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Drehung von Figuren

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Team Digital
Drehung von Figuren
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Grundlagen zum Thema Drehung von Figuren

Inhalt

Drehung von Figuren – Mathe

Hier lernst du, wie du bei der Drehung einer Figur vorgehen musst und was die Besonderheit bei der Drehung einer drehsymmetrischen Figur ist. Aber wie macht man eine Drehung in Mathe? Schauen wir uns dies zusammen an:

Wie kann man Figuren drehen?

Beim Drehen von Figuren in Mathe benötigen wir Fachbegriffe:

  • Was ist ein Drehzentrum? Das Drehzentrum bezeichnet den Punkt, um den die Figur gedreht wird. Manchmal wird das Drehzentrum auch Drehpunkt genannt.
  • Was ist ein Drehwinkel? Der Drehwinkel bezeichnet den Winkel, um den die Figur gedreht wird.
  • Was ist die Ursprungsfigur? Die Ursprungsfigur ist die ursprüngliche Figur, also diejenige Figur, die gedreht werden soll.
  • Was ist die Bildfigur? Die Bildfigur ist die gedrehte Figur – also die neu entstandene Figur.

Um die Drehung nun durchzuführen, gehen wir wie folgt vor:

Drehung Mathe einfach erklärt

  1. Wir stechen den Zirkel in das Drehzentrum $Z$ ein und stellen seinen Radius auf einen der Eckpunkte der Ursprungsfigur, z.B. $A$, ein. Wir zeichnen einen Kreis mit dem eingestellten Radius um den Mittelpunkt $Z$.
  2. Wir zeichnen für alle weiteren Eckpunkte der Figur einen solchen Kreis.
  3. Wir verbinden nun das Drehzentrum mit einem der Eckpunkte der Ursprungsfigur, z.B. $A$, und zeichnen den Winkel ein, um den die Figur gedreht werden soll. Wir verbinden dann $Z$ unter dem gegebenen Winkel mit dem Kreis, auf dem der Eckpunkt $A$ liegt, und erhalten so den Bildpunkt $A’$.
  4. Wir verfahren genauso mit den übrigen Eckpunkten.
  5. Wir verbinden die Bildpunkte zur Bildfigur.

So kannst du jede beliebige Drehung, z.B um $180°$, in Mathe durchführen.

Zusammenhang zwischen Ursprungsfigur und Bildfigur bei einer Drehung

Bei einer Drehung um einen Punkt sind alle Längen und Winkel von Ursprungs- und Bildfigur gleich. Man sagt auch: Drehungen sind längentreu und winkeltreu. Daher sind Ursprungsfigur und Bildfigur kongruent.

Drehsymmetrische Figuren

Ein weiteres Beispiel für eine Drehung in Mathe sind sogenannte drehsymmetrische Figuren: Diese haben ein Drehzentrum $Z$ in ihrem Inneren. Drehen wir die Figur zum Beispiel um einen Winkel $\alpha$ um $Z$, so sieht sie genauso aus wie vor der Drehung.

Sechseck als drehsymmetrische Figur

In diesem Video zur Drehung …

… wird das Drehen von Figuren einfach erklärt. Dabei wird die Definition einer Drehung in Mathe erläutert und es werden wichtige Fachbegriffe genannt. Auch drehsymmetrische Figuren werden an einem Beispiel erklärt. Weitere Aufgaben zur Drehung in Mathe findet ihr auf dieser Seite.

Transkript Drehung von Figuren

Achtung hart Steuerbord! Kapitän Petersson befindet sich auf Forschungsreise im Nordpolarmeer. Eisschollen, wohin das Auge reicht. Da fällt das Navigieren nicht gerade leicht. Mit Hilfe seiner Karte versucht Kapitän Petersson, einen Kurs durch das Eismeer zu finden. Dazu benutzt er sein Wissen über die Drehung von Figuren. Die Schollen lassen ihm nur eine Möglichkeit. Er muss sein Schiff hier entlang steuern und es dabei um diese Eisscholle drehen. Kapitän Petersson plant den Kurs auf seiner Karte. Das Schiff muss um 90 Grad um die Eisscholle gedreht werden. Zunächst sticht Kapitän Petersson mit dem Zirkel auf der Karte in dem Ort ein, um den er das Schiff drehen will. Diesen Punkt nennen wir Drehzentrum und markieren ihn mit einem Z. Als nächstes stellt Kapitän Petersson den Radius seines Zirkels auf einen der Eckpunkte seines Schiffes ein zum Beispiel diesen. Wir nennen diesen Punkt A. Dann zeichnet er einen Kreis mit dem eingestellten Radius um den Mittelpunkt Z. Das wiederholt Kapitän Petersson für alle Eckpunkte seines Schiffes. Jetzt wird das Schiff entlang dieser Kreise wie auf Schienen gedreht. Hierfür beginnen wir mit dem Punkt A und merken uns, auf welchem Kreis A liegt. Wir verbinden A mit Z und suchen mit dem Geodreieck den gesuchten Winkel alpha, um den das Schiff gedreht werden soll - das waren hier 90 Grad. Dann verbinden wir Z unter dem Winkel alpha mit dem Kreis, auf dem A liegt so. Dieser Punkt ist der Bildpunkt von A. Wir bezeichnen ihn mit A Strich. Das Vorgehen wiederholen wir mit allen Eckpunkten des Schiffes und verbinden die Bildpunkte anschließend. Damit haben wir das Schiff gedreht. Die gedrehte Figur nennt man "Bildfigur", und die ursprüngliche "Ursprungsfigur". Man sagt auch kurz "Original" und "Bild". Das gedrehte Schiff ist natürlich noch das gleiche Schiff - deshalb sind alle Längen und Winkel gleich geblieben. Das ist bei Drehungen immer so. Man sagt, Drehungen sind längentreu und winkeltreu. Und weil alle zugehörigen Längen und Winkel gleich sind, sehen Ursprungsfigur und Bildfigur gleich aus. Sie sind kongruent, also deckunsgleich. Oh nein, was ist das? Ein Eisberg direkt voraus! Es scheint keinen Weg an ihm vorbei zu geben. Aber halt! Der Eisberg dreht sich langsam..und Kapitän Petersson zückt seine Karte. Der Eisberg sieht aus wie ein regelmäßiges Sechseck, und er dreht sich um sich selbst - sein Drehzentrum Z liegt also hier. Immer, wenn er sich um 60° gedreht hat, sieht der Eisberg wieder gleich aus und gibt die Passage frei. Manche Figuren haben ein Drehzentrum Z in ihrem Inneren, um das man sie mit einem Winkel Alpha drehen kann, so dass sie wieder genau so aussehen wie vor der Drehung. Solche Figuren nennt man drehsymmetrisch. Der Drehwinkel darf dabei weder 0 Grad noch 360 Grad sein - wenn man gar nicht dreht oder eine volle Umdrehung macht, sehen natürlich alle Figuren aus wie vor der Drehung. Kapitän Petersson steuert vorsichtig durch die Passage und wir fassen nochmal zusammen. Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum Z, indem du mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um Z zeichnest. Dann verbindest du einen Eckpunkt mit Z und zeichnest mit dem Geodreieck den gewünschten Winkel alpha auf diese Verbindungslinie ein. Unter diesem Winkel verbindest du Z mit dem Kreis, auf dem die Ecke liegt, und zeichnest dort den Bildpunkt dieser Ecke ein. Das wiederholst du mit allen Eckpunkten der Figur und verbindest anschließend die Bildpunkte genau so wie die Ursprungspunkte. Die Längen und Winkel der Figur ändern sich dabei nicht. Für manche Figuren gibt es ein Drehzentrum Z und einen Drehwinkel alpha zwischen 0 und 360 Grad, so dass du sie auf sich selbst drehen kannst.

Solche Figuren heißen drehsymmetrisch. Von den ganzen Drehungen hat Kapitän Petersson wohl ein wenig die Orientierung verloren. Aber was ist das? Hat er tatsächlich..?

51 Kommentare

51 Kommentare
  1. 5 sterne video !

    Von Lina, vor 4 Monaten
  2. Das Viedeo ist wirklich sehr hilfreich.Ich finde das Beispiel nur ein bischen komisch.

    Von Lina, vor 4 Monaten
  3. Tolles Video! Es hat mir sehr geholfen und gefallen. Danke ;)

    Von Bella, vor 6 Monaten
  4. Ich find das Video sehr hilfreich

    Von Ben, vor 7 Monaten
  5. Hallo,
    vielen Dank für das Video. Es war sehr gut und verständlich erklärt.
    Viele Grüße
    Jasmin

    Von Jasmin, vor 7 Monaten
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Drehung von Figuren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehung von Figuren kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen bei der Drehung einer Figur um einen Winkel $\alpha$ um das Drehzentrum $Z$.

    Tipps

    Hier ist der zweite Schritt abgebildet.

    Im letzten Schritt musst du alle Bildpunkte miteinander verbinden.

    So sieht Peterssons Karte aus, nachdem er sein Schiff gedreht hat.

    Lösung

    Wenn du eine ebene Figur um einen festen Winkel $\alpha$ um ein Drehzentrum $Z$ drehen möchtest, gehst du wie folgt vor.

    1. Du zeichnest mit einem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur je einen Kreis um das Drehzentrum $Z$ ein.
    2. Dann verbindest du einen Eckpunkt mit dem Drehzentrum $Z$ und zeichnest mit dem Geodreieck den gewünschten Winkel $\alpha$ auf diese Verbindungslinie ein.
    3. Unter diesem eingezeichneten Winkel verbindest du das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der Eckpunkt liegt, und zeichnest dort den Bildpunkt dieser Ecke ein.
    4. Das wiederholst du mit allen Eckpunkten der Figur und verbindest anschließend die Bildpunkte so miteinander wie die Punkte der Ursprungsfigur.
  • Gib an, welche Eigenschaften zwischen einer Ursprungsfigur und ihrer Bildfigur erfüllt sind.

    Tipps

    Kongruent bedeutet deckungsgleich.

    Bei einer Streckung ist der Abstand des Bildpunktes zum Streckzentrum ein anderer als der Abstand des Originalpunktes zum Streckzentrum.

    Bei der Drehung hingegen gilt $\overline{AZ}=\overline{A'Z}$. Bildpunkt und Originalpunkt haben also denselben Abstand zum Drehzentrum.

    Zwei Linien sind orthogonal zueinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel schneiden.

    Lösung

    Kapitän Petersson stellt in seiner Zeichnung einige Auffälligkeiten fest. Diese möchten wir hier einmal festhalten.

    Eigenschaften der Drehung

    • Ursprungs- und Bildstrecke sind gleich lang. (Anders gesagt: längentreu)
    • Ursprungs- und Bildwinkel sind gleich groß. (Anders gesagt: winkeltreu)
    • Ursprungs- und Bildfigur sind deckungsgleich. (Anders gesagt: kongruent)
    • Ursprungs- und Bildpunkt haben denselben Abstand zum Drehzentrum.
    • Parallelität sowie Orthogonalität bleiben erhalten.
    Also sind Ursprungs- und Bildfigur kongruente Figuren und somit längen- und winkeltreu.

  • Entscheide, welche Figuren drehsymmetrisch sind.

    Tipps

    Dreht man eine drehsymmetrische Figur in einem bestimmten Winkel um das Drehzentrum $Z$, so kommt sie wieder mit sich selbst zur Deckung. Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $360^\circ$ und größer als $0^\circ$ sein.

    Was passiert, wenn du das Quadrat um $180^\circ$ drehst?

    Lösung

    Eine drehsymmetrische Figur liegt dann vor, wenn ein Drehzentrum existiert, um das man die Figur um einen bestimmten Winkel drehen kann, sodass sie mit sich selbst zur Deckung kommt.

    Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $360^\circ$ und größer als $0^\circ$ sein.

    Diese Definition trifft hier auf folgende Figuren zu:

    • regelmäßiges Sechseck,
    • gleichseitiges Dreieck,
    • Kreis und
    • Quadrat.
    Das gleichschenklige Dreieck ist keine drehsymmetrische Figur, da diese nur bei keiner oder einer vollen Umdrehung mit sich selbst zur Deckung kommt.

  • Prüfe die Aussagen auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum $Z$, indem du ...

    1. ... mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um das Drehzentrum $Z$ zeichnest.
    2. ... unter dem gewünschten Winkel das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der ursprüngliche Eckpunkt liegt, verbindest und dort den Bildpunkt dieser Ecke einzeichnest.

    Hier siehst du zur Hälfte die Ursprungsfigur (blau) und zur Hälfte die Bildfigur (orange) eines Sechsecks, das um $180^\circ$ um den Mittelpunkt gedreht wurde.

    Lösung

    Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum $Z$, indem du ...

    1. ... mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um das Drehzentrum $Z$ zeichnest.
    2. ... unter dem gewünschten Winkel das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der ursprüngliche Eckpunkt liegt, verbindest und dort den Bildpunkt dieser Ecke einzeichnest.
    • Somit liegen bei der Drehung einer Figur die zusammengehörigen Ursprungs- und Bildpunkte auf demselben Kreisbogen um das Drehzentrum $Z$.
    • Dreht man eine drehsymmetrische Figur um $180^\circ$, so verlaufen alle Verbindungsstrecken vom Ursprungspunkt zum Bildpunkt durch das Drehzentrum $Z$. Dem hier abgebildeten Sechseck kannst du das entnehmen.
    • Zudem sind Ursprungs- und Bildfigur stets deckungsgleich, das heißt, sie sind längen- und winkeltreu, also kongruent.
    • Eine drehsymmetrische Figur mit $12$ Ecken kommt bei einer Drehung um ihren Mittelpunkt um $30^\circ$ mit sich selbst zur Deckung. Diesen Winkel können wir rechnerisch ermitteln, indem wir $360^\circ :12=30^\circ$ rechnen.
    • Ein regelmäßiges Sechseck besitzt nicht sechs, sondern fünf Drehwinkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$, bei denen es mit sich selbst zur Deckung kommt. Das Sechseck sieht nämlich nach jeder $60^\circ$-Drehung gleich aus. Damit kommt das Sechseck mit sich selbst zur Deckung bei einer Drehung um $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$ und $360^\circ$. Der sechste Winkel ist $360^\circ$ groß. Wir betrachten aber nur Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$.
    • Außerdem kann man jede Figur in einem bestimmten Winkel drehen.

  • Nenne die Eigenschaften drehsymmetrischer Figuren.

    Tipps

    Macht man keine oder eine volle Umdrehung, so sehen alle Figuren aus wie vor der Drehung.

    Eine volle Umdrehung entspricht $360^\circ$.

    Bei der Drehung wird eine Figur in einem festen Winkel um ein Drehzentrum gedreht.

    Lösung

    In dieser Aufgabe betrachten wir drehsymmetrische Figuren.

    Die Drehsymmetrie einer Figur liegt vor, wenn ein Drehzentrum im Inneren der Figur existiert, um das man die Figur in einem bestimmten Winkel drehen kann, sodass sie mit sich selbst zur Deckung kommt. Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $\mathbf{360^\circ}$ und größer als $\mathbf{0^\circ}$ sein.

  • Ermittle die gesuchten Winkel.

    Tipps

    Hier siehst du, wie du ein Sechseck in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen kannst.

    Drehst du das Sechseck um den rot markierten Winkel, so kommt es mit sich selbst zur Deckung.

    Diesen Winkel erhältst du, indem du einen Vollwinkel durch sechs teilst.

    So kannst du ein gleichseitiges Dreieck in drei gleichschenklige Dreiecke einteilen.

    Den rot markierten Winkel erhältst du, indem du einen Vollwinkel durch drei teilst.

    Ein Vollwinkel entspricht $360^\circ$.

    Lösung

    Um den kleinsten Drehwinkel, bei dem drehsymmetrische Figuren mit sich selbst zur Deckung kommen, zu erhalten, teilen wir die jeweilige Figur in gleichschenklige oder auch gleichseitige Dreiecke ein.

    Anschließend teilen wir den Vollwinkel durch die Anzahl der resultierenden Dreiecke. So erhalten wir folgende Winkel.

    Achteck

    Ein Achteck kann man in acht gleichseitige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein Achteck $360^\circ :8=45^\circ$.

    Sechseck

    Ein Sechseck kann man in sechs gleichseitige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein Sechseck $360^\circ :6=60^\circ$.

    Quadrat

    Ein Quadrat kann man in vier gleichschenklige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein Quadrat $360^\circ :4=90^\circ$.

    Gleichseitiges Dreieck

    Ein gleichseitiges Dreieck kann man in drei gleichschenklige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein gleichseitiges Dreieck $360^\circ :3=120^\circ$.

    Wenn du dir sicher bist, dass es sich um eine drehsymmetrische Figur handelt, kannst du den kleinsten Drehwinkel, bei dem die Figur mit sich selbst zur Deckung kommt, auch bestimmen, indem du den Vollwinkel durch die Anzahl der Ecken deiner drehsymmetrischen Figur teilst.

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