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Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall 08:44 min

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Transkript Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall

Hallo. Wir wollen uns heute mit Zerfallsprozessen befassen. Nach dem Nuklearunfall von Fukushima konnten wir einiges von Brennelementen und Abklingbecken lesen. Dabei geht es darum, dass sich im Laufe der Zeit die Gefährlichkeit von radioaktiven Substanzen vermindert. In diesem Zusammenhang wird auch von unbegrenztem Zerfall gesprochen. Hingegen ist ein Abkühlungsprozess einer heißen Tasse Tee ein nach unten begrenzter Prozess. Der Tee kann nicht unter die Raumtemperatur abkühlen. Diesen Prozessen liegen Beschreibungsmodelle zu Grunde und über die sollst Du jetzt informiert werden. Du solltest dazu bereits über allgemeine Kenntnisse von Zerfallsprozessen verfügen und Dich mit Eigenschaften der Exponentialfunktion auskennen. Wir lernen heute Modelle für begrenzten und unbegrenzten Zerfall sowie Merkmale für ihre Unterscheidung kennen. Hier nun eine knappe Wiederholung zu den Exponentialfunktionen. Eine Funktion der allgemeinen Form f(x) = c * ax heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Dabei sind c und a aus dem Bereich der reellen Zahlen und insbesondere wird a > 0 angenommen. Eine Sonderstellung unter den Exponentialfunktionen nimmt die Natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e, der Eulerschen Zahl, an. Der Wert von e kann in guter Näherung mit 2,72 angenommen werden. In der Abbildung sehen wir die Natürliche Exponentialfunktion mit dem Exponenten -c. Sie stellt einen streng monoton fallenden Graphen dar. Nun zu einem Beispiel für einen unbegrenzten Zerfall. Es befasst sich mit der Radioaktivität. Wir legen den hier behandelten Prozessen die Natürliche Exponentialfunktion zu Grunde. Im Beispiel soll N(t) die Bestandsfunktion der radioaktiven Atomkernen sein. Unser mathematisches Modell beruht auf folgenden Annahmen: Der Zerfall ΔN sei proportional zum Bestand, ΔN~N, und ebenfalls zum betrachteten Zeitintervall Δt, ΔN~Δt. Beide Proportionalitäten können zusammengefasst werden. ΔN~N * Δt. Die Division von ΔN durch Δt führt auf ΔN/Δt und das ist proportional zu N. Nach Einführung eines Proportionalitätsfaktors K > 0 folgt als Zerfallsgleichung N'(t) = -K * N(t). In Worten: Die Zerfallsgeschwindigkeit N' ist proportional zu Bestandsabnahme. Als Lösungsansatz für diese Gleichung folgt: N(t) = N0 * e(-K * t). Das dies tatsächlich eine Lösung ist, kann durch Differentiation leicht überprüft werden. Nun zu unserem konkreten Beispiel: Es liege das radioaktive Isotop Cäsium 137 in einer Menge von 200µg als Anfangsbestand vor. K wird als 0,023 angenommen. Dies folgt übrigens aus der Halbwertzeit von 30 Jahren für Cäsium. Das ist aber hier nicht unser Thema. Mit diesen Werten erhalten wir die Zerfallsfunktion: N(t) = 200 * e(-0,023 * t). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Modells für den unbegrenzten Zerfall. Die Voraussetzung für diesen Prozess ist ein ungestörter Verlauf. Tritt eine Störung auf, zum Beispiel durch Beschränkungen in Folge äußerer Umstände, liegt ein begrenzter Zerfall vor. Dies betrifft unser nächstes Beispiel. Nämlich das eine Abkühlung von heißem Tee in einem Glas. Die Temperatur T in einem Teeglas ist eine Funktion der Zeit t. Sie kann nicht unter die Raumtemperatur von zum Beispiel TR = 20°C abkühlen. Hier liegt das Modell von begrenztem Zerfall vor. Wir wollen dies als Abkühlung bezeichnen. Welches mathematische Modell findet hier Anwendung? Das mathematische Modell beruht nun auf folgenden Annahmen: Es gibt eine untere Grenze, Raumtemperatur TR, unter die der Tee nicht abkühlen kann. Also stellt 20°C, im übrigen rechnen wir hier ohne Einheiten, die untere Grenze dar. Die Temperaturabnahme ΔT ist proportional zum Zeitintervall Δt und auch proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Teetemperatur und Raumtemperatur. Das ergeben Experimente. Beide Proportionalitäten können zusammengefasst werden: ΔT~Δt * (T(t) - TR). Die Division von ΔT durch Δt führt auf ΔT/Δt und das ist proportional zu T(t) - TR. Nach Einführung eines Proportionalitätsfaktors K > 0 folgt als Abkühlungsgleichung T'(t) = -K * (T(t) - TR). In Worten: Die Abkühlungsgeschwindigkeit T' ist proportional zur Temperaturdifferenz T(t) - TR. Als Lösungsansatz für diese Gleichung folgt T(t) = TR + c * e(-K * t) mit c = T0 - TR, mit T0 als Anfangstemperatur und TR als Raumtemperatur. Dass dies tatsächlich eine Lösung ist, kann durch Differentiation leicht überprüft werden. Für unser Teeglas folgt: Die Anfangstemperatur T0 = 95°C, die Raumtemperatur TR = 20°C und aus einer weiteren Information T nach zwei Minuten T(2) = 85°C folgt K = 0,07. Die Berechnung soll an dieser Stelle nicht interessieren. Die Abkühlungsfunktion lautet: T(t) = 20 + 75 * e-0,07 * t. Die Abbildung zeigt den Verlauf der Temperaturabnahme. Damit haben wir an zwei Beispielen zwei unterschiedliche Zerfallsmodelle kennengelernt. Wir fassen zusammen: Damit kannst Du dann gleichzeitig unbegrenzten und begrenzten Zerfall unterscheiden. Für den unbegrenzten Zerfall gilt die Zerfallsgleichung: N'(t) = -K * N(t) mit K > 0. Die Zerfallsfunktion lautet: N(t) = N0 * e-K * t. Der Graph zeigt eine streng monoton fallende Exponentialfunktion. Wobei der Schnittpunkt der Funktion mit der N-Achse als N0 den Anfangsbestand darstellt. Für den begrenzten Zerfall gilt die Zerfalls- beziehungsweise Abkühlungsgleichung: T'(t) = -K * (T(t) - TR) mit K > 0. Zerfalls- beziehungsweise Abkühlungsfunktion lautet: T(t) = TR + c * e(-k * t) mit c = T0 - TR, T0 = Anfangstemperatur, TR = Raumtemperatur. Der Graph zeigt eine streng monoton fallende Exponentialfunktion, wobei der Schnittpunkt der Funktion mit der T-Achse mit T0 die Anfangstemperatur und die Gerade bei TR die Raumtemperatur darstellt. Das wars für heute. Ich hoffe, Dir hat es etwas Spaß gemacht und Du hast alles verstanden. Bis zum nächsten Mal.