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Differenzenquotient bestimmen 05:52 min

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Transkript Differenzenquotient bestimmen

Und Johnny Maths ist mal wieder unterwegs. Ein neuer Fall, im wahrsten Sinne des Wortes. Damit auch jeder Sprung wirklich perfekt gelingt, wird seine Geschwindigkeit genau gemessen und dann analysiert. Für die Analyse muss der Differenzenquotient bestimmt werden. Aber was ist der Differenzenquotient denn überhaupt? Schauen wir uns dazu diesen Graphen an. Dieser ist keine Gerade, wir können die Steigung also nicht direkt angeben und sie ist auch nicht an jeder Stelle gleich. Um trotzdem eine Annäherung an die Steigung zu bekommen, nehmen wir uns den Differenzenquotienten zur Hilfe. Dieser berechnet die mittlere Änderungsrate. Die mittlere Änderungsrate ist in dem Fall die Steigung einer Sekante. Wollen wir zum Beispiel eine Annäherung der Steigung zwischen DIESEN beiden Punkten berechnen, so zeichnen wir uns zunächst eine Sekante durch die beiden Punkte. Nun haben wir eine Gerade, von der wir die Steigung mithilfe der beiden Schnittpunkte bestimmen können. Haben wir zwei Punkte (x0 I y0) und (x1 I y1) gegeben, so können wir die Steigung mithilfe dieser Formel berechnen. Da der y-Wert durch den Funktionswert der zugehörigen Funktion beschrieben werden kann, können wir dies auch so schreiben. Und das nennen wir dann den Differenzenquotienten D in dem Intervall zwischen x0 und x1. Wir haben also einen Quotienten DIESER beiden Differenzen. Deswegen nennen wir ihn auch Differenzenquotienten. Er entspricht also DIESEM Steigungsdreieck. Betrachten wir doch nun einmal den Graphen, der den Beginn des Fallschirmsprungs beschreibt. Vor dem Springen ist die Geschwindigkeit natürlich bei 0, dann steigt sie aber schnell an, bis sie bei der höchsten Geschwindigkeit angekommen ist. Wir wollen nun eine Annäherung für die Steigung zwischen x0=10 und x1 = 35 finden. Die Funktionswerte f von x0 und f von x1 können wir hier direkt ablesen. f von x0 liegt hier und ist gleich 50. f von x1 liegt hier und beträgt 95. So haben wir die Werte für x0 und f von x0 und die Werte von x1 und f von x1. Wir können diese nun in die Gleichung für den Differenzenquotienten einsetzen. Was passiert denn, wenn wir für x1 einen anderen Wert ausgewählt hätten? Zum Beispiel DIESEN hier, der noch weiter von x0 entfernt liegt? Der zugehörige Funktionswert für x2 ist 100. Rechnen wir nun den Differenzenquotienten aus so erhalten wir eine ganz andere Steigung. Dies liegt daran, dass wir einen weiteren Abstand ausgewählt haben. Schauen wir uns dies doch einmal am Graphen an. Dazu zeichnen wir zunächst beide Sekanten ein. Wir sehen, dass DIESE Sekante viel weiter von dem ursprünglichen Graphen entfernt ist als DIESE. Je näher man die Punkte wählt, desto näher ist man also auch an der tatsächlichen Steigung des Graphens. Können wir die Werte an dem Graphen nicht einfach ablesen, so können wir uns die Funktionsgleichung zur Hilfe nehmen. Nehmen wir dazu als Beispiel einmal die Funktion f von x gleich x zum Quadrat. Wir wollen den Differenzenquotienten im Intervall [2; 5] bestimmen. x0 ist also gleich 2...und x1 ist gleich 5. Den Differenzenquotienten berechnen wir dann, indem wir f von 5 minus f von 2 geteilt durch 5 minus 2 rechnen. Das ist also 5 zum Quadrat minus 2 zum Quadrat geteilt durch 5 minus 2. Rechnen wir das aus, so erhalten wir 21 geteilt durch 3 und das sind 7. Der Differenzenquotient in diesem Intervall ist also gleich 7. Fassen wir das noch einmal zusammen. Der Differenzenquotient berechnet die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x0; x1]. Diesen verwenden wir vor allem dann, wenn wir eine Funktion gegeben haben, bei der die Steigung nicht immer gleichbleibend ist. Der Differenzenquotient zwischen den Stellen x0 und x1 beschreibt dann die Steigung der Sekante zwischen den Punkten. Wir rechnen D ist gleich f von x1 minus f von x0 geteilt durch x1 minus x0. Je kleiner das gewählte Intervall, desto mehr nähert sich die Steigung der Sekante an die tatsächliche Steigung des Graphens in einem Punkt. Konnte Johnny seinen Fall lösen? Was ein eiskalter Typ!

Differenzenquotient bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Differenzenquotient bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne den Differenzenquotienten.

    Tipps

    Der Differenzenquotient ist die Steigung der Gerade im Bild.

    Die Steigung $m$ einer Gerade berechnest du mit einem Steigungsdreieck:

    $ m = \frac{\Delta_y}{\Delta_x} $

    Die Funktionswerte werden auf der $y$-Achse abgetragen.

    Lösung

    Jeder Differenzenquotient einer Funktion ist die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte des Funktionsgraphen. Der Funktionsgraph ist die Menge aller Punkte $(x|y)$, für die gilt: $y=f(x)$. Die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_0|f(x_0))$ und $(x_1|f(x_1))$ findest du mit dem Steigungsdreieck heraus: Du berechnest zuerst die Differenz der $y$-Werte $\Delta_y =y_1-y_0$ und die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Der Quotient dieser Differenzen ist der Differenzenquotient oder die Steigung der Sekante:

    $D_{[x_0;x_1]} = \frac{f(x_1) -f(x_0) }{x_1-x_0}$

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

    Eine Gerade durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen heißt Sekante.

    Nur bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich.

    Lösung

    Folgende Sätze sind richtig:

    • „Die Steigung einer Geraden ... ist an jeder Stelle gleich.“ Denn eine Gerade (die nicht parallel zur $y$-Achse verläuft) wird durch eine Funktion der Form $f(x)=mx+b$ beschrieben. Die Steigung der Geraden ist die Zahl $m$. Für beliebige Stellen $x_0$ und $x_1$ ist der Differenzenquotient $D_{[x_0;x_1]} = \frac{(mx_1+b)-(mx_0+b)}{x_1-x_0} =m$.
    • „Die mittlere Änderungsrate einer nicht-linearen Funktion ... ist nicht an jeder Stelle gleich.“ Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente. Sie ist genau bei linearen Funktionen konstant, denn deren Funktionsgraph ist eine Gerade. Die Steigung $m$ der Gerade ist der Differenzenquotient bzw. die mittlere Änderungsrate.
    • „Die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_0|f(x_0))$ und $(x_1|f(x_1))$ ... ist der Differenzenquotient $D_{[x_0;x_1]}$ von $f$.“ Dies ist genau die Definition des Differenzenquotienten.
    • „Der Zähler des Differenzenquotienten $D_{[x_0;x_1]}$ ... ist $f(x_1)-f(x_0)$.“ Der Differenzenquotient ist der Quotient der Differenzen der Funktionswerte $\Delta_y$ und der zugehörigen Werte der Variablen $\Delta_x$. Im Zähler des Differenzenquotienten steht also $\Delta_y=y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0)$.
    • „Je näher die Stellen $x_0$ und $x_1$ beieinander liegen, ... desto näher liegt die Sekante an der Tangente.“ Die Sekante verläuft durch zwei Punkte des Funktionsgraphen. Nähert man die beiden Punkte einander an, bis sie nur noch ein Punkt sind, so wird aus der Sekante die Tangente dieses Punktes.
  • Bestimme die Differenzenquotienten.

    Tipps

    Der Differenzenquotient $D_{x_0;x_1}$ ist die Steigung der Geraden durch die Punkte $(x_0|f(x_0))$ und $(x_1|f(x_1))$.

    Im Zähler des Differenzenquotienten steht $\Delta_y$.

    Bei dieser Funktion ist

    $D_{1;2} = \frac{3-0}{2-1} =3$

    Lösung

    Der Differenzenquotient $D_{[x_0;x_1]}$ einer Funktion $f$ bezüglich der Stellen $x_0$ und $x_1$ ist die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_0|f(x_0))$ und $(x_1|f(x_1))$. Du findest zu jeder Funktion den passenden Differenzenquotienten, indem du die drei Differenzenquotienten $D_{[0;1]}$ und $D_{[0;2]}$ und $D_{[-3;2]}$ für die verschiedenen Funktionen ausrechnest. Hier ist exemplarisch die Rechnung für eine der Funktionen:

    Zum Funktionsgraphen der Funktion $f(x)=x^2-2x+1$ gehören die Punkte $(-3|f(-3)) = (-3|16)$ und $(0|f(0)) = (0|1)$ und $(1|f(1))=(1|0)$ und $(2|f(2)) = (2|1)$. Die zugehörigen Differenzenquotienten sind:

    $ \begin{array}{rcl} D_{[0;1]} &=& \frac{0-1}{1-0} &=& -1 \\ D_{[0;2]} &=& \frac{1-1}{2-0} &=& 0 \\ D_{[-3;2]} &=& \frac{1-16}{2-(-3)} &=& -5\\ \end{array} $

    Die Differenzenquotienten $D_{[0;2]}$ und $D_{[-3;2]}$ passen nicht zu den angegebenen Werten.

    Im Bild sieht du den Funktionsgraphen der Funktion $f(x) =x^2-2x+1$ mit den drei oben berechneten Differenzenquotienten.

  • Bestimme die Differenzenquotienten.

    Tipps

    Bestimme die Funktionswerte der beiden Stellen im Index des Differenzenquotienten und deren Differenz.

    Ist der Differenzenquotient negativ, so gehört zu dem größeren $x$-Wert der kleinere $y$-Wert.

    Lösung

    Du kannst die Differenzenquotienten der einzelnen Funktionen zwischen verschiedenen Stellen berechnen. Der Differenzenquotient zwischen den Stellen $x_0$ und $x_1$ ist:

    $ D_{[x_0;x_1]} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} $

    Du berechnest also jeweils zuerst die Differenzen der $y$-Werte $\Delta_y =y_1-y_0 =f(x_1) -f(x_0)$ und die zugehörigen Differenzen der $x$-Werte $\Delta_x = x_1-x_0$. Der Differenzenquotient ist der Quotient dieser Differenzen. So erhältst du folgende Zordnung:

    Beispiel 1:

    • $D_{[0;1]}=1$: Die periodische Funktion hat bei $x_1=1$ den Funktionswert $f(1)=1$, bei $x_0 =0$ den Funktionswert $f(x_0)=0$. Daher ist $D_{[0;1]} =\frac{1-0}{1-0}=1$.
    • $D_{[1;2]}= \frac{0-1}{2-1} = -1$
    • $D_{[0;2]}=\frac{0-0}{2-0}=0$
    Beispiel 2:
    • $D_{[0;1]}=\frac{1-(-1)}{1-0}=2$
    • $D_{[1;2]}=\frac{5-1}{2-1}=4$
    • $D_{[-1;1]}=\frac{1-(-1)}{1-(-1)}=1$
    Beispiel 3:
    • $D_{[0;1]}=\frac{-1-(-1,5)}{1-0} =0,5$
    • $D_{[1;2]}=\frac{0-(-1)}{2-1} = 1$
    • $D_{[2;3]}=\frac{2-0}{3-2}=2$
    • $D_{[1;3]}=\frac{2-(-1)}{3-1}=1,5$

  • Beschrifte das Bild zur Bestimmung der Steigung.

    Tipps

    $\Delta_x$ ist die Differenz der $x$-Koordinaten der beiden Punkte.

    Die Steigung $m$ ist der Quotient aus $\Delta_y$ und $\Delta_x$.

    Bei einer Geraden durch die Punkte $(1|1)$ und $(4|3)$ ist die Steigung:

    $m= \frac{4-1}{3-1} = \frac{3}{2} = 1,5$

    Lösung

    Die Steigung einer Gerade ist ein Maß dafür, wie stark die Gerade auf einer Längeeinheit ansteigt. Du findest die Steigung heraus, indem du für zwei verschiedene Punkte der Gerade die Änderung der $y$- und der $x$-Werte vergleichst. Die Änderung der $y$-Werte wird mit $\Delta_y = y_1-y_0$ bezeichnet und entspricht der Länge der Vertikalen im Steigungsdreieck.

    Hier ist also $\Delta_y=6-3=3$. Die Differenz der $x$-Werte ist $\Delta_x = x_1-x_0=4-2=2$. Die Steigung $m$ ist der Quotient aus $\Delta_y$ und $\Delta_x$. Daher ist die Steigung der Gerade im Bild:

    $m = \frac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{3}{2}=1,5$

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Bei einer linearen Funktion sind alle Differenzenquotienten gleich.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Hat eine Funktion an zwei verschiedenen Stellen denselben Funktionswert, so ist der zugehörige Differenzenquotient $0$.“ Denn im Zähler des Differenzenquotienten steht die Differenz dieser beiden Funktionswerte.
    • „Eine Funktion ist genau dann konstant, wenn jeder Differenzenquotient $0$ ist.“ Bei einer konstanten Funktion sind alle Funktionswerte gleich und daher alle Differenzenquotienten $0$. Sind umgekehrt alle Differenzenquotienten $0$, so sind alle Differenzen von Funktionswerten $0$ und daher alle Funktionswerte gleich.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Ist der Differenzenquotient gleich der Steigung des Funktionsgraphen, so ist der Graph eine Gerade.“ Der Differenzenquotient zweier verschiedener Stellen kann mit der Steigung der Tangente übereinstimmen, ohne dass der Funktionsgraph eine Gerade ist. Bei einer periodischen Funktion sind z.B. die Differenzenquotienten von Stellen im Abstand einer Periode jeweils $0$, aber der Funktionsgraph ist keine Gerade.
    • „Ist der Differenzenquotient $0$, so ist die Funktion konstant.“ Der Differenzenquotient zweier Stellen ist $0$, wenn die Funktionswerte dieser beiden Stellen übereinstimmen. Andere Funktionswerte können aber verschieden sein.
    • „Ist eine Sekante durch einen Funktionsgraphen zugleich eine Tangente an den Funktionsgraphen, so ist der Graph eine Gerade.“ Der Funktionsgraph ist nur dann eine Gerade, wenn Sekante und Tangente an allen Stellen übereinstimmen.
    • „Stimmen bei den Funktionen $f$ und $g$ alle Differenzenquotienten überein, so ist $f(x) = g(x)$ für jedes $x$.“ Bei Funktionen $f$ und $g$, die sich um eine Konstante unterscheiden, stimmen alle Differenzenquotienten überein.