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Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion 07:24 min

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Transkript Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion

Hallo, mein Name ist Frank und ich werde heute mit euch eine Kurvendiskussion anhand einer Wurzelfunktion durchführen. Dabei wiederhole ich die einzelnen Punkte einer Kurvendiskussion, die ich hier rechts angeschrieben habe. Das Ganze mache ich für die Funktion f(x) = √x - x. Ich beginne mit dem Definitionsbereich. Die Wurzel ist nicht definiert für negative Zahlen, das heißt wir erhalten den Definitionsbereich der positiven reellen Zahlen inklusive der 0. Kommen wir zur Symmetrie. Da der Definitionsbereich nicht symmetrisch ist, ist auch die Funktion nicht symmetrisch. Gut, zu den Ableitungen. Die erste Ableitung erhalte ich, indem ich √x ableite. Das ist 1/(2√x) und x ableite, das ist 1. Minus zieht sich durch. Die zweite Ableitung erhalte ich, indem ich diesen Term als Potenz schreibe und dann habe ich die zweite Ableitung -1/(4√x3). Gut. Wenn ich mir die zweite Ableitung anschaue, sehe ich hier oben im Zähler steht eine 1. Das wird also nie 0. Und wenn ich hier bei den Wendepunkten schaue, die muss ich nur betrachten, wenn ich überhaupt eine zweite Ableitung gleich 0 habe, das heißt, ich kann mir die dritte Ableitung sparen. Kommen wir zu den Achsenschnittpunkten. Also, die Nullstellen f(x) = 0. Ich übernehme die Funktion √x - x, also ist das Äquivalent √x - x = 0. Und hier klammere ich jetzt den Wurzelterm aus und erhalte √x×(1 - √x) = 0. Und das ist jetzt ein Produkt, das heißt, ich erhalte die erste Nullstelle x1 = 0 oder die zweite Nullstelle x2 = 1. Die schreibe ich noch einmal auf, die Nullstellen. N1(0|0) und Nx2(1|0). Im Folgenden schaue ich mir die Extrema und Wendepunkte an. So, nachdem wir die Punkte Definitionsbereich, Symmetrie, Ableitung Achsenschnittpunkte schon durchhaben, kommen wir jetzt im Folgenden zu Extrema. Die habe ich hier aufgeschrieben, da sind drei Punkte, die wir betrachten müssen. Es geht los mit dem notwendigen Kriterium f’(xE) = 0. Auch da, ich übernehme die erste Ableitung 1/(2√xE) -1 = 0 Das forme ich jetzt äquivalent um zu 2√xE = 1und erhalte xE = 1/4. Jetzt wissen wir schon einmal, dass wir Extremum haben könnten. Ob es dann wirklich eins ist, erhalten wir dadurch, dass wir hinreichend dieses xE = 1/4 in der zweiten Ableitung einsetzen. Das würde also heißen zweite Ableitung f’’(1/4) = -1/(4√((1/4)3)). Das könnt ihr jetzt gern in den Taschenrechner eingeben, da kommt -2 raus und das ist kleiner als 0. Wir sehen also, das hinreichende Kriterium bei Extrema ist erfüllt, ungleich 0 und noch dazu kleiner 0. Wir erhalten also einen Hochpunkt. Die x-Koordinate haben wir hier, xE = 1/4 und die y-Koordinate erhalten wir, indem wir 1/4 in der Funktionsvorschrift einsetzen. Also √1/4 = 1/2, dann -1/4 ist 1/4. Wie ich vorhin schon gesagt habe, die zweite Ableitung wird nicht 0, egal, was wir für x einsetzen. Das heißt, das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt ist nicht erfüllt, also, es gibt keine Wendepunkte. Jetzt fehlt uns nur noch die Skizze und dann sind wir auch schon fertig. Nachdem wir jetzt auch die Extrema betrachtet haben und auch die Wendepunkte, kommt zu guter Letzt die Skizze. Ich habe hier schon einmal ein Koordinatensystem angefertigt und übertrage jetzt mal die Ergebnisse, die wir bis jetzt gefunden haben, hier rein. Also, wir haben die Nullstelle N1(0|0). Wir haben die Nullstelle N2(1|0). Wir haben den Hochpunkt (1/4|1/4), der ist hier. Ich habe jetzt nur drei Punkte. Ich habe noch einen weiteren Punkt berechnet, der Funktionswert zu 2 wäre dann hier. Du kannst jetzt natürlich gerne noch eine Wertetabelle für weitere Werte machen, um die Funktion etwas leichter zeichnen zu können und würdest damit auch einen Grenzwert erhalten. Den deute ich jetzt hier einmal an. Dann läuft die Funktion so. Geht also nach unten weg. Nach minus unendlich, das wäre der Grenzwert x geht gegen unendlich. Damit sind wir mit der Kurvendiskussion fertig. Ich wiederhole noch einmal kurz, was wir gemacht haben: Wir haben alle einzelnen Punkte einer Kurvendiskussion betrachtet, hier stehen sie noch einmal, und das anhand einer Wurzelfunktion. Und zu guter Letzt erhalten wir die Skizze, den Verlauf der Funktion. Ich hoffe, du konntest alles gut verstehen und freue mich natürlich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

2 Kommentare
  1. Guten Morgen Feli Benz:
    Zu der zweiten Ableitung
    • zunächst schreibe ich die erste Ableitung als Potenz in x
    • f'(x)=1/2*x^{-1/2)-1
    • nun verwende ich die Potenzregel
    • f''(x)=1/2*(-1/2)*x^(-3/2)
    • diesen Term kann ich so umschreiben, dass die zweite Ableitung aus dem Video hier steht.

    Zu den Nullstellen der ersten Ableitung:
    • bringe die 1 auf die rechte Seite
    • nun multipliziere mit dem Nenner der linken Seite
    • dann steht da 1=2* wurzel(x)
    • dividiere durch 2 und
    • quadriere die Gleichung und du erhältst
    • x=1/4

    Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Frank Steiger, vor fast 4 Jahren
  2. Vielen Dank für das tolle Video. Kannst du nochmal genau erklären, wie du die zweite Ableitung berechnet hast und wie du bei der Berechnung von f'= 0 auf dem Wert 1/4 gekommen bist?

    Von Feli Benz, vor fast 4 Jahren

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Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion Übung

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  • Gib an, welche Schritte bei der Bestimmung von Extrema durchgeführt werden müssen.

    Tipps

    Es ist

    • ein notwendiges
    • und ein hinreichendes Kriterium zu untersuchen.
    • Zum Schluss muss das Extremum (gegebenenfalls mehrere) angegeben werden.

    In einem Extremum liegt eine waagerechte Tangente vor.

    Sei $P(x|y)$ ein Punkt des Funktionsgraphen von $f(x)$, so gilt $y=f(x)$.

    Lösung

    Für Extrema sind drei Punkte zu betrachten:

    • es muss notwendigerweise gelten, dass $f'(x_E)=0$ ist. Das heißt, es existiert eine waagerechte Tangente an der Stelle $x_E$ und die Steigung ist hier somit $0$. Denn ohne waagerechte Tangente kann es kein Extremum geben. Aber die Existenz einer waagerechten Tangente reicht nicht aus
    • Es muss hinreichender Weise gelten, dass $f''(x_E)\neq 0$ ist. Falls $f''(x_E)> 0$ gilt, liegt ein Tiefpunkt vor, andernfalls ($f''(x_E)< 0$) ein Hochpunkt.
    • Ein oder mehrere Extrema werden dann angegeben durch $E(x_E|f(x_E))$.

  • Berechne die ersten beiden Ableitungen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$.

    Tipps

    Es gilt

    $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$.

    Die Ableitung der Differenz zweier Funktionen ist die Differenz der Ableitungen der Funktionen.

    Die Potenzregel der Differentiation lautet $(x^a)'=a \cdot x^{a-1},~a\in \mathbb{R}$.

    Lösung

    Die Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$ soll zweimal abgeleitet werden. Dazu wird

    • $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$ und
    • $(u-v)'=u'-v'$ verwendet.
    $\begin{align*} f'(x)&=(\sqrt{x}-x)'\\ & = (x^{\frac{1}{2}}-x)'\\ & = \frac12 \cdot x^{-\frac12}-1\\ & =\frac1{2\sqrt{x}}-1 \\ &=\frac12 x^{-0,5}-1\\ f''(x)&=\frac12\cdot (-0,5) \cdot x^{-1,5}\\ &=-\frac1{4\sqrt{x^3}}. \end{align*}$.

    Mit der Potenzregel ist $(x^{-0,5})'=-0,5x^{-1,5}=\large{-\frac1{2 \cdot x^{1,5}}}=-\frac1{2\sqrt{x^3}}$.

  • Bestimme die Nullstellen und den Hochpunkt der Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$.

    Tipps

    Zur Nullstellenbestimmung muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.

    • Für die Extrema muss die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden.
    • Die Lösung(en) wird (werden) in die 2. Ableitung eingesetzt. Diese muss ungleich $0$ sein. Ist die 2. Ableitung größer (kleiner) als $0$, liegt ein Tiefpunkt (Hochpunkt) vor.
    Lösung

    Die Ableitungen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$ sind

    • $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}-1$ und
    • $f''(x)=\frac1{4\sqrt{x^3}}$.
    Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

    $\begin{align*} &&\sqrt{x}-x&=0\\ &\Leftrightarrow&\sqrt{x}(1-\sqrt{x})&=0\\ &\Rightarrow&x_1&=0\\ &&x_2&=1. \end{align*}$

    Die Nullstellen sind also $N_1(0|0)$ und $N_2(1|0)$.

    Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$:

    $\begin{align*} &&\frac1{2\sqrt{x}}-1&=0\\ &\Leftrightarrow&1-2\sqrt{x}&=0&~|~&+2\sqrt{x}\\ &\Leftrightarrow&1&=2\sqrt{x}&~|~&:2\\ &\Leftrightarrow&\frac12&=\sqrt{x}&~|~&()^2\\ &\Leftrightarrow&\frac14&=x_E. \end{align*}$

    Dieses $x_E$ wird für (h) in die 2. Ableitung eingesetzt:

    $f''\left(\frac14 \right)=\large{-\frac1{4\sqrt{\left(\frac14\right)^3}}}=-2$.

    Da dieser Wert kleiner als $0$ ist, liegt ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate des Hochpunktes ergibt sich durch Einsetzen von $x_E=\frac14$ in der Funktionsgleichung:

    $y_E=\sqrt{\frac14}-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14$. Somit ist der Hochpunkt $HP\left(\frac14|\frac14 \right)$.

  • Untersuche die Funktion $f(x)=(\sqrt x -1)^2$ auf Nullstellen und Extrema.

    Tipps

    Die Funktion besitzt keinen Wendepunkt.

    Die ersten beiden Ableitungen sind:

    • $f'(x)=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x}$ und
    • $f''(x)=\frac1{2 \sqrt{x^3}}$.

    Zur Bestimmung der Nullstelle muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.

    Zur Bestimmung der Extrema muss die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden.

    Lösung

    Die ersten beiden Ableitungen der Funktion $f(x)=(\sqrt x -1)^2$ sind

    $\begin{align*} f'(x)&=2(\sqrt x -1)\cdot \frac1{2 \sqrt x}\\ &=\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x}\\ f''(x)&=\frac{\frac{1}{2 \sqrt x}\cdot \sqrt x -(\sqrt x -1)\cdot\frac{1}{2 \sqrt x} }{x}\\ &=\frac{\sqrt x -(\sqrt x -1)}{2 \sqrt x\cdot x}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \end{align*}$

    Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

    $\begin{align*} &&(\sqrt x -1)^2&=0&~|~&\sqrt{}\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x -1&=0&~|~&+1\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x &=1&~|~&(~)^2\\ &&x&=1. \end{align*}$

    Es liegt eine Nullstelle bei $N(1|0)$ vor.

    Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E) \neq 0$:

    $\begin{align*} &&\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x}&=0\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x -1&=0&~|~&+1\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x &=1&~|~&(~)^2\\ &&x_E&=1. \end{align*}$

    Um zu überprüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt, muss $x_E=1$ in der 2. Ableitung eingesetzt werden: $f''(1)=\frac{1}{2\sqrt{1^3}}=\frac12$. Die 2. Ableitung ist also ungleich $0$ und größer als $0$. Das heißt, es liegt ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate des Tiefpunktes ist $0$, da dies ja auch die Nullstelle ist: $TP(1|0)$.

    Da die 2. Ableitung nicht $0$ wird, existiert kein Wendepunkt.

  • Leite die Funktion $f(x)=\left( \sqrt x+1\right)^2$ einmal ab.

    Tipps

    Zwei Ableitungen sind richtig.

    Die Kettenregel lautet: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Die Potenzregel der Differentiation lautet: $(x^a)'=ax^{a-1},~a\in \mathbb{R}$.

    Lösung

    Es gilt, die Funktion $f(x)=(\sqrt x+1)^2$ mit der Kettenregel abzuleiten. Diese besagt, dass die Ableitung $(u \cdot v)'$ durch $u' \cdot v + u \cdot v'$ beschrieben wird. Gehen wir also analog vor. Dabei lösen wir das Quadrat auf, sodass sich $(\sqrt x+1) \cdot (\sqrt x+1)$ ergibt:

    $\begin{align} ((\sqrt x+1) \cdot (\sqrt x+1))' & = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} + 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}\\ & = 2 \cdot (\sqrt{x} +1)(\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}})\\ & = 2 \cdot (\frac12 + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}})\\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\\ & = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+ \frac{1}{\sqrt{x}} \\ & = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\\ \end{align}$

    Somit haben wir die 1. Ableitung in unterschiedlicher Form gefunden. Es gilt also $f'(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$. Die Gleichheit geht aus der Äquivalenzumformung hervor.

  • Bestimme das Extremum der Funktion $f(x)=x-2\sqrt x$.

    Tipps

    Für Extrema muss die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden. Die Ergebnisse werden in die 2. Ableitung eingesetzt. Ist diese ungleich $0$, so liegt ein Extremum vor.

    Es gilt die folgende Unterscheidung:

    $f''(x_E)\begin{cases} <0 & \Rightarrow\text{Hochpunkt } \\ >0 & \Rightarrow\text{Tiefpunkt } \end{cases}$

    Wenn ein Punkt $P(x|y)$ auf dem Funktionsgraphen der Funktion $f(x)$ liegt, so gilt $y=f(x)$.

    Lösung

    Für die Extrema werden die ersten beiden Ableitungen benötigt:

    $\begin{align*} f'(x)& =1-\frac1{\sqrt x}\\ &=\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x} \\ f''(x)& =\frac1{2 \sqrt {x^3}} \end{align*}$.

    Die 2. Ableitung erhält man entweder über die Potenzregel mit der ersten Zeile der 1. Ableitung oder der Quotientenregel mit der zweiten Zeile der 1. Ableitung.

    Die 1. Ableitung muss $0$ sein, damit ein Extremum vorliegen kann:

    $\begin{align*} &&\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x}&=0 \\ &\Leftrightarrow&\sqrt x -1&=0&~|~&+1\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x &=1&~|~&(~)^2\\ &&x_E&=1. \end{align*}$

    Damit ein Extremum vorliegt, muss die 2. Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein: $f''(1)=\frac1{2 \sqrt {1^3}}=\frac12>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate dieses Tiefpunktes ist $y=f(1)=1-2\sqrt1=-1$

    Der Tiefpunkt liegt bei $TP(1|-1)$.