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Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion

Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie, Extrema, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Schnittpunkt y-Achse, Sattelpunkte, Graph

Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion

Im Folgenden wird die Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion betrachtet. Dabei untersuchen wir die Funktion auf folgende Eigenschaften:

  • Definitionsbereich
  • Symmetrie
  • Ableitungen
  • Achsenschnittpunkte
  • Extrema
  • Wendepunkte

Anschließend fertigen wir anhand der ermittelten Eigenschaften eine Skizze des zugehörigen Funktionsgraphen an. Wir betrachten nun beispielhaft folgende Wurzelfunktion:

$f(x) = \sqrt{x} -x$

Definitionsbereich

Der Ausdruck unter einer Wurzel darf größer gleich Null sein. Demnach darf man für $x$ alle positiven reellen Zahlen und die Null einsetzen. Die Funktion $f$ besitzt also folgenden Definitionsbereich:

$D_f = \mathbb{R}^{+}_0$

Symmetrie

Zunächst untersuchen wir die Funktion auf Achsensymmetrie zur $y$-Achse. Hierzu muss $f(x)=f(-x)$ gelten. Wir setzen also in die Funktion $-x$ ein und überprüfen, ob die Bedingung erfüllt ist:

$f(-x)=\sqrt{-x}-(-x)=\sqrt{-x}+x\neq f(x)$

Demnach ist die betrachtete Wurzelfunktion nicht symmetrisch zur $y$-Achse. Sie ist auch nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da $f(x) \neq -f(-x)$ gilt.

Ableitungen

Die Ableitung einer Wurzelfunktion lässt sich leichter ermitteln, wenn man mit der Potenzschreibweise arbeitet. Für das Ableiten betrachten wir also folgende Funktion:

$f(x) = x^{\frac{1}{2}} - x$

Die erste Ableitung können wir nun nach den bekannten Regeln bilden:

$\begin{array}{lll} f'(x) &=& \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}} - 1\\ &=& \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \end{array}$

Die zweite Ableitung bekommen wir auf dieselbe Weise:

$\begin{array}{lll} f''(x) &=& -\frac{1}{4}\cdot x^\frac{-3}{2} \\ &=& -\frac{1}{4\sqrt{x^{3}}} \end{array}$

Wir können hier erkennen, dass die zweite Ableitung nicht $0$ werden kann. Somit ist schon mal ausgeschlossen, dass es einen Wendepunkt gibt. Eine dritte Ableitung wird also nicht gebraucht.

Nullstellen

Wir ermitteln die Nullstellen, indem wir die Funktionsgleichung mit $0$ gleichsetzen. Doch warum erhalten wir aus diese Weise die Nullstellen?

Die Nullstellen sind nämlich diejenigen $x$-Werte, bei denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. In einem Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist der zugehörige Funktionswert, also $y$-Wert immer gleich $0$. Somit folgt für $f(x)=0$ folgende Gleichung:

$\begin{array}{lll} 0 &=&\sqrt{x} -x \\ 0 &=& \sqrt{x}\cdot \left(1-\sqrt{x}\right) \end{array}$

Laut dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Daraus folgt für den ersten Faktor:

$\begin{array}{lll} \sqrt{x} &=& 0 \\ x_1 &=& 0 \end{array}$

Mit dem zweiten Faktor erhalten wir:

$\begin{array}{llll} 1-\sqrt{x} &=& 0 & \vert +\sqrt{x} \\ 1 &=& \sqrt{x} & \\ 1 &=& x_2 & \\ \end{array}$

Wir erhalten also die beiden Nullstellen $N_{1} (0|0)$ und $N_{2} (1|0)$.

Extrema

Unter den Extrema verstehen wir die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion. Diese können wir durch notwendige und hinreichende Kriterien bestimmen.

notwendiges Kriterium: $f'(x) = 0$

Sehen wir die erste Ableitung als Steigung der Tangente in einem Punkt der Funktion, so hat sie in den Extremstellen eine Steigung von $0$ und verläuft somit parallel zur $x$-Achse.

$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0$

Durch Umformen erhalten wir:

$\begin{array}{llll} 2\cdot\sqrt{x} &=& 1 & \vert :2\\ \sqrt{x} &=& \frac{1}{2} & \\ x &=& \frac{1}{4} & \end{array}$

hinreichendes Kriterium: $f''(x)\neq{0}$

$f''(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{4})^{3}}} = -2$

Da $-2\lt0$, handelt es sich um einen Hochpunkt mit der $x$-Koordinate $\frac{1}{4}$.

Die $y$-Koordinate errechnen wir durch Einsetzen des $x$-Wertes in die Ausgangsfunktion:

$f(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Die Funktion $f$ besitzt somit einen Hochpunkt bei $\text{H}_\text{P}(\frac{1}{4}|\frac{1}{4})$.

Wendepunkte

Ein Wendepunkt ist diejenige Stelle eines Graphen, in dem er sein Krümmungsverhalten ändert. Die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist $f''(x)=0$. Da die zweite Ableitung der hier betrachteten Wurzelfunktion stets ungleich Null ist, ist die Existenz eines Wendepunktes ausgeschlossen.

Skizze

Wir tragen die ermittelten markanten Punkte (Nullstellen und Hochpunkt) in das Koordinatensystem ein und beachten den Grenzwert für $x\rightarrow\infty$.

Wurzelfunktion.jpg

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