Drehung von Figuren 05:10 min
Transkript Drehung von Figuren
Achtung hart Steuerbord! Kapitän Petersson befindet sich auf Forschungsreise im Nordpolarmeer. Eisschollen, wohin das Auge reicht. Da fällt das Navigieren nicht gerade leicht. Mit Hilfe seiner Karte versucht Kapitän Petersson, einen Kurs durch das Eismeer zu finden. Dazu benutzt er sein Wissen über die Drehung von Figuren. Die Schollen lassen ihm nur eine Möglichkeit. Er muss sein Schiff hier entlang steuern und es dabei um diese Eisscholle drehen. Kapitän Petersson plant den Kurs auf seiner Karte. Das Schiff muss um 90 Grad um die Eisscholle gedreht werden. Zunächst sticht Kapitän Petersson mit dem Zirkel auf der Karte in dem Ort ein, um den er das Schiff drehen will. Diesen Punkt nennen wir Drehzentrum und markieren ihn mit einem Z. Als nächstes stellt Kapitän Petersson den Radius seines Zirkels auf einen der Eckpunkte seines Schiffes ein zum Beispiel diesen. Wir nennen diesen Punkt A. Dann zeichnet er einen Kreis mit dem eingestellten Radius um den Mittelpunkt Z. Das wiederholt Kapitän Petersson für alle Eckpunkte seines Schiffes. Jetzt wird das Schiff entlang dieser Kreise wie auf Schienen gedreht. Hierfür beginnen wir mit dem Punkt A und merken uns, auf welchem Kreis A liegt. Wir verbinden A mit Z und suchen mit dem Geodreieck den gesuchten Winkel alpha, um den das Schiff gedreht werden soll - das waren hier 90 Grad. Dann verbinden wir Z unter dem Winkel alpha mit dem Kreis, auf dem A liegt so. Dieser Punkt ist der Bildpunkt von A. Wir bezeichnen ihn mit A Strich. Das Vorgehen wiederholen wir mit allen Eckpunkten des Schiffes und verbinden die Bildpunkte anschließend. Damit haben wir das Schiff gedreht. Die gedrehte Figur nennt man "Bildfigur", und die ursprüngliche "Ursprungsfigur". Man sagt auch kurz "Original" und "Bild". Das gedrehte Schiff ist natürlich noch das gleiche Schiff - deshalb sind alle Längen und Winkel gleich geblieben. Das ist bei Drehungen immer so. Man sagt, Drehungen sind längentreu und winkeltreu. Und weil alle zugehörigen Längen und Winkel gleich sind, sehen Ursprungsfigur und Bildfigur gleich aus. Sie sind kongruent, also deckunsgleich. Oh nein, was ist das? Ein Eisberg direkt voraus! Es scheint keinen Weg an ihm vorbei zu geben. Aber halt! Der Eisberg dreht sich langsam..und Kapitän Petersson zückt seine Karte. Der Eisberg sieht aus wie ein regelmäßiges Sechseck, und er dreht sich um sich selbst - sein Drehzentrum Z liegt also hier. Immer, wenn er sich um 60° gedreht hat, sieht der Eisberg wieder gleich aus und gibt die Passage frei. Manche Figuren haben ein Drehzentrum Z in ihrem Inneren, um das man sie mit einem Winkel Alpha drehen kann, so dass sie wieder genau so aussehen wie vor der Drehung. Solche Figuren nennt man drehsymmetrisch. Der Drehwinkel darf dabei weder 0 Grad noch 360 Grad sein - wenn man gar nicht dreht oder eine volle Umdrehung macht, sehen natürlich alle Figuren aus wie vor der Drehung. Kapitän Petersson steuert vorsichtig durch die Passage und wir fassen nochmal zusammen. Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum Z, indem du mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um Z zeichnest. Dann verbindest du einen Eckpunkt mit Z und zeichnest mit dem Geodreieck den gewünschten Winkel alpha auf diese Verbindungslinie ein. Unter diesem Winkel verbindest du Z mit dem Kreis, auf dem die Ecke liegt, und zeichnest dort den Bildpunkt dieser Ecke ein. Das wiederholst du mit allen Eckpunkten der Figur und verbindest anschließend die Bildpunkte genau so wie die Ursprungspunkte. Die Längen und Winkel der Figur ändern sich dabei nicht. Für manche Figuren gibt es ein Drehzentrum Z und einen Drehwinkel alpha zwischen 0 und 360 Grad, so dass du sie auf sich selbst drehen kannst.
Solche Figuren heißen drehsymmetrisch. Von den ganzen Drehungen hat Kapitän Petersson wohl ein wenig die Orientierung verloren. Aber was ist das? Hat er tatsächlich..?
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Drehung von Figuren in einem bestimmten Winkel um ein vorgegebenes Drehzentrum durchzuführen.
Zunächst lernst du, wie du bei der Drehung einer Figur vorgehen musst. Anschließend lernst du die Eigenschaften zwischen Ursprungs- und Bildfigur bezüglich ihrer Kongruenz kennen. Abschließend lernst du, was die Besonderheit bei der Drehung einer drehsymmetrischen Figur ist.
Lerne mit Kapitän Petersson, wie du Figuren in einem bestimmten Winkel um ein vorgegebenes Drehzentrum drehen kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie die Drehung von Figuren, das Drehzentrum, die Ursprungsfigur, die Bildfigur, das Original, das Bild, die Kongruenz sowie die drehsymmetrische Figur.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du Figuren verschiebst.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Streckung von Figuren zu lernen.
Die Tutoren:
Drehung von Figuren
Drehung von Figuren Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehung von Figuren kannst du es wiederholen und üben.
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Beschreibe das Vorgehen bei der Drehung einer Figur um einen Winkel $\alpha$ um das Drehzentrum $Z$.
Tipps
Hier ist der zweite Schritt abgebildet.
Im letzten Schritt musst du alle Bildpunkte miteinander verbinden.
So sieht Peterssons Karte aus, nachdem er sein Schiff gedreht hat.
Lösung
Wenn du eine ebene Figur um einen festen Winkel $\alpha$ um ein Drehzentrum $Z$ drehen möchtest, gehst du wie folgt vor.
- Du zeichnest mit einem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur je einen Kreis um das Drehzentrum $Z$ ein.
- Dann verbindest du einen Eckpunkt mit dem Drehzentrum $Z$ und zeichnest mit dem Geodreieck den gewünschten Winkel $\alpha$ auf diese Verbindungslinie ein.
- Unter diesem eingezeichneten Winkel verbindest du das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der Eckpunkt liegt, und zeichnest dort den Bildpunkt dieser Ecke ein.
- Das wiederholst du mit allen Eckpunkten der Figur und verbindest anschließend die Bildpunkte so miteinander wie die Punkte der Ursprungsfigur.
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Gib an, welche Eigenschaften zwischen einer Ursprungsfigur und ihrer Bildfigur erfüllt sind.
Tipps
Kongruent bedeutet deckungsgleich.
Bei einer Streckung ist der Abstand des Bildpunktes zum Streckzentrum ein anderer als der Abstand des Originalpunktes zum Streckzentrum.
Bei der Drehung hingegen gilt $\overline{AZ}=\overline{A'Z}$. Bildpunkt und Originalpunkt haben also denselben Abstand zum Drehzentrum.
Zwei Linien sind orthogonal zueinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel schneiden.
Lösung
Kapitän Petersson stellt in seiner Zeichnung einige Auffälligkeiten fest. Diese möchten wir hier einmal festhalten.
Eigenschaften der Drehung
- Ursprungs- und Bildstrecke sind gleich lang. (Anders gesagt: längentreu)
- Ursprungs- und Bildwinkel sind gleich groß. (Anders gesagt: winkeltreu)
- Ursprungs- und Bildfigur sind deckungsgleich. (Anders gesagt: kongruent)
- Ursprungs- und Bildpunkt haben denselben Abstand zum Drehzentrum.
- Parallelität sowie Orthogonalität bleiben erhalten.
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Entscheide, welche Figuren drehsymmetrisch sind.
Tipps
Dreht man eine drehsymmetrische Figur in einem bestimmten Winkel um das Drehzentrum $Z$, so kommt sie wieder mit sich selbst zur Deckung. Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $360^\circ$ und größer als $0^\circ$ sein.
Was passiert, wenn du das Quadrat um $180^\circ$ drehst?
Lösung
Eine drehsymmetrische Figur liegt dann vor, wenn ein Drehzentrum existiert, um das man die Figur um einen bestimmten Winkel drehen kann, sodass sie mit sich selbst zur Deckung kommt.
Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $360^\circ$ und größer als $0^\circ$ sein.
Diese Definition trifft hier auf folgende Figuren zu:
- regelmäßiges Sechseck,
- gleichseitiges Dreieck,
- Kreis und
- Quadrat.
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Prüfe die Aussagen auf ihre Richtigkeit.
Tipps
Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum $Z$, indem du ...
- ... mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um das Drehzentrum $Z$ zeichnest.
- ... unter dem gewünschten Winkel das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der ursprüngliche Eckpunkt liegt, verbindest und dort den Bildpunkt dieser Ecke einzeichnest.
Hier siehst du zur Hälfte die Ursprungsfigur (blau) und zur Hälfte die Bildfigur (orange) eines Sechsecks, das um $180^\circ$ um den Mittelpunkt gedreht wurde.
Lösung
Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum $Z$, indem du ...
- ... mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um das Drehzentrum $Z$ zeichnest.
- ... unter dem gewünschten Winkel das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der ursprüngliche Eckpunkt liegt, verbindest und dort den Bildpunkt dieser Ecke einzeichnest.
- Somit liegen bei der Drehung einer Figur die zusammengehörigen Ursprungs- und Bildpunkte auf demselben Kreisbogen um das Drehzentrum $Z$.
- Dreht man eine drehsymmetrische Figur um $180^\circ$, so verlaufen alle Verbindungsstrecken vom Ursprungspunkt zum Bildpunkt durch das Drehzentrum $Z$. Dem hier abgebildeten Sechseck kannst du das entnehmen.
- Zudem sind Ursprungs- und Bildfigur stets deckungsgleich, das heißt, sie sind längen- und winkeltreu, also kongruent.
- Eine drehsymmetrische Figur mit $12$ Ecken kommt bei einer Drehung um ihren Mittelpunkt um $30^\circ$ mit sich selbst zur Deckung. Diesen Winkel können wir rechnerisch ermitteln, indem wir $360^\circ :12=30^\circ$ rechnen.
- Ein regelmäßiges Sechseck besitzt nicht sechs, sondern fünf Drehwinkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$, bei denen es mit sich selbst zur Deckung kommt. Das Sechseck sieht nämlich nach jeder $60^\circ$-Drehung gleich aus. Damit kommt das Sechseck mit sich selbst zur Deckung bei einer Drehung um $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$ und $360^\circ$. Der sechste Winkel ist $360^\circ$ groß. Wir betrachten aber nur Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$.
- Außerdem kann man jede Figur in einem bestimmten Winkel drehen.
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Nenne die Eigenschaften drehsymmetrischer Figuren.
Tipps
Macht man keine oder eine volle Umdrehung, so sehen alle Figuren aus wie vor der Drehung.
Eine volle Umdrehung entspricht $360^\circ$.
Bei der Drehung wird eine Figur in einem festen Winkel um ein Drehzentrum gedreht.
Lösung
In dieser Aufgabe betrachten wir drehsymmetrische Figuren.
Die Drehsymmetrie einer Figur liegt vor, wenn ein Drehzentrum im Inneren der Figur existiert, um das man die Figur in einem bestimmten Winkel drehen kann, sodass sie mit sich selbst zur Deckung kommt. Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $\mathbf{360^\circ}$ und größer als $\mathbf{0^\circ}$ sein.
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Ermittle die gesuchten Winkel.
Tipps
Hier siehst du, wie du ein Sechseck in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen kannst.
Drehst du das Sechseck um den rot markierten Winkel, so kommt es mit sich selbst zur Deckung.
Diesen Winkel erhältst du, indem du einen Vollwinkel durch sechs teilst.
So kannst du ein gleichseitiges Dreieck in drei gleichschenklige Dreiecke einteilen.
Den rot markierten Winkel erhältst du, indem du einen Vollwinkel durch drei teilst.
Ein Vollwinkel entspricht $360^\circ$.
Lösung
Um den kleinsten Drehwinkel, bei dem drehsymmetrische Figuren mit sich selbst zur Deckung kommen, zu erhalten, teilen wir die jeweilige Figur in gleichschenklige oder auch gleichseitige Dreiecke ein.
Anschließend teilen wir den Vollwinkel durch die Anzahl der resultierenden Dreiecke. So erhalten wir folgende Winkel.
Achteck
Ein Achteck kann man in acht gleichseitige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein Achteck $360^\circ :8=45^\circ$.
Sechseck
Ein Sechseck kann man in sechs gleichseitige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein Sechseck $360^\circ :6=60^\circ$.
Quadrat
Ein Quadrat kann man in vier gleichschenklige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein Quadrat $360^\circ :4=90^\circ$.
Gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck kann man in drei gleichschenklige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein gleichseitiges Dreieck $360^\circ :3=120^\circ$.
Wenn du dir sicher bist, dass es sich um eine drehsymmetrische Figur handelt, kannst du den kleinsten Drehwinkel, bei dem die Figur mit sich selbst zur Deckung kommt, auch bestimmen, indem du den Vollwinkel durch die Anzahl der Ecken deiner drehsymmetrischen Figur teilst.
Hallo Konopkothomas,
was möchtest du bei dem Eisberg denn berechnen?
Liebe Grüße aus der Redaktion
hallo eine frage wie kann ich diesen eisberg berechnen ?
Sehr schön für die Schüler. Mich stört nur, dass im Uhrzeigersinn, und nicht wie üblicherweise, entgegen der Uhr, gedreht wurde. Aber das Prinzip der Drehung schadet das nicht.
Resprkt, soooo gut erklärt!!!!!!!
Danke, das Video hat SEHR geholfen😍!