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Betragsfunktionen 09:12 min

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Transkript Betragsfunktionen

Hallo, Thema dieses Videos sind Betragsfunktionen. Dabei werde ich zunächst den Betrag definieren. Dann werde ich erklären wie man die Graphen der Betragsfunktion, entlang der Achsen, verschiebt und wie man sie streckt und staucht. Zum Schluss werde ich noch einige Beispiele durchsprechen. Also zuerst einmal die Definition. Der Betrag einer Zahl bedeutet, dass diese Zahl immer positiv ist. Das heißt, dass der Betrag von -2=2 ist, ebenso wie der Betrag von 2=2 ist. Mathematisch wird der Betrag so definiert, das heißt, der Betrag einer Zahl ist gleich diese Zahl, solange sie ≥0 ist. Ist die Zahl aber ≤0 wird ein zusätzliches - Zeichen eingefügt, sodass die negative Zahl wieder positiv wird. Dazu ein kurzes Beispiel. Der Betrag von -2=-(-2), durch die 2 aufeinanderfolgenden - Zeichen entsteht ein positives Vorzeichen. Was bedeutet der Betrag jetzt für die Funktionsgraphen? Sehen wir uns dazu den Graphen der Funktion, f(x)=|x|, an. Durch den Betrag gibt es für y keine negativen Werte. Der Graph ist also an der y-Achse gespiegelt. Um diesen Graphen zeichnen zu können, braucht man 3 charakteristische Punkte. In diesem Fall sind das der Scheitelpunkt S mit den Koordinaten 0/0, der Punkt P1 mit den Koordinaten 1/1 und der Punkt P2 mit den Koordinaten -1/1. Sehen wir uns jetzt an wie sich diese Punkte und somit auch der gesamte Graph, entlang der Achsen verschieben lassen. Durch die Ergänzung des Parameters c, außerhalb des Betrags, wird der Graph um den Wert c entlang der y-Achse verschoben. Mathematisch kann man die Verschiebung, entlang der y-Achse, erklären, in dem man sich überlegt, dass durch die Verschiebung entlang der y-Achse, der Schnittpunkt mit dieser Achse verändert wird. Und den Schnittpunkt entlang der y-Achse errechnet man, in dem man für x=0 einsetzt. Also, y=|0|+c und zusammengefasst ergibt sich y=c. Somit hat man als neuen Schnittpunkt mit der y-Achse den Punkt S(0/c). Jetzt bleibt nur noch die Frage, wie sich die anderen angegebenen charakteristischen Punkte verändern. Sie werden, wie auch der Scheitelpunkt, in ihrem y-Wert verändert. Und zwar wird der Zählwert einfach hinzuaddiert. Also wird aus P1 mit den ursprünglichen Koordinaten (1/1), der Punkt P1(1/1+c), das gleiche gilt auch für den Punkt P2 mit den Koordinaten (-1/1), die neuen Koordinaten sind (-1/1+c). Also verändert sich von jedem Punkt der y-Wert um den Wert c. In der grafischen Darstellung verändert sich der Graph, der Ausgangsfunktion f(x)=|x|, so. Für c>0 ist der Graph, der Funktion f(x)=|x+c|, um den Wert c, in positiver Richtung entlang der y-Achse verschoben. Und für c<0 ist der Graph in negativer Richtung verschoben. Neben einem ergänzenden Parameter aus der Zahl des Betrags kann man natürlich auch ein Parameter innerhalb des Betrags ergänzen. Also betrachten wir jetzt die Funktion f(x)=|x+b|. Der Parameter b, verschiebt den Graphen entlang der x-Achse. Das bedeutet also, dass durch die Verschiebung entlang der x-Achse, der Scheitelpunkt des Graphen, im Vergleich zum Graphen der Funktion f(x)=|x|, verändert wird. Um diesen neuen Scheitelpunkt auszurechen, muss man die Funktionsgleichung 0 setzen. Also, 0=|x+b|, die Betragsstriche können bei der Berechnung weggelassen werden. Nach x umgestellt ergibt sich dann x=-b. Als neuen Scheitelpunkt hat man somit den Punkt S(-b/0). Für die Punkte P1 und P2 bedeutet das folgendes: Beim Punkt P1 wird der x-Wert 1 zu 1-b, während der y-Wert gleich bleibt. Und für P2 wird der x-Wert zu -1-b, während der y-Wert unverändert bleibt. Also verändert sich jeder Punkt in seinem x-Wert um den Wert -b. Grafisch verändern sich die Graphen dann so: Für b<0, wird der Graph um den Betrag von b, in positiver Richtung, entlang der x-Achse verschoben. Und für b>0, wird der Graph um den Betrag von b in negativer Richtung verschoben. Jetzt möchte ich erklären, wie man den Graphen der Ausgangsfunktion, strecken und stauchen kann. Dies geschieht durch die Ergänzung des Multiplikationsfaktors a. Ist a im Betrag größer als 1, wird der Graph gestreckt und ist a im Betrag kleiner als 1, wird der Graph gestaucht. Betrachten wir jetzt wieder, wie sich die charakteristischen Punkte, der Ausgangsfunktion f(x)=|x|, verändern. Der Scheitelpunkt verändert sich nicht. Das sieht man auch mathematisch, wenn man für x=0 einsetzt. Wenn man jetzt auch die beiden anderen Punkte betrachtet, ergibt sich Folgendes: Setzen wir 1 in die Gleichung ein, ergibt sich y=a×1. Der Punkt hat also die Koordinaten 1/a×1. Setzen wir nun -1 in die Gleichung ein, ergibt sich für y=a×1. Der Punkt hat also die Koordinaten -1/a×1. Bei Funktionen der Form f(x)=a×|x|, verändern sich also die Punkte des Graphen, in dem man den y-Wert mit a multipliziert. Grafisch sehen die Graphen dann so aus: Der Scheitelpunkt bleibt bei 0/0 und die Punkte 1/1 und -1/1 werden im y-Wert, um den Faktor a, verändert. Für die a-Werte, die im Betrag größer als 1 sind, wird der Graph gestreckt. Und für die a-Werte, die im Betrag kleiner als 1 wird der Graph gestaucht. Kommen wir nun zu den Beispielen. Als 1., f(x)=|sin(x)|, im Vergleich zur normalen Sinusfunktion gibt es keine Bögen nach unten. Der Graph, der Funktion f(x)=|sin(x)|, sieht also so aus. Dieser Graph kann, wie jede normale Sinusfunktion, verändert werden. Durch den Parameter a, vor den Betrag, verändert sich die Amplitude des Graphen. Die Amplitude liegt nun bei y=a. Durch die Ergänzung f(x)=|sin(bx)| ändert sich die Periodenlänge. Als nächstes Beispiel, f(x)=|2x-1|, nach den allgemeingültigen Regeln, der Termumformung, kann man die Funktion auch so schreiben f(x)=2|x-1/2|. Errechnen wir nun den neuen Schnittpunkt mit der x-Achse, in dem wir die Gleichung 0 setzen. Also liegt der Scheitelpunkt S bei (1/2/0). Analog dazu verändern sich auch die Punkte P1 mit den Koordinaten (1/1) und P2(-1/1), um den Wert 1/2, in ihrem x Wert. Wir haben also die Punkte P1(1,5/1) und P2(-0,5/1). Anhand dieser Punkte kann der vorläufige Graph nun gezeichnet werden. Jetzt müssen wir nur noch den Faktor 2 betrachten. Wie vorher erklärt, wird der Graph dadurch gestreckt. Also müssen wir die y-Werte unserer bekannten Punkte, P1 und P2, mit dem Faktor 2 multiplizieren. Es ergeben sich also die Punkte 1,52 und -0,52. Anhand dieser Punkte kann man den Graphen, der Funktion f(x)=2|x-1/2|, zeichnen. Als letztes Beispiel f(x)=||x|-1|. Als 1. Schritt betrachten wir uns die innere Funktion g(x)=|x|-1. Der Scheitelpunkt dieser Funktion liegt bei (0/-1) und der gesamte Graph ist um den Wert -1, entlang der y-Achse, verschoben. Jetzt müssen wir nur noch die äußere Funktion f(x)=|x-1| betrachten. Alle negativen y-Werte, werden auf ihre Gegenzahlen abgebildet. Also, alles, was unter der x-Achse liegt, wird nach oben gespiegelt. Dementsprechend verändert sich der Scheitelpunkt (0/-1) zu (0/1). Zeichnen wir diesen Punkt jetzt ins Koordinatensystem ein, können wir den endgültigen Graphen zeichnen. Das war es zu den Betragfunktionen. Ich hoffe ihr habt alles verstanden und es sind keine Fragen mehr ungeklärt. Tschüss und bis bald Eure Josi.  

1 Kommentar
  1. sehr hilfreich!! Vielen Dank :)

    Von Eva 1196, vor fast 6 Jahren

Betragsfunktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Betragsfunktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme, welcher Graph zur Betragsfunktion $f$ gehört.

    Tipps

    Der Betrag macht alle Werte innerhalb der Betragsstriche positiv.

    Es gilt: $|-4| = 4$.

    Lösung

    Da der Betrag eines Wertes immer positiv ist, kann der Graph von $f(x)= |x|$ für alle möglichen x-Werte immer nur im positiven Bereich liegen.

    Eine Wertetabelle kann dir immer helfen, markante Punkte des Graphen zu finden, um ihn dir besser vorstellen oder zeichnen zu können. Hier ist ein Beispiel für eine passende Wertetabelle:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-2&-1&0&1&2 \\ \hline y&2&1&0&1&2 \end{array}$

    Wir sehen also, dass die Betragsfunktion oberhalb der x-Achse und durch den Ursprung verlaufen muss.

  • Gib zu den Graphen die Funktionsgleichungen an.

    Tipps

    Ein Vorfaktor verändert immer die Streckung/Stauchung eines Graphen.

    Werden Parameter hinzuaddiert, so wird ihr Graph auf einer der Achsen verschoben.

    Lösung

    Betrachten wir die Graphen der Reihe nach.

    Bild 1: $f(x)=a\cdot |x|$

    Der Graph dieser Betragsfunktion ist stärker in Richtung der y-Achse gestaucht als üblich. Hier wurde ein Faktor vor den Betrag gesetzt. Je größer dieser ist, desto stärker fällt/steigt der Graph der Betragsfunktion.

    Bild 2: $f(x)=|x|+c$

    Der Graph dieser Betragsfunktion wurde um zwei Einheiten auf der y-Achse nach unten verschoben. Hier wurde ein Parameter zum Argument der Funktion hinzuaddiert. Es hat den gleichen Einfluss wie bei einer linearen Funktion und gibt auch direkt den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Hier wäre $c=-2$.

    Bild 3: $f(x)=|x|$

    Hier handelt es sich um die normale Betragsfunktion. Jeder Funktionswert ist der Betrag seines x-Wertes. Der Graph wurde nicht gestaucht oder verschoben.

    Bild 4: $f(x)=|x+b|$

    Der Graph dieser Betragsfunktion wurde entlang der x-Achse verschoben. Es wurde also kein Parameter hinter, sondern direkt in das Argument der Funktion eingefügt. Hierbei handelt es sich um $b=3$.

    Wir merken uns für Betragsfunktionen:

    Falls $f(x)=|x+b|$, so gilt

    • eine Verschiebung nach links für $b>0$ und
    • eine Verschiebung nach rechts für $b<0$
    entlang der x-Achse.

  • Bestimme die Punkte, die durch den Parameter entstehen.

    Tipps

    Für $f(x)=a\cdot |x|$ wird der Graph gestreckt oder gestaucht, behält den Scheitelpunkt aber bei.

    Für $f(x)=|x+b|$ wird der Graph entlang der x-Achse verschoben. Für positive $b$ nach links und für negative $b$ nach rechts.

    Für $f(x)=|x|+c$ wird der Graph entlang der y-Achse verschoben. Alle Funktionswerte ändern sich um $c$ Einheiten.

    Lösung

    Beginnen wir mit dem Parameter $a$. Wird er zur Funktion hinzugefügt, so staucht bzw. streckt sich der Graph der Funktion.

    Sein Scheitelpunkt ändert sich hierdurch nicht; er bleibt $S(0|0)$. Es hat aber Einfluss auf die Funktionswerte von $P_1$ und $P_2$:

    Die neuen Koordinaten sind $P_1(1|a\cdot 1)$ und $P_2(-1|a\cdot 1)$.

    Beim Parameter $b$ wird der Graph nicht gestreckt oder gestaucht, sondern entlang der x-Achse verschoben. Dabei verschiebt er sich nach links, wenn $b>0$, und nach rechts, wenn $b<0$.

    Somit ändert sich der x-Wert des Scheitelpunktes: $S$ wird zu $S(-b|0)$.

    Auch von den x-Werten der Punkte $P_1$ und $P_2$ wird dieser Parameter abgezogen:

    Die neuen Koordinaten sind $P_1(1-b|1)$ und $P_2(-1-b|1)$.

    Beim Parameter $c$ findet auch eine Verschiebung statt, allerdings entlang der y-Achse, wie wir das auch schon von Graphen linearer Funktionen kennen.

    Hier hat der Parameter Einfluss auf die Funktionswerte aller Punkte und gibt direkt den y-Achsenabschnitt an:

    Die neuen Koordinaten sind $S(0|c)$, $P_1(1|1+c)$ und $P_2(-1|1+c)$.

  • Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$.

    Tipps

    Lege dir eine Wertetabelle für $-5<x<5$ an.

    Definitionslücken sind Werte, für die die Funktion nicht definiert ist. So ist die Definitionslücke von $f(x)=\frac{1}{x}$ gerade $x=0$, da man nicht durch null teilen darf.

    Berechne mal den Betrag $|f|$ der Funktion $f$. Was fällt dir auf?

    Schnittpunkte mit der y-Achse haben die Form $(0|f(0))$.

    Willst du die Schnittstellen mit der x-Achse ausrechnen, so machst du den Ansatz $f(x)=0$.

    Lösung

    Wir sehen die Funktion $f(x)=\frac{x}{|x|}$ hier blau im Bild. Bei $x=0$ haben wir eine Definitionslücke.

    Mithilfe einer Wertetabelle kannst du dir ein paar markante Punkte berechnen und nach diesen dann den Graphen selbst zeichnen.

    Wir sehen, dass der Graph sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft. Das liegt daran, dass nur der Nenner und nicht der ganze Bruch im Betrag steht. So können auch negative Funktionswerte entstehen.

    Es gibt keine Schnittpunkte mit der x-Achse, da der Graph parallel zu ihr verläuft. Somit haben wir auch keinen Scheitelpunkt, weil es sich um zwei zueinander parallele Geraden handelt.

    Wir haben sogar eine Definitionslücke bei $x=0$, da wir nicht durch $0$ teilen dürfen. Daher haben wir auch keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

  • Gib die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Achsen an.

    Tipps

    Man berechnet den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem man $f(0)$ berechnet.

    Um einen oder mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse zu ermitteln, setzt man $f(x)=0$.

    Der Graph der angegebenen Funktion sieht folgendermaßen aus:

    Lösung

    Fangen wir mit den Schnittpunkten mit der x-Achse an.

    Für alle Punkte des Graphen auf der x-Achse muss der y-Wert der Funktion $0$ sein.

    Wir setzen $y=0=f(x)$

    $0= \begin{vmatrix}~|x|-2~\end{vmatrix}$

    Die äußeren Betragsstriche können wir zunächst weglassen:

    $0= |x|-2 \quad \Leftrightarrow \quad |x|=2$

    Hier sieht man, dass es zwei mögliche Lösungen für $x$ geben kann, nämlich $2$ und $-2$, da $-2$ durch den Betrag wieder positiv wird.

    Unsere Schnittpunkte mit der x-Achse sind also $(-2|0)$ und $(2|0)$.

    Nun zum Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir berechnen $f(0)$, da bei einem Punkt des Graphen auf der y-Achse $x=0$ gelten muss.

    $f(0)= \begin{vmatrix}~|0|-2~\end{vmatrix}$

    Hier lassen wir die äußeren Betragsstriche stehen und lassen dafür die inneren weg, da der Betrag von Null wieder Null ist:

    $f(0)= |0-2|=|-2|=2$

    Unser Schnittpunkt mit der y-Achse liegt also bei $(0|2)$.

  • Bestimme die Parameter der Funktionen.

    Tipps

    Für $f(x)=a\cdot |x|$ wird der Graph in y-Richtung gestreckt oder gestaucht, behält den Scheitelpunkt aber bei.

    Für $f(x)=|x+b|$ wird der Graph entlang der x-Achse verschoben. Für positive $b$ nach links und für negative $b$ nach rechts.

    Für $f(x)=|x|+c$ wird der Graph entlang der y-Achse verschoben. Alle Funktionswerte ändern sich um $c$ Einheiten.

    Lösung

    Gehen wir die Graphen der Reihe nach durch.

    Bild 1:

    Hier wurde der Graph entlang der y-Achse verschoben. Das bedeutet, dass ein Parameter hinzuaddiert wurde, was allgemein so aussehen würde: $f(x)=|x|+c$.

    Da in diesem Fall der Parameter den y-Achsenabschnitt angibt, können wir den Wert des Parameters als $c=2$ ablesen.

    Bild 2:

    Bei diesem Graphen sehen wir eine Verschiebung entlang der x-Achse. Das bedeutet, dass ein Parameter innerhalb des Arguments der Funktion hinzuaddiert wurde. Allgemein sieht das so aus:

    $f(x)=|x+b|$

    Wir erinnern uns: Für negative $b$ verschiebt man den Funktionsgraphen um $b$ Einheiten nach rechts, für positive nach links. Da der Graph zwei Einheiten nach rechts verschoben wurde, erhalten wir für den Wert des Parameters:

    $b=-2$

    Bild 3:

    Dieser Funktionsgraph ist in Richtung der y-Achse gestreckt. Streckung und Stauchung erreicht man, indem man einen Vorfaktor verwendet, was allgemein so aussieht:

    $f(x)=a\cdot |x|$

    Die Funktionswerte verändern sich dann im Gegensatz zu einer normalen Betragsfunktion so:

    $P(1|1)$ wird zu $P(1|a\cdot 1)$.

    Wir können den Punkt $(1|2)$ ablesen, was bedeutet, dass dies der Wert des Parameters sein muss:

    $a=2$

    Bild 4:

    Dieser Funktionsgraph besitzt drei, statt wie üblich einen Scheitelpunkt. Wie du an der Skizze erkennen kannst, wird die Betragsfunktion zunächst entlang der y-Achse um zwei Einheiten nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung dafür lautet $f(x)=|x|-2$.

    Dann wurde der Bereich von $-2$ bis $2$ an der x-Achse gespiegelt. Das bedeutet, dass der gesamte Funktionsterm noch einmal in einen Betrag gesetzt wurde, damit der Graph komplett oberhalb der x-Achse verläuft.

    Die gesuchte Funktion ist damit:

    $f(x)=|~|x|-2|$