drehung um genau $180^{\circ}$ ist es wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

    • Das Kleeblatt erfüllt die obige Definition von Punktsymmetrie.
    „Auch hier wird um das gelb markierte Drehzentrum gedreht.

    Eine punktsymmetrische Figur ist immer drehsymmetrisch.“

    • Aufgrund der Definitionen von Drehsymmetrie (deckungleich nach Drehung um weniger als $360^{\circ}$) und Punktsymmetrie (deckungsgleich nach Drehung um genau $180^{\circ}$) sind punktsymmetrische Figuren immer drehsymmetrisch, aber nicht umgekehrt.
  • Bestimme, ob diese Figuren drehsymmetrisch sind.

    Tipps

    Du kannst entscheiden, ob die Figuren drehsymmetrisch sind, indem du sie drehst. Das kannst du durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen.

    Anschließend entscheidest du, ob sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind.

    Lösung

    Du kannst entscheiden, ob die Figuren drehsymmetrisch sind, indem du sie drehst. Das kannst du durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen. Anschließend entscheidest du, ob sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind. So ermittelst du, dass diese Figuren nicht drehsymmetrisch sind:

    • Der Buchstabe L: Dieser wird erst nach einer Drehung von genau $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
    • Das Dreieck: Auch dieses wird erst nach einer Drehung von genau $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur. Nur ein gleichseitiges Dreieck ist auch drehsymmetrisch.
    Diese Figuren sind drehsymmetrisch:

    • Das Achteck kannst du in $45^{\circ}$-Schritten drehen. Dann ist es deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
    • Die einem Rotor ähnliche Figur kannst du in $120^{\circ}$-Schritten drehen.
    • Das Blütenblatt kannst du ebenfalls in $45^{\circ}$-Schritten drehen. Dann ist es deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
  • Ermittle den Drehwinkel, bei dem die Figuren deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind.

    Tipps

    Kannst du eine Figur nur um $360^{\circ}$ drehen, sodass sie nach der Drehung deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist, dann ist die Figur nicht drehsymmetrisch.

    Lösung

    Du kannst die Drehwinkel der Schilder ermitteln, indem du sie so lange drehst, bis sie deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur sind. Ist der Winkel, um welchen du das Schild gedreht hast, kleiner als $360^{\circ}$, so ist das Schild drehsymmetrisch. Ein Schild kann auch mehrere Drehwinkel besitzen. Die Drehung kannst du entweder durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen.

    • Das Schild „absolutes Halteverbot“ (rotes Kreuz auf blauem Grund mit rotem Rand) kannst du um die Winkel $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ und $270^{\circ}$ drehen.
    • Das Schild „eingeschränktes Halteverbot“ (roter Strich auf blauem Grund mit rotem Rand) kannst du um den Winkel $180^{\circ}$ drehen.
    • Das Schild „Vorfahrt gewähren“ (weißes Dreieck mit rotem Rand) kannst du um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ drehen.
    • Das Schild „vorgeschriebene Vorbeifahrt“ (weißer Pfeil auf blauem Grund) kannst du nur um $360^{\circ}$ drehen. Es ist somit nicht drehsymmetrisch.
  • Gib die Definitionen von Punkt- und Drehsymmetrie wieder.

    Tipps

    Das linke Kleeblatt ist nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

    Das rechte Kleeblatt ist nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.

    Lösung
    • Das linke Kleeblatt ist drehsymmetrisch, da es nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist. Drehsymmetrische Figuren sind nicht immer punktsymmetrisch. Dieses Kleeblatt ist es beispielsweise nicht.
    • Das rechte Kleeblatt ist punktsymmetrisch, da es nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist. Es ist auch drehsymmetrisch, da diese Eigenschaft auch der Definition von Drehsymmetrie genügt.
  • Ermittle die Koordinaten der gedrehten Punkte.

    Tipps

    In der Abbildung kannst du die Drehung des Punktes $C$ sehen.

    Lösung

    Einen Punkt $P$ kannst du um $90^{\circ}$ um ein Drehzentrum $Z$ drehen, indem du zunächst eine Strecke zeichnest, die die Punkte $P$ und $Z$ verbindet. Anschließend zeichnest du eine Strecke vom Punkt $Z$ ein, die mit einem Winkel von $90^{\circ}$ im Uhrzeigersinn zur Strecke $\overline{PZ}$ steht. Die Länge deiner neuen Strecke ist gleich der Strecke $\overline{PZ}$. Der Punkt $P'$ befindet sich nun am Ende deiner neuen Strecke.

    Führst du die Drehung wie angegeben durch, dann erhältst du folgende Punkte:

    $A'(3\vert 0)$,

    $B'(6\vert 0)$ und

    $C'(5\vert 5)$.

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