Drehung von Figuren

Drehung von Figuren Übung

• Beschreibe das Vorgehen bei der Drehung einer Figur um einen Winkel $\alpha$ um das Drehzentrum $Z$.

  Tipps

  Hier ist der zweite Schritt abgebildet. Hinweis: Die Drehung findet hier ausnahmsweise mit dem Uhrzeigersinn statt. Normalerweise ist die Drehrichtung in der Mathematik gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

  Im letzten Schritt musst du alle Bildpunkte miteinander verbinden.

  So sieht Peterssons Karte aus, nachdem er sein Schiff gedreht hat.

  Lösung

  Wenn du eine ebene Figur um einen festen Winkel $\alpha$ um ein Drehzentrum $Z$ drehen möchtest, dann gehst du wie folgt vor:

  1. Du zeichnest mit einem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur je einen Kreis um das Drehzentrum $Z$ ein.
  2. Dann verbindest du einen Eckpunkt mit dem Drehzentrum $Z$ und zeichnest mit dem Geodreieck den gewünschten Winkel $\alpha$ auf diese Verbindungslinie ein.
  3. Unter diesem eingezeichneten Winkel verbindest du das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der Eckpunkt liegt, und zeichnest dort den Bildpunkt dieser Ecke ein.
  4. Das wiederholst du mit allen Eckpunkten der Figur und verbindest anschließend die Bildpunkte so miteinander wie die Punkte der Ursprungsfigur.

• Gib an, welche Eigenschaften zwischen einer Ursprungsfigur und ihrer Bildfigur erfüllt sind.

  Tipps

  „Kongruent“ bedeutet „deckungsgleich“.

  Bei einer Streckung ist der Abstand des Bildpunktes zum Streckzentrum ein anderer als der Abstand des Originalpunktes zum Streckzentrum.

  Bei der Drehung hingegen gilt $\overline{AZ}=\overline{A'Z}$. Bildpunkt und Originalpunkt haben also denselben Abstand zum Drehzentrum.

  Zwei Linien sind orthogonal zueinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel schneiden.

  Lösung

  Kapitän Petersson stellt in seiner Zeichnung einige Auffälligkeiten fest. Diese möchten wir hier einmal festhalten:

  Eigenschaften der Drehung

  • Ursprungs- und Bildstrecke sind gleich lang (anders gesagt: längentreu).
  • Ursprungs- und Bildwinkel sind gleich groß (anders gesagt: winkeltreu).
  • Ursprungs- und Bildfigur sind deckungsgleich (anders gesagt: kongruent).
  • Ursprungs- und Bildpunkt haben denselben Abstand zum Drehzentrum.
  • Parallelität sowie Orthogonalität bleiben erhalten.

  Also sind Ursprungs- und Bildfigur kongruente Figuren und somit längen- und winkeltreu.

• Entscheide, welche Figuren drehsymmetrisch sind.

  Tipps

  Dreht man eine drehsymmetrische Figur in einem bestimmten Winkel um das Drehzentrum $Z$, so kommt sie wieder mit sich selbst zur Deckung. Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $360^\circ$ und größer als $0^\circ$ sein.

  Was passiert, wenn du das Quadrat um $180^\circ$ drehst?

  Lösung

  Eine drehsymmetrische Figur liegt dann vor, wenn ein Drehzentrum existiert, um das man die Figur um einen bestimmten Winkel drehen kann, sodass sie mit sich selbst zur Deckung kommt.

  Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $360^\circ$ und größer als $0^\circ$ sein.

  Diese Definition trifft hier auf folgende Figuren zu:

  • regelmäßiges Sechseck
  • gleichseitiges Dreieck
  • Kreis
  • Quadrat

  Das gleichschenklige Dreieck ist keine drehsymmetrische Figur, da diese nur bei keiner oder einer vollen Umdrehung mit sich selbst zur Deckung kommt.

• Prüfe die Aussagen auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum $Z$, indem du:

  1. mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um das Drehzentrum $Z$ zeichnest und
  2. unter dem gewünschten Winkel das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der ursprüngliche Eckpunkt liegt, verbindest und dort den Bildpunkt dieser Ecke einzeichnest.

  Hier siehst du zur Hälfte die Ursprungsfigur (blau) und zur Hälfte die Bildfigur (orange) eines Sechsecks, das um $180^\circ$ um den Mittelpunkt gedreht wurde.

  Lösung

  Eine geometrische Figur drehst du um ein Drehzentrum $Z$, indem du:

  1. mit dem Zirkel durch jeden Eckpunkt der Figur Kreise um das Drehzentrum $Z$ zeichnest und
  2. unter dem gewünschten Winkel das Drehzentrum $Z$ mit dem Kreis, auf dem der ursprüngliche Eckpunkt liegt, verbindest und dort den Bildpunkt dieser Ecke einzeichnest.

  • Somit liegen bei der Drehung einer Figur die zusammengehörigen Ursprungs- und Bildpunkte auf demselben Kreisbogen um das Drehzentrum $Z$.

  • Dreht man eine drehsymmetrische Figur um $180^\circ$, so verlaufen alle Verbindungsstrecken vom Ursprungspunkt zum Bildpunkt durch das Drehzentrum $Z$. Dem hier abgebildeten Sechseck kannst du das entnehmen.

  • Zudem sind Ursprungs- und Bildfigur stets deckungsgleich. Das heißt, sie sind längen- und winkeltreu, also kongruent.

  • Eine drehsymmetrische Figur mit $12$ Ecken kommt bei einer Drehung um ihren Mittelpunkt um $30^\circ$ mit sich selbst zur Deckung. Diesen Winkel können wir rechnerisch ermitteln, indem wir $360^\circ :12=30^\circ$ rechnen.

  • Ein regelmäßiges Sechseck besitzt nicht sechs, sondern fünf Drehwinkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$, bei denen es mit sich selbst zur Deckung kommt. Das Sechseck sieht nämlich nach jeder $60^\circ$-Drehung gleich aus. Damit kommt das Sechseck mit sich selbst zur Deckung bei einer Drehung um $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$ und $360^\circ$. Der sechste Winkel ist $360^\circ$ groß. Wir betrachten aber nur Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$.

  • Außerdem kann man jede Figur in einem bestimmten Winkel drehen.

• Nenne die Eigenschaften drehsymmetrischer Figuren.

  Tipps

  Macht man keine oder eine volle Umdrehung, so sehen alle Figuren aus wie vor der Drehung.

  Eine volle Umdrehung entspricht $360^\circ$.

  Bei der Drehung wird eine Figur in einem festen Winkel um ein Drehzentrum gedreht.

  Lösung

  In dieser Aufgabe betrachten wir drehsymmetrische Figuren.

  Die Drehsymmetrie einer Figur liegt vor, wenn ein Drehzentrum im Inneren der Figur existiert, um das man die Figur in einem bestimmten Winkel drehen kann, sodass sie mit sich selbst zur Deckung kommt. Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $\mathbf{360^\circ}$ und größer als $\mathbf{0^\circ}$ sein.

• Ermittle die gesuchten Winkel.

  Tipps

  Hier siehst du, wie du ein Sechseck in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen kannst.

  Drehst du das Sechseck um den rot markierten Winkel, so kommt es mit sich selbst zur Deckung.

  Diesen Winkel erhältst du, indem du einen Vollwinkel durch sechs teilst.

  So kannst du ein gleichseitiges Dreieck in drei gleichschenklige Dreiecke einteilen.

  Den rot markierten Winkel erhältst du, indem du einen Vollwinkel durch drei teilst.

  Ein Vollwinkel entspricht $360^\circ$.

  Lösung

  Um den kleinsten Drehwinkel, bei dem drehsymmetrische Figuren mit sich selbst zur Deckung kommen, zu erhalten, teilen wir die jeweilige Figur in gleichschenklige oder auch gleichseitige Dreiecke ein.

  Anschließend teilen wir den Vollwinkel durch die Anzahl der resultierenden Dreiecke. So erhalten wir folgende Winkel:

  Achteck

  Ein Achteck kann man in acht gleichseitige Dreiecke einteilen. Demnach ist der kleinste Drehwinkel für ein Achteck $360^\circ :8=45^\circ$.

  Sechseck

  Ein Sechseck kann man in sechs gleichseitige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein Sechseck $360^\circ :6=60^\circ$.

  Quadrat

  Ein Quadrat kann man in vier gleichschenklige Dreiecke einteilen. Demnach ist der kleinste Drehwinkel für ein Quadrat $360^\circ :4=90^\circ$.

  Gleichseitiges Dreieck

  Ein gleichseitiges Dreieck kann man in drei gleichschenklige Dreiecke einteilen. Somit ist der kleinste Drehwinkel für ein gleichseitiges Dreieck $360^\circ :3=120^\circ$.

  Wenn du dir sicher bist, dass es sich um eine drehsymmetrische Figur handelt, kannst du den kleinsten Drehwinkel, bei dem die Figur mit sich selbst zur Deckung kommt, auch bestimmen, indem du den Vollwinkel durch die Anzahl der Ecken deiner drehsymmetrischen Figur teilst.