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Unbeschränktes Wachstum und beschränktes Wachstum 11:24 min

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Transkript Unbeschränktes Wachstum und beschränktes Wachstum

Hallo. Wir wollen uns heute mit Wachstumsprozessen befassen. Wenn Du Geld auf dem Konto hast, wirst Du Dir sicher wünschen, dass es durch Zinsen und Zinseszinsen recht schnell anwächst. Bei einer schlimmen Krankheit wiederum sollte der Zuwachs an betroffenen Personen möglichst schnell begrenzt werden. Diesen Prozessen liegen Beschreibungsmodelle zu Grunde und über die sollst Du jetzt informiert werden. Du solltest dazu bereits über allgemeine Kenntnisse von Wachstumsprozessen verfügen und Dich mit Eigenschaften der Exponentialfunktion auskennen. Wir lernen heute Modelle für begrenztes und unbegrenztes Wachstum sowie Merkmale für ihre Unterscheidung kennen. Hier nun eine knappe Wiederholung zu den Exponentialfunktionen. Eine Funktion der allgemeinen Form f(x) = c * ax heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Dabei sind c und a aus dem Bereich der reellen Zahlen und insbesondere wird a > 0 angenommen. Eine Sonderstellung unter den Exponentialfunktionen nimmt die Natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e, der Eulerschen Zahl, an. Der Wert von e kann in guter Näherung mit 2,72 angenommen werden. In der Abbildung sehen wir die natürliche Exponentialfunktion mit dem Exponenten x. Sie stellt eine streng monoton steigenden Graphen dar. Nun zu einem Beispiel für ein unbegrenztes Wachstum. Es befasst sich mit dem Wachstum einer Bakterienkultur. Wir legen den hier behandelten Prozessen die natürliche Exponentialfunktion zu Grunde. Wir haben in zwei Tabellen experimentelle Beobachtungen notiert. In den Tabellen enthält die erste Zeile die Zeit in Minuten und jeweils die Anzahl an Bakterien, die sich durch Teilung vermehren. Aus der ersten Tabelle ist abzulesen, dass sich alle zehn Minuten die Zahl der Bakterien verdoppelt. Die Verdopplung ist dem Bestand selbst proportional. Aus der zweiten Tabelle folgt, dass der Zuwachs den beobachteten Zeitintervallen proportional ist. Dies haben wir hier mathematisch modelliert. ΔN ~ N und ΔN ~ Δt. Beide Proportionalitäten können zusammengefasst werden. Damit ist ΔN ~ N * Δt. Die Division von ΔN durch Δt führt auf ΔN/Δt ~ N. Nach Einführung eines Proportionalitätsfaktors K > 0 folgt als Wachstumsgleichung N'(t) = K * N(t). In Worten: Die Wachstumsgeschwindigkeit N' ist proportional zum Bestand N. Als Lösungsansatz für diese Gleichung folgt N(t) = N0 * e(K * t). Dass das tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist, kann durch Differentiation leicht überprüft werden. Nun zu unserem Beispiel: Aus den Tabellenwerten entnehmen wir für den Anfangsbestand die Anzahl von 100 Bakterien. Weiterhin kann aus den Werten der Proportionalitätsfaktor K zu 0,069 berechnet werden. Diese Berechnung soll an dieser Stelle nicht interessieren. Mit diesen Werten erhalten wir die Wachstumsfunktion N(t) = 100 * e(0,069 * t). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Modells für das unbegrenzte Wachstum. Die Voraussetzung für diesen Prozess ist ein ungestörter Verlauf. Tritt eine Störung auf, zum Beispiel durch Platz- oder Nahrungsbeschränkung, liegt ein begrenztes Wachstum vor. Dies betrifft unser nächstes Beispiel, die Vermarktung und den Verkauf von TV-Geräten. Auf einer Insel werden TV-Geräte vermarktet. N(t) sei die Anzahl von Kunden, die zur Zeit t ein Gerät besitzen. Es gibt 100000 Kunden, von denen 10000 bereits ein Gerät besitzen und nach zwei Monaten besitzen bereits 50000 Kunden ein neues TV-Gerät. Hier liegt das Modell von begrenztem Wachstum vor. Welches mathematische Modell liegt dem zugrunde? Das mathematische Modell beruht nun auf folgenden Annahmen: Es gibt eine obere Grenze, nämlich die maximale Kundenanzahl von 100000 möglichen Kunden. 100000 = S wird gesetzt und wird als Sättigungsgrenze bezeichnet. Die Zahl der potentiellen Kunden verkleinert sich ständig. Zur Zeit t ist dieses Reservoir S - N(t). Der Zuwachs ΔN an TV-Besitzer ist proportional zu Δt, ΔN ~ Δt, und ΔN ~ S - N(t). Beide Proportionalitäten können zusammengefasst werden. Damit ist dann ΔN ~ Δt * (S - N(t)). Die Division führt zu ΔN/Δt ~ S - N(t). Nach Einführung eines Proportionalitätsfaktors K > 0 folgt als Wachstumsgleichung N'(t) = K * (S - N(t)). Die Wachstumsgeschwindigkeit N' ist proportional zum Reservoir S - N(t). Als Lösungsansatz für diese Gleichung folgt N(t) = S - c * e(-k * t) mit c = S - N0. Dass dies tatsächlich eine Lösung ist, kann durch Differentiation leicht überprüft werden. Für unseren TV-Geräte-Verkauf folgt: Der Anfangsbestand N(0) = N0 = 10000 und die Sättigungsgrenze S = 100000. Und aus N zwei Monaten N(2) = 50000 folgt K zu 0,294, wobei hier die Berechnung von K selbst wieder nicht interessiert. Die Wachstumsfunktion lautet N(t) = 100000 - 90000 * e(-0,294 * t). Damit haben wir an zwei Beispielen zwei unterschiedliche Wachstumsmodelle kennengelernt. Wir fassen zusammen: Damit kannst Du dann gleichzeitig unbegrenztes und begrenztes Wachstum unterscheiden. Für das unbegrenzte Wachstum gilt die Wachstumsgleichung N'(t) = K * N(t) mit K > 0. Die Wachstumsfunktion lautet N(t) = N0 * e(K * t). Der Graph zeigt eine streng monoton steigende Exponentialfunktion, wobei der Schnittpunkt der Funktion mit der N-Achse als N0 den Anfangsbestand darstellt. Für das begrenzte Wachstum gilt die Wachstumsgleichung N'(t) = K * (S - N(t)) mit K > 0. Die Wachstumsfunktion lautet N(t) = S - c * e(-K * t) mit c = S - N0. Der Graph zeigt eine streng monoton steigende Exponentialfunktion, wobei der Schnittpunkt der Funktion mit der N-Achse als N0 den Anfangsbestand und die Gerade bei S die Sättigungsgrenze darstellt. Das war es für heute. Ich hoffe, Dir hat es etwas Spaß gemacht und Du hast alles verstanden. Bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar
  1. Sehr gut strukturiert und erklärt :)

    Von Soeren Leuckefeld, vor mehr als 2 Jahren

Unbeschränktes Wachstum und beschränktes Wachstum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Unbeschränktes Wachstum und beschränktes Wachstum kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die allgemeinen Funktionsgleichungen für begrenztes und unbegrenztes exponentielles Wachstum.

    Tipps

    Bei exponentiellen Wachstumsprozessen muss die Zeit $t$ immer im Exponenten stehen.

    Bei begrenztem exponentiellen Wachstum beinhaltet die Funktionsgleichung zusätzlich eine weitere Größe, die Sättigungsgrenze $S$.

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung für das unbegrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$

    Die Größe $N_{0}$ steht für den Anfangsbestand des Wachstums zum Zeitpunkt $t=0$. Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$. Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Wachstums und kann rechnerisch aus gegebenen Datenpaaren ermittelt werden.

    Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$

    Hier „taucht” eine weitere Größe auf, die Sättigungsgrenze $S$, die die Obergrenze des Wachstums markiert.

    Da es sich jeweils um exponentielle Wachstumsvorgänge handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich der zugehörige Bestand $N(t)$ rechnerisch bestimmen.

  • Beschrifte die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum.

    Tipps

    Der Bestand hängt im Falle eines exponentiellen Wachstums immer von der Zeit ab. Im Allgemeinen findet sich dafür bei Funktionsgleichungen der Ausdruck $f(x)$. Der Funktionswert $f(x)$ wird hier durch das Argument $x$ bestimmt.

    Der Bestand nach einer bestimmten Zeitspanne entspricht der Differenz aus Sättigungsgrenze und dem Produkt aus der um den Anfangsbestand reduzierten Sättigungsgrenze und der potenzierten Eulerschen Zahl.

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$

    Die Sättigungsgrenze $S$ markiert die Obergrenze des Wachstums, an die sich der Bestand im Laufe der Zeit $t$ annähert.

    Die Variable $c$ steht für die Differenz aus Sättigungsgrenze $S$ und Anfangsbestand $N_{0}$: $c=S-N(0)$ oder $c=S-N_{0}$

    Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$.

    Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Wachstums.

    Da es sich jeweils um exponentielle Wachstumsvorgänge handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich der zugehörige Bestand $N(t)$ rechnerisch bestimmen.

  • Bestimme die die Funktionsgleichung für das unbegrenzte Wachstum einer Bakterienkultur.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung für das unbegrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$

    $N_{0}$ ist gleichbedeutend mit $N(0)$: Es handelt sich also um den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$.

    Lösung

    Die Wachstumsfunktionen $N(t)=200-100 \cdot e ^{-0,069 \cdot t}$ und $N(t)=100 - e ^{-0,069 \cdot t}$ entsprechen der allgemeinen Funktionsgleichung $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$ für das begrenzte Wachstum.

    Bei begrenztem exponentiellen Wachstum beinhaltet die Funktionsgleichung nämlich eine weitere Größe: die Sättigungsgrenze $S$. Da im gegebenen Sachverhalt jedoch von „ungehindertem” Wachstum die Rede ist und kein maximaler Bestand erwähnt wird, muss von unbegrenztem Wachstum ausgegangen werden.

    In die allgemeine Funktionsgleichung für das unbegrenzte exponentielle Wachstum $N(t)= N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$ sind nun lediglich die Größen Anfangsbestand $N_{0}$ und Proportionalitätsfaktor $k$ einzusetzen.

    Somit ergibt sich für die gesuchte Wachstumsfunktion die Gleichung $N(t)= 100 \cdot e^{0,069 \cdot t}$.

  • Bestimme die Anzahl der Kaninchen auf der Insel nach 20 Monaten, wenn von begrenztem Wachstum auszugehen ist.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$

    Die Sättigungsgrenze $S$ markiert die Obergrenze des Wachstums, an die sich der Bestand im Laufe der Zeit $t$ annähert.

    Die Varaiable c steht für die Differenz aus Sättigungsgrenze S und Anfangsbestand $N_{0}$: $c=S-N(0)$ oder $c=S-N_{0}$

    In die Wachstumsfunktion musst du nun nur noch $t=20$ einsetzen, um den Bestand nach 20 Monaten berechnen zu können.

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$.

    Für die Sättigungsgrenze $S$ musst du 40 einsetzen, da dies die maximal erreichbare Kaninchenanzahl ist.

    Die Größe $c$ ist die Differenz zwischen Sättigungsgrenze und Anfangsbestand: $c=S-N(0)$ bzw. $c=40-8=32$.

    Der Proportionalitätsfaktor für das monatliche Wachstum beträgt $k=0,058$. In der Wachstumsfunktion steht vor $k$ immer ein negatives Vorzeichen.

    Die gesuchte Wachstumsfunktion für das begrenzte Wachstum lautet damit $N(t)=40-32 \cdot e ^{-0,058 \cdot t}$.

    Wenn du nun noch für $t=20$ einsetzt, kannst du leicht den Bestand nach 20 Monaten berechnen: $N(20)=40-32 \cdot e ^{-0,058 \cdot 20} \approx 30$.

  • Gib an, ob es sich um begrenztes oder unbegrenztes exponentielles Wachstum handelt.

    Tipps

    Unterscheide zunächst exponentielles Wachstum von anderen Wachstumsarten: Bei exponentiellem Wachstum erfolgt eine Zunahme in stetig größer werdenden Stufen, d.h. die Bestände „explodieren” oft förmlich im Laufe der Zeit. Dies ist oft erkennbar an Ausdrücken wie „Verdopplung” oder an prozentualen Wachstumsangaben.

    Lineares Wachstum hingegen verläuft gleichförmig.

    Ein begrenztes Wachstum kommt in der Realität häufig vor, denn Ressourcen jeglichen Art sind natürlich begrenzt. So „ebbt” ein Wachstum ab, wenn natürliche Barrieren, wie zum Beispiel Nahrungs- und Platzmangel, vorhanden sind.

    Lösung

    Wir ordnen die einzelnen Situationen ein:

    1. Bei der Kaninchenpopulation handelt es sich um ein exponentielles Wachstum, da sich der Bestand monatlich verdoppelt – aus zwei Tieren werden also vier, daraus wiederum acht u.s.w. Das Wachstum ist außerdem begrenzt: Die Sättigungsgrenze liegt bei dem Bestand, den die Insel maximal mit Futter versorgen kann.
    2. Der Baggersee wächst linear, denn er wächst wöchentlich konstant um $100~qm$. Das lineare Wachstum findet seine absolute Grenze bei zwei Quadratkilometern Fläche.
    3. Die Zahl der verkauften Kinderbücher steigt von Woche zu Woche, d.h. es erfolgt ein Zuwachs in immer höheren Stufen. Somit liegt exponentielles Wachstum vor. Die Anzahl der potentiellen Kunden bildet hier jedoch eine Obergrenze. Das Wachstum ist also hier begrenzt.
    4. Beim Wachstum des Kapitals handelt es sich wegen des Zinseszinseffekts um eine exponentielle Zunahme. Kapital kann grundsätzlich ohne Grenzen wachsen, sodass von unbegrenztem Wachstum ausgegangen werden muss.
    5. Die Anzahl der Infizierten wächst exponentiell, denn die Zahl der Neuerkrankungen wird von Tag zu Tag steigen, bis letztlich alle Bewohner des Heims erkrankt sind – zumindest im schlimmsten Fall. Das exponentielle Wachtum ist also begrenzt.
    6. Der Gehalt an Kohlendioxid wächst exponentiell. Das Volumen der Erdatmosphäre bietet jedoch ausreichend „Freiraum”, sodass von einem unbegrenzten Wachstum ausgegangen werden kann.
    7. Die Zahlung des Taschengeldes an Klaus erfolgt linear, da die wöchentlich gezahlten Beträge konstant bleiben. Dieses Wachstum ist aber durch einen maximalen Betrag begrenzt, der das Wachstum beendet.
  • Arbeite aus der graphischen Darstellung eines begrenzten exponentiellen Wachstums die gesuchten Größen heraus.

    Tipps

    Die Sättigungsgrenze $S$ ist der Wert, dem sich das Wachstum im Laufe der Zeit immer mehr nährt. Sie repräsentiert den maximalen Bestand.

    Den Anfangsbestand $N_{0}$, auch $N(0)$ genannt, kannst du an der $N$-Achse ablesen.

    Den Wert für $c$ musst du mithilfe der zuvor abgelesenen Werte berechnen.

    Lösung

    Du kannst im Koordinatensystem erkennen, dass sich der Graph immer weiter an den Wert $N=6$ annähert. Diese waagerechte Linie wird auch Sättigungsgrenze genannt und wird vom Graphen niemals erreicht. Somit beträgt $S=6$.

    Den Anfangsbestand liest man an der $N$-Achse ab: $N_{0}=N(0)=1$.

    Den Wert für $c$ berechnest du nun als Differenz zwischen Sättigungsgrenze und Anfangsbestand: $c=S-N_{0}=6-1=5$.

    Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du nicht so einfach ablesen oder berechnen: Hierfür müsstest du, wenn du bereits $S$ und $c$ bestimmt hast, ein weiteres Datenpaar ablesen, dieses in die Funktionsgleichung einsetzen und anschließend alles nach dem gesuchten Faktor umformen. Der Proportionalitätsfaktor $k$ sei hier aber mit $k=0,8$ gegeben.

    Die in der Abbildung dargestellte Wachstumsgleichung lautet somit komplett: $N(t)=6-5 \cdot e ^{-0,8 \cdot t}$