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Kurvendiskussion

In einer Kurvendiskussion untersuchst du eine Funktion auf ihre Eigenschaften. Das sind z.B. Symmetrie, Nullstellen und Extrempunkte.

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Themenübersicht in Kurvendiskussion

Was ist eine Kurvendiskussion?

In diesem Text geht es darum, einen Überblick über Kurvendiskussionen zu erhalten. In einer Kurvendiskussion untersuchst du die vielfältigen Eigenschaften einer Funktion $f$ Schritt für Schritt. Dafür gibt es eine spezielle Vorgehensweise und mehrere Rechenverfahren, die du immer wieder auf verschiedene Funktionen anwenden kannst. Zu den Grundlagen der Kurvendiskussion gehören mehrere Eigenschaften:

  • Mithilfe von Definitions- und Wertebereich von $f$ kannst du sehen, in welchen Bereichen des Koordinatensystems der Graph verläuft.
  • Wenn du die Symmetrie des Funktionsgraphen untersuchst, findest du z.B. heraus, ob man den Graphen an einer Symmetrieachse oder an einem Punkt spiegeln kann.
  • Wichtige Schritte einer Kurvendiskussion sind die Berechnung der Nullstellen und des $y$-Achsenabschnitts von $f$.
  • Viele Funktionen und ihre Graphen haben Extrempunkte (auch Extrema genannt), die du berechnen kannst. Du schaust, wo Maxima und Minima der Funktion liegen, falls diese solche Punkte besitzt.
  • Außerdem kannst du die Wende- und Sattelpunkte von $f$ ermitteln. Hier ändert der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten.
  • Die Monotonieeigenschaften und das Verhalten von $f$ im Unendlichen bestimmst du, um weitere Informationen über das Aussehen des Funktionsgraphen zu erhalten.
  • Vervollständigt wird die Kurvendiskussion meist durch das Darstellen des Funktionsgraphen, z.B. mit einer Zeichnung in deinem Heft.

Besondere Geraden an Funktionsgraphen

Du kannst die Tangenten, Normalen und Schnittwinkel einer Funktion berechnen und darstellen.

  • Die Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen von $f$ in genau einem Punkt berührt. Die Steigung der Funktion $f$ ist in diesem Punkt identisch mit der Steigung der Tangente.
  • Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente durch den Berührpunkt mit $f$ verläuft.
  • Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$ mit jeweils einer Tangente durch den Schnittpunkt von $f$ und $g$, so kannst du den Schnittwinkel dieser zwei Funktionen berechnen.

Verschiedene Funktionsarten

Sowohl die Kurvendiskussionen von ganzrationalen Funktionen wie z.B. $f(x)=2x^{5}-10x^{4}+0,6$ als auch die von gebrochenrationalen Funktionen wie z.B. $f(x)= \frac{x}{x+3}$ beinhalten fast alle der oben genannten Punkte. Ebenso kannst du die aufgezählten Eigenschaften auch an Wurzelfunktionen wie z.B. $f(x)=\sqrt[3] 5x$ und Winkelfunktionen wie z.B. $f(x)=\sin(3x)$ oder Exponential- und Logarithmusfunktionen wie z.B. $f(x)=e^{2x+1}$ untersuchen. Extrema bestimmst du zum Beispiel immer mithilfe der Ableitungen der jeweiligen Funktion.

Dabei gibt es jedoch einige Besonderheiten. Hier zwei Beispiele:

  • Bei ganzrationalen Funktionen wie z.B. $f(x)=3x^{4}-1,5x^{2}+12$ kannst du die Symmetrie an den Exponenten der Funktion ablesen. Für die Berechnung der Nullstellen nutzt du die pq-Formel.
  • Bei gebrochenrationalen Funktionen wie z.B. $f(x)= \frac{x}{x-1}$ gibt es Definitionslücken. Daher gehört hier die Bestimmung der Asymptoten zur Kurvendiskussion.

Funktionsgleichungen rekonstruieren

Mithilfe von Eigenschaften wie Symmetrie, Extrempunkten oder Monotonie kannst du sogar Funktionsgleichungen rekonstruieren, wenn diese nicht gegeben sind. Möglich sind vor allem die ganzrationale Funktionen-Rekonstruktion und die gebrochenrationale Funktionen-Rekonstruktion. Aber auch von Exponentialfunktionen kannst du die Gleichung aufstellen, dann heißt es Exponentialfunktionen-Rekonstruktion.