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Mittlere Änderungsrate im Sachkontext

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Team Digital
Mittlere Änderungsrate im Sachkontext
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Mittlere Änderungsrate im Sachkontext

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du eine genauere Vorstellung über die Bedeutung der mittleren Änderungsrate haben und sie in Sachkontexten mittels Sekantensteigung berechen können.

Mittlere Änderungsrate im Sachkontext berechnen

Lerne außerdem etwas über die Plastikkastastrophe und den jährlich anfallenden Verpackungsabfall.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie mittlere Änderungsrate, Differenzenquotient, Intervall und Sekante.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits grundlegendes Wissen zum Differenzenquotienten haben.

Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate

Transkript Mittlere Änderungsrate im Sachkontext

Willkommen auf dem achten Kontinent! Wie, den gibts nicht? Hast du noch nie etwas von der Müllinsel gehört? Beziehungsweise den Müllinseln? Dann wird es höchste Zeit, diese Plastikkatastrophe mit der „mittleren Änderungsrate“ genau unter die Lupe zu nehmen. Schauen wir uns dafür einmal die Masse an Verpackungsabfall in Deutschland an. Im Jahr 2011 fiel im Durchschnitt ein Verpackungsabfall von 205,2 Kilogramm pro Kopf an. Sieben Jahre später waren es schon 227,5 Kilogramm. Ein mächtiger Zuwachs von mehr als zehn Prozent zu einer sowieso schon wirklich großen Menge. Aber wann genau passierte dieser Anstieg? War die Zunahme kontinuierlich oder gab es Zeiträume, in denen es besonders stark gestiegen ist? Werfen wir dafür einen Blick in diese Tabelle. Hier ist zwar die größte Zunahme der absoluten Zahlen zu erkennen, allerdings können wir die Werte nicht direkt miteinander vergleichen, da die Zeiträume der gegebenen Daten unterschiedlich groß sind. Um trotzdem verlässlich sagen zu können, in welchem Zeitraum die größte Zunahme passierte, brauchen wir die mittlere Änderungsrate. Diese wird durch den Differenzenquotienten angegeben. Der Differenzenquotient ist eigentlich nichts anderes als der Anstieg „m“ bei linearen Funktionen und wird genauso berechnet. Das heißt, wir betrachten zwei Punkte und bilden die Differenzen ihrer Funktionswerte und x-Werte, die wir dann dividieren. Wir können die Punkte auch vertauschen, solange wir im Zähler und Nenner das Gleiche tun. Geometrisch gedeutet, bilden wir dafür das Steigungsdreieck zwischen den zwei Punkten - so wie wir es auch schon von den linearen Funktionen kennen. Während bei linearen Funktionen jedoch der Anstieg konstant gleich groß bleibt, da deren Graph ja eine Gerade ist, verändert er sich bei dieser Funktion unentwegt. Mit dem Steigungsdreieck können wir daher nur den durchschnittlichen Anstieg des Funktionsgraphen in einem bestimmten Intervall beschreiben. Genauer gesagt untersuchen wir dabei das Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der x-Werte und schauen, wie sich die Funktionswerte in einem bestimmten Intervall durchschnittlich verändern. Aber nun wieder zurück zum Verpackungsmüll. Wir wollen den Anstieg für den ersten Zeitraum von 2011 bis 2013 berechnen. Dafür setzen wir die entsprechenden Werte der beiden Jahre in den Differenzenquotienten ein und erhalten 3,4. In diesem Zeitraum hat der Verpackungsabfall pro Kopf also jährlich um durchschnittlich 3,4 Kilogramm zugenommen. Schauen wir uns den nächsten Zeitraum an und setzen wieder die entsprechenden Werte ein. In diesem Jahr ist der Verpackungsabfall pro Kopf um sieben Kilogramm gestiegen. Für die letzten beiden Zeitintervalle kannst du die mittlere Änderungsrate mit dem Differenzenquotienten selbst bestimmen. Die Ergebnisse sind zwei Komma fünf und eins. Den stärksten Anstieg pro Jahr gab es also im Zeitraum von 2013 bis 2014. Wenn wir diese Daten in einem Diagramm darstellen und die einzelnen Messwerte verbinden, sieht die modellierte Funktion so aus. Hier können wir den Zeitraum mit der stärksten Zunahme direkt am steilsten Anstieg erkennen. Im letzten gemessenen Zeitraum war der Anstieg zwar am geringsten, aber dennoch erkennen wir die Tendenz, dass wir von Jahr zu Jahr mehr und mehr Verpackungsmüll pro Kopf produzieren. Schauen wir uns nun die mittlere Änderungsrate auch noch an einer konkreten Funktion an. Das ist der Graph der quadratischen Funktion „ein halb mal x Quadrat“. Geometrisch gedeutet, wollen wir bei der mittleren Änderungsrate den Anstieg der Sekante durch die Punkte P und Q auf dem Graphen von f bestimmen. Dazu zeichnen wir das Steigungsdreieck ein. Für die Berechnung brauchen wir wieder den Differenzenquotienten und die Stellen a und b. Für den Punkt P ist „x gleich eins“ und für Q ist „x gleich drei“. a ist also eins und b ist drei. Nun müssen wir nur noch die entsprechenden Funktionswerte ermitteln, in den Differenzenquotienten einsetzen und diesen berechnen. Die mittlere Änderungsrate, also der durchschnittliche Anstieg, beträgt zwei. Um einen kleineren Bereich genauer zu betrachten, können wir Q ein wenig dichter an P heranholen. a bleibt weiterhin „gleich eins“ und b ist nun „gleich zwei“. Also nochmal dasselbe Spiel von vorn. Wir setzen a und b in den Differenzenquotienten ein, bestimmen die Funktionswerte, und berechnen mit dem Differenzenquotienten, den Anstieg der Sekanten. Wir können nun Q immer dichter an P heranführen. Dadurch wird der betrachtete Bereich zwar immer kleiner, dafür nähert sich der durchschnittliche Anstieg immer mehr der eigentlichen Steigung der Funktion an. Alles klar, schauen wir uns das Ganze nochmal auf einen Blick an. Haben wir eine Funktion f, die auf einem Intervall von a bis b definiert ist, dann heißt dieser Quotient „Differenzenquotient“ oder mittlere Änderungsrate von f über dem Intervall „a b“. Die mittlere Änderungsrate entspricht dabei der Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q auf dem Graphen der Funktion, und ist ein Maß dafür, wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall „a b“ ändern. Auch in unserem Konsumverhalten wäre eine Änderung mal eine gute Idee. Wenn wir als Konsumenten und auch die Produzenten nicht umdenken und Verpackungen umweltfreundlicher und recyclinggerechter gestalten, werden wir bald in unserem eigenen Abfall schwimmen.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Solche solte es mehr geben

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 26 Tagen
  2. Super Video

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 26 Tagen
  3. Endlich mal e. Video , welches einem Bezug gibt , was an mit der Mathematik berechnen oder beobachten kann

    Von Adi, vor 4 Monaten

Mittlere Änderungsrate im Sachkontext Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittlere Änderungsrate im Sachkontext kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die mittlere Änderungsrate in den einzelnen Intervallen an.

    Tipps

    An der mittleren Änderungsrate erkennen wir, wie schnell sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern.

    Je steiler der Graph, umso größer ist die mittlere Änderungsrate.

    Lösung

    Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir an der mittleren Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt. Dieser entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient somit der Steigung der Sekanten $s$, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet.

    Allgemein lautet die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Dabei gilt:

    • Je steiler der Graph, umso größer ist die mittlere Änderungsrate.
    • Je flacher der Graph, umso kleiner ist die mittlere Änderungsrate.

    Wir können nun in jedem Fall die Werte an den Intervallgrenzen ungefähr im Diagramm ablesen und so die mittlere Änderungsrate bestimmen. Alternativ können wir die mittleren Änderungsraten über die Steigung in den einzelnen Abschnitten zuordnen:

    Intervall 1:
    $\frac{211-205,2}{2013-2011} = 3,4$
    Der Graph ist hier am zweit-steilsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den zweitgrößten Wert aus.

    Intervall 2:
    $\frac{219-212}{2014-2013} = 7$
    Der Graph ist hier am steilsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den größten Wert aus.

    Intervall 3:
    $\frac{226,5-219}{2017-2014} = 2,5$
    Der Graph ist hier am zweit-flachsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den zweitkleinsten Wert aus.

    Intervall 4:
    $\frac{227,5-226,5}{2018-2017} = 1$
    Der Graph ist hier am flachsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den kleinsten Wert aus.

    Anmerkung: Ist die mittlere Änderungsrate negativ, so ist der Graph in diesem Bereich fallend. Dieser Fall tritt hier nicht auf.

  • Beschreibe die Bedeutung des Differenzenquotienten.

    Tipps

    Der Differenzenquotient lautet:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Lösung

    Um das Verhalten von Funktionen zu beschreiben, betrachten wir meist ein Intervall, also den Zwischenraum zwischen zwei Werten. Wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern, erkennen wir daran, wie groß die Differenz zwischen den Funktionswerten ist. Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir hingegen an der mittleren Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt.

    $\mapsto$ Der Differenzenquotient ist das gleiche wie die mittleren Änderungsrate. richtig

    $\mapsto$ Der Differenzenquotient ist ein Maß dafür, wie schnell sich die Funktionswerte im betrachteten Intervall ändern. richtig

    Allgemein lautet der Differenzenquotient einer Funktion $f$ im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
    Wir können auch schreiben: $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$, und erhalten das gleiche Ergebnis. Wichtig ist nur, dass wir die Werte im Zähler und im Nenner vertauschen.

    $\mapsto$ Durch das Vertauschen der Punkte im Zähler und Nenner des Differenzenquotienten, ändert sich sein Vorzeichen. falsch

    Der Differenzenquotient entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Dies kennen wir bereits von linearen Funktionen, bei denen die Steigung überall gleich ist: $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

    $\mapsto$ Den Differenzenquotienten können wir mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen. richtig

    Wir können den Differenzenquotienten also auch veranschaulichen:

    $\mapsto$ Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekanten $s$, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet. richtig

    Wenn wir die Punkte an den Intervallgrenzen dichter legen, so nähert sich der Differenzenquotient, also der durchschnittliche Anstieg, immer mehr der eigentlichen Steigung der Funktion an.

    $\mapsto$ Je dichter die beiden Punkte an den Intervallgrenzen aneinander liegen, umso kleiner ist der Differenzenquotient. falsch

  • Berechne die mittlere Änderungsrate in den gegebenen Intervallen.

    Tipps

    Bei einem Punkt im Koordinatensystem nennen wir immer zuerst die $x$-Koordinate und dann die $y$-Koordinate: $S(x|y)$

    In unserem Fall kannst du die Koordinaten der Punkte direkt im Graphen ablesen.

    $\Delta x= x_2-x_1$

    $\Delta y= y_2-y_1$

    Lösung

    Die mittleren Änderungsrate können wir durch den Differenzenquotienten ermitteln. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Dies entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient deshalb der Steigung der Sekanten, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet.

    Unser erstes Intervall lautet $\lbrack 2; 3 \rbrack$. Wir lesen zuerst die $y$-Koordinaten der beiden Punkte an den Intervallgrenzen am Graphen ab:

    • $P(2|2)$
    • $Q(3|5)$
    Wir können nun die Änderung der $x$-Werte bestimmen:
    $\Delta x=3-2=1$

    Wir bestimmen außerdem die Änderung der Funktionswerte:
    $\Delta y=5-2=3$

    Wir setzen dies in die Formel für die mittlere Änderungsrate $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ein und erhalten:
    $\dfrac{3}{1} = 3$

    $\,$

    Unser zweites Intervall lautet $\lbrack 0; 2 \rbrack$. Wir lesen zuerst die $y$-Koordinaten der beiden Punkte an den Intervallgrenzen am Graphen ab:

    • $R(0|2)$
    • $P(2|2)$
    Wir können nun die Änderung der $x$-Werte bestimmen:
    $\Delta x=2-0=2$

    Wir bestimmen außerdem die Änderung der Funktionswerte:
    $\Delta y=2-2=0$

    Wir setzen dies in die Formel für die mittlere Änderungsrate $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ein und erhalten:
    $\dfrac{0}{2} = 0$

  • Untersuche die Entwicklung von Ritas Plastikmüll.

    Tipps

    mittlere Änderungsrate: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Willst du die Änderungsrate zwischen dem 3. und dem 5. Monat bestimmen, so schreibst du in den Nenner eine $2$, für die zwei verstrichenen Monate, und in den Zähler die Differenz der Müllmenge vom 5. und 3. Monat.

    Lösung

    Die mittleren Änderungsrate gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Allgemein lautet die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    In unserem Fall steht im Zähler die Differenz der Müllmenge, und in den Nenner die Zahl der verstrichenen Monate:

    mittlere Änderungsrate im gesamten Zeitraum:
    $\frac{1,7-3,1}{8-1} =-0,2 \quad \Rightarrow \quad -0,2~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

    Änderungsrate zwischen dem 1. und dem 3. Monat:
    $\frac{2,8 - 3,1}{3 -1} =-0,15 \quad \Rightarrow \quad -0,15 ~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

    maximaler Betrag der Änderungsrate:
    Wir wählen die Änderungsrate zwischen dem $3$. und $4$. Monat, da sich hier die Werte am stärksten ändern:
    $\frac{2,1-2,8}{4-3} =-0,7 \quad \Rightarrow \quad -0,7~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$
    Für den Betrag lassen wir das negative Vorzeichen weg und erhalten $0,7~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$.

    mittlere Änderungsrate in der ersten Zeithälfte:
    $\frac{2,1-3,1}{4-1} \approx -0,33 \quad \Rightarrow \quad -0,33~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

    mittlere Änderungsrate in der zweiten Zeithälfte:
    $\frac{1,7-2,4}{8-5} \approx -0,23 \quad \Rightarrow \quad -0,23~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

    Änderungsrate zwischen dem 4. und dem 5. Monat:
    $\frac{2,4-2,1}{5-4} =0,3 \quad \Rightarrow \quad 0,3~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

  • Bestimme die Steigung $m$ der linearen Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks.

    Tipps

    Für die Steigung $m$ gilt:

    $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

    Diese Funktion hat die Steigung $m = \frac{2}{1} = 2$

    Lösung

    Das Steigungsdreieck ist ein wichtiges Mittel, um das Änderungsverhalten von Funktionen zu untersuchen. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte $\Delta y$ durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte $\Delta x$. Da bei linearen Funktionen die Steigung überall gleich ist, können wir diese mit einem beliebigen Steigungsdreieck an den Funktionsgraphen bestimmen.

    Wir bestimmen die Steigung $m$ mit der Formel:

    $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

    Dabei ist die Steigung positiv, wenn der Graph steigt und negativ, wenn der Graph fällt. Wir zählen am jeweiligen Steigungsdreieck die Kästchen in $y$-Richtung und die Kästchen in $x$-Richtung und setzen ein. Wenn möglich kürzen wir noch:

    • Funktion 1: $m = \frac{3}{3} = 1$
    • Funktion 2: $m = \frac{1}{2}$
    • Funktion 3: $m = -\frac{3}{2}$
    • Funktion 4: $m = \frac{6}{2} = 3$
  • Formuliere Aussagen über die Änderungsrate.

    Tipps

    Du kannst die Funktionswerte an den Intervallgrenzen durch Einsetzen der $x$-Werte in die Funktionsgleichung bestimmen.

    Beispiel:

    $f(4)= 2\,300+0,3 \cdot 4^2$

    Um die zweite Intervallgrenze zu ermitteln, setze die gegebenen Werte in den Differenzenquotienten ein. Setze diesen Bruch gleich dem gegebenen Differenzenquotienten ($6,9$) und vereinfache die Gleichung.

    Du kannst die Intervallgrenzen zu einem gegebenen Differenzenquotienten auch durch Probieren ermitteln.

    Lösung

    Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir an der mittleren Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt. Der Differenzenquotient einer Funktion im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$ lautet:

    $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

    Wir untersuchen die Funktion $f(t)=2\,300 + 0,3 \cdot t^2$ im Intervall $\lbrack 1; 12 \rbrack$:

    Wir bestimmen zunächst die beiden Funktionswerte:

    • $f(1)= 2\,300 + 0,3 \cdot 1^2 = 2\,300,3$
    • $f(12)= 2\,300 + 0,3 \cdot 12^2 = 2\,343,2$
    Wir setzen nun in die Formel für den Differenzenquotienten ein und berechnen:

    $\frac{2\,343,2-2\,300,3}{12-1} = 3,9$

    Wir suchen nun die zweite Intervallgrenze. Dafür setzen wir die Werte $x=12$ und $f(12)= 2\,343,2$ in den Differenzenquotienten ein:

    $\frac{2\,343,2-f(a)}{12-a} = \frac{2\,343,2-(2\,300 + 0,3 \cdot a^2)}{12-a} = \frac{2\,343,2-2\,300 - 0,3 \cdot a^2}{12-a} = \frac{43,2 - 0,3 \cdot a^2}{12-a}$

    Wir setzen diesen Bruch gleich dem gegebenen Differenzenquotienten und vereinfachen die Gleichung:

    $\frac{43,2 - 0,3 \cdot a^2}{12-a} = 6,9 \quad |\cdot (12-a)$

    $43,2-0,3a^2 = 82,8-6,9a \quad |-43,2$

    $-0,3a^2=39,6-6,9a \quad |:(-0,3)$

    $a^2=-132+23a \quad |-23a$

    $a^2-23a = - 132$

    $a \cdot (a-23) = -132$

    Wir können die Zahl $132$ als Produkt zweier Zahlen zwischen $1$ und $12$ schreiben:

    $132 = 11 \cdot 12$

    Die gesuchte Zahl ist also $a=11$:

    $11 \cdot (11-23) = 11 \cdot (-12) = -132$

    $\Rightarrow$ Zwischen dem $11$. und dem $12$. Monat betrug die Änderungsrate $6,9$ Containerladungen pro Monat.

    Wir können dieses Ergebnis auch durch Ausprobieren erhalten.

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