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Verknüpfung von Funktionen 07:22 min

Textversion des Videos

Transkript Verknüpfung von Funktionen

Darian saust auf seinem fliegenden Teppich nach Hause. Oh nein! Ein Sandsturm! Schon wieder! Verflixt! Der Sand hängt in seinen Haaren, steckt in seinen Ohren; einfach überall. Zuhause angekommen knobelt Darian an einer Lösung für dieses nervige Problem. Heureka, er hat eine Idee! Ein Teppich mit einer schützenden Glaskuppel. Und den kann er auch im Fernsehen bewerben und verkaufen. Natürlich will Darian mit dieser Idee Unmengen an Geld scheffeln, also muss er die Kosten für die Produktion und die Werbung genau berechnen. Außerdem muss er den Verkaufspreis festlegen und wissen, wie viele Exemplare er verkaufen muss, um kostendeckend zu produzieren. Darian findet heraus, dass die Herstellung jedes Teppichs 100 Goldmünzen kostet. Außerdem fallen einmalig 150 Münzen für einen Webstuhl an. Die Produktion jeder Glaskuppel kostet 50 Münzen. Außerdem kommen noch einmalig 100 Münzen für die Kuppel-Baumaschine hinzu. Um die Gesamtkosten zu berechnen, nutzen wir für die Kosten der Produktion zwei Gleichungen, die wir anschließend addieren. Sagen wir, k steht für die Produktionskosten und x steht für die Stückzahl. Die Kosten für die Produktion der Teppiche allein können wir so schreiben: k_Teppich(X) = 100x +150 und die Kosten für die Glaskuppeln so: k_Kuppel(X) = 50x + 100. Nicht vergessen: Die Kosten hängen von der produzierten Stückzahl x ab. Um eine Summe (f+g)(x) zu berechnen, addierst du f(x) und g(x). Für unsere Gleichungen heißt das: (k_Teppich + k_Kuppel)(x) = k_Teppich(x) + k_Kuppel(x). Um die Gesamtkosten eines Teppichs mit Kuppel zu berechnen, muss Darian die beiden Funktionen addieren. k_Gesamt(x) = k_Teppich(x) + k_Kuppel(x). Die Summe der beiden Funktionen ist: 100x + 150 + 50x + 100. Fasst du die gleichartigen Terme zusammen, erhältst du 150x + 250. Darian kennt jetzt die Produktionskosten. Nun muss er noch die Werbekosten feststellen und dann den Verkaufspreis ermitteln. Ein Werbespot wird ihn einmalig 750 Goldmünzen kosten. Unter Berücksichtigung aller Kosten legt er den Verkaufspreis auf 250 Goldmünzen pro Stück fest. Dies kannst du durch eine Funktion e(x) ausdrücken. "e" steht für die Einnahmen nach Abzug der Werbekosten. Also ist e(x) = 250x -750. Wie viel Geld bleibt also nach Abzug aller Kosten übrig? Diese Summe bezeichnet man als Gewinn. Er entspricht den Einnahmen minus den Gesamtkosten. Das können wir so schreiben: g(x) = (e - k_Gesamt)(x). Das ist gleich (250x – 750) – (150x + 250). Beim Auflösen der Klammer achte darauf, dass das Minuszeichen DAVOR alle Vorzeichen IN der Klammer umdreht. So kommst du auf 250x – 150x -750 – 250, was vereinfacht dann schließlich g(x) = 100x - 1000 ergibt. Wie viele Teppiche muss Darian denn verkaufen, um seine Kosten zu decken? Also um so viel zu verdienen, dass seine Einnahmen genau seinen Ausgaben gleichen? Puh, ziemlich kompliziert. Vielleicht sollte Darian seinen Buchhalter fragen. Nein, wir kriegen das hin und finden heraus, wann seine Kosten gedeckt sind. Dazu müssen wir die Gewinn-Gleichung mit genau 0 gleichsetzen, also g(x) = 0. Nun können wir nach x auflösen und die Anzahl der nötigen Verkäufe berechnen. Er muss 10 Teppiche verkaufen, um seine Kosten zu decken. Aber können wir Funktionen auch multiplizieren? Um das Produkt (f mal g)(x) zu berechnen, musst du nur f(x) und g(x) multiplizieren. Hier ein Beispiel: f(x) = 2x + 3 und g(x) = 4x - 2. Um das Produkt (f mal g)(x) zu berechnen, müssen wir also die Terme 2x + 3 und 4x - 2 multiplizieren. Multipliziert man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten Klammer, erhält man 8x² - 4x + 12x -6. Wir fassen die gleichartigen Terme zusammen. Und fertig! Und wie dividiert man Funktionen? Schauen wir mal. Wie beim Multiplizieren muss man beide Terme, 3x+5 and x-2, dividieren, um eine neue Funktion "f durch g von x" zu erhalten. Yippie! Der Werbespot läuft gerade. Kennen Sie das auch? Sie fliegen auf Ihrem magischen Teppich und plötzlich haben Sie Sand in den Augen? Dann brauchen Sie die TK2000! Die Teppichkuppel schützt Sie vor allem, was Mutter Natur Ihnen entgegenschleudert außer vielleicht vor Hurrikans und Tornados.

Verknüpfung von Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verknüpfung von Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Verknüpfen von Funktionen.

    Tipps

    Die Gleichung zur Addition zweier Funktionen lautet: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.

    Immer wenn du Terme vereinfachst, kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Differenz $(f-g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ lässt sich nicht berechnen.“

    • Auch die Differenz zweier Funktionen lässt sich berechnen. Die Gleichung dafür lautet: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
    „Verknüpfst du zwei Funktionen, erhältst du am Ende keine Funktion, sondern eine Zahl.“

    • Beim Verknüpfen zweier Funktionen erhältst du am Ende eine neue Funktion. Setzt du in dieser Funktion etwas für die Variable ein, erhältst du eine Zahl. Natürlich kann es auch mal passieren, dass die resultierende Funktion keine Variable mehr enthält. In so einem Fall handelt es sich um eine konstante Funktion.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Um die Summe $(f+g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu bestimmen, kannst du die beiden Funktionen addieren.“

    • Die Gleichung zur Addition zweier Funktionen lautet: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Die beiden Funktionen werden also addiert.
    „Beim Verknüpfen von Funktionen kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.“

    • Bei der Berechnung von verknüpften Funktionen musst du Terme vereinfachen. Dabei kannst du gleichartige Terme (z.B. alle Terme, in denen die Variable $x$ zur ersten Potenz erhoben wird) zusammenfassen.
    „Die Multiplikation $(f \cdot g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ kannst du so durchführen:

    $(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$“

  • Gib an, welche Rechenoperation verwendet wurde.

    Tipps

    Wie die verknüpften Funktionen entstanden sind, kannst du herausfinden, indem du die gegebenen Funktionen auf unterschiedliche Weise verknüpfst und anschließend vereinfachst. Dann kannst du überprüfen, ob deine berechnete Funktion einer der hier angegebenen entspricht.

    Lösung

    Wie die verknüpften Funktionen entstanden sind, kannst du herausfinden, indem du die gegebenen Funktionen auf unterschiedliche Weise verknüpfst und anschließend vereinfachst. Dann kannst du überprüfen, ob deine berechnete Funktion einer der hier angegebenen entspricht. So erhältst du:

    • $f(x)=2x+3$
    • $g(x)=4x-2$
    Die Funktion $e_2(x)$ ist durch Addition entstanden:

    • $f(x)+g(x)=2x+3 + 4x -2 = 6x+1$

    Die Funktionen $e_4(x)$ und $e_7(x)$ sind durch Subtraktion entstanden:

    • $f(x)-g(x)=2x+3 -(4x-2) = 2x+3-4x+2= - 2x + 5$
    • $g(x)-f(x)=4x-2 - (2x+3)= 4x - 2 - 2x - 3 = 2x - 5$
    Die Funktionen $e_3(x)$ ist durch die Multiplikation der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ entstanden. Du erkennst die Funktionen auch daran, dass sie Terme besitzen, die quadriert wurden, also hier ein $x^2$ enthalten.

    • $f(x) \cdot g(x)= (2x+3) \cdot (4x -2) = 8x^2 - 4x + 12x -6 = 8x^2 + 8x -6$
    Somit hat sich Luis offensichtlich dreimal verrechnet:

    • $e_1(x) = 6x+5$
    • $e_5(x)=4x^2+4x-6$
    • $e_6(x)= -2x-5$
  • Berechne die verknüpfte Funktion.

    Tipps

    Funktionen kannst du addieren, indem du zuerst aufschreibst, welche Funktionen du addieren möchtest, und anschließend die Funktionen einsetzt.

    Beim Subtrahieren von Funktionen solltest du darauf achten, eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, zu schreiben. Anschließend musst du diese Klammer korrekt auflösen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Funktion für die Gesamtkosten $k_{Gesamt}(x)$ kann er durch Addition der beiden Kostenfunktionen bestimmen:

    $k_{Gesamt}(x)=k_{Teppich}(x)+k_{Kuppel}(x)$

    Anschließend setzt er die einzelnen Funktionen ein:

    $k_{Gesamt}(x)=100x+150+50x+100$“

    • Funktionen kannst du addieren, indem du zuerst aufschreibst, welche Funktionen du addieren möchtest, und anschließend die Funktionen einsetzt.
    „Und vereinfacht den Term zu:

    $k_{Gesamt}(x)=150x+250$“

    • Anschließend fasst du gleichartige Terme zusammen.
    „Anschließend möchte er die Funktion für die Gesamtkosten $k_{Gesamt}(x)$ von der Funktion für seinen Ertrag $e(x)=250x-750$ abziehen, um den Gewinn $g(x)$ zu bestimmen. Dazu führt er eine Subtraktion durch.

    $g(x)=e(x)-k_{Gesamt}(x)$

    Eingesetzt ergibt das:

    $g(x)=250x-750-(150x+250)$“

    • Auch beim Subtrahieren von Funktionen schreibst du diese zunächst auf. Anschließend setzt du ein und rechnest aus. Hier solltest du allerdings darauf achten, eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, zu schreiben. Anschließend musst du diese Klammer korrekt auflösen. Das stellt sicher, dass du alle Teile der Funktion abziehst.
    „Die Formel für seinen Gewinn beträgt also:

    $g(x)=100x - 1000$“

  • Entscheide, welche Funktionen korrekt verknüpft wurden.

    Tipps

    Auch bei komplexeren Verknüpfungen kannst du die Funktionen einsetzen, berechnen und weiter vereinfachen. Führst du diese Rechnungen durch, kannst du die korrekt berechneten Verknüpfungen bestimmen.

    Lösung

    Auch bei komplexeren Verknüpfungen kannst du die Funktionen einsetzen, berechnen und weiter vereinfachen. Führst du diese Rechnungen durch, kannst du die korrekt berechneten Verknüpfungen bestimmen. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch durchgeführt wurden:

    • „$g(x) \cdot \left(f(x)-h(x)\right) \neq 12x^2 -32x +10 $“
    So kannst du die Rechnung korrekt durchführen:

    $\begin{array}{ll} g(x) \cdot \left(f(x)-h(x)\right)&=(3x-2) \cdot \left(5x-3-(x+2) \right)\\ &=(3x-2) \cdot (4x-5)\\ & = 12x^2-15x-8x+10\\ &=12x^2 -23x +10 \end{array}$

    • „$g^2(x)+h(x) \neq 9x^2-11x+3$“
    Hier erhältst du korrekterweise:

    $\begin{array}{ll} g^2(x)+h(x)&=(3x-2)^2+x+2\\ &= 9x^2-12x+4+x+2\\ &= 9x^2-11x+6 \end{array}$

    Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

    $\begin{array}{ll} g(x) \cdot \left(f(x)+h(x)\right)&=(3x-2) \cdot \left(5x-3+x+2 \right)\\ &=(3x-2) \cdot (6x-1)\\ & = 18x^2-3x-12x+2\\ &=18x^2-15x+2 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} f(x) \cdot h(x) -f(x)&=(5x-3) \cdot (x+2) -(5x-3)\\ &= 5x^2 +10x -3x-6 - 5x+3\\ &=5x^2 +2x-3 \end{array}$

  • Ermittle die Lösungen der verknüpften Funktionen.

    Tipps

    Bei den Subtraktionen musst du darauf achten, dass du die korrekte Reihenfolge der Funktionen wählst und beide Teile der Funktion subtrahierst. Schreibe dazu eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, und löse sie korrekt auf.

    Bei der Multiplikation von Funktionen musst du alle Teile der Funktionen einzeln miteinander multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen.

    Lösung

    Um die verschiedenen Verknüpfungen der Funktionen $f(x)=15x-5$ und $g(x)=20x-15$ zu bestimmen, musst du die Funktionen mit den entsprechenden Rechenoperationen verknüpfen und anschließend einsetzten. Dann erhältst du:

    $\begin{array}{ll} (f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\ &=15x-5+20x-15\\ &=35x-20\\ \end{array}$

    Bei den Subtraktionen musst du darauf achten, dass du die korrekte Reihenfolge der Funktionen wählst und beide Teile der Funktion subtrahierst. Schreibe dazu eine Klammer um die Funktion, die du abziehst und löse sie korrekt auf.

    $\begin{array}{ll} (f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\ &=15x-5-(20x-15)\\ &=15x-5-20x+15\\ &=-5x+10\\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} (g-f)(x)&=g(x)-f(x)\\ &= 20x-15-(15x-5)\\ &=20x-15-15x+5\\ &=5x-10\\ \end{array}$

    Bei der Multiplikation von Funktionen musst du alle Teile der Funktionen einzeln miteinander multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen.

    $\begin{array}{ll} (g \cdot f)(x)&=g(x) \cdot f(x)\\ &=(20x-15) \cdot (15x-5)\\ &=20x \cdot 15x + 20x \cdot (-5) -15 \cdot 15x -15 \cdot (-5)\\ &=300x^2-100x-225x+75\\ &=300x^2-325x+75 \end{array}$

  • Ermittle die Lösungen der Verknüpfungen.

    Tipps

    Für die Addition erhältst du:

    $\begin{array}{ll} t_{Gesamt}(x)&=t_{Fahrt}(x)+t_{Pause}(x) \\ \end{array}$

    Hier musst du noch die Funktionsgleichungen einsetzen und anschließend ausrechnen.

    Beachte bei der Subtraktion der Funktionen die Klammer um die zweite Funktion und die Vorzeichen jedes Termes.

    Lösung

    Du kannst die Lücken füllen, indem du die Funktionen wie angegeben verknüpfst und anschließend einsetzt. Für die Addition erhältst du:

    $\begin{array}{ll} t_{Gesamt}(x)&=t_{Fahrt}(x)+t_{Pause}(x) \\ &=3 \cdot x + 15+x+30 \\ &=4 \cdot x +45 \end{array}$

    Bei der Subtraktion ergibt sich Folgendes. Achte auf die Klammer und die Vorzeichen jedes Termes.

    $\begin{array}{ll} t_{ohne~ Pause}(x)&=t_{Fahrt}(x)-t_{Pause}(x) \\ &=3 \cdot x + 15-(x+30) \\ &=3 \cdot x + 15-x-30 \\ &=2\cdot x -15 \end{array}$

    Um die Funktionen zu multiplizieren, musst du jeden Summanden der Funktionen einzeln multiplizieren.

    $\begin{array}{ll} t_{Spaß }(x)&= t_{Fahrt}(x) \cdot t_{Pause}(x) \\ &=(3 \cdot x +15) \cdot(x+30) \\ &=3 x^2 +90x + 15x+450 \\ &=3 x^2+105 x + 450 \end{array}$