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Graphisches Ableiten – Übung (2)

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Mathe-Team
Graphisches Ableiten – Übung (2)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Graphisches Ableiten – Übung (2)

Willkommen zum zweiten Übungsvideo, in dem ich dir zeigen möchte, wie du eine Winkelfunktion ( auch: trigonmetrischen Funktion ) graphisch ableitest. Dazu wiederholen wir kurz fünf wichtige Regeln zum Ableiten. Anschließend leiten wir die Funktionen sin(x) und cos(x) gemeinsam graphisch ab. Kannst du dich noch daran erinnern, wie die Ableitungen dieser beiden Funktionen aussehen. Oder hattest du das Thema vielleicht noch gar nicht. Dann lernst du ja im Video – ganz nebenbei – noch etwas zu Winkelfunktionen. Viel Spaß dabei!

Transkript Graphisches Ableiten – Übung (2)

Hallo! Heute üben wir gemeinsam, wie du aus dem Graphen einer Winkelfunktion die dazu gehörige Ableitungsfunktion zeichnen kannst.

Regeln beim Ableiten

Beim Ableiten musst du dir allgemein folgendes merken:

  1. An den Extremstellen der Ursprungsfunktion f(x) ist die Steigung gleich null. Daher hat die Ableitungsfunktion f'(x) hier Nullstellen.
  2. An den Wendestellen der Ursprungsfunktion f(x) ist die Steigung maximal bzw. minimal. Daher hat die Ableitungsfunktion f'(x) hier Extremstellen.
  3. Eine positive Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion führt bei der Ableitungsfunktion zu einem positiven y-Wert an dieser Stelle.
  4. Eine negative Steigung an einer Stelle der Ursprungsfunktion führt bei der Ableitungsfunktion zu einem negativen y-Wert an dieser Stelle.
  5. Die Steigung der Ursprungsfunktion an der Stelle x1, ist der Funktionswert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle x1.

Ableitung Sinus-Funktion

Als Beispiel schauen wir uns einmal den Graphen der Sinus-Funktion an. Diese Funktion ist, wie du sicherlich weißt, periodisch, mit einer Periodenlänge von 2 Pi. Da die Sinus-Funktion an den Stellen minus Pi halbe, bei Pi Halbe und bei 1,5 Pi Extremstellen hat, besitzt die zugehörige Ableitungsfunktion an diesen Stellen ihre Nullstellen.

Die Wendestellen des Graphen der Sinusfunktion sind minus Pi, 0, plus pi und 2 pi. Dort sind dann bei der zugehörigen Ableitungsfunktion die Extremstellen.

Nun musst du nur noch die Steigungen der Ursprungsfunktion f(x) = sin(x) anschauen. Ist die Steigung positiv, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse. Ist die Steigung negativ, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse.

Es entsteht nun folgender Graph. Schau ihn dir genau an. Fällt dir vielleicht etwas auf? Es ist der Graph der Kosinus-Funktion.

Es gilt also: Die Ableitungsfunktion der Sinus-Funktion ist die Kosinus-Funktion. Oder anders ausgedrückt: f(x) = sin(x) ist f'(x) = cos(x).

Ableitung Kosinus-Funktion

Dann wollen wir mal schauen, ob die Kosinus-Funktion genauso einfach differenziert werden kann. Dies machen wir aber nun etwas schneller. Schau dir erst noch einmal den Graphen der Kosinus-Funktion an.

Bei minus Pi, bei 0, plus pi und bei 2 pi sind hier die Extremstellen, also hat die Ableitungsfunktion dort die Nullstellen.

Die Wendestellen der Kosinus-Funktion befinden sich bei minus Pi halbe, bei Pi Halbe und bei 1,5 Pi, dort hat unsere Ableitungsfunktion die Extremstellen.

Nun musst du nur noch die Steigungen der Ursprungsfunktion f(x) = cos(x) anschauen. Ist die Steigung positiv, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse. Ist die Steigung negativ, dann verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse.

Schauen wir uns unsere Ableitungsfunktion zur Kosinus-Funktion an, so kann man folgendes erkennen: Es handelt sich um eine Sinus-Funktion die an der x-Achse gespiegelt wurde. Somit gilt: Die Ableitung der Funktion f(x) = cos(x) ist f'(x) = -sin(x).

Zusammenfassung

So, das war es mal wieder für heute. Wir haben gelernt, dass man auch Winkelfunktion graphisch ableiten kann. Dabei gilt die Merkregel in Kurzform: sin'(x) = cos(x) und cos'(x) = -sin(x)

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag! Wir sehen uns bestimmt bald wieder!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Hallo Hangu,
    du hast damit vollkommen recht. f''''(x) ist dann wieder sin(x).
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa einem Jahr
  2. Wuerde man, wenn man weiter ableitet wieder bei
    f(x)=(sin)x ankommen? Also so meine ich:
    f(x)=(sin)x
    f'(x)=(cos)x
    f''(x)=-(sin)x
    f'''(x)=-(cos)x
    f''''(x)=(sin)x

    Von Hangu, vor etwa einem Jahr
  3. Hallo Swetlana C.,
    du hast völlig Recht damit, dass der Sinus zwischen π und 3/4π eine negative Steigung hat und GERADE DESHALB verläuft die Ableitungsfunktion, also der Kosinus dort unterhalb der x-Achse.
    Die Ableitungsfunktion gibt uns ja die Steigung einer Funktion. Das bedeutet, dass uns die Funktionswerte der Ableitungsfunktion die Steigung der Funktion liefern. Zum Beispiel hat der Kosinus deshalb auch eine Nullstelle bei 1/2π: Der Sinus hat bei 1/2π einen Hochpunkt, also eine Steigung von 0. Der Funktionswert seiner Ableitungsfunktion, dem Kosinus muss also 0 und das ist er ja auch: Der Kosinus hat bei 1/2π eine Nullstelle, schneidet also die x-Achse, hat dort also den Funktionswert 0.
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Florian H., vor fast 2 Jahren
  4. Zwischen Pi und 3/4 Pi ist die Steigung der Sinus-Fkt. doch aber negativ! Weshalb verläuft dann die Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse? Laut der Definition im Video müsste sie ja nun oberhalb verlaufen. :/

    Von Swetlana C., vor fast 2 Jahren

Graphisches Ableiten – Übung (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphisches Ableiten – Übung (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Ableitungsgraphen der Sinusfunktion.

    Tipps

    Bei Extremstellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Nullstellen.

    Bei Wendestellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Extremstellen.

    Die Ableitungsfunktion ist $f'(x)=\cos(x)$.

    Lösung

    Es gibt einige Regeln und Merksätze, die man beim graphischen Ableiten beachten sollte.

    Unsere Ausgangsfunktion besitzt bei $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ und $\frac32\pi$ Extremstellen. Dort finden wir die Nullstellen des Ableitungsgraphen.

    Außerdem verläuft überall dort, wo der Ausgangsgraph eine positive Steigung hat, der Ableitungsgraph im positiven Wertebereich.

    Für eine negative Steigung der Ausgangsfunktion verläuft der Ableitungsgraph dort im negativen Wertebereich.

    An Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen. In diesem Beispiel wäre eine Extremstelle z.B. bei $x=0$.

    Diese Kriterien treffen auf den Graphen im zweiten Bild zu. Es handelt sich dabei um den Graphen der Kosinusfunktion. Es gilt also $f'(x)=\cos(x)$.

  • Benenne markante Punkte des Ableitungsgraphen.

    Tipps

    Die Extremstellen der Ausgangsfunktion liegen bei $-\pi$, $0$ und $\pi$.

    Bei Extremstellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Nullstellen.

    Die Wendestellen der Ausgangsfunktion liegen bei $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$.

    Bei Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen.

    Lösung

    Betrachten wir markante Punkte der Ausgangsfunktion.

    • Tiefpunkte bei $x=-\pi$ und $x=\pi$
    • Hochpunkt bei $x=0$
    An diesen Stellen muss der Ableitungsgraph Nullstellen aufweisen.

    Außerdem sieht man beim Ausgangsgraph

    • Wendestellen bei $x=-\frac{\pi}{2}$ und $x=\frac{\pi}{2}$
    Hier finden wir Extremstellen des Ableitungsgraphen.

    Außerdem ist die Steigung des Ausgangsgraphen

    • zwischen dem Tief- und Hochpunkt positiv und
    • zwischen dem Hoch- und Tiefpunkt negativ.
    In diesem Bereichen verläuft der Ableitungsgraph analog dazu im positiven bzw. negativen Wertebereich, also über bzw. unter der $x$-Achse.

    Mit Hilfe all dieser markanten Stellen lässt sich der Graph im Bild als Ableitungsgraph zeichnen. Wenn man ihn genau betrachtet sieht man, dass es sich um den an der $x$-Achse gespiegelten Graphen der Sinusfunktion handelt.

    Es gilt $f'(x)=-\sin(x)$.

  • Entscheide, bei welchem Graphen es sich um den der Ableitungsfunktion handelt.

    Tipps

    Bei Extremstellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Nullstellen.

    Bei Wendestellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Extremstellen.

    Der Funktionswert der Ableitung gibt dir immer die Steigung der Ausgangsfunktion an der jeweiligen Stelle an.

    Die Ableitung von $f$ führt dich wieder zu einer dir bekannten Winkelfunktion.

    Lösung

    Wählen wir einige markante Punkte der gegebenen Funktion aus, um daraus den Graphen der Ableitungsfunktion zu ermitteln.

    Der Ausgangsgraph besitzt Extremstellen bei $-\pi$, $0$ und $\pi$. Hier müsste der Ableitungsgraph Nullstellen aufweisen. Das trifft auf die ersten drei Graphen zu, der vierte scheidet bereits hier aus.

    Nach dem ersten Hochpunkt im Bild, fällt der Graph. Sein Ableitungsgraph muss also nach der ersten Nullstelle im negativen Bereich verlaufen. Das trifft auf den zweiten Graphen und bedingt auf den ersten Graphen zu. Der dritte scheidet aus.

    Untersuchen wir nun die Wendestellen. Bei $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$ finden wir Wendestellen der Ausgangsfunktion. An diesen Stellen müssen sich Extremstellen des Ableitungsgraphen finden lassen.

    Diese finden wir tatsächlich nur beim zweiten Graphen. Er ist der Ableitungsgraph zu $f$.

    Vielleicht kennst du ihn - es ist der Graph der Sinusfunktion!

    Merke:

    • $f(x)=-cos(x)$
    • $f'(x)=sin(x)$
  • Zeige markante Punkte des Ableitungsgraphen.

    Tipps

    In dem Bild ist der Funktionsgraph zur Funktion $f(x)=-\sin(x)$ zu sehen.

    Der normale Wertebereich bei den Winkelfunktionen $\sin$ und $\cos$ ist $-1\le y \le +1$

    Bei Extremstellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Nullstellen.

    Bei Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen.

    Die Ableitungsfunktion lautet $f'(x)=-\cos(x)$.

    Lösung

    Im Bild siehst du den Ableitungsgraphen. Er gehört zu $f'(x)=-cos(x)$.

    Wenn wir uns markante Punkte des Ausgangsgraphen betrachten, können wir Schlüsse über den Ableitungsgraphen ziehen.

    Gehen wir die Lücken der Reihe nach durch.

    Zuerst wird nach der ersten positiven Nullstelle gefragt. Ein Ableitungsgraph besitzt immer dort eine Nullstelle, wo sein Ausgangsgraph eine Extremstelle besitzt. Wir müssen also nach der ersten positiven Extremstelle von $f$ suchen.

    Diese liegt exakt zwischen den beiden Nullstellen $0$ und $\pi$. Daher ist die Extremstelle bei $x=\frac{\pi}{2}$.

    Als nächstes wird nach der ersten positiven Extremstelle gefragt. Sie muss dort liegen, wo der Ausgangsgraph eine Wendestelle aufweist. Diese liegt bei $x=\pi$. Bei den Winkelfunktionen liegen die Wendepunkte auf der $x$-Achse.

    In der nächsten Lücke wird die vom Ursprung aus erste negative Wendestelle des Ableitungsgraphen gesucht. Da diese, wie gerade beschrieben, bei einer Nullstelle liegt, muss es sich um die zur ersten positiven Nullstelle analogen Stelle $x=-\frac{\pi}{2}$ handeln.

    Als letztes möchte man die Koordinaten des Tiefpunktes bestimmen. Die Wendestelle des Ausgangsgraphen liegt bei $x=0$, also muss hier die gesuchte Extremstelle bzw. der Tiefpunkt der Ableitungsfunktion liegen.

    Da es ein Tiefpunkt ist, ist der Funktionswert $-1$.

    Die gesuchten Koordinaten sind damit $TP~(0|-1)$.

  • Gib wichtige Regeln zum graphischen Ableiten wieder.

    Tipps

    Du kannst alle Regeln mit Hilfe des Bildes herausfinden. Der rote Funktionsgraph gehört zu der Funktion $f(x)=\sin(x)$ und der blaue Funktionsgraph gehört zu der Ableitungsfunktion $f'(x)=\cos(x)$.

    Der Funktionswert der Ableitung gibt dir immer die Steigung der Ausgangsfunktion an der jeweiligen Stelle an.

    Die Steigung ist in Extrempunkten minimal, in Wendepunkten maximal.

    Lösung

    Sehen wir uns das Bild mit den zwei Funktionsgraphen genauer an.

    Der Funktionsgraph von $f(x)=\sin(x)$ ist rot und der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion blau $f'(x)=cos(x)$.

    Man sieht, dass sich für alle Extremstellen von $f$ Nullstellen von $f'$ finden lassen.

    Und an allen Wendestellen von $f$ ($0,\pi,2\pi$,...) besitzt die Ableitung seine Extremstellen.

    Zwischen dem Hoch- und Tiefpunkt fällt der rote Graph von $f$. In diesem ganzen Bereich verläuft die blaue Ableitungsfunktion im negativen Bereich, also unter der $x$-Achse.

    Dasselbe gilt umgekehrt, bzw. für jede Steigung, die der Graph der Ausgangsfunktion besitzt. Man kann sagen:

    • bei positiver Steigung $f(a) \to f'(a)>0$
    • bei negativer Steigung $f(a) \to f'(a)<0$
    • für jede Steigung $a$ bei $f(x_1) \to f'(x_1) = a$
  • Prüfe die Aussagen über den Graphen der zweiten Ableitung.

    Tipps

    Bei Extremstellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Nullstellen.

    Bei Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen

    Der Funktionswert der Ableitung gibt dir immer die Steigung der Ausgangsfunktion an der jeweiligen Stelle an.

    Du siehst den Graphen der Funktion $f(x)=\cos(x)$. Die Ableitungsfunktionen lauten $f'(x)=-\sin(x)$ und $f''(x)=-\cos(x)$.

    Lösung

    Wir wählen markante Punkte des Ausgangsgraphen und leiten gedanklich zwei Mal ab.

    Beginnen wir mit dem Hochpunkt bei $(0|1)$. Leiten wir einmal ab, findet sich hier eine Nullstelle. Wir wissen, dass die Nullstellen bei normalen Winkelfunktionen gleichzeitig Wendestellen sind. Das heißt, beim erneuten Ableiten wird hier wieder eine Extremstelle entstehen.

    Vor dem Hochpunkt steigt der Graph der Ausgangsfunktion. Also ist der Graph der Ableitung vor dieser Nullstelle im positiven, danach im negativen Bereich. Innerhalb dieser Nullstelle (Wendestelle) ist die Steigung der ersten Ableitung also negativ, weshalb der Graph der zweiten Ableitung hier im negativen Bereich verläuft. Wir haben hier also einen Tiefpunkt bei $(0|-1)$.

    Von diesem Punkt aus können wir uns nun den restlichen Graphen zusammenbauen (Bild).

    Da in die Funktionsgleichung keine weiteren Parameter eingebaut sind, verändert sich die Amplitude beim Ableiten nicht. Der Graph wird auch nicht gestreckt oder gestaucht (was kürzere bzw. längere Intervalle zwischen zwei Hoch- bzw. Tiefpunkten zur Folge hätte).

    Aufgrund dieses Wissens kann man sagen, dass der Abstand zwischen zwei Extremstellen $\pi$ ist. Somit ist der Graph der zweiten Ableitung nichts weiter als eine Spiegelung des Ausgangsgraphen an der $x$-Achse.

    Merke:

    • $f(x)=cos(x)$
    • $f'(x)=-sin(x)$
    • $f''(x)=-cos(x)$
    Die restlichen Aussagen lassen sich jetzt viel einfacher treffen, denn der Graph der zweiten Ableitung besitzt

    • zwei Hochpunkte
    • vier Nullstellen und
    • verläuft größtenteils im positiven Bereich in dem Intervall $[-5,5]$
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