30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele

Bewertung

Ø 5.0 / 4 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Mandy F.
Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele

Du weißt bereits, was man unter der mittleren und lokalen Änderungsrate versteht und wie man sie berechnet. Außerdem hast du erfahren, welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede sie besitzen. Nun ist es an der Zeit, dieses Wissen zu festigen und anzuwenden. Dazu rechnen wir zu jeder Änderungsrate ein Beispiel durch. Es werden dabei die notwendigen Formeln und Begriffe, wie Differenzenquotient oder Differentialquotient, wiederholt. Unterstützt werden die Erklärungen durch Diagramme und umfangreiche Erklärungen. Außerdem übst du, wie man die mittlere und lokale Änderungsrate in Bezug auf Beispiele interpretiert. Viel Spaß!

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. @Undinestark:
    Das wurde hier auch gemacht, allerdings schon im Vorfeld, indem die Tabelle zur Funktion erstellt wurde. Deshalb kann man die Werte dann dort heraus nehmen und muss nicht nochmal jeden einzeln ausrechnen.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor mehr als einem Jahr
  2. Hallo ich hätte die Frage, bei der mittleren Änderungsrade. Ich habe da nicht 4-2 sondern beide in die Ausgangsfunktion und dann Subtrahiert... warum habt ihr das bei dem Beispiel nicht gemacht?

    Von Undinestark, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo Elisabeth,

    mit 3,6 wird hier multipliziert, um die Einheit umzurechnen von m/s in km/h. 3,6 ist die Umrechnungszahl dafür.

    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Julia S., vor mehr als 3 Jahren
  4. Hallo!
    Ein sehr gutes Video !
    Doch eine Frage hätte ich: Warum multipliziere ich bei 5min56sek 14 mit 3,6 ?
    LG

    Von Elisabeth Ziegler, vor mehr als 3 Jahren
  5. @Tiktak Taktik: lim ist eine Abkürzung für Limes, was für den Grenzwert steht. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die mittlere Änderungsrate für die gegebenen Intervalle.

    Tipps

    Sei das Intervall $[a;b]$ gegeben. So berechnet sich die mittlere Änderungsrate wie folgt:

    $m_{[a;b]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

    Achte darauf, dass die Reihenfolge der Subtraktion im Zähler und im Nenner übereinstimmen muss.

    Schau dir ein Beispiel an: $I_4=[20;60]$

    Es ist $m_4=\frac{8-2}{60-20}=\frac{6}{40}=0,15$.

    Lösung

    Die Wachstumsfunktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=2^{\frac1{20}x}$.

    Nun sollst du die mittlere Änderungsrate, also die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit, für vorgegebene Intervalle berechnen. Da du hierfür die Funktionswerte an den Intervallgrenzen benötigst, kannst du diese zunächst berechnen und in einer Wertetabelle notieren:

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Zeit in Minuten}&0&20&40&60&80\\ \hline \text{Anzahl der Bakterien}&1&2&4&8&16 \end{array}$

    Du kannst anhand der Wertetabelle bereits erkennen, dass sich die Anzahl der Bakterien alle $20$ Minuten verdoppelt. Die Zeit, in welcher sich ein Bestand verdoppelt, wird als Verdopplungszeit oder auch Generationszeit bezeichnet. Die mittlere Änderungsrate verdoppelt sich ebenfalls alle $20$ Minuten. Das kannst du nun sehen:

    • Auf dem Intervall $I_1=[20;40]$ ergibt sich $m_1=\frac{4-2}{40-20}=\frac{2}{20}=0,1$.
    • Ebenso kannst du die mittlere Änderungsrate auf den beiden übrigen Intervallen berechnen:
    • $m_2=\frac{8-4}{60-40}=\frac{4}{20}=0,2$
    • $m_3=\frac{16-8}{80-60}=\frac{8}{20}=0,4$
  • Beschreibe, wie du die lokale Änderungsrate berechnen kannst.

    Tipps

    Verwende die folgende Formel für die lokale Änderungsrate

    $s'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(x_0+h)-s(x_0)}{h}$.

    Verwende die 1. binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Beachte, dass du nur Faktoren kürzen kannst.

    Lösung

    Hier kannst du an dem Beispiel $t_1=3$ ausführlich sehen, wie die lokale Änderungsrate bestimmt wird. Die Berechnung für die beiden anderen Zeitpunkte verläuft vollkommen analog. Am Ende der Lösung werden die entsprechenden lokalen Änderungsraten angegeben.

    Für den Differentialquotienten und somit die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt $t_1=3$ gilt:

    $m_1=s'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{20(3+h)-(3+h)^2-(20\cdot 3-3^2)}{h}$

    Wir betrachten zunächst den Quotienten:

    Du multiplizierst aus und verwendest die 1. binomische Formel:

    $\frac{20(3+h)-(3+h)^2-(20\cdot 3-3^2)}{h}=\frac{60+20h-9-6h-h^2-60+9}{h}$

    Nun kannst du den Term im Zähler umformen und $h$ ausklammern:

    $\frac{60+20h-9-6h-h^2-60+9}{h}=\frac{14h-h^2}{h}=\frac{(14-h)h}{h}$

    Zuletzt kannst du den Bruchterm kürzen:

    $\frac{(14-h)h}{h}=14-h$

    Wir betrachten nun den Grenzwert des aufgestellten Differenzenquotienten:

    $m_1=s'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{20(3+h)-(3+h)^2-(20\cdot 3-3^2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(14-h)=14$

    Für die Zeitpunkte $t_2=6$ und $t_3=10$ resultieren die folgenden Momentangeschwindigkeiten:

    • $m_2=s'(6)=8$ und
    • $m_3=s'(10)=0$. Das bedeutet, dass der Wagen nach $10$ Sekunden steht.
    Die jeweilige Einheit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  • Berechne die mittlere Fallgeschwindigkeit.

    Tipps

    Berechne jeweils die Funktionswerte an den Intervallrändern.

    Verwende folgenden Differenzenquotienten:

    $m_{\left[a;b\right]}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}$

    • Ziehe von dem Funktionswert am rechten Intervallrand den Funktionswert am linken Intervallrand ab.
    • Dividiere diese Differenz durch die Länge des Intervalls.

    Die mittleren Änderungsraten werden immer größer.

    Lösung

    Diese Funktion gibt den zurückgelegten Weg $s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Sekunden an.

    Da du nun weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, kannst du die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit der Teetasse in gegebenen Intervallen berechnen. Natürlich ist die Tasse in jedem der Intervalle noch „unterwegs“. Die folgenden Rechnungen werden jeweils ohne die Maßeinheiten durchgeführt. Die resultierende Maßeinheit bei der mittleren Fallgeschwindigkeit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

    Auf dem Intervall $I_1=[0;1]$ ergibt sich $m_1=\frac{s(1)-s(0)}{1}=\frac{\frac{9,81}2}{1}=4,905$.

    Auf den übrigen Intervallen kannst du die mittlere Änderungsrate ebenso berechnen. Im Nenner der jeweiligen mittleren Änderungsrate steht immer $1$:

    • $m_2=\frac{s(2)-s(1)}{2-1}=19,62-4,905=14,715$
    • $m_3=\frac{s(3)-s(2)}{3-2}=44,145-19,62=24,525$
    • $m_4=\frac{s(4)-s(3)}{4-3}=78,48-44,145=34,335$
  • Leite eine Formel zur Berechnung der lokalen Änderungsrate her.

    Tipps

    Es ist $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$.

    Verwende die oben angegebene Definition der Funktion $s(t)$.

    Beachte: Du kannst den Term im Zähler so umformen, dass du schließlich $h$ ausklammern und dann kürzen kannst.

    Lösung

    Für einen allgemeinen Zeitpunkt $t_0$ lässt sich die lokale Änderungsrate, also die Momentangeschwindigkeit, als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen.

    $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$.

    Du kannst unter Verwendung der Funktionsgleichung $s(t)=\frac{9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}2t^2$, im Folgenden ohne Maßeinheiten, wie folgt vorgehen:

    $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{9,81}2(t_0+h)^2-\frac{9,81}2t_0^2}{h}$

    Verwende die 1. binomische Formel und forme weiter um:

    $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{9,81}2(t_0+h)^2-\frac{9,81}2t_0^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{9,81}2(t_0^2+2t_0h+h^2)-\frac{9,81}2t_0^2}{h}=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{t_0^2+2t_0h+h^2-t_0^2}{h}$

    Nun kannst du den Term im Zähler umformen und $h$ ausklammern:

    $s'(t_0)=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{t_0^2+2t_0h+h^2-t_0^2}{h}=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{2t_0h+h^2}{h}=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{(2t_0+h)h}{h}$

    Nun kannst du $h$ kürzen und erhältst $s'(t_0)=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}(2t_0+h)=\frac{9,81}2\cdot 2t_0=9,81t_0$.

  • Gib an, welche Formulierungen auf eine mittlere Änderungsrate hinweisen.

    Tipps

    Bei einer mittleren Änderungsrate ist ein Intervall vorgegeben.

    Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Sekante.

    Die lokale Änderungsrate wird immer an einer Stelle berechnet. Hier betrachtest du kein Intervall.

    Lösung

    Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer lokalen Änderungsrate?

    Zur Berechnung der mittleren Änderungsrate einer Funktion $f$ benötigst du ein Intervall $[a;b]$. Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Sekante.

    In den folgenden Aufgabenstellungen ist jeweils die mittlere Änderungsrate gesucht:

    • Gesucht ist die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Autos in einem Streckenabschnitt. Der Streckenabschnitt ist das Intervall.
    • Wie hoch ist der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch eines Lkws für eine gegebene Strecke? Hier ist die vorgegebene Strecke das Intervall.
    • Berechne die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze in einem Zeitabschnitt. Dieser Zeitabschnitt ist das Intervall.
    Du kannst dir natürlich auch die hier verwendeten Schlüsselwörter merken: Durchschnitts-, durchschnittliche, mittlere, ...

    Die lokale Änderungsrate ergibt sich als Grenzwert der mittleren Änderungsrate. Du berechnest diese also an einer Stelle. Die lokale Änderungsrate entspricht der Steigung einer Tangente.

    Alle verbleibenden Aufgabenstellungen führen zu einer lokalen Änderungsrate.

  • Berechne, nach wie vielen Sekunden und mit welcher Geschwindigkeit die Teetasse auf dem Boden aufschlägt.

    Tipps

    Du musst die Gleichung $s(t)=176,58$ lösen.

    Du kannst für $t_0$ die Momentangeschwindigkeit $s'(t_0)=9,81t_0$ herleiten.

    Der gesamte Zeitraum ist $[0;t_0]$, wobei $t_0$ der Zeitpunkt des Aufpralls ist.

    Übrigens:

    • Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt $105,948~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
    • Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt des Aufpralls beträgt $211,896~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Die arme Teetasse wird den Aufprall wohl nicht unbeschadet überstanden haben.
    Lösung

    Um zu berechnen, wann die Tasse aufprallt, musst du die Gleichung $s(t)=176,58$ lösen. Dies siehst du hier ohne Maßeinheiten: $\frac{9,81}2t^2=176,58$

    • Dividiere durch $\frac{9,81}2$. So erhältst du $t^2=36$.
    • Nun kannst du die Wurzel ziehen. Dies führt zu $t=6$.
    Nach $6$ Sekunden schlägt die Tasse auf dem Boden auf.

    Die mittlere Änderungsrate

    Der gesamte Zeitraum des Tassenflugs ist das Intervall $[0;6]$. Auf diesem Intervall ergibt sich

    $m=\frac{s(6)-s(0)}{6-0}=\frac{\frac{9,81}2\cdot 6^2}{6}=29,43$.

    Die Tasse fliegt also mit einer mittleren Geschwindigkeit von $29,43~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ nach unten. Dies entspricht $105,948~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

    Die lokale Änderungsrate

    Für die lokale Änderungsrate kannst du die Ableitung der Funktion $s(t)$, also $s'(t)=9,81t$ verwenden. So erhältst du unmittelbar vor dem Aufprall eine Momentangeschwindigkeit von $s'(6)=9,81\cdot 6=58,86$. Die Einheit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Diese Geschwindigkeit entspricht $211,896~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

    Da wird sich Galileo Galilei wohl eine neue Teetasse kaufen müssen.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.841

Lernvideos

44.337

Übungen

38.957

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden