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Graphisches Ableiten 04:50 min

Textversion des Videos

Transkript Graphisches Ableiten

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist! Heute wirst du lernen, wie man aus dem Graphen einer Funktion den Graphen ihrer Ableitungsfunktion herleiten kann. Du wirst sehen, dass man dazu gar nicht die Funktionsgleichung benötigst. Du wirst in diesem Video also lernen, grafisch abzuleiten.

Steigung des Graphen f

Wie du sicherlich weißt, gibt die Ableitung an einer Stelle die Steigung der zugehörigen Funktion an dieser Stelle an. Dabei müssen wir verschiedene Sachverhalte betrachten:

Zunächst einmal ist die Steigung des Ursprungsgraphen f von besonderen Interesse. Ist die Steigung von f positiv, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion f Strich natürlich oberhalb der x-Achse, da die Steigung von f ja positiv ist. Natürlich gilt auch der umgekehrte Fall, ist die Steigung von f negativ, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion f Strich unterhalb der x-Achse.

Dies möchte ich an einem Beispiel erklären. Du siehst hier den Funktionsgraphen der Funktion f(x) = 4 x². Zunächst fällt der Graph bis zur Extremstelle x = 0. Danach steigt der Funktionsgraph an.

Wenn man nun den Graphen der Ableitungsfunktion f' anschaut, so sieht man, dass er bis zur Extremstelle x = 0 unterhalb der x-Achse verläuft und danach oberhalb der x-Achse verläuft. Dies ist deshalb der Fall, da der Graph der Ursprungsfunktion nach der Extremstelle ansteigt.

Extremstellen des Graphen f

Neben der Steigung sind auch die Extremstellen charakteristisch und helfen uns beim Zeichnen des Graphen der Ableitungsfunktion.

An jeder Extremstelle einer Funktion – also einem Hoch- oder Tiefpunkt – beträgt die Steigung 0. Deshalb hat an diesen Stellen die Ableitungsfunktion f' ihre Nullstellen.

Schauen wir uns dies einmal an einem Beispiel genauer an. Der rote Funktionsgraph stellt hier die Gleichung f(x) = x hoch 4 − 2x² dar. Der blaue Funktionsgraph stellt die dazugehörige Ableitungsfunktion f strich dar

Unsere Ursprungsfunktion hat drei Extremstellen. Schau einmal genau hin: Denn an genau diesen Stellen hat der Graph der Ableitungsfunktion seine Nullstellen.

Weißt du auch noch, warum? Richtig. Weil die Ableitungsfunktion f' die Steigung der Funktion f abbildet und die Steigung von f an Extremstellen null ist.

Indem du also die Steigung und Extremstellen einer Funktion beachtest, kannst du den Graphen ihrer Ableitungsfunktion zeichnen. Dies möchte ich dir nun abschließend an einem letzten Beispiel wiederholen.

Beispiel Graphen der Ableitungsfunktion zeichnen

Hier siehst du den Graphen einer gewöhnlichen Parabel. Die Funktionsgleichung interessiert uns beim grafischen Ableiten nicht. Welche Merkmale helfen uns nun aber dabei, die Parabel grafisch abzuleiten.

Als erstes müsste dir der Tiefpunkt der Parabel auffallen. An dieser Stelle hat die Ableitungsfunktion also einen Nullpunkt. Da die Steigung der Parabel links vom Tiefpunkt negativ ist, befinden sich die Funktionswerte der Ableitungsfunktion links der Nullstelle unterhalb der x-Achse.

Und da die Steigung der Parabel rechts vom Tiefpunkt positiv ist, befinden sich die Funktionswerte der Ableitungsfunktion rechts der Nullstelle überhalb der x-Achse.

Da es sich beim Graphen der Ursprungsfunktion um eine Parabel handelt - also um eine quadratische Funktion – , ist der Graph der Ableitungsfunktion eine Gerade – also eine lineare Funktion.

Nun kennst du die beiden wichtigsten Sachverhalte auf die du beim graphischen differenzieren achten musst: die Steigung und die Extremstellen der Ursprungsfunktion. Wenn du die Regeln befolgst, so wirst du den Graph der Ableitungsfunktion sicher zeichnen können.

Ich hoffe, dass es dir Spaß gemacht hat ! Wir sehen uns bestimmt bald wieder.

4 Kommentare
  1. Unter der Überschrift "Graphisches Ableiten" erwarte ich eigentlich, dass hier ausschließlich Aspekte des Graphen behandelt werden.
    Nur so können die zentralen Aspekte dieses Themas klar herausgearbeitet werden.
    Die hier genannten Beispiele mit konkreten Funktionstermen sind leider nicht optimal für dieses Thema geeignet.
    Statt dessen sollte man Kurvenverläufe wählen, deren Funktionsterme völlig unbekannt sind.
    Beste Grüße aus Bremen
    Jan Arndt

    Von Itslearning Nutzer 2535 46920, vor 11 Monaten
  2. Hallo Felix G.,
    entschuldige bitte die sehr verspätete Antwort!
    In diesem Video geht es um das graphische Ableiten, sprich wie man sich überlegen kann, wie der Graph der Ableitungsfunktion aussieht, wenn man nur den Ursprungsgraphen gegeben hat. Bestimmtes Vorwissen, was zu einem früheren Zeitpunkt in der Schule bereits behandelt wurde, wird dabei vorausgesetzt.
    Zur Steigung einer Geraden gibt es bei uns noch andere Videos. Schau doch zum Beispiel mal hier rein: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/steigung-proportionaler-funktionen-steigungsdreiecke
    Oder auch hier:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/lineare-funktionen-steigung-3
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Florian H., vor 11 Monaten
  3. Du hättest die Steigung der Geraden erklären sollen, d.h., wie man darauf kommt?

    Von Felix G., vor etwa einem Jahr
  4. Danke hat mir sehr geholfen😊

    Von Regischu, vor mehr als einem Jahr

Graphisches Ableiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphisches Ableiten kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Anzahl der Nullstellen von $f'$.

    Tipps

    Die Steigung von $f$ bestimmt das Vorzeichen von $f'$:

    $\begin{array}{c|c} f(x)&f'(x) \\ \hline \text{positive Steigung}&f'(x)>0 \\ \hline \text{negative Steigung}&f'(x)<0 \end{array}$

    Die Steigung in einem Extrempunkt ist immer $0$. Dort hat die Ableitungsfunktion also eine Nullstelle.

    Zähle die Anzahl der Extrempunkte.

    Lösung

    Da die Steigung von $f$ an jeder Stelle den Verlauf von $f'$ bestimmt, sind Nullstellen von $f'$ ein ganz besonderer Fall.

    Denn $f'$ besitzt nur dort Nullstellen, wo $f$ eine Steigung von $0$ aufweist.

    Das ist nur in Extrempunkten der Fall. Wie wir sehen, besitzt der Graph von $f$ genau zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt. Damit muss der Graph der Ableitungsfunktion genau an diesen Stellen Nullstellen besitzen.

  • Vervollständige die Aussagen zum Graphen der Ableitungsfunktion.

    Tipps

    Die Steigung von $f$ bestimmt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion $f'$:

    $\begin{array}{c|c} f(x)&f'(x) \\ \hline \text{positive Steigung}&f'(x)>0 \\ \hline \text{negative Steigung}&f'(x)<0 \end{array}$

    Bei Extrempunkten der Ausgangsfunktion weist die Ableitungsfunktion immer eine Nullstelle auf.

    Lösung

    Im Bild siehst du die Ausgangsfunktion und ihre dazugehörige Ableitungsfunktion.

    Der Graph der Ableitung ist eine Gerade. Links von der y-Achse verläuft sie im negativen Bereich, da die Ausgangsfunktion dort eine negative Steigung besitzt.

    Im Ursprung des Koordinatensystems hat der Graph von $f$ einen Tiefpunkt, also dort ist die Steigung $0$. Deshalb besitzt $f'$ dort eine Nullstelle.

    Nach dem Tiefpunkt wird die Steigung der quadratischen Funktion positiv, weshalb auch $f'$ ab dort im positiven Bereich verläuft.

  • Bestimme den Graphen der Ableitungsfunktion.

    Tipps

    Der Zusammenhang zwischen der Steigung der Ausgangsfunktion und dem Graphenverlauf der Ableitungsfunktion lautet:

    $\begin{array}{c|c} f(x)&f'(x) \\ \hline \text{positive Steigung}&f'(x)>0 \\ \hline \text{negative Steigung}&f'(x)<0 \end{array}$

    Bei einem Extrempunkt der Ausgangsfunktion besitzt die Ableitungsfunktion eine Nullstelle.

    Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=(x-1)^2+1$. Diese könntest du auch alternativ rechnerisch ableiten.

    Lösung

    Der Graph der Ableitungsfunktion gibt uns Informationen über die Steigung und Extrema der Ausgangsfunktion.

    Da die Ausgangsfunktion $f$ einen Tiefpunkt hat, muss der Graph der Ableitung dort eine Nullstelle besitzen. Das trifft nur auf drei der Graphen zu. Übrig bleiben also nur noch die Graphen 1, 3 und 4.

    Das nächste Kriterium ist die Steigung von $f$. Bis zum Tiefpunkt fällt $f$, d.h., dort müsste seine Ableitung im negativen Bereich verlaufen.

    Das trifft nur auf den Graphen 3 zu. Was wir hier gemacht haben, nennt sich grafisches Ableiten: Wir bestimmen den Graphen der Ableitungsfunktion allein anhand des Verlaufes der Ursprungsgraphen, ohne zu rechnen.

    Alternativ kannst du natürlich auch rechnen. Wir kennen die Funktionsgleichung $f(x)=(x-1)^2+1$, was man beispielsweise an der Lage des Scheitelpunktes erkennen. Diese lösen wir jetzt mit Hilfe der zweiten binomischen Formel ein wenig auf und leiten sie dann ab:

    $f(x)=x^2 - 2x + 1 + 1$

    $f'(x)=2x-2$.

    Da der Ableitungsgraph einer Parabel immer eine Gerade ist, können wir den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen. Dieser müsste bei $(0|-2)$ liegen, was nur auf den dritten Graphen zutrifft.

  • Ermittle die richtigen Eigenschaften von $f'$ anhand des vorgegebenen Graphens $f$.

    Tipps

    Die Steigung von $f$ bestimmt das Vorzeichen von $f'$:

    $\begin{array}{c|c} f(x)&f'(x) \\ \hline \text{positive Steigung}&f'(x)>0 \\ \hline \text{negative Steigung}&f'(x)<0 \end{array}$

    Eine Definitionslücke des Ausgangsgraphen bedeutet ebenfalls eine Definitionslücke beim Ableitungsgraphen.

    Ob die Ableitungsfunktion wächst oder nicht, kannst du gedanklich nachvollziehen, wenn du eine Tangente an den Graphen legst und die Steigung der Tangente betrachtest.

    Der Graph gehört zu der Funktion

    $f(x)=\frac{1}{x}$.

    Die Ableitungsfunktion lautet

    $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$.

    Lösung

    Du siehst im Bild den Graphen zur Ableitungsfunktion $f'$.

    Er verläuft komplett unterhalb der x-Achse, also im negativen Bereich. Das ist deshalb so, weil der Ausgangsgraph permanent fällt, d.h., immer eine negative Steigung aufweist.

    Die Definitionslücke behält der Ableitungsgraph auch bei.

    Der Graph zu $f$ besitzt - auch wenn es vielleicht so aussehen mag - keinerlei Extrempunkte. Folglich kann der Ableitungsgraph auch keine Nullstellen haben.

    Der Graph von $f'$ fällt zunächst und steigt danach, was man gedanklich nachvollziehen kann, wenn man eine Tangente an den Graphen des Ursprungsgraphen legt und die Steigung der Tangente betrachtet. Der Anstieg ist zunächst relativ gering und wird sehr schnell größer, je weiter man sich von links der Definitionslücke nähert. Der Anstieg wird dann wieder geringer, je weiter man nach rechts geht.

  • Entscheide, in welchen Diagrammen die Funktion und ihre Ableitungsfunktion dargestellt sind.

    Tipps

    Bei Extrempunkten der Ausgangsfunktion besitzt die Ableitungsfunktion immer eine Nullstelle.

    Fällt der Graph von $f$, verläuft der Ableitungsgraph im negativen Bereich.

    Zwei der angegebenen Diagramme zeigen eine Funktion und ihre Ableitungsfunktion.

    Lösung

    Gehen wir die Graphen der Reihe nach durch.

    Beim ersten Bild ist die Parabel nach unten geöffnet. Ihre Steigung bis zum Hochpunkt ist positiv, weshalb der Ableitungsgraph in diesem Bereich noch positiv verlaufen müsste. Da er aber im negativen Bereich ist, kann das kein Ableitungsgraph zur Ursprungsfunktion sein.

    Beim zweiten Bild ist es ähnlich: Die Steigung der Parabel ist bis zum Tiefpunkt negativ. Hier müsste der Ableitungsgraph also im negativen Bereich verlaufen. Da er sich im positiven Bereich befindet, ist auch das kein Ableitungsgraph zur Ursprungsfunktion.

    In Bild $3$ sehen wir eine negative Steigung der Parabel bis zum Tiefpunkt. Dort verläuft die Gerade im negativen Bereich. Ab dem Tiefpunkt beginnt die Parabel positiv zu steigen und auch die Gerade verläuft ab hier im positiven Bereich. So weit so gut. Auch die Nullstelle, die der Ableitungsgraph bei jedem Extrempunkt der Ausgangsfunktion besitzen muss, ist an der richtigen Stelle vorhanden. Dies ist der Ableitungsgraph zur vorgegebenen quadratischen Funktion.

    Im letzten Bild verhält es sich genauso wie in Bild $3$. Diesmal sind Parabel und Gerade nur weiter nach rechts verschoben. Es sind also wieder die Graphen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion dargestellt.

  • Ordne den Funktionsgraphen den Graph ihrer Ableitungsfunktion zu.

    Tipps

    Ein Hinweis zum Graphenverlauf der Ableitungsfunktion im Bezug auf die Steigung $m$ der Ausgangsfunktion:

    $\begin{array}{c|c} f(x)&f'(x) \\ \hline \text{positive Steigung}&f'(x)>0 \\ \hline \text{negative Steigung}&f'(x)<0 \end{array}$

    Bei einem Extrempunkt der Ausgangsfunktion besitzt die Ableitungsfunktion eine Nullstelle.

    Hier ein Beispiel für eine Parabel und die Gerade ihrer Ableitungsfunktion.

    Lösung

    Fangen wir mit dem einfachsten Bild an: die Parabel, die nach unten geöffnet ist. Ihr Partner muss die in ihrer Steigung fallende Gerade sein, weil Geraden immer die Ableitungsgraphen von Parabeln bilden.

    Als nächstes die Funktion, die nur steigt und durch den Ursprung verläuft. Da ihre Steigung immer positiv ist, muss der Graph ihrer Ableitung komplett im positiven Bereich liegen. Das trifft nur auf die Parabel zu.

    Nun kommen wir zu der Funktion, die erst einen Hochpunkt und kurz darauf einen Tiefpunkt im Ursprung besitzt. Ihr Ableitungsgraph muss also an diesen Stellen Nullstellen aufweisen. Es bleibt nur noch ein Graph mit zwei Nullstellen übrig.

    Das letzte Pärchen ergibt sich von selbst: Übrig bleibt die Ausgangsfunktion in Form eines W, mit drei Extrempunkten. Der letzte Partner, der in Frage kommt, besitzt passend dazu drei Nullstellen.

    Du kannst statt der Nullstellen auch die Steigung der Ausgangsfunktion mit der Lage des Ableitungsgraphen an diesen Stellen vergleichen, denn diese verhalten sich immer so:

    $\begin{array}{c|c} f(x)&f'(x) \\ \hline \text{positive Steigung}&f'(x)>0 \\ \hline \text{negative Steigung}&f'(x)<0 \end{array}$