Parameter bei trigonometrischen Funktionen
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Grundlagen zum Thema Parameter bei trigonometrischen Funktionen
In diesem Video lernst Du die Auswirkungen von Parametern auf trigonometrische Funktionen kennen. Dabei findet die Sinusfunktion Anwendung, und dir wird Parameter für Parameter rechnnerisch und graphisch deren Einfluss vorgestellt. Auch eine kurze Wiederholung der Definition über Parameter findet in diesem Video statt.
Parameter bei trigonometrischen Funktionen Übung
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Beschreibe, bei welchem Parameter die Amplitude sich verändert.
TippsDie Amplitude ist definiert als der maximale Ausschlag einer trigonometrischen Funktion vom arithmetischen Mittel aus.
Bei $f(x) = a\cdot \sin(x)$ wird der Funktionswert mit $a$ multipliziert.
Zeichne dir für verschiedene Parameter die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem.
LösungWelche Auswirkungen haben die Parameter auf den Graphen der Funktion
$f(x)=a\cdot\sin(bx-d)+e$?
Dies ist eine trigonometrische Funktion mit einer Amplitude und einer Periode:
- Die Amplitude ist definiert als der maximale Ausschlag einer trigonometrischen Funktion vom arithmetischen Mittel aus. Dies ist in dem obigen Bild zu sehen.
- Die Periode ist erklärt als das $x$-Intervall, in welchem sich der Graph der trigonometrischen Funktion wiederholt. Zum Beispiel ist die Funktion $\sin(x)$ $2\pi$-periodisch.
Bei $\sin(x)$ ist die Amplitude $A=1$ und bei $a\cdot \sin(x)$ ist diese $A=|a|$.
Die Periode hingegen ändert sich in Abhängigkeit von $b$. Bei $\sin(x)$ ist die Periode $P=2\pi$ und bei $\sin(bx)$ ist diese $P=\frac{2\pi}{|b|}$.
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Gib an, welcher Parameter verändert wird.
TippsBei $f(x) = a\cdot \sin(x)$ wird der Funktionswert mit $a$ multipliziert. Das bedeutet, dass die Amplitude sich verändert.
Bei $f (x) = \sin(bx)$ wird die Variable $x$ mit $b$ multipliziert. Dies führt zu einer Veränderung der Periode.
Weder bei einer Veränderung von $d$ noch von $e$ verändert sich die Amplitude oder Periode.
LösungWenn bei der Funktion $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ die Parameter $a=b=1$ und $d=e=0$ sind, so erhält man den hier zu sehenden Verlauf der Sinusfunktion.
Hier nun die Erklärung zu den Funktionsgraphen von oben nach unten:
- Sei nun $b=1$ und $d=e=0$ und, zum Beispiel $a=2$, so erhält man den ersten Graphen: Die Amplitude ist größer $A=2$ als die der blauen Sinusfunktion, die Periode ist gleich.
- Sei $a=b=1$ und $d=0$, dann liegt eine Verschiebung entlang der y-Achse vor: nach oben (unten), wenn $e>0$ ($e<0$) ist. In diesem Beispiel ist $e=1$.
- Sei $a=1$ und $d=e=0$. Dieses Mal wird $b=\frac 12$ verändert. Die Amplitude bleibt gleich, jedoch ändert sich die Periode zu $P=4\pi$.
- Sei $a=b=1$ und $e=0$. Dann wird der Funktionsgraph entlang der x-Achse verschoben, nach rechts, wenn $d>0$, und nach links, wenn $d<0$ ist. In dem zweiten Bild ist $d=1$.
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Entscheide, welche der Funktionsgraphen durch eine Veränderung von $d$ entstanden sind.
TippsBei $\sin(x)+e$ wird $e$ zum Funktionswert addiert. Welche Verschiebung resultiert daraus?
Durch $\sin(x-d)$ verändern sich die Nullstellen. Welche Verschiebung resultiert daraus?
Du kannst dir eine Verschiebung wie einen Kopiervorgang vorstellen.
Beim Kopieren bleiben alle Längenverhältnisse gleich. Das bedeutet, dass sich weder die Periode noch die Amplitude verändern.
LösungBei der Funktion $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ bewirkt eine Veränderung des Parameters $d$ eine Verschiebung entlang der x-Achse. Diese erfolgt
- nach links, wenn $d<0$ und
- nach rechts, wenn $d>0$.
Somit können alle Graphen, bei welchen entlang der y-Achse verschoben wird, oder bei welchen sich die Amplitude oder Periode verändert, ausgeschlossen werden.
Der einzige Graph, welcher aus dem blauen, dem zur Sinusfunktion, durch Veränderung von $d$ hervorgeht, ist der violette.
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Leite jeweils die Amplitude und Periode der Funktion her.
TippsVerschiebungen entlang der Koordinatenachsen haben keine Auswirkung auf die Periode oder die Amplitude.
Bei $a\cdot \sin(x)$ wird der Funktionswert mit $a$ multipliziert. Dies entspricht einer Streckung oder Stauchung entlang der y-Achse.
$\sin(bx)$ entspricht einer Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse.
Die Periode bezieht sich auf die x-Achse, die Amplitude auf die y-Achse.
LösungBei der Funktion $f(x)=a\cdot (bx-d)+e$ kann die Veränderung der Parameter wie folgt zusammengefasst werden:
- Veränderung von $a$: Diese führt zu einer Veränderung der Amplitude zu $A=|a|$. Bei negativen $a$ wird der Verlauf der Funktion gespiegelt. Ist $|a|>1$, wird der Graph gestreckt und für $|a|<1$ gestaucht entlang der y-Achse.
- Veränderung von $b$: Diese führt zu einer Veränderung der Periode zu $P=\frac{2\pi}{|b|}$. In diesem Fall wird der Graph der Funktion entlang der x-Achse gestreckt für $|b|>1$ und gestaucht für $|b|<1$.
- Veränderung von $d$: Diese führt zu einer Verschiebung entlang der x-Achse. Die Periode und Amplitude werden nicht verändert.
- Veränderung von $e$: Diese führt zu einer Verschiebung entlang der y-Achse. Die Periode und Amplitude werden nicht verändert.
- $f(x)=\frac12\sin(x-4)$ hat die Amplitude $A=\frac12$ und die Periode $P=2\pi$.
- $g(x)=\frac12\sin(2x-4)$ hat die Amplitude $A=\frac12$ und die Periode $P=\pi$.
- $h(x)=2\sin(2x-4)+3$ hat die Amplitude $A=2$ und die Periode $P=\pi$.
- $k(x)=2\sin(\frac12x-4)+2$ hat die Amplitude $A=2$ und die Periode $P=4\pi$.
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Ergänze die Definition eines Parameters.
TippsBei der Funktionsgleichung $f(x)=\sin(x)$ ist $x$ eine Variable, also eine Veränderliche.
Bei der Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot \sin(x)$ ist $x$ eine Veränderliche. Der Parameter, zum Beispiel $a=2$, wird für $f(x)=2\cdot \sin(x)$ nicht verändert.
LösungWas ist ein Parameter?
Parameter, auch Formvariablen genannt, treten gemeinsam mit anderen Variablen wie $x$ und $y$ auf.
Sie sind beliebig frei wählbar, aber für konkrete Funktionsgleichungen fest.
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Bestimme die Funktionsgleichung der abgebildeten Funktion.
TippsDie Funktion ist nicht gespiegelt.
Die Amplitude ist der maximale Ausschlag der Funktion in Relation zum arithmetischen Mittel.
Das arithmetische Mittel ist in diesem Beispiel $1,\!5$.
LösungDa nur die Parameter $a$ und $e$ in der Gleichung vorkommen, kann man sich zunächst zur Bestimmung von $a$ die Amplitude anschauen. Diese ist $1,\!5$. Somit ist, da $a>0$, vorausgesetzt ist $a=1,\!5$.
Die Funktion ist um $1,\!5$ verschoben entlang der y-Achse nach oben verschoben. Somit ist $e=1,\!5$.
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet damit
$f(x)=1,\!5\cdot \sin(x)+1,\!5$.
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Leider keine Übungsblätter.
x-d muss in Klammern gesetzt werden, also (x-d), sonst wäre es Punkt vor Strich.