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Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion 07:24 min

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Transkript Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion

Hallo, mein Name ist Frank und ich werde heute mit euch eine Kurvendiskussion anhand einer Wurzelfunktion durchführen. Dabei wiederhole ich die einzelnen Punkte einer Kurvendiskussion, die ich hier rechts angeschrieben habe. Das Ganze mache ich für die Funktion f(x) = √x - x. Ich beginne mit dem Definitionsbereich. Die Wurzel ist nicht definiert für negative Zahlen, das heißt wir erhalten den Definitionsbereich der positiven reellen Zahlen inklusive der 0. Kommen wir zur Symmetrie. Da der Definitionsbereich nicht symmetrisch ist, ist auch die Funktion nicht symmetrisch. Gut, zu den Ableitungen. Die erste Ableitung erhalte ich, indem ich √x ableite. Das ist 1/(2√x) und x ableite, das ist 1. Minus zieht sich durch. Die zweite Ableitung erhalte ich, indem ich diesen Term als Potenz schreibe und dann habe ich die zweite Ableitung -1/(4√x3). Gut. Wenn ich mir die zweite Ableitung anschaue, sehe ich hier oben im Zähler steht eine 1. Das wird also nie 0. Und wenn ich hier bei den Wendepunkten schaue, die muss ich nur betrachten, wenn ich überhaupt eine zweite Ableitung gleich 0 habe, das heißt, ich kann mir die dritte Ableitung sparen. Kommen wir zu den Achsenschnittpunkten. Also, die Nullstellen f(x) = 0. Ich übernehme die Funktion √x - x, also ist das Äquivalent √x - x = 0. Und hier klammere ich jetzt den Wurzelterm aus und erhalte √x×(1 - √x) = 0. Und das ist jetzt ein Produkt, das heißt, ich erhalte die erste Nullstelle x1 = 0 oder die zweite Nullstelle x2 = 1. Die schreibe ich noch einmal auf, die Nullstellen. N1(0|0) und Nx2(1|0). Im Folgenden schaue ich mir die Extrema und Wendepunkte an. So, nachdem wir die Punkte Definitionsbereich, Symmetrie, Ableitung Achsenschnittpunkte schon durchhaben, kommen wir jetzt im Folgenden zu Extrema. Die habe ich hier aufgeschrieben, da sind drei Punkte, die wir betrachten müssen. Es geht los mit dem notwendigen Kriterium f’(xE) = 0. Auch da, ich übernehme die erste Ableitung 1/(2√xE) -1 = 0 Das forme ich jetzt äquivalent um zu 2√xE = 1und erhalte xE = 1/4. Jetzt wissen wir schon einmal, dass wir Extremum haben könnten. Ob es dann wirklich eins ist, erhalten wir dadurch, dass wir hinreichend dieses xE = 1/4 in der zweiten Ableitung einsetzen. Das würde also heißen zweite Ableitung f’’(1/4) = -1/(4√((1/4)3)). Das könnt ihr jetzt gern in den Taschenrechner eingeben, da kommt -2 raus und das ist kleiner als 0. Wir sehen also, das hinreichende Kriterium bei Extrema ist erfüllt, ungleich 0 und noch dazu kleiner 0. Wir erhalten also einen Hochpunkt. Die x-Koordinate haben wir hier, xE = 1/4 und die y-Koordinate erhalten wir, indem wir 1/4 in der Funktionsvorschrift einsetzen. Also √1/4 = 1/2, dann -1/4 ist 1/4. Wie ich vorhin schon gesagt habe, die zweite Ableitung wird nicht 0, egal, was wir für x einsetzen. Das heißt, das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt ist nicht erfüllt, also, es gibt keine Wendepunkte. Jetzt fehlt uns nur noch die Skizze und dann sind wir auch schon fertig. Nachdem wir jetzt auch die Extrema betrachtet haben und auch die Wendepunkte, kommt zu guter Letzt die Skizze. Ich habe hier schon einmal ein Koordinatensystem angefertigt und übertrage jetzt mal die Ergebnisse, die wir bis jetzt gefunden haben, hier rein. Also, wir haben die Nullstelle N1(0|0). Wir haben die Nullstelle N2(1|0). Wir haben den Hochpunkt (1/4|1/4), der ist hier. Ich habe jetzt nur drei Punkte. Ich habe noch einen weiteren Punkt berechnet, der Funktionswert zu 2 wäre dann hier. Du kannst jetzt natürlich gerne noch eine Wertetabelle für weitere Werte machen, um die Funktion etwas leichter zeichnen zu können und würdest damit auch einen Grenzwert erhalten. Den deute ich jetzt hier einmal an. Dann läuft die Funktion so. Geht also nach unten weg. Nach minus unendlich, das wäre der Grenzwert x geht gegen unendlich. Damit sind wir mit der Kurvendiskussion fertig. Ich wiederhole noch einmal kurz, was wir gemacht haben: Wir haben alle einzelnen Punkte einer Kurvendiskussion betrachtet, hier stehen sie noch einmal, und das anhand einer Wurzelfunktion. Und zu guter Letzt erhalten wir die Skizze, den Verlauf der Funktion. Ich hoffe, du konntest alles gut verstehen und freue mich natürlich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

2 Kommentare
  1. Default

    Guten Morgen Feli Benz:
    Zu der zweiten Ableitung
    • zunächst schreibe ich die erste Ableitung als Potenz in x
    • f'(x)=1/2*x^{-1/2)-1
    • nun verwende ich die Potenzregel
    • f''(x)=1/2*(-1/2)*x^(-3/2)
    • diesen Term kann ich so umschreiben, dass die zweite Ableitung aus dem Video hier steht.

    Zu den Nullstellen der ersten Ableitung:
    • bringe die 1 auf die rechte Seite
    • nun multipliziere mit dem Nenner der linken Seite
    • dann steht da 1=2* wurzel(x)
    • dividiere durch 2 und
    • quadriere die Gleichung und du erhältst
    • x=1/4

    Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Frank Steiger, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Vielen Dank für das tolle Video. Kannst du nochmal genau erklären, wie du die zweite Ableitung berechnet hast und wie du bei der Berechnung von f'= 0 auf dem Wert 1/4 gekommen bist?

    Von Feli Benz, vor mehr als 2 Jahren

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