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Parameter in der Mathematik

Parameter in der Mathematik sind gleichzeitig veränderlich und fest und werden in Funktionen genutzt. Erforsche, wie sie Kurven und Gleichungen beeinflussen und in welcher Hinsicht sie sich von Variablen und Konstanten unterscheiden. Mach mit interaktiven Übungen neue Erkenntnisse! Interessiert? Lies weiter für weitere Informationen.

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Die Autor*innen
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Eva F.
Parameter in der Mathematik
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Parameter in der Mathematik Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parameter in der Mathematik kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Einfluss des Parameters auf die Funktion $f$.

    Tipps

    Bei Geraden wird der hintere Parameter auch y-Achsenabschnitt genannt.

    Verändert man bei einer Gerade den hinteren Parameter, also verändert man den y-Achsenabschnitt, so verschiebt sich die Gerade im Koordinatensystem, ihre Steigung aber bleibt dieselbe.

    Lösung

    Schauen wir uns ein Beispiel an, in dem eine Gerade verschoben wurde (Bild).

    Die graue Gerade ist die Ausgangsgerade mit der Funktionsgleichung $f(x)=x$.

    Sie hat die Steigung $1$ und verläuft durch den Ursprung. Die grüne Gerade ist parallel zur grauen. Sie wurde nur nach oben verschoben. Ihre Funktionsgleichung lautet $g_1(x)=x+1$. Hier wurde der Parameter $p=1$ hinzuaddiert.

    Bei der gelben Gerade $g_{-2}(x)=x-2$ kommt der Parameter $p=-2$ hinzu. Hier wurde die Ausgangsgerade nach unten verschoben.

    Der Graph unserer Ausgangsfunktion $f(x)=x$ wird durch Addieren des Parameters $p=1$ bzw. $p=-2$ entlang der y-Achse nach oben bzw. nach unten verschoben.

  • Bestimme die Auswirkungen der Parameter auf den Graphen der Ausgangsfunktion $f(x)=x^2$.

    Tipps

    Der Ausgangsgraph zu der Funktion $f(x)=x^2$ ist immer blau markiert.

    Die Funktionen, zu denen ein Parameter hinzumultipliziert wird, verlaufen alle durch den Ursprung, denn:

    $g_p(0)=f(0) \cdot p=0$

    $g_p(0)=f(0 \cdot p) = 0$

    Der Graph von $f(x\cdot p)= p^2\cdot x^2$ wird stärker in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht als der Graph von $p\cdot f(x)=p\cdot x^2$.

    Lösung

    Jedes Bild zeigt den Graphen der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ in blau und zwei Beispiele für das Hinzufügen eines Parameters $p$.

    Beim ersten Bild wird der Graph immer nur um $p$ Einheiten auf der y-Achse verschoben, wenn der Parameter zur Funktion hinzuaddiert wird:

    • $g_p(x)=f(x)+p$
    • grün: $g_1(x)=x^2+1$
    • gelb: $g_{-2}(x)=x^2-2$
    Der Parameter gibt dir hier dann auch direkt den y-Achsenabschnitt an.

    Das zweite Bild zeigt auf der x-Achse verschobene Parabeln.

    Hier ändert sich der Scheitelpunkt. Das heißt, dass der Parameter direkt zum Argument der Funktion hinzuaddiert wird:

    • $g_p(x)=f(x+p)$
    • grün: $g_1(x)=(x+1)^2$
    • gelb: $g_{-2}(x)=(x-2)^2$
    Beim dritten und vierten Bild verlaufen alle Parabeln durch den Ursprung, denn:

    $g_p(0)=f(0) \cdot p=0$

    $g_p(0)=f(0 \cdot p) = 0$

    Der Graph von $f(x\cdot p)= p^2\cdot x^2$ (Bild 4) wird stärker in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht als der Graph von $p\cdot f(x)=p\cdot x^2$ (Bild 3). Das liegt an dem Vorfaktor $p^2$ im Vergleich zum Vorfaktor $p$.

    Für Bild 3 gilt:

    • grün: $g_{0,5}(x)=0,5 \cdot x^2$
    • gelb: $g_2(x)=2\cdot x^2$
    Für Bild 4 gilt:

    • grün: $g_{0,5}(x)= (0,5\cdot x)^2$
    • gelb: $g_2(x)= (2\cdot x)^2$
  • Bestimme die Auswirkung des Parameters auf den Graphen der Funktion $f$.

    Tipps

    Für $f(x)=x^3$, $g_p(x)=f(p\cdot x)$ und $p=6$ gilt $g_6(x)=(6\cdot x)^3=216\cdot x^3$.

    Für $g_p(x)=f(x+p)$ sieht die Kurvenschar folgendermaßen aus:

    Für $g_p(x)=f(x)+p$ sieht die Kurvenschar folgendermaßen aus:

    Lösung

    Gehen wir die Funktionen der Reihe nach durch.

    Bei der ersten wird ein Parameter $p$ einfach hinzuaddiert:

    $g_p(x)=f(x)+p$

    Der Parameter $p=6$ bewirkt, dass der Graph von $f$ um $p$ Einheiten verschoben wird; in diesem Fall wird er um $6$ Einheiten entlang der y-Achse verschoben.

    Die zweite Funktion ist $g_p(x)=f(x+p)$.

    Hier wird der Parameter direkt zum Argument der Funktion addiert, was eine Verschiebung um $-p$ Einheiten entlang der x-Achse zur Folge hat. In diesem Beispiel würde der Funktionsgraph von $f$ um $6$ Einheiten nach links verschoben werden.

    Die nächste Funktion ist $g_p(x)=f(x) \cdot p$.

    Hier wird mit der konkreten Funktion $f(x)=3x$ gerechnet. Bei ihrem Graphen handelt es sich um eine Gerade mit der Steigung $m=3$.

    Wird nun der Parameter $p=6$ dazumultipliziert, erhalten wir $g_6(x)=3x\cdot 6$.

    Das können wir zu $f(x)=18x$ zusammenfassen. Damit ist die Steigung der Geraden jetzt $m=18$. Somit hat sich die Steigung von $m$ auf $m \cdot 6$ geändert.

    Die letzte Funktion ist $f(x)=x^3$ mit der Veränderung $g_p(x)=f(x\cdot p)$.

    Das bewirkt allgemein eine Stauchung bzw. Streckung entlang der x-Achse mit dem Streckungsfaktor $\frac{1}{p}$. Hier gilt aber:

    $g_p(x)=(x \cdot 6)^3=216\cdot x^3$,

    was gleichbedeutend mit einer Streckung um den Faktor 216 in y-Richtung ist.

  • Ermittle die Parameter der Funktion $f$.

    Tipps

    Setze geeignete Paare $(x|y)$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Parameter zu bestimmen.

    Der Parameter $b$ gibt die Verschiebung entlang der y-Achse an.

    Der Parameter $a$ sorgt für eine Stauchung bzw. Streckung in y-Richtung.

    Das ist der Graph zur Funktion $f$.

    Lösung

    Anhand der Wertetabelle können wir ablesen, dass der Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0\big\vert -5)$ liegt.

    Das bedeutet, dass der hintere Parameter der quadratischen Funktion $b=-5$ sein muss, da die Parabel um diese Einheiten nach unten verschoben wurde.

    Nun müssen wir noch den Parameter $a$ ermitteln. Dazu können wir einen beliebigen Punkt aus der Wertetabelle nehmen, in die Funktionsgleichung einsetzen und nach $a$ auflösen.

    Für dieses Beispiel nehmen wir den Punkt $(1\big\vert -1)$ aus der Wertetabelle. Wir setzen alle uns bekannten Werte in die Funktionsgleichung $f(x) = a \cdot x^2 + b$ ein:

    $\begin{align} -1&=a \cdot 1^2 + (-5) &|& +5 \\ 4&=a \cdot 1 \end{align}$

    Also ist Parameter $a=4$. Dieser Parameter sorgt für eine Streckung der Normalparabel in y-Richtung.

    Somit sieht die Funktionsgleichung so aus:

    $f(x)=4x^2-5$.

  • Gib die Parameter in der allgemeinen Geradengleichung an.

    Tipps

    Variablen sind immer frei wählbar.

    Parameter werden einmal frei gewählt und stehen dann fest.

    Parameter unterscheiden sich von Konstanten, da sie nur für den betrachteten Fall konstant sind.

    Lösung

    In diesem Fall betrachten wir die allgemeine Geradengleichung.

    $f(x)=m\cdot x + n$

    Hier ist $x$ die Variable, da sie frei wählbar ist. Die Parameter sind hier die

    • Steigung $m$ und
    • der y-Achsenabschnitt $n$.
    Diese können in jeder linearen Funktion verschieden sein. Sie sind dann nur für einen speziell betrachteten Fall konstant. Daher sind sie keine Variablen, sondern Parameter.

  • Deute die Auswirkung des Parameters $p$ auf die Funktion $f$ bzw. $\hat{f}$.

    Tipps

    Du siehst hier die Graphen für $g_p$ (in grün) und $\hat{g}_p$ (in gelb) mit dem Parameter $p=2$.

    Wie sieht die Funktion $\hat{g}_{-2}$ bei der Wahl $p=-2$ aus?

    Lösung

    Gehen wir verschiedene Parameter für die Funktionen $g_p$ und $\hat{g}_p$ durch.

    Fangen wir mit der Geraden $g_p$ an.

    Statt durch den Parameter zu teilen, können wir die Gleichung auch einfach als Produkt schreiben:

    $g_p(x) = mx \cdot \frac{1}{p} =\frac{m}{p} \cdot x$.

    Die Steigung bei Geraden wird in diesem Fall also in $\frac{m}{p}$ bzw. $m \cdot \frac{1}{p}$ geändert.

    Das heißt auch gleichzeitig, dass die Steigung nicht immer, wie bei Aussage $1$ behauptet, umgekehrt wird.

    Für unseren Fall hat der Parameter auch keinen Einfluss auf den y-Achsenabschnitt der Gerade. Sie verläuft für alle $p$ immer durch den Ursprung.

    Betrachten wir jetzt die Parabel $\hat{f}(x)=x^2$. Auch hier teilen wir nicht, sondern multiplizieren mit dem Kehrwert des Parameters. Wir setzen wieder $p=2$ und erhalten:

    $\hat{g}_2(x)=\frac{1}{2}x^2$.

    Betrachtet man den dazugehörigen Graphen, so wird dieser in y-Richtung gestreckt oder gestaucht.

    In speziellen Fällen wird die Parabel auch an der x-Achse gespiegelt (Bild). Dieses Beispiel siehst du im Bild für die Funktion $\hat{g}_{-2}(x)=-\frac{1}{2} \cdot x^2 $ mit dem negativen Parameter $p=-2$.

    Eine Spiegelung an der y-Achse wird so allerdings nicht bewirkt.